GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP C1 - CHƯƠNG III. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ pps

CHƯƠNG III HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ §1 KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến số D tập hợp , người ta gọi ánh xạ f : D tương ứng với cặp số thực x, y , tức quy tắc cho D số thực z , ký hiệu f x, y hàm số hai biến số, x y hai biến số độc lập Ta ký hiệu f : x, y z f x, y D gọi miền xác định hàm số f Tập hợp f D z z f x, y , x, y D gọi miền giá trị hàm số f Chú ý: Theo định nghĩa miền xác định f thuộc thuộc , cịn miền giá trị Hàm số n biến số f x , x2 , , xn định nghĩa tương tự 1.2 Miền xác định Nếu người ta cho hàm số hai biến số biểu thức z f x, y mà không nói miền xác định miền xác định hàm số hiểu tập hợp cặp x, y cho biểu thức f x, y có nghĩa Ví dụ 1: Hàm số z x y xác định với cặp x, y , miền xác định tồn mặt phẳng Ví dụ 2: Hàm số z x2 y xác định x y2 hay x y , miền xác định hình trịn đóng, tâm O , bán kính I ( hình 1) Ví dụ 3: Hàm số z ln x y xác định x y hay x y , miền xác định nửa mặt phẳng mở phía đường thẳng x y (hình 2) y y O x O ( hình 1) 1.3 x (hình 2) Giới hạn hàm số hai biến số Ta nói điểm M n xn , yn dần tới diểm M xo , y0 (hay xn , yn x0 , y0 )khi n viết M n M0 lim xn n Cho hàm số f M x0 yn y0 f x, y xác định miền D chứa điểm M x0 , y0 , trừ điểm M Ta nói L giới hạn f x, y điểm M x, y dần tới điểm M x, y Ví dụ 4: Tính lim x, y 0,0 lim x0 , y0 f x, y L hay lim f M M xy f x, y với f x, y x Giải: Hàm số f x, y xác định Vì x x2 y2 1, x, y M0 \ 0, 0, , nên y2 L x f x, y x y2 Do với dãy Vậy lim x, y y y, x, y 0, dần tới 0, , ta có xn , yn lim xn , yn 0,0 0 0,0 Ví dụ 5: Tính xy g x, y với g x, y lim x, y 0,0 x y2 Giải: Hàm số g x, y xác định Ta thấy g x, y không tồn lim x, y \ 0, 0,0 Thật vậy, ta có: + Với dãy lim xn , yn + 0,0 g xn , yn Với dần tới 0, , ta chọn yn xn , yn g xn , xn 0, xn dãy xn 2 xn , g xn , dần xn , yn , xn tới lim xn , yn 0,0 Vì nên khơng tồn 1.4 0, , g xn , yn ta chọn yn xn , Tính liên tục hàm số hai biến số lim x, y 0,0 g x, y Cho hàm số f x, y xác định miền D M x0 , y0 điểm thuộc D Ta nói hàm số f x, y liên tục M nếu: i) Tồn ii) x, y lim x0 , y0 x, y lim x0 , y0 f x, y , f x0 , y0 (1.1) Hàm số f x, y gọi liên tục miền D liên tục điểm miền D xy x Ví dụ 6: Xét tính liên tục hàm số G x, y x, y , 0, 0, x, y y2 0, Giải: G x, y xác định tồn Nó liên tục điểm x, y 0, thương hai hàm sô liên tục với mẫu số khác Chỉ cịn phải xét tính liên tục G x, y 0, Vì khơng tồn xy lim x, y 0,0 x y2 (xem ví dụ 5) nên G x, y khơng liên tục 0, Tóm lại G x, y liên tục điểm x, y Chú ý: Nếu đặt x x0 x, y y , ta có y0 f x, y Lại đặt f f x0 x , y0 0, f x0 x, y y f x0 , y0 Khi cơng thức (1.1) viết y lim x, y 0,0 f (1.2) Nói cách khác, hàm số f x, y liên tục M x0 , y0 hệ thức (2) thỏa mãn §2 ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN TOÀN PHẦN 2.1 Đạo hàm riêng 2.1.1 Định nghĩa: z f x, y hàm số xác định miền D , x0 , y0 điểm thuộc D Nếu cho y y0 , y0 số, mà hàm số biến số x f x , y0 có đạo hàm x x0 đạo hàm gọi đạo hàm riêng x hàm số f x, y x0 , y0 ký hiệu là: f x x0 , y0 hay f x0 , y0 x Vậy theo định nghĩa đạo hàm hàm số biến số, ta có: f x x0 , y0 lim x f x0 x, y0 f x0 , y0 x Tương tự, đạo hàm riêng y hàm số f x, y x0 , y0 ký hiệu f y x0 , y0 lim y f x0 , y0 y y f x0 , y0 Như tính đạo hàm riêng x f , việc xem y số lấy đạo hàm f x ; tính đạo hàm riêng đối y f việc xem x số lấy đạo f y x 5x3 y 2 y Ví dụ 1: Tính đạo hàm riêng z Giải: z x x3 15 x y ; z y xy Ví dụ 2: Tính đạo hàm riêng z x 10 x3 y y Giải: z x yx y ; Ví dụ 3: Tính đạo hàm riêng z cos z y x , y y x y ln x Giải: z x x x sin y x y x sin y y z y x x sin y y y x x sin y y Chú ý 1: Đạo hàm riêng hàm số n biến số định nghĩa tương tự Khi tính đạo hàm riêng f biến số đó, ta xem biến số khác số tính đạo hàm f biến số 2 Ví dụ 4: Tính đạo hàm riêng hàm số u e x y cos z Giải: u x u x e x y x cos z; u z e x y x cos z; e x y sin z 2.1.2 Đạo hàm riêng cấp cao Các đạo hàm riêng f x , f y gọi đạo hàm riêng cấp hàm số z f x, y Chúng hàm số x, y Vì xét đạo hàm riêng chúng: f x x , f x y , fy , fy x y gọi đạo hàm riêng cấp hai f x, y Ta dùng ký hiệu sau: fx fx x y x3 y y y f yy 2 x2 f y z f x y z x y 2 f x y z x y f y f y y f x f x x f yx fy x 2e y x f xy x fy Ví dụ 5: f x, y f xx f x y2 z y5 Giải: fx xe y x y , fy x 2e y f xx 2e y f xy xe y x y fyx xe y f yy x 2e y xy 6x2 y x3 y y x 20 y Các đạo hàm riêng cấp cao định nghĩa tương tự Chẳng hạn: f xyy f xy y y f y x f y x Ta thừa nhận mà không chứng minh định lý quan trọng sau Định lý 1(Schwarz): Nếu hàm số f x, y có đạo hàm riêng f xy f yx miền D đạo hàm riêng liên tục tịa điểm x0 , y0 f xy x0 , y0 D f yx x0 , y0 Ta thấy kết ví dụ Từ định lý Schwarz dễ dàng suy f xyy f yxy f yyx chúng liên tục Đạo hàm riêng cấp cao hàm số n z 2e x Ví dụ 6: u biến số định nghĩa tương tự yz Giải: z 2e x ux u xxy yz z 2e x z 2e x u xx yz z e x z yz u xxyz yz 3z 2e x yz z 3e x yz 3z 2e x y yz yz 3e x yz 2.2 Vi phân toàn phần 2.2.1 Định nghĩa: Biết hàm số biến số f x xác định khoảng tồn đạo hàm f ' x0 , x0 I số gia f x0 I x0 x f x0 f x0 f x0 , x I , biểu diễn dạng: f ' x0 x , x f x0 x x Biểu thức f ' x0 x ( phần ) gọi vi phân f x x0 Vậy đạo hàm f ' x0 tồn tịa f x khả vi x0 Bây giờ, xét hàm số hai biến số f x, y xác định miền D M x0 f x0 , y0 x, y0 f x0 y x, y0 hai điểm A x B y x A, B số khơng phụ thuộc 0, (tức M D Nếu M x0 , y0 số gia f x0 , y0 biểu diễn dạng: y f x0 , y0 x, y thuộc y, (2.1) x, y , cịn M ) ta nói hà số f x, y khả vi M , biểu thức A x B y gọi vi phân toàn phần hàm số f x, y x0 , y0 ứng với số gia x, y ký hiệu df x0 , y0 Nếu hàm số f x, y khả vi x0 , y0 liên tục đó, từ cơng thức (2.1) suy f x0 , y0 0, x, y Hàm số f x, y gọi khả vi miền D khả vi điểm thuộc D Chú ý 2: Nếu f x, y khả vi x0 , y0 tồn đạo hàm riêng f x x0 , y0 , f y x0 , y0 Chú ý 3: Khác với hàm số biến số, hàm số hai biến số f x, y có đạo hàm riêng f x x0 , y0 f y x0 , y0 chưa khả vi x0 , y0 Chẳng hạn như, xét hàm số sau: xy G x, y x 0, , x, y 0, x, y y2 0, Theo định nghĩa đạo hàm riêng ta có Gx 0, lim h G h, G 0, h Tương tự ta có: Gy 0, G h, 0 h lim h G h, 0, h 0 Vậy tồn đạo hàm riêng Gx 0, , Gy 0, , hàm số G x, y không liên tục 0, nên không khả vi 0, 2.2.2 Điều kiện khả vi hàm số nhiều biến số Định lý 2: Nếu hàm số f x, y có đạo hàm riêng miền D chứa điểm M x0 , y0 đạo hàm riêng liên tục M hàm số f x, y khả vi M , vi phân toàn phần f x, y M tính cơng thức: df x0 , y0 f x x0 , y0 x f y x0 , y0 y (2.2) Chú ý 4: Cũng hàm số biến số, x, y biến số độc lập nên ta có x dx, y dy , cơng thức (2.2) viết là: df x0 , y0 f x x0 , y0 dx f y x0 , y0 dy x2 Ví dụ 7: Tính vi phân tồn phần hàm số z y2 Giải: Hàm số xác định tồn Vì đạo hàm riêng z khả vi 2 z x x x y xdx \ 0, dz x Chú ý 5: Đối với hàm số n z y , ydy y2 y x y2 liên tục x, y 0, nên biến số, định nghĩa hàm số khả vi, điều kiện khả vi hàm số, cơng thức vi phân tồn phần tương tự hàm số hai biến số xe yz Ví dụ 8: Tính vi phần tồn phần hàm số u Giải: Hàm số xác định toàn Các đạo hàm riêng: u x liên tục toàn e yz ; u y u z xze yz , nên hàm số u khả vi toàn du e xz dx xze yz dy xye xz dz xye yz e yz dx xzdy xydz 2.2.3 Ứng dụng vi phân toàn phần vào tính gần Từ định lý ta có cơng thức: f x0 , y0 f x x0 , y0 x f y x0 , y0 y x y Ta thấy f x x0 , y0 x y vô bé cấp cao , cịn x ta xem f x0 , y0 y vô bé bậc f y x0 , y0 x, y0 y2 Vì vậy, x, y nhỏ, df x0 , y0 , tức là: f x0 , y0 Hay f x0 x2 y f x x0 , y0 x f x0 , y0 f x x0 , y0 Ví dụ 9: Cho hàm số f y x0 , y0 y (2.3) y x 2 xy y Tính f x, y x0 x f y x0 , y0 0.02 2, y0 3, x 0.03, y df x, y , f x, y Giải: df x, y 2x y x df 2,3 2.2 2.3 0.03 f 2,3 2x y 2.2 2.3 0.02 f 2.03; 2.98 Ta thấy df 2,3 y f 2,3 2.03 0.34 2.2, 03.2,98 2.98 2 2.2.3 32 0.3434 f 2,3 tính df 2,3 dễ Ví dụ 10: Tính gần arctg 1.02 0.95 Giải: Ta cần tính z x0 Ta có z x 1 y , z x, y0 y x y x2 acrtg z y y , x0 1, y0 1, x x y x y , y x x 0.05, y 0.02 x x y2 Theo công thức (3) z 0.05;1 0.02 hay arctg 1.02 0.95 z 1,1 arctg1 z x 1,1 x z y 1,1 y 1.0, 05 1.0, 02 0.35 0.785 0.035 0.82 radian 2.2.4 Điều kiện để biểu thức P x, y dx Q x, y dy vi phân toàn phần Ta biết vi phân toàn phần hàm số khả vi f x, y f dx x df f dy y Bây giờ, cho hai hàm số P x, y , Q x, y Định lý sau cho ta biết biểu thức P x, y dx Q x, y dy vi phần toàn phần hàm số f x, y Định lý 3: Giả sử hàm số P x, y , Q x, y có đạo hàm riêng liên tục miền D Biểu thức P x, y dx Q x, y dy vi phân toàn phần khi: P y Q , x x, y (4) D Chú ý 6: Nếu điều kiện (4) thỏa mãn, ta tìm hàm số f x, y cho P x, y dx Q x, y dy Việc tìm hàm số f x, y trình bày ví dụ sau df Ví dụ 12: Chứng minh biểu thức sau vi phân toàn phần a) b) 2 x y dx 3x ln y dx y 10 xy dy , 2y x3 dy , với y y Tìm hàm số fi x, y cho dfi i , i 1, Giải: Ta có: x y , Q x, y P x, y Vậy y 10 xy , P y 10 y Q x vi phân toàn phần ta phải tìm hàm số f1 x, y cho df1 f1 x 2x y2 (*) f1 y y 10 xy (**) , dó: Lấy nguyên hàm theo x hai vế (*) ta x2 y2 x f1 x, y Trong (***) y y hàm số khả vi biến số y , y xem số tùy ý x , x y hai biến số độc lập Lấy đạo hàm y hai vế (***) ta được: f1 y 10 xy (****) ' y So sánh (**) (****) ta ý Thay ' y y Do y y C , C số tùy y vào (***) ta được: x xy 2 y C f1 x, y Lưu ý ta bắt đầu tính cách lấy nguyên hàm theo y hai vế (**) phần b) b) Ta có P x, y x3 y Do y 3x ln y , Q x, y 3x y P y Vậy Q x vi phân toàn phần Ta tìm hàm số f x, y cho df 2 , đó\ f2 x x ln y (i) f2 y x3 y (ii) 2y Lấy nguyên hàm theo y hai vế (ii) ta f x, y đó, x ln y y x , (iii) x hàm số khả vi Lấy đạo hàm theo x hai vế (iii) ta được: f2 x 3x ln y So sánh (iv) với (i), ta Thay (iv) ' x 3x Do ' x x C , C số tùy ý x x vào (iii) ta được: x ln y f x, y y2 C §3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SÔ HỢP – ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ ẨN 3.1 Đạo hàm hàm số hợp 3.1.1 Cho hàm số z f u , v u z hàm số hợp x qua biến số trung gian u , v Định lý sau f u x ,v x u x , v v x hàm số x Ta nói cho ta quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp z Định lý 1: Nếu z f u x ,v x f u , v hàm số khả vi u , v u u x , v v x hàm số khả vi x z hàm số khả vi x ta có dz dx Ví dụ 1: Tính dz z dx f du u dx u uv 2v , u f dv v dx e x , v sin x Giải: Theo cơng thức ta có: dz dx z du u dx z dv v dx Chú ý 1: Nếu z x z f x, y x 2u v e x u 4v cos x 2e x f x, y hàm số khả vi x, y y sin x e z x z dy y dx (3.1) 4sin x e x cos x y x hàm số khả vi hàm số hợp x , khả vi dối với x ta có: dz dx x dz vế trái gọi đạo hàm toàn phần z x , đạo hàm dx phải đạo hàm riêng z f x, y x Đạo hàm Ví dụ 2: Tính dz z dx ln x y2 , y z vế x sin x Theo công thức ý ta có dz dx z x z dy y dx 2x x2 3.1.2 Bây xét hàm số z y2 2y 2sin x cos x x y2 f u , v u hai biến độc lập x, y Khi z x 4sin x cos x x sin4 x u x, y , v v x, y hàm số f u x, y , v x, y hàm số hợp x, y thông qua biến số trung gian u , v Để tính đạo hàm riêng x hàm số z ta xem y khơng đổi, z hàm số hợp biến số độc lập x thông qua hai biến số f u x, y , v x, y trung gian u , v Do định lý 1, ta có z x f u u x z , ta định lý sau: y Cũng lập luận tương tự tính Định lý 2: Nếu hàm số z u u x , y , v v x, y riêng z , x f v, u f v v x hàm số khả vi u , v hàm số có đạo hàm riêng u x , u y , vx , v y tồn đạo hàm z ta có y z x z , x z , z y f v v x z y Ví dụ 3: Tính f u u x f u u y f v v y eu cos v, u xy, v x y Giải: z u eu cos v, z x e xy cos x x y e xy sin y y y z y Ta có: z v u x e xy cos x x x e xy sin y y eu sin v, y, u y v x x, , y v y x y2 Do đó: e xy y cos x y2 x y x sin y y e xy x cos x y x x sin y y Chú ý 2: Quy tắc tính đạo hàm ham số hợp mở rộng cho trường hợp hàm số f phụ thuộc vào nhiều biến số trung gian biến số trung gian phụ thuộc nhiều biến số độc lập 3.2 Đạo hàm hàm số ẩn 3.2.1 Giả sử hai biến số x, y ràng buộc với phương trình F x, y Nếu y f x hàm số xác định khoảng cho y vào phương trình (3.2) ta đồng thức ta nói y xác định phương trình (2) Chẳng hạn phương trình x số ẩn y a2 phương trình x x y y2 a2 a2 x khoảng a y2 a2 x (3.2) f x f x hàm số ẩn xác định hai hàm a , chúng vào ta đồng thức x2 a2 x2 a2 0, x a, a Chý ý hàm số ẩn có tể biểu diễn dạng y Chẳng hạn, hàm số ẩn xác định phương trình: xy e x e y khơng thể biểu diễn dạng y f x f x Người ta chứng minh rằng, hàm số F x, y khả vi trừ số điểm, hàm số y f x khả vi Lấy đạo hàm hai vế phương trình F x, y theo x , cơng thức (3.1) cho ta: Fx x, y Do Fy x, y Fy x, y y ' 0 ta có y' Fx x, y Fy x, y (3.3) Ví dụ 4: Tính y ' x3 y 3axy Giải: Vì F x, y x3 y 3axy khả vi tồn y' nên theo cơng thức (3.3) ta có x 3ay y 3ax Fx x, y Fy x, y Ví dụ 5: Tính y ' xy e x e y x ay y ax y ax 0 Giải: Vì F x, y xy e x e y khả vi toàn y' Fx x, y Fy x, y 3.2.2 Ta nói hàm số hai biến số z F x, y , z nên y ex x e y y x e f x, y hàm số ẩn xác định phương trình: (3.4) F x , y , f x, y Với x, y thuộc miền xác định f Cũng trường hợp trước, F x, y, z khả vi trừ số điểm đặc biệt hàm số f x, y khả vi Lấy đạo hàm hai vế phương trình (3.4) x y ta F x, y , z x F x, y , z z F x, y , z y Do đó, F z x, y , z z x F z x, y , z z y 0 ta có z x z y Ví dụ 6: Tính z , x z , xyz y Fx x, y, z Fz x, y, z Fy x, y, z Fz x, y , z cos x y z Giải: Vì F x, y, z xyz cos x y z khả vi nên công thức cho ta z x Fx x, y, z Fz x, y, z yz sin x xy sin x z y Fy x, y, z xz sin x y z xy sin x y z Fz x, y , z y z y z §4 CỰC TRỊ 4.1 Cực trị hàm số hai biến số 4.1.1 Định nghĩa: Ta nói hàm số z f x, y đạt cực trị điểm M x0 , y0 với điểm M x, y gần với M khác M hiệu f M khơng đổi, f M f M0 f M cực tiểu, f M f M0 f M0 có dấu f M cực đại Cực đại cực tiểu gọi chung cực trị điểm M gọi điểm cực trị Ví dụ 1: Hàm số z x2 y đạt cực tiểu 0, x y2 0, x, y 0, 4.1.2 Điều kiện cần cực trị Định lý 1: Nếu hàm số f x, y đạt cực trị điểm M x0 , y0 đạo hàm riêng tồn thì: f x x0 , y0 0; f y x0 , y0 (4.1) Điều kiện (4.1) điều kiện cần cực trị, khơng điều kiện đủ điểm mà đạo hàm riêng cấp chưa hàm số đạt cực trị Tuy nhiên định lý sau cho phép ta tìm cực trị điểm mà đạo hàm riêng cấp 0, gọi điểm dừng 4.1.3 Điều kiện đủ cực trị Định lý 2: Giả sử M x0 , y0 điểm dừng hàm số f x, y hàm số f x, y có đạo hàm riêng cấp lân cận điểm M Đặt: r f xx x0 , y0 , s f xy x0 , y0 , t f yy x0 , y0 Khi đó: 1) Nếu s rt f x, y đạt cực trị điểm M Đó điểm cực tiểu r , cực đại r 2) Nếu s rt f x, y không đạt cực trị M 3) Nếu s rt chưa kết luận f x, y đạt cực trị hay không đạt cực trị M (trường hợp nghi ngờ) x2 Ví dụ 2: Tìm cực trị hàm số z y2 4x y Giải: Ta có: zx x 4; z y Tọa độ điểm dừng nghiệm hệ 2y 2x 2y Vậy điểm dừng điểm Vì z xx 2; điểm z xy 0; Nếu viết lại z x x 2 nên s rt z yy 2, zmin 2, y 2, 22 12 y , r , ham số đạt cực tiểu 2.1 , ta thấy z x, y , đẳng thức xảy ta thấy kết x3 Ví dụ 3:Tìm cực trị hàm số z y 3xy Giải: Ta có: x y; zx y 3x zy Tọa độ điểm dừng nghiệm hệ: x2 y y2 x Đó hệ phương trình đối xứng Thế y x từ phương trình đầu vào phương trình sau ta x4 x x x3 Phương trình có hai nghiệm x 0; x x x2 x x Vậy ta có hai điểm dừng M 0, M 1, Vì z xx x, z xy 3, z yy y nên: Tại M 0, ta có s rt , điểm M không điểm cực trị Tại M 1,1 ta có zmin 1 s rt 36 27 , r 0, M1 điểm cực tiểu, x3 y3 zx Ví dụ 4: Tìm cực trị hàm số z 3x , z y Giải: Ta có: 3y2 Vậy có điểm dừng M 0, Vì z xx x, z xy 0, z yy Chú ý z M y , nên M ta có s rt z 0, 0, z x, y x3 z 0, 0 Vậy chưa kết luận y Hiệu dương điểm M x, y nằm góc phần tư thứ nhất, âm M x, y nằm góc phần tư thứ ba Do dấu hiệu z M z M thay đổi lân cận điểm M nên M không điểm cực trị Ví dụ 5: Tìm khoảng cách ngắn từ điểm 1, 2, đến mặt phẳng x y z Giải: Khoảng cách từ điểm 1, 2, đến điểm x, y, z bằng: d x y 2 z2 Vì điểm cực trị d trùng với điểm cực trị d , ta tìm cực trị của: d2 x y 2 z : f x, y , z (*) Vì điểm x, y, z nằm mặt phẳng 3x y z nên biến số x, y, z (*) thỏa mãn điều kiện 3x y z (**) Thế z x y (**) vào (*) ta được: d2 x y 2 x y : F x, y Bài toán trở thành tìm cực tiểu hàm số hai biến số F x, y Ta có: Fx Fy x 3x y 5x y 2 y 3x y 6x y Tọa độ điểm dừng nghiệm hệ phương trình 5x y 6x y Giải hệ trên, ta điểm dừng Vì Fxx 20, Fxy 12, Fyy , 7 10 , nên s rt 144 200 56 , r 20 nên M điểm cực tiểu Hơn ta biết mặt phẳng 3x y z có điểm mà khoảng cách tới điểm A 1, 2, bé nhất, chân đường vng góc hạ từ A xuống mặt phẳng Khoảng cách là: d x y 2 3x y 7 14 Chú ý: Cực trị hàm số biến số (*) biến số x, y, z thỏa mãn điều kiện (**) gọi cực trị có điều kiện (hay cực trị tương đối) Trong ví dụ 5, ta thấy tốn x, y tìm cực trị có điều kiện hàm số biến số f x, y, z vào điều kiện z đưa toán tìm cực trị hàm số hai biến số f x, y, x , y : F x, y Cũng vậy, tốn tìm cực trị tương đối hàm số hai biến số f x, y với điều kiện y x đưa tốn tìm cực trị hàm số biến số f x, x : F x Ví dụ 6: Trong hình chữ nhật nội tiếp hình trịn bán kính R , hình có diện tích lớn Giải: Gọi x, y chiều dài hai cạnh hình chữ nhật Diện tích hình chữ nhật S xy Vì hình chữ nhật nội tiếp hình trịn bán kính R nên theo định lý Pytago, ta có x y R Vậy ta cần tìm cực đại hàm số S xy (i) Với điều kiện: x y2 4R (ii) Vì x 0, y nên từ (ii) rút y R x , y có nghĩa x cần tìm cực đại hàm số biến số: x 4R S x2 , x 4R2 x R Vậy ta 2R Ta có: dS dx dS dx x 4R x 2R2 x2 4R2 x2 4R2 x2 x2 R Từ bảng biến thiên x 2R R dS + dx - 2R2 S 0 Ta thấy S đạt cực đại x R Vậy hình chữ nhật nội tiếp hình trịn có diện tích lớn hình vng Chú ý: Ta x R cos t , y tham số R sin t , t S hóa điều (ii) cách đặt: Vì x 0, y Khi đó: R sin t cos t Nó đạt giá trị lớn sin 2t Theo bất đẳng thức Cauchy, xy kiện t x2 y2 2 R sin 2t x y Ta đến kết nhanh , dấu xảy x y Do dùng bất đẳng thức ta kết 4.2 Giá trị lớn bé hàm số hai biến số miền giới nội Cực trị mà định nghĩa mục trước có tính chất địa phương Chúng lớn hay bé giá trị khác hàm số lân cận điểm cực trị Người ta thường gọi cực trị địa phương Bây người ta muốn tìm giá trị lớn bé hàm số toàn miền Ta biết hàm số f x, y liên tục miền đóng giới nội D đạt giá trị lớn bé miền Nếu giá trị đạt điểm bên miền D điểm phải điểm cực trị, điểm dừng hàm số Nhưng giá trị đạt biên miền D Do muốn tìm giá trị lớn giá trị bé hàm số f x, y miền đóng giới nội D ta thực bước: 1) Tính giá trị f điểm dừng f nằm miền D 2) Tính giá trị lớn bé f biên miền D 3) Số lớn (bé) giá trị tính 1) 2) giá trị lớn (bé) phải tìm Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn bé hàm số f x, y đóng hình tam giác có đỉnh A 1, , B 2, , C 1, x 2 xy y miền D Giải: Hàm số f x, y liên tục miền D Để tìm điểm dừng ta giải hệ fx 2x y fy 2x y Đó hệ phương trình tuyến tính có định thức khác 0, nên có nghiệm tầm thường, có điểm dừng điểm 0, nằm D , f 0, 0 Trên cạnh AB : y 1, f f x,1 x 2 x 3, f 2, 1, Tam thức bậc hai đạt cực tiểu x x 1, 11 Trên cạnh AC : x 1, f 1, f 3 y 2 y 1, 1, y , f 1, 17, f y 1, 1,1 đạt cực tiểu y , Trên cạnh BC : x y y x 1, f x, x đạt cực tiểu x , trị tính ta thấy f 0, f max f , 3 17 x2 2x x 1 , f 1, x 17, x x 3, f 2,1 x 2, 11 So sánh giá ... Chú ý 1: Đạo hàm riêng hàm số n biến số định nghĩa tương tự Khi tính đạo hàm riêng f biến số đó, ta xem biến số khác số tính đạo hàm f biến số 2 Ví dụ 4: Tính đạo hàm riêng hàm số u e x y cos... tính đạo hàm ham số hợp mở rộng cho trường hợp hàm số f phụ thuộc vào nhiều biến số trung gian biến số trung gian phụ thuộc nhiều biến số độc lập 3.2 Đạo hàm hàm số ẩn 3.2.1 Giả sử hai biến số x,... x C , C số tùy ý x x vào (iii) ta được: x ln y f x, y y2 C §3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SÔ HỢP – ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ ẨN 3.1 Đạo hàm hàm số hợp 3.1.1 Cho hàm số z f u , v u z hàm số hợp x qua biến số trung