Giáo trình toán cao cấp 1 phần 1 trường đh công nghiệp quảng ninh

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH TS NGUYỄN ĐỨC TÍNH (Chủ biên) ThS NGUYỄN THANH HUYỀN, Ths NGUYỄN DUY PHAN GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP DÀNH CHO BẬC ĐẠI HỌC (Lưu hành nội bộ) QUẢNG NINH, NĂM 2017 LỜI NĨI ĐẦU Giáo trình Tốn Cao Cấp 1, bậc Đại học biên soạn dành cho đối tượng sinh viên, giảng viên bậc đại học, cao đẳng trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh Giáo trình biên soạn theo nội dung đề cương chi tiết mơn Tốn Cao Cấp 1, bậc Đại học nhà trường Cuốn giáo trình biên soạn với mục đích cung cấp cho sinh viên tài liệu sát với đề cương mơn học, có nhiều dạng tập phong phú đáp ứng yêu cầu môn học chuyên ngành Cấu trúc giáo trình gồm chương Mỗi chương trình bày phần lý thuyết, tập, ví dụ phong phú phần tập luyện tập cuối chương Phần lý thuyết trình bày chi tiết giúp người đọc hiểu sâu vấn đề để áp dụng làm tập Phần tập ví dụ minh họa phong phú, đa dạng Cuối chương có tập luyện tập Chương giới thiệu kiến thức phép tính giải tích hàm biến Phần trình bày tương đối sâu, hồn thiện đầy đủ nội dung giới hạn, tính liên tục, đạo hàm, vi phân, tích phân, chuỗi Chương trình bày kiến thức phép tính giải tích hàm nhiều biến giới hạn, tính liên tục, đạo hàm, vi phân cực trị tự hàm nhiều biến Chương trình bày phép tính tích phân bội, bao gồm định nghĩa, tính chất, phương pháp tính ứng dụng tích phân hai lớp tích phân ba lớp Chương trình bày kiến thức tích phân đường loại tích phân đường loại 2, bao gồm định nghĩa, tính chất, cách tính tích phân mối liên hệ hai loại tích phân đường loại loại Để sử dụng giáo trình hiệu quả, người đọc cần đọc kĩ tất nội dung lý thuyết theo trình tự, cấu trúc giáo trình để hiểu vấn đề trình bày giáo trình cách lơgic, đọc tập, ví dụ minh họa làm tập phần luyện tập cuối chương Trong q trình biên soạn, chúng tơi nhận giúp đỡ quý báu nhiều đồng nghiệp Chúng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Khoa học Công nghệ Hợp tác Quốc tế đội ngũ giảng viên khoa Khoa học Cơ trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh tạo điều kiện thuận lợi cho giáo trình hồn thiện Mặc dù có nhiều cố gắng từ nhóm tác giả biên soạn, song giáo trình khơng tránh khỏi hạn chế Nhóm tác giả mong nhận đóng góp ý kiến từ phía bạn đọc để giáo trình hoàn thiện Chủ biên tác giả Chương PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1.1 Hàm số 1.1.1 Định nghĩa ánh xạ hàm số 1.1.1.1 Ánh xạ a Định nghĩa Ánh xạ từ tập E khác rỗng tới tập F qui luật f liên hệ E F cho tác động vào phần tử x E tạo phần tử y F Ký hiệu f : E  F x y  f ( x) E gọi tập nguồn, F gọi tập đích, y gọi ảnh x; x gọi nghịch ảnh y qua ánh xạ f f x y F E Hình 1-1 Như để có ánh xạ phải có tập nguồn E, tập đích F, quy luật xác định f , quy tắc thỏa mãn điều kiện: ứng với x E tồn y F cho y  f ( x) Ví dụ E tập hợp thương hiệu xe tiếng, E={‘Lexus’, ‘Ford’, ‘Mercedes’}, F tập hợp tên số nước, F={‘Đức’ ,‘Nhật Bản’, ‘Hoa Kì’, ,’Anh’}, f quy luật cho tương ứng thương hiệu xe với tên nước nơi sản xuất xe Rõ ràng quy luật thỏa mãn tính tồn tại, (mỗi hãng xe thuộc tập E có tên nước xuất xứ tương ứng tập F) Khi ta có ánh xạ f từ E đến F, ta viết f(‘Lexus’) =‘Nhật Bản’, f(‘Ford’) =‘Hoa Kì’, f(‘Mercedes’) =‘Đức’ Tập hợp f(E)={ y  F |  x  E, y = f(x)} gọi ảnh E qua ánh xạ f Ánh xạ f : E  F gọi đơn ánh f(x1) = f(x2)  x1= x2 , tức không tồn phần tử F có nghịch ảnh x1 y x2 Hình 1-2 Đơn ánh Ánh xạ f : E  F gọi toàn ánh yF, xE: y = f(x); tức phần tử F có nghịch ảnh Hình 1-3a Ánh xạ tồn ánh Hình 1-3b Ánh xạ khơng tồn ánh Ánh xạ f : E  F gọi song ánh f toàn ánh đơn ánh Tức phần tử F có nghịch ảnh nghịch ảnh Hình 1-4 Song ánh Ánh xạ f ví dụ thực tế vừa nêu đơn ánh khơng tồn ánh, không song ánh b Ánh xạ ngược Cho ánh xạ f :E F song ánh Khi phần tử y = f(x) với y thuộc x y  f ( x) F ảnh phần tử x E Như vậy, đặt tương ứng phần tử y F với phần tử x E Phép tương ứng xác định ánh xạ từ F sang E, ánh xạ gọi ánh xạ ngược ánh xạ f g:F E y x  g ( y) Ta gọi ánh xạ với đặc điểm x  g ( y )  y  f ( x) , ánh xạ ngược ánh xạ f Tuy nhiên, ta thường kí hiệu phần tử ảnh y, nghịch ảnh x, hàm số viết g:F  E x y  g ( x) Ánh xạ ngược g ánh xạ f thường kí hiệu g=f-1 Trở lại ví dụ thực tế trên, E tập hợp thương hiệu xe tiếng, E={‘Lexus’, ‘Ford’, ‘Mercedes’}, F tập hợp tên số nước, F={‘Đức’ ,‘Nhật Bản’, ‘Hoa Kì’}, f quy luật cho tương ứng thương hiệu xe với tên nước nơi sản xuất xe Khi ta có song ánh f từ E đến F Ta viết f-1(‘Nhật Bản’) =‘ Lexus’, f-1(‘Hoa Kì’) =‘ Ford’, f-1(‘Đức’) =‘ Mercedes’ Khi tập nguồn tập đích tập số, ta có khái niệm hàm số Hàm số trường hợp đặc biệt ánh xạ 1.1.1.2 Hàm số a Định nghĩa Cho E  R; F  R; E   ; F   ; Một ánh xạ f từ E vào F, f :E→F gọi hàm số (thực) biến số (thực) Ký hiệu : f : E→F xf(x) X gọi tập xác định f, ký hiệu Df f(X)=  f(x), x  X  gọi tập giá trị f ; ký hiệu Rf x gọi đối số biến số độc lập, f(x) gọi hàm số biến số phụ thuộc Đôi người ta ký hiệu hàm số ngắn gọn x f(x) y = f(x) Trong chương trình mơn Tốn bậc Trung học phổ thông Việt Nam : Nếu E, F tập tập số thực hàm số gọi hàm số thực, E, F tập tập số phức hàm số gọi hàm số biến số phức, X tập tập số tự nhiên hàm số gọi hàm số số học(Ví dụ: Hàm Euler   n  (phi hàm Euler) biểu diễn số số tự nhiên không vượt n nguyên tố với n, hàm Sigma σ(n) biểu diễn tổng tất ước số tự nhiên n Trong chương trình, ta nghiên cứu sâu khái niệm hàm số thực Ví dụ 1) y=x hàm đồng thường ký hiệu id(x) 2) y=c; c lµ số; gọi hm hng số 3) y=E(x) (hoặc y=[x]), với E(x) số nguyên lớn không v-ợt x, gọi hm phn nguyờn, vy [2,13]=2, [-2,13]=-3 4) y = 2x2+x+1 lµ hµm sè bËc 1  5) y = sgn(x) víi sgn(x) = 0 1  x0 x0 x0 gäi lµ hµm sè dấu x (đọc xicnum) nu x l số vô tỉ 1 x số hữu tỉ 6) y = D(x) víi D(x) =  gäi lµ hµm sè Dirichlet Có bốn cách biểu thị hàm số : công thức, bảng, đồ thị lời Nếu hàm số biểu thị nhiều cách ta hiểu rõ Ta thường gặp hàm số biểu thị cơng thức y=f(x) từ xác định đồ thị nó, đồ thị hàm số định nghĩa sau: b Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y=f(x) tập hợp điểm mặt phẳng có toạ độ (x; f(x)) , với x  Df 1.1.2 Một số lớp hàm số đặc biệt hàm số sơ cấp 1.1.2.1 Một số lớp hàm số có tính chất đặc biệt a Hàm số chẵn, lẻ Hàm y = f(x) xác định Df hàm chẵn nếu: ) x  D f   x  D f  ) f ( x)  f ( x), x  D f Hàm y = f(x) xác định Df hàm lẻ ) x  D f   x  D f  ) f ( x)   f ( x), x  D f Hàm chẵn Hàm lẻ Hình 1-5 b Hàm tuần hoàn Cho hàm số y = f(x) xác định X gọi hàm tuần hoàn X tồn t >0 cho với x  X x + t  X f (x + t) = f(x) Nếu có số dương T nhỏ số t xác định T gọi chu kỳ hàm số tuần hồn f(x) Ví dụ hàm y=sinx, y=cosx tuần hồn với chu kì T= 2π Hàm y = sin3x tuần hồn với chu kỳ T= 2π/3 Hàm Dirichlet D(x) hàm tuần hồn khơng có chu kỳ Hình 1-6 Đồ thị hàm tuần hoàn y = sin3x [ ;  ] c Hàm số đơn điệu Hàm y=f(x) gọi hàm tăng X với x1 , x2  X , x1  x2 f(x1)  f(x2) Hàm y=f(x) gọi tăng ngặt X với x1 , x2  X , x1< x2 f(x1) < f(x2) Hàm y=f(x) gọi hàm giảm X với x1 , x2  X , x1  x2 f(x1)  f(x2) Hàm y=f(x) gọi giảm ngặt X với x1 , x2  X , x1 f(x2) Hàm tăng giảm gọi hàm đơn điệu; Hàm tăng ngặt giảm ngặt gọi hàm đơn điệu ngặt d Hàm số bị chặn Hµm sè f(x) gäi bị chặn X tồn số B cho víi mäi x  X, f(x)  B Hàm số f(x) gọi bị chặn d-ới X nÕu tån t¹i sè A cho víi mäi x  X, f(x)  A Hµm sè f(x) gäi bị chặn X tồn số A, B cho víi mäi x  X, A  f(x)  B e Hàm sè hợp Cho ¸nh x¹ f : X  Y ; g: Y  R Ta gọi ánh xạ h : X  R x hợp hàm f g, ký hiệu h = g f y  g ( f ( x)) hàm Ví dụ, hàm số h(x) = sin (x2+1) hàm số hợp g(f(x)), g(t) = sin(t), f(x) = (x2 +1) Việc nhận biết hàm số hàm hợp hàm khác, nhiều trường hợp khiến tính tốn giải tích (đạo hàm, vi phân, tích phân) trở nên đơn giản f Hàm ngược Cho song ¸nh f : X  Y ; X, Y  R Ánh xạ ngược f-1 : Y  X y x  f 1 ( y) gọi hàm ngược f, ký hiệu y = f-1 (x) Nếu f−1(x) tồn ta nói hàm số f(x) khả nghịch Có thể nói tính chất song ánh điều kiện cần đủ để hàm f(x) khả nghịch, tức f(x) song ánh ta ln tìm hàm ngược f−1(x) Ví dụ Cho hàm f : R \ 2  R \ 0 x Ta có y  y 2 x 1 x  Hàm ngược hàm số hàm 2 x y f-1 : R\{0}  R \ 2 y x 1 2 y Tuy nhiên, ta thường kí hiệu biến số x, hàm số y, viết hàm ngược là: f-1 : R\{0}  R \ 2 x y x Đồ thị hai hàm số y = f(x) y = f-1(x) mặt phẳng Oxy đối xứng qua đ-ờng phân giác góc phần t- thứ I th III Hỡnh 1-7 Đồ thị hàm y  1 y   hệ tọa độ 2 x x