VI. TỌA ĐỘ: 1.Ðịnh nghĩa.
BÀI TẬP CHƯƠNG
Bài 1: Cho với các phép toán cộng và nhân thông thường, nghĩa là:
Bài 2: Cho V là tập hợp tất cả các hàm số với các phép toán cộng và nhân thông thường, nghĩa là :
Chứng minh rằng V là một không gian vector trênR?
Bài 3:Cho V là tập hợp tất cả các hàm thực, liên tục, dương trên
đoạn [-a,a] (a>0). Trên V tađịnh nghĩa các phép toán (+) và (.) như
sau:
Chứng minh rằng V là không gian vector trênR?
Bài 4:Cho V =R2. Tìm một phản ví dụ chứng tỏ rằng V không là một không gian vector trên R nếu ta định nghĩa các phép toán (+) và (.) trên V bởi:
a) và
b) và
c) và
Bài 5: Trong các tập con W sau đây của K3 thì tập hợp nào là không gian con của K3 với các phép toán cộng và nhân thông thường ?
b)
c)
d)
e)
Bài 6: Cho là không gian các ma trận vuông cấp n trên K với phép toán cộng và nhân thông thường. Tập con nào sau
đây là không gian con của V?
a) Tập tất cả các ma trận tam giác trên; b) Tập tất cả các ma trận đường chéo; c) Tập tất cả các ma trận khả nghịch;
d) Tập tất cả các ma trận không khả nghịch; e) Tập tất cả các ma trận có định thức bằng 1.
Bài 7:Cho V là không gian các hàm số với các phép toán cộng và nhân thông thường. Trong các tập hợp W sau, tập hợp nào là không gian con của V ?
a) b)
d)
e) là hàm chẵn };
f) là hàm lẻ }.
Bài 8:
Cho V là một không gian vector trên K, W1, W2là các không gian con của V. Chứng minh rằng là một không gian con của V khi và chỉ khi hoặc
Bài 9: Trong các câu sau, xét xem vector u có là tổ hợp tuyến tính của các vector u1,u2,u3 hay không ? Hãy tìm dạng biểu diễn tuyến tính của nó (nếu có) ?
a) u = (1,3,2),u1= (1,1,1), u2= (1,0,1), u3= (0,1,1). b) u = (7,17,14),u1= (1,2,3), u2= (2,1,2), u3= (1,4,2). c) u = (1,3,4),u1= (1,2,3), u2= (3,2,1), u3= (2,1,0).
Bài 10: Trong các câu sau, hãy tìm mối liên hệ giữa a,b,c,d để vector u = (a,b,c,d) là tổ hợp tuyến tính của các vector u1,u2,u3. a) u1= (1,2,1,1) ,u2= (1,1,2,1) ,u3= (1,1,1,2).
b) u1= (1,1,1,0) ,u2= (1,1,0,1) ,u3= (1,0,1,1). c) u1= (0,1,2,3) ,u2= (1,2,3,0) ,u3= (3,0,1,2).
Bài 11: Xét xem các vector sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính ? a) (1,1,1) và (0,1,-2); b) (1,1,0), (1,1,1) và (0,1,-1); c) (0,1,1), (1,2,1) và (1,5,3); d) (1,-2,3,-4), (3,3,-5,1) và (3,0,3,-10). Bài 12:
Cho V là một không gian vector trên trường K và . Chứng minh rằng {u,v,w} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi {u + v , v + w , w + u}độc lập tuyến tính.
Bài 13:
Trong R4
, cho các vector u1 = (1,1,2,4) ,u2 = (2,-1,-5,2) ,u3 = (1,- 1,4,0) và u4=(2,1,1,6). Chứng tỏ các vector trên phụ thuộc tuyến tính. Tìm một cơsở cho không gian con của R4sinh bởi các vector này.
Bài 14: Tìm số chiều và một cơ sở của không gian ngiệm của các hệ phương trình tuyến tính sau:
Bài 15:
Trong không gian vector K4 xét các vector sau đây u1 = (1,2,0,1), u2= (1,-1,3,0), u3 = (1,2,1,1), u4 = (1,2,1,0), u5= (2,-1,0,1), u6= (-
1,1,1,1).Đặt . Hãy tìm một cơsở
cho mỗi không gian con W1, W2, W1+W2và .
Bài 16: Cho các vector u1 = (1,2,0,1), u2 = (1,1,1,0) , v1 = (1,0,1,0) , v2 = (1,3,0,1) và . Tính ? Bài 17: Chứng minh rằng các vector u1 = (1,0,-1), u2= (1,2,1) và u3 = (0,- 3,2) lập thành một cơsở của R3. Tìm toạ độ của các vector của cơ
sở chính tắc e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) và e3 = (0,0,1) trong cơ sở
được sắp .
Cho là một số thực bất kỳ, hãy chứng minh họ tạo thành một cơ sở (được sắp) của Rn[x]. Hãy tìm ma trận chuyển cơsở từ Bsang cơsở chính tắc B0của Rn[x].
Bài 19:Cho V= Rn[x] là không gian cácđa thức bậc trênR
và là một số thực cố định. Giả sử.
a) Chứng minh là một cơsở của V. b) Tìm [f]Bnếu f(x) = 1 + x + x2
.
Bài 20:Cho W là không gian con của K4sinh bởi các vector u1 = (1,2,2,1), u2= (0,2,0,1) và u3= (-2,0,-4,3).
a) Chứng tỏ rằng là một cơsở của V.
b) Tìm điều kiện để . Với điều kiện này hãy tìm [u]B.
c) Cho v1 = (1,0,2,0), v2= (0,2,0,1), v3 = (0,0,0,3). Chứng tỏ rằng là một cơsở của W.
d) Xây dựng ma trận chuyển cơsở từ BsangB’.
Bài 21:TrongR3
, cho các vector u1= (2,1,-1), u2= (2,-1,2), u3= (3,0,1), v1= (-3,1,2), v2=(1,-2,5) và v3=(2,4,1).
a) Chứng tỏ rằng và là các cơ sở của R3
.
b) Cho thỏa u=(1,2,3), và .
Hãy tìm .
Bài 22: Trong R4, cho các vector
và .
a) Chứng tỏ là một cơsở của W.
b) Cho . Tìm điều kiện để và với
điều kiện đó hãy tìm [u]B
c) Đặt với v1 = (1,1,-1,-1), v2 = (2,7,0,3) và v3 = (2,7,0,2). Chứng tỏ B là một cơsở của W và viết ;
d) Cho thỏa và Hãy tìm