II. NHÂN VÀ ẢNH CỦA MỘT ÁNH XẠ TUYẾN
3.Định nghĩa:
Cho . Khi đó, nếu f là một đơn ánh (tương ứng: toàn ánh, song ánh) thìfđược gọi là một đơn cấu(tươngứng: toàn cấu,
đẳng cấu).
Khiflà một đẳng cấu thì ta nói hai không gianV vàWlà đẳng cấu
với nhau, ký hiệu VW .
Nhận xét: Nếu f là đẳng cấu và B là một cơsở của V thìf(B) là một cơsở của W. Dođó nếu VWthìdim V = dim W.
4. Mệnh đề 3:
Cho . Khiđó fđơn ánh nếu và chỉ nếu ker(f)=0.
Chứngminh:
( ) Nếu f đơn ánh thì từ suy ra nên u
( ) Giả sử ker (f) = 0. Khi đó với mọi , nếu
thì suy ra do đó
hay . Vậy fđơn ánh.
5.Định lý 1:
Cho .Khi đó nếu V là một không gian vector hữu hạn
chiều thì Im(f) và ker(f) cũng hữu hạn chiều, đồng thời.
Chứng minh:
Giả sử dim V= m, và dim ker(f) = k. Vì ker(f)V nên cơsở
của ker(f) là một tập độc lập tuyến tính của V. Bổ sung vào B các vector để
là một cơsở của V, với l + k = m.
Với mọi tồn tại sao chov=f(u).Đặt
Vậy f(V)được sinh bởi các vector Bây giờ giả sử Khiđó Nghĩa là Dođó tồn tại bộ để Suy ra
Vì B’ độc lập tuyến tính nên từ đó suy ra
. Điều này chứng tỏ
độc lập tuyến tính. Vậy Im(f) nhận
làm một cơsở và dim Im(f) = l, màl + k = m, nên:
6. Hệ quả:
Nếu và thì các điều sau tương
đương:
i) f làđẳng cấu
ii) f làđơn cấu
iii) f là toàn cấu (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh.
(ii)(ii). Hiển nhiên;
(ii)(iii). Do flà đơn cấu nên dim ker(f) = 0. Do dó dim Im(f) = dimV= dimW, nghĩa là Im(f) =W. Vậy ftoàn cấu.
(iii) (i). Do f là toàn cấu nên Im(f) = W. Do đó dimIm(f) = dimW=dimV.
Suy ra dim ker(f) = 0, vậy flàđẳng cấu.