GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP C1 - CHƯƠNG 2 pdf

Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM 1 Chương 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN §1. GIỚI HẠN – LIÊN TỤC I. Dãy số - Giới hạn dãy số. 1. Dãy số 1.1 Định nghĩa Dãy số là một tập hợp các số được viết theo một thứ tự xác định: { } 1 2, 3 , , , , n x x x x . Để chỉ dãy số đó, người ta thường dùng kí hiệu { } 1 n n x ∞ = hay gọn hơn { } n x . Trong chương này, ta chỉ xét các dãy số thực. Dãy số thực là một ánh xạ : ( ) : → =    n f n f n x Kí hiệu { } ∈  n n x hay { } n x . Lúc đó: • n được gọi là chỉ số. • n x được gọi là số hạng tổng quát của dãy. Chú ý : Dãy số còn có thể xác định bởi công thức tổng quát 1 2 1 2 1, 2 2 , 3 n n n x x x x x n − −  = =     = + ∀ ≥   Ghi chú : Ta th ườ ng xét dãy s ố th ự c là ánh x ạ t ừ *  vào  . Ví d ụ 1. 1 1 1 1 1 ) 1, , , , , 2 3 n a n n ∞ =     =         ; ( ) { } ( ) { } ) 1 1,1, 1,1, , 1 , n n b − = − − − ; { } { } 2 2 ) 1,4,9, , , c n n = ; 1 2 3 ) , , , , , 1 2 3 4 1 n n d n n     =     + +     .  Dãy s ố { } n x g ọ i là t ă ng n ế u * 1, n n x x n + < ∀ ∈  , g ọ i là gi ả m n ế u * 1 , n n x x n + > ∀ ∈  . Trong ví d ụ 1, dãy a) là dãy s ố gi ả m, dãy c) là dãy s ố t ă ng. Dãy s ố t ă ng và dãy s ố gi ả m đượ c g ọ i là dãy s ố đơ n đ i ệ u.  Dãy s ố { } n x g ọ i là b ị ch ặ n trên n ế u t ồ n t ạ i m ộ t s ố M sao cho * , n x M n≤ ∀ ∈  ; g ọ i là b ị ch ặ n d ướ i n ế u t ồ n t ạ i m ộ t s ố m sao cho * , n x m n≥ ∀ ∈  ; g ọ i là b ị ch ặ n n ế u nó v ừ a b ị ch ặ n trên v ừ a b ị ch ặ n d ướ i. Ví d ụ 2. Trong ví d ụ 1 Dãy a) là dãy s ố gi ả m, nó b ị ch ặ n d ướ i b ở i 0 và b ị ch ặ n trên b ở i 1; Dãy b) không ph ả i là dãy s ố đơ n đ i ệ u, nó b ị ch ặ n d ướ i b ở i -1 và b ị ch ặ n trên b ở i 1; B ộ môn Tóan- Th ố ng kê Khoa Kinh T ế -Lu ậ t Đ HQG Tp.HCM 2 Dãy c) là dãy t ă ng, nó b ị ch ặ n d ướ i b ở i 1 nh ư ng không b ị ch ặ n trên, do đ ó nó không b ị ch ặ n; Dãy d) là dãy s ố t ă ng, nó b ị ch ặ n d ướ i b ở i 0 và b ị ch ặ n trên b ở i 1. 2. Các dãy số đặc biệt 2.1 Dãy số cộng 2.1.1 Định nghĩa Là m ộ t dãy s ố tho ả mãn đ i ề u ki ệ n: hai ph ầ n t ử liên ti ế p nhau sai khác nhau m ộ t h ằ ng s ố . Ch ẳ ng h ạ n, dãy s ố 3, 5, 7, 9, 11, là m ộ t c ấ p s ố c ộ ng v ớ i các phân t ử liên ti ế p sai khác nhau h ằ ng s ố 2. H ằ ng s ố sai khác chung đượ c g ọ i là công sai c ủ a c ấ p s ố c ộ ng. Các ph ầ n t ử c ủ a nó c ũ ng đượ c g ọ i là các s ố h ạ ng. 2.1.2 Số hạng tổng quát N ế u c ấ p s ố c ộ ng kh ở i đầ u là ph ầ n t ử u 1 và công sai là d, thì s ố h ạ ng th ứ n c ủ a c ấ p s ố c ộ ng đượ c tính theo công th ứ c: n 1 u u (n 1)d = + − 2.1.3 Tổng T ổ ng c ủ a n s ố h ạ ng đầ u c ủ a c ấ p s ố c ộ ng đượ c g ọ i là t ổ ng riêng th ứ n . Ta có: [ ] 1 1 n n 1 2 n n 2a (n 1)d n(a a ) S a a a 2 2 + − + = + + + = = 2.2 Dãy số nhân 2.2.1 Định nghĩa Là m ộ t dãy s ố tho ả mãn đ i ề u ki ệ n t ỷ s ố c ủ a hai ph ầ n t ử liên ti ế p là h ằ ng s ố . T ỷ s ố này đượ c g ọ i là công b ộ i c ủ a c ấ p s ố nhân. Các ph ầ n t ử c ủ a c ấ p s ố nhân còn đượ c g ọ i là các s ố h ạ ng.Nh ư v ậ y, m ộ t c ấ p s ố nhân có d ạ ng 2 3 a,ar,ar ,ar , Trong đ ó r 0 ≠ là công b ộ i và a là s ố h ạ ng đầ u tiên 2.2.2 Số hạng tổng quát S ố h ạ ng th ứ n c ủ a c ấ p s ố nhân đượ c tính b ằ ng công th ứ c n-1 n a ar = trong đ ó n là s ố nguyên th ỏ a mãn n>1 Công b ộ i khi đ ó là 1 n 1 n n n 1 a a r ,r a a − −     = =       trong đ ó n là s ố nguyên th ỏ a mãn n 1 ≥ 2.2.3 Tổng T ổ ng các ph ầ n t ử c ủ a c ấ p s ố nhân : B ộ môn Tóan- Th ố ng kê Khoa Kinh T ế -Lu ậ t Đ HQG Tp.HCM 3 0 1 2 1 2 3 3 4 4 5 n k 0 1 2 n n k 0 S ar ar ar ar ar = = = + + + + ∑ Hay n 1 n a(1 r ) S 1 r + − = − 2.3 Dãy Fibonacci Dãy Fibonacci là dãy vô h ạ n các s ố t ự nhiên b ắ t đầ u b ằ ng hai ph ầ n t ử 0 và 1, các ph ầ n t ử sau đ ó đượ c thi ế t l ậ p theo quy t ắ c m ỗ i ph ầ n t ử luôn b ằ ng t ổ ng hai ph ầ n t ử tr ướ c nó . Công th ứ c truy h ồ i c ủ a dãy Fibonacci là: n 0 ,khin 0 F : F(n) : 1 ,khin 1 F(n 1) F(n 2) ,khin 1  =     = = =    − + − >    3. Giới hạn của dãy số Tr ở l ạ i dãy d) c ủ a ví d ụ 1. Bi ể u di ễ n hình h ọ c c ủ a nó đượ c cho ở hình sau: Ta nh ậ n th ấ y r ằ ng khi n càng l ớ n thì n x càng g ầ n 1, t ứ c là kho ả ng cách 1 n x − càng nh ỏ , nó có th ể nh ỏ bao nhiêu c ũ ng đượ c mi ễ n là n đủ l ớ n. Ta nói r ằ ng dãy { } n x g ầ n t ớ i 1 ( hay có gi ớ i h ạ n là 1) khi n d ầ n t ớ i vô cùng. Ta có đị nh ngh ĩ a sau: Định nghĩa: S ố a g ọ i là gi ớ i h ạ n c ủ a dãy s ố { } n x n ế u v ớ i m ọ i s ố ε d ươ ng bé tùy ý cho tr ướ c, t ồ n t ạ i m ộ t s ố t ự nhiên 0 n sao cho v ớ i m ọ i 0 n n > thì n x a ε − < . Ta vi ế t: lim n n x a →∞ = hay n x a → khi n → ∞ . Khi đ ó, dãy s ố { } n x đượ c g ọ i là h ộ i t ụ . Dãy s ố không h ộ i t ụ đượ c g ọ i là phân kì . Chú ý: Ch ỉ s ố 0 n ph ụ thu ộ c vào ε , nên ta có th ể vi ế t ( ) 0 0 n n ε = . Ví d ụ 3 . a) Ch ứ ng minh 1 lim 0 2 n n→∞ = . Th ậ t v ậ y, cho tr ướ c 0 ε > , ta s ẽ ch ỉ ra r ằ ng tìm đượ c ( ) * 0 n ε ∈  để cho 0 1 0 , 2 n n x n n ε − = < ∀ > . Ta có, 1 2 n ε < khi 1 2 n ε > , t ứ c là khi 2 1 log n ε > . V ậ y ch ỉ c ầ n ch ọ n ( ) 0 2 1 log n ε ε = thì v ớ i 0 n n > ta có 0 n x ε − < . B ộ môn Tóan- Th ố ng kê Khoa Kinh T ế -Lu ậ t Đ HQG Tp.HCM 4 b) Dùng đị nh ngh ĩ a ch ứ ng minh r ằ ng n 4n 3 lim n 1 →∞ − + 4. Các Tính chất và định lý về giới hạn dãy số Dùng đị nh ngh ĩ a gi ớ i h ạ n c ủ a dãy s ố , có th ể ch ứ ng minh đượ c các đị nh lý sau: Định lý 1 . a) N ế u m ộ t dãy s ố có gi ớ i h ạ n thì gi ớ i h ạ n đ ó là duy nh ấ t . b) N ế u m ộ t dãy s ố có gi ớ i h ạ n thì nó b ị ch ặ n . Chú thích : M ệ nh đề b) c ủ a đị nh lý 1 là đ i ề u ki ệ n c ầ n c ủ a dãy s ố h ộ i t ụ . T ừ đ ó suy ra r ằ ng n ế u m ộ t dãy s ố không b ị ch ặ n thì nó không có gi ớ i h ạ n. Ch ẳ ng h ạ n, dãy c) trong ví d ụ 1 không có gi ớ i h ạ n vì nó không b ị ch ặ n. Định lý 2 . N ế u các dãy s ố { } n x và { } n y đề u có gi ớ i h ạ n ( lim ;lim n n n n x a y b →∞ →∞ → → ) thì i) ( ) lim lim lim n n n n n n n x y x y a b →∞ →∞ →∞ ± = ± = ± ii) ( ) lim . lim .lim . n n n n n n n x y x y a b →∞ →∞ →∞ = = iii) lim lim lim n n n n n n n x x a y y b →∞ →∞ →∞ = = ( v ớ i đ i ề u ki ệ n lim 0 n n y →∞ ≠ ). Ví d ụ 4. Tính gi ớ i h ạ n các dãy s ố sau { } { } { } { } { } { } n n n 2 n n n n n 2 n n n n n 2 n n 1 1 a a) a , b lim n n b 1 1 b b) a , b lim n n a 1 1 a c) a , b lim n n b →∞ →∞ →∞ = = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ d) { } ( ) { } n 1 n n n n n 1 1 a a , b lim n n b − →∞ − = = ⇒ Chú ý: Trong tính toán v ề gi ớ i h ạ n, có khi ta g ặ p các d ạ ng sau đ ây g ọ i là d ạ ng vô đị nh 0 , , 0. , , 0 ∞ ∞ ∞ − ∞ ∞ . Khi đ ó không th ể dùng các k ế t qu ả c ủ a đị nh lý 2, mà ph ả i dùng các phép bi ế n đổ i để kh ử các d ạ ng vô đị nh đ ó. Ch ẳ ng h ạ n, 2 2 2 1 lim 3 5 n n n n →∞ + + + có d ạ ng ∞ ∞ . Ta bi ế n đổ i: 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 lim lim 5 3 5 3 3 n n n n n n n n →∞ →∞ + + + + = = + + . 4.1 Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn Định lý 3 . Cho 3 dãy s ố { } { } { } , , n n n x y z . N ế u: a) * , n n n n x y z ∀ ∈ ≤ ≤  ; b) lim lim n n n n x z a →∞ →∞ = = thì dãy { } n y có gi ớ i h ạ n và lim n n y a →∞ = . Định lý 4. a) N ế u dãy s ố t ă ng và b ị ch ặ n trên thì nó có gi ớ i h ạ n. B ộ môn Tóan- Th ố ng kê Khoa Kinh T ế -Lu ậ t Đ HQG Tp.HCM 5 b) N ế u dãy s ố gi ả m và b ị ch ặ n d ướ i thì nó có gi ớ i h ạ n. Định lý 5. Dãy s ố { } n x đượ c g ọ i là dãy c ơ b ả n ( hay dãy Cauchy) n ế u v ớ i m ọ i 0 ε > t ồ n t ạ i s ố n 0 >0 sao cho n m x x − < ε v ớ i m ọ i ch ỉ s ố n, m > n 0 . Ý ngh ĩ a: K ể t ừ m ộ t lúc nào đ ó tr ở đ i hai ph ầ n t ử b ấ t k ỳ c ủ a dãy s ố g ầ n nhau bao nhiêu c ũ ng đượ c. 4.2 Các ví dụ về giới hạn của dãy số Ví d ụ 5. Cho dãy s ố { } n x v ớ i 3 5 9 4 n n x n − = + . Ch ứ ng minh 1 lim 3 n n x →∞ = . V ớ i k nào thì x k n ằ m ngoài kho ả ng 1 1 1 1 ; 3 1000 3 1000 L   = − +     . Ta có 5 5 3 3 3 5 1 lim lim lim 4 4 9 4 3 9 9 n n n n n n n n n n n →∞ →∞ →∞   − −   −   = = = +   + +     . Kho ả ng cách t ừ x n đế n 1 3 b ằ ng ( ) ( ) 1 3 5 1 19 19 3 9 4 3 3 9 4 3 9 4 n n x n n n − − = − = − = + + + ; x n ằ m ngoài kho ả ng L khi và ch ỉ khi 1 1 3 1000 x − > hay ( ) 19 1 3 9 4 1000 n > + . Do đ ó 18988 7 703 27 27 n < = . V ậ y các s ố c ủ a dãy n ằ m ngoài kho ả ng L là x 1 , x 2 , …, x 703. Ví d ụ 6. Ch ứ ng minh r ằ ng 2 lim 0 ! n n n →∞ = . Ta có ( ) 3 3 sô 2 2.2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 2.1. . 2.1. . . ! 1.2.3 3 4 3 2 2 2 3 2 n n n n n n − −   = = < =      . Vì 3 1 lim 0 2 n n − →∞   =     nên 2 lim 0 ! n n n →∞ = . Ví d ụ 7. Tính các gi ớ i h ạ n sau: a) 2 2 3 5 4 lim 2 n n n n →∞ + + + b) 3 2 2 3 2 lim 4 2 7 n n n n n →∞   + −   + +   Gi ả i. a) Ta có 2 2 2 2 5 4 3 3 5 4 lim lim 3 2 2 1 n n n n n n n n →∞ →∞ + + + + = = + + . B ộ môn Tóan- Th ố ng kê Khoa Kinh T ế -Lu ậ t Đ HQG Tp.HCM 6 b) Ta có 3 3 2 2 2 2 1 2 3 3 2 3 27 lim lim 2 7 4 2 7 4 64 4 n n n n n n n n n n →∞ →∞   + −     + −   = = =       + +       + +   . Ví d ụ 8. Tìm gi ớ i h ạ n c ủ a các dãy s ố { } n x sau: a) 2 3 1 n x n n = + − − b) 3 2 3 n x n n n = − + c) 2 34 1 n n n x n n n + + = + − . Gi ả i. a) Khi n → ∞ , 2 3 1 n x n n = + − − có d ạ ng vô đị nh ∞ − ∞ . Mu ố n kh ử d ạ ng vô đị nh ấ y, ta nhân t ử và m ẫ u c ủ a x n v ớ i l ượ ng liên h ợ p 2 3 1 n n + + − , ta đượ c: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 lim lim lim 2 3 1 2 3 1 4 1 4 lim lim 2 3 1 2 3 1 1 n n n n n n n n n n n n x n n n n n n n n n n n n →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ + − − + + − + − − = = + + − + + − + + = = = +∞ + + − + + − b) Ta có 2 3 3 1 1n n n n   − = − → −∞     khi n → ∞ , vì v ậ y 3 2 3 n x n n n = − + có d ạ ng ∞ − ∞ . Nhân t ử và m ẫ u c ủ a x n v ớ i l ượ ng liên h ợ p ( ) 2 3 2 3 2 3 2 3 n n n n n n − − − + , ta đượ c: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 32 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 32 3 2 3 2 3 3 3 lim lim 1 1 lim lim 3 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n x n n n n n n n n n n n n n n n →∞ →∞ →∞ →∞   − + − − − +     = − − − + = = =   − − − + − − − +     c) Ta có 2 2 2 4 3 3 4 4 4 4 4 4 2 2 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n x n n n n n n n n n   + +   + + + +   = = =   + − + − + −     . Do đ ó 2 4 4 4 2 1 1 1 lim lim . 1 1 1 n n n n n x n n n →∞ →∞ + + = = +∞ + − . Ví d ụ 9. Tìm gi ớ i h ạ n c ủ a các dãy s ố { } n x sau: a) n sin n lim n →∞ Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM 7 b) 2 n 1 4 lim 2 3 n n →∞        − +            c) ( ) ( ) 2 3 2 n 2n 1 n 3n 2 lim 4n n 1 →∞ − + − − + d) ( ) n lim n n 1 n →∞ + − 4.3 Giới hạn mở rộng n n n n n n lim x lim x lim x →∞ →∞ →∞ = +∞ = −∞ = ∞ Ví d ụ 10. ( ) ( ) ( ) 2 n 2 n 2 n n 2 n a) lim n b) lim n 5 c) lim n 5n d) lim 1 n →∞ →∞ →∞ →∞ − + − + − Gi ả i. a) Ta có 2 n lim n →∞ = +∞ 4.4 Một số giới hạn đặc biệt ( ) n n n n n n n 1 lim 1 e n 1 lim 0( 0) n lim n 1 lim a 1 a 0 →∞ α →∞ →∞ →∞     + =       = α > = = > n n 0 ,0 q 1 lim q ,q 1 1 ,q 1 →∞  < <     = ∞ >    =    Ngoài ra n ế u q =-1 thì gi ớ i h ạ n không t ồ n t ạ i Ví d ụ 11. Tính gi ớ i h ạ n các dãy s ố sau a) n n n n n 3 2.4 lim 5.4 2 →∞ − − b) ( ) 8 4 2n n lim 2 2 2 2 →∞ Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM 8 II. Giới hạn của hàm số Ví d ụ 12. Cho hàm s ố 2 x 4 f (x) x 2 − = − . Khi gán cho x l ầ n l ượ t các giá tr ị càng d ầ n v ề 1 t ừ 2 phía ( <1, >1) nh ư ng r ấ t g ầ n 1 thì f(x) càng d ầ n v ề 3 x 0.8 0.9 0.99 0.999 1 1.000001 1.0001 1.001 1.05 1.1 f (x) 2.8 2.9 2.99 2.999 3.000001 3.0001 3.01 3.0 5 3.1 T ươ ng t ự khi gán cho x các giá tr ị d ầ n v ề 2 t ừ 2 phía ( <2, >2) nh ư ng r ấ t g ầ n 2 thì f(x) càng d ầ n v ề 4 x 1.8 1.9 1.99 1.9999 2 2.000001 2.00001 2.001 2. 05 2.1 f (x) 3.8 3.9 3.99 3.9999 4.000001 4.00001 4.001 4.05 4.1 Nhậ n xét r ằ ng f(x) không t ồ n t ạ i giá tr ị t ạ i 2 nh ư ng các giá tr ị c ủ a f(x) khi x d ầ n v ề 2 cho ta c ả m nh ậ n r ằ ng f(x) s ẽ có giá tr ị x ấ p x ỉ là 4 khi x ti ế n v ề 2 t ừ c ả hai phía 1. Định nghĩa Gi ả s ử hàm s ố ( ) f x xác đị nh ở lân c ậ n đ i ể m a (có th ể tr ừ t ạ i a ). Ta nói hàm s ố ( ) f x có gi ớ i h ạ n là A khi x d ầ n t ớ i a n ế u v ớ i m ọ i s ố 0 ε > cho tr ướ c, đề u t ồ n t ạ i m ộ t s ố 0 δ > sao cho khi x a δ − < thì ( ) f x A ε − < , kí hi ệ u là ( ) lim x a f x A → = hay ( ) f x A → khi x a → . Ví d ụ 13. Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) 1 lim 2 1 3 x x → + = . Ta c ầ n ch ỉ ra r ằ ng n ế u cho tr ướ c s ố 0 ε > , thì tìm đượ c s ố 0 δ > sao cho 2 1 3x ε + − < hay ( ) 2 1x ε − < n ế u 1x δ − < . Ta có ( ) 2 1 2 1 1 2 x x x ε ε − = − < ⇔ − < . V ậ y l ấ y 2 ε δ = , ta có ( ) 1 lim 2 1 3 x x → + = . Chú ý: Trong đị nh ngh ĩ a trên, khi nói x d ầ n t ớ i a, có th ể x > a, c ũ ng có th ể x < a. N ế u khi x d ầ n t ớ i a v ề phía trái (t ứ c là x d ầ n t ớ i a và x luôn nh ỏ h ơ n a) mà ( ) f x d ầ n t ớ i gi ớ i h ạ n A thì A g ọ i là gi ớ i h ạ n trái t ạ i a, kí hi ệ u là: ( ) lim x a f x − → . T ươ ng t ự , ng ườ i ta đị nh ngh ĩ a gi ớ i h ạ n ph ả i t ạ i a, kí hi ệ u là: ( ) lim x a f x + → . Hàm s ố ( ) f x có gi ớ i h ạ n A khi x a → khi và ch ỉ khi nó gi ớ i h ạ n trái t ạ i a và gi ớ i h ạ n ph ả i t ạ i a và hai gi ớ i h ạ n ấ y đề u b ằ ng A: ( ) ( ) lim lim x a x a f x f x A − + → → = = . Ví d ụ 14. Cho hàm s ố ( ) , 0 1 , 0 x x f x x x <  =  − >  . Tìm gi ớ i h ạ n c ủ a ( ) f x ? Ta th ấ y ( ) 0 lim 0 x f x − → = và ( ) 0 lim 1 x f x + → = . Do đ ó ( ) f x không có gi ớ i h ạ n khi 0 x → . Ví d ụ 15. Tính gi ớ i h ạ n các hàm s ố sau khi 0 x → : Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM 9 a) x f (x) x = b) 1 f (x) x = Ví d ụ 16. Tính gi ớ i h ạ n 1 phía, 2 phía các hàm s ố sau: 2 x x x 1 a) lim x 4x 1 b) lim 2x 5 x c) lim x 1 →+∞ →+∞ →−∞ − + + ( ) x x x x 0 2 x 3 2 3 d) lim 2 3 1 e)lim x 1 f )lim x 3 →+∞ → → − + − − 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 g) lim 2 h) lim 2 x x 2 l)f(x) 3x x 2 + − − → − →  >   =   ≤   Nh ậ n xét: Hàm s ố có th ể có gi ớ i h ạ n m ộ t phía nh ư ng không ph ả i lúc nào c ũ ng có gi ớ i h ạ n 2 phía suy ra gi ớ i h ạ n không ph ả i t ồ n t ạ i đố i v ớ i m ọ i hàm s ố 2. Các phép toán về giới hạn Định lý 5. Gi ả s ử ( ) lim x a f x A → = , ( ) lim x a g x B → = . Khi đ ó: i) ( ) ( ) ( ) lim x a f x g x A B → ± = ± ii) ( ) ( ) ( ) lim . . x a f x g x A B → = iii) ( ) ( ) lim x a f x A g x B → = , n ế u 0 B ≠ . iv) n n n x a x a lim f(x)= limf(x)= A; A 0 → → > , n chẵ n v) k k k x a x a limf (x) limf (x) A ,k → →   = = ∈      . vi) x a lim f (x) f (x) A x a lim b b b ,b 0 → → = = > . vii) [ ] ( ) b b b x a x a lim log f (x) log limf (x) log A(A 0,0 b 1or b>1) → → = = > < < . Chú ý: Trong quá trình tìm gi ớ i h ạ n c ủ a hàm s ố ta n ế u g ặ p m ộ t s ố các d ạ ng vô đị nh sau: 0 0 0 0 ;0. ; ; ; ; ;1 ;0 , , 1 1 0 0 ∞ ∞ ∞ ∞−∞ ∞ ∞ ∞ ∞ . thì ph ả i tìm cách bi ế n đổ i để kh ử chúng. Ví d ụ 17. a) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 limsin limsin sin 1 4 lim 3 1 lim 3 lim lim1 3 2 4 lim 3 1 3 1 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x π π π π π π π π π π π → → → → → → → = = == = + + + − + − + −   + −     b) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim( 3).lim 3 3 1.1 1 lim 5 2 lim 5 lim 2 10 2 8 x x x x x x x x x x → → → → → − − − = = = − − − Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM 10 c) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 lim 3 3 lim 0 2 lim 2 x x x x x x x → → → − − = = − − Ví d ụ 18. a) Xét 2 1 1 lim . 1 x x x → − − Ở đ ây ta g ặ p d ạ ng vô đị nh 0 0 . Khi 1, x → có th ể xem 1, x ≠ Ta khai tri ể n ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 1 x x x x x x − + − = = + − − . Do đ ó ( ) 2 1 1 1 lim lim 1 2 1 x x x x x → → − = + = − . b) Tính 3 2 8 lim 2 x x x → − − . Vì ( ) ( ) 3 2 8 2 2 4 x x x x − = − + + nên ( ) 3 2 2 2 8 lim lim 2 4 12 2 x x x x x x → → − = + + = − Ví d ụ 19. Tính các gi ớ i h ạ n sau: ( ) ( ) 5 3 x + 4 3 x + 2 3 x a) lim 7x 4x 2x 9 b) lim x 4x 2x 9 4x x c) lim 2x 5 → ∞ → ∞ →−∞ − + − − − + −   −         −   ( ) 3 x + 2 x 6 3 x + 2 3 x + x 3 3x 5 d) lim 6x 8 x 2 e) lim 3x 6 f ) lim x 5 x 2x 5 x 0 g)f (x) , lim f (x), lim f (x) 3 5x x 0 1 4x x → ∞ →−∞ → ∞ → ∞ →−∞ + − + − + −   + <    =  −  ≥   + +   3. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn của hàm số: Định lý 6. a) N ế u ở lân c ậ n c ủ a a, các hàm s ố ( ) ( ) ( ) 1 2 , , f x f x f x th ỏ a mãn b ấ t đẳ ng th ứ c: ( ) ( ) ( ) 1 2 . f x f x f x ≤ ≤ b) N ế u các hàm s ố ( ) ( ) 1 2 , f x f x có gi ớ i h ạ n khi ( ) ( ) 1 2 ,lim lim x a x a x a f x f x A → → → = = thì hàm s ố ( ) f x c ũ ng có gi ớ i h ạ n khi x a → và ( ) lim . x a f x A → = Định lý 7. [...]... in2x + arcsin 2 x − arctg 2 x ; x →0 3x a) lim 1 − cos x + 2sin x − sin 3 x − x 2 + 3x 4 x →0 tg 3 x − 6sin 2 x + x − 5 x 3 b) lim Gi i a) Ta có s in2x + arcsin 2 x − arctg 2 x ∼ 2x + x 2 − x 2 = 2 x khi x → 0 s in2x + arcsin 2 x − arctg 2 x 2x 2 = lim = x →0 x →0 3 x 3x 3 Do ó lim b) Ta bi n it s : 1 − cos x + 2sin x − sin 3 x − x 2 + 3x 4 = 2sin 2 x + 2sin x − sin 3 x − x 2 + 3x 4 ∼ 2 2 x ∼ 2 ... x ) ln a 2. 2 Các ví d 2 x2 + 3 4x + 2 Ví d 37 Tính lim x →±∞ Khi x → ±∞ , các t s và m u s x 2 2x2 + 3 2x2 = lim = lim x →±∞ 4 x x →±∞ 4 x 4x + 2 lim x →±∞ 2x2 + 3 2 = , 4x + 2 4 V y lim x →+∞ u là các VCL Theo nguyên t c ng t b các VCL lim x →−∞ 2 x2 + 3 2 =− 4x + 2 4 2x Ví d 38 Tìm lim 5 x +3 x →±∞ Ta có lim 5 x →±∞ 2x x +3 lim 2x = 5 x→±∞ x +3 = 52 = 25 Ví d 39 Tìm lim 3 x →1 2x − 2 26 + x −... 0 t 26 + x = z 3 , suy ra x = z 3 − 26 Khi x → 1 thì z 3 → 27 hay z → 3 Ta có 2 ( z 3 − 26 ) − 2 2 z 3 − 54 2 ( z 3 − 27 ) 2 ( z − 3) ( z 2 + 3 z + 9 ) 2x − 2 = = = = = 2 ( z 2 + 3z + 9 ) 3 z −3 z −3 z −3 z −3 26 + x − 3 khi z ≠ 3 V y lim 3 x →1 2x − 2 = lim 2 ( z 2 + 3 z + 9 ) = 54 26 + x − 3 z →3 π  sin  x −  6  Ví d 40 Tìm lim π x→ 3 − 2 cos x 6 B môn Tóan- Th ng kê 20 Khoa Kinh T -Lu t... hàm c p cao khác như sau: n (cu ) = cu (n ) n (u + v) = u n + v n Ví d 62 Tính y ( n ) n u y = ( x 2 + 2 x − 3) e x t u = e x , v = ( x 2 + 2 x − 3) Ta có u ( n ) = e x , v ' = 2 x + 2, v '' = 2, v ''' = 0 (n) 1 Do ó: y ( n ) = Cn0 ( e x ) ( x 2 + 2 x − 3) + Cn ( e x ) = e x ( x 2 + 2 x − 3) + ne x ( 2 x + 2 ) ( n −1) ( 2 x + 2 ) + Cn2 ( e x ) n ( n − 1) x + e 2 ( n 2) 2 2 = e x  x 2 + 2 ( n +... k +1 k ( −1) x 2 k +1 + ( −1) cos θ x x 2 k +3 v i 0 < θ < 1 x3 x 5 x 7 sin x = x − + − + + 3! 5! 7! ( 2k + 1)! ( 2k + 3 ) ! N u sai s d ng l i o hàm b c 2k + 2 ta có: π  sin  θ x + ( 2k + 2 )  ( −1) x +  x x x 2  2k +2 sin x = x − + − + + x 3! 5! 7! ( 2k + 1)! ( 2k + 2 ) ! 3 5 k 7 2 k +1 k +1 k ( −1) x 2 k +1 + ( −1) sin (θ x ) x 2 k + 2 x3 = x − + + 3! ( 2k + 1)! ( 2k + 2 ) ! c) f ( x... 0 6 3 − 2 cos x t x− π 6 = z Khi x → π 6 thì z → 0 Ta có z z 2sin cos sin z sin z 2 2 f ( x) = = = = z z π  2 z 3 − 3 cos z + sin z 3.2sin + 2sin cos 3 − 2 cos  z +  2 2 2 6  cos = z 2 (khi z ≠ 0 ) z z 3 sin + cos 2 2 cos V y lim f ( x ) = lim π z 2 =1 z z 3 sin + cos 2 2 tgx − sin x Ví d 41 Tìm lim x →0 x3 tgx − sin x 0 t f ( x) = khi x → 0 Ta có , ta có d ng 3 x 0 x 2sin x.sin 2 sin x −... x →∞ 12 x 3 + x 2 − 6 x a ) lim 7 x 23 − x 5 + 6 x + 4 x10 − 8 x 30 x →∞ 12 x13 + x 2 − 6 x + x 25 − 1000 x 30 b) lim B môn Tóan- Th ng kê 16 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM c) lim x →∞ ( x 4 + 3x 2 − x 4 − 1 d ) lim x x →∞ ( x2 + 1 − x ) ) Gi i a) Ta có 7 x 3 − x5 + 6 x ∼ 7 x 3 khi x → ∞ 12 x3 + x 2 − 6 x ∼ 12 x3 khi x → ∞ 7 x3 − x 5 + 6 x 7 x3 7 = lim = x →∞ 12 x 3 + x 2 − 6 x x →∞ 12 x 3 12 V y lim... Tìm lim 1 + 2  x →∞ x B môn Tóan- Th ng kê 21 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM ây, ta có d ng vô nh 1∞ khi x → ∞ Ta có 1 x x  1  1    lim 1 + 2  = lim  1 + 2   = e0 = 1 x →∞  x  x →∞  x     2 x Ví d 45 Tính các gi i h n sau:  2x + 1   a) lim     x →∞  2x + 3   x 2 −2x +2 x +1 x2  x 2 − 2x + 1 x +1   b) lim    x →∞  3x 2 + 3    x  5x − 4 x   c)lim  2 x→0  x... môn Tóan- Th ng kê 13 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM N u lim x →a α ( x) không t n t i, ta nói r ng không th so sánh hai VCB α ( x ) và β ( x ) β ( x) Ví d 26 a) 1 − cos x và 2x lim x →0 1 − cos x = lim x →0 2x u là nh ng VCB khi x → 0 Vì x x sin 2 = lim sin x lim 1 2 =0 x →0 x →0 2 x x 2 2 sin 2 Nên 1 − cos x là VCB b c cao hơn 2x 1 1 sin x = lim x = 1 lim sin 1 x→0 2x 2 2 x →0 x x sin 1 và 2x là nh... ∼ 2   + 2 x − x3 + 3 x 4 ∼ 2 x khi x → 0 2 Còn m u s tương ương v i x 3 − 6 x 2 + x − 5 x 3 ∼ x khi x → 0 2x = 2 x→0 x V y ta ư c: lim Ví d 29 Tính các gi i h n sau s d ng các VCB tương ương B môn Tóan- Th ng kê 15 Khoa Kinh T -Lu t HQG Tp.HCM ln(1 + x − 3x 2 + 2x 3 ) x →1 ln(1 + 3x − 4x 2 + x 3 ) a) lim e 2x −1 x→0 ln(1 − 4x) b)lim sin 2 3x x→0 ln 2 (1 + 2x) c)lim d)lim x →0 e)lim 1 + 2x −1 tg3x . ( ) 2 3 2 3 2 3 2 3 n n n n n n − − − + , ta đượ c: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 32 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 32 3 2 3 2 3 3 3 lim lim 1 1 lim lim 3 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n x n. bi ế n đổ i để kh ử chúng. Ví d ụ 17. a) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 limsin limsin sin 1 4 lim 3 1 lim 3 lim lim1 3 2 4 lim 3 1 3 1 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x π π π π π π π π π π.  b) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim( 3).lim 3 3 1.1 1 lim 5 2 lim 5 lim 2 10 2 8 x x x x x x x x x x → → → → → − − − = = = − − − Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM