Giáo trình kinh tế lượng phần 1 trường đh công nghiệp quảng ninh

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH GIÁO TRÌNH KINH TẾ LƯỢNG DÙNG CHO BẬC ĐẠI HỌC (LƯU HÀNH NỘI BỘ) QUẢNG NINH - 2020 KINH TẾ LƯỢNG Tên học phần: Kinh Tế Lượng (Econometrics) Mơ tả vắn tắt nội dung học phần: Mục đích Kinh Tế Lượng giúp học viên nắm rõ vận dụng mơ hình hồi qui để ước lượng, dự đốn giá trị trung bình tổng thể biến phụ thuộc theo giá trị biến giải thích nhằm xác định mức độ quan hệ biến, từ thấy chất tượng tìm biện pháp khắc phục Mơn học cịn nhằm trang bị cho học viên cách thức vận dụng cơng cụ phân tích định lượng vào việc xử lý phân tích vấn đề kinh tế cụ thể Nhiệm vụ học viên: Dự giảng lớp đọc giáo trình, làm tập theo nhóm xử lý liệu phần mềm mơn học trang bị, tham dự thảo luận hướng dẫn giảng viên Tham dự kiểm tra hết môn học theo lịch nhà trường qui định Tài liệu tham khảo thêm: − Basic Econometrics, tác giả Damodar N Gujarati, 1995 − Introductory Econometrics, tác giả Craig A Depken, 2006 − Econometric Analysis, tác giả William H Greene, 2000 Tiêu chuẩn đánh giá: − Dự đủ lớp theo u cầu mơn học − Hồn thành đạt yêu cầu tập môn học trước thi hết môn − Thi hết môn Mục tiêu học phần: Nắm vững mơ hình kinh tế lượng để lượng hố quan hệ kinh tế vĩ mô vi mô trang bị trước Liên kết mơ hình kinh tế lượng với lý thuyết kinh tế vĩ mô vi mô liệu thực tế Đề xuất sách dự báo dựa việc phân tích, kiểm định mối quan hệ kinh tế vi mô vĩ mơ qua kết mơ hình ứng dụng số liệu thực tế Nội dung học phần: − Chương I: Cơ Kinh tế lượng phân tích hồi qui − Chương II: Mơ hình hồi qui hai biến, ước lượng kiểm định − Chương III: Mơ hình hồi qui đa biến − Chương IV: Đa cộng tuyến − Chương V: Hồi qui với biến giả − Chương VI: Phương sai sai số thay đổi − Chương VII: Tương quan chuỗi CHƯƠNG I CƠ BẢN VỀ KINH TẾ LƯỢNG VÀ PHÂN TÍCH HỒI QUI 1.1 Vài nét kinh tế lượng: 1.1.1 Giới thiệu kinh tế lượng Thuật ngữ tiếng Anh Econometrics, ghép từ từ “Econo” có nghĩa kinh tế “Metrics” có nghĩa đo lường- Vậy “đo lường kinh tế” Theo nghĩa đơn giản, kinh tế lượng, liên quan đến việc áp dụng phương pháp thống kê kinh tế Khơng thống kê kinh tế, liệu thống kê yếu, kinh tế lượng phân biệt hợp lý thuyết kinh tế, cơng cụ tốn học phương pháp luận thống kê Mở rộng hơn, kinh tế lượng quan tâm đến (1) ước lượng mối quan hệ kinh tế, (2) đối chiếu lý thuyết kinh tế với thực tế kiểm định giả thuyết liên quan đến hành vi kinh tế, (3) dự báo hành vi biến số kinh tế Người ta có để định nghĩa sau: + Kinh tế lượng bao gồm việc áp dụng thống kê toán cho số liệu kinh tế để củng cố mặt thực nghiệm cho mơ hình nhà kinh tế tốn đề xuất để tìm lời giải số + Kinh tế lượng định nghĩa phân tích lượng vấn đề kinh tế thời, dựa việc vận dụng đồng thời lý thuyết thực tế thực phương pháp suy đốn thích hợp Ví dụ ứng dụng kinh tế lượng trong: Ước lượng mối quan hệ kinh tế Kinh tế học thực nghiệm cung cấp nhiều ví dụ nhằm ước lượng mối quan hệ kinh tế như: Ước lượng cầu/cung sản phẩm, dịch vụ Ước lượng ảnh hưởng chi phí bán hàng/quảng cáo đến doanh thu lợi nhuận Giá cổ phiếu với đặc trưng cơng ty phát hành cổ phiếu đó, với tình hình chung kinh tế Đánh giá tác động sách tiền tệ tài đến biến việc làm thất nghiệp, thu nhập, xuất nhập khẩu, lãi suất, tỷ lệ lạm phát, thâm hụt ngân sách Kiểm định giả thuyết Cũng ngành khoa học nào, ưu điểm kinh tế lượng quan tâm đến việc kiểm định giả thuyết hành vi kinh tế Ví dụ như: Một doanh nghiệp muốn xác định xem chiến dịch quảng cáo có tác động làm tăng doanh thu hay khơng Các nhà phân tích quan tâm xem nhu cầu co giãn hay không co giãn theo giá thu nhập Công ty muốn biết lợi nhuận có tăng hay giảm theo qui mơ hoạt động không Các nhà kinh tế học vĩ mơ muốn đánh giá hiệu sách nhà nước Dự báo Khi biến số xác định đánh giá tác động cụ thể chúng đến chủ thể nghiên cứu, muốn sử dụng mối quan hệ ước lượng để dự đoán giá trị tương lai Ví dụ: Các cơng ty dự báo doanh thu, lợi nhuận, chi phí sản xuất, lượng tồn kho cần thiết Dự đốn có nhu cầu lượng nhằm phục vụ việc hoạch định sách có liên quan Dự báo số thị trường chứng khoán giá số cổ phiếu Dự đoán thu nhập, chi tiêu, lạm phát, thất nghiệp, thâm hụt ngân sách thương mại Các thành phố dự báo định kỳ mức tăng trưởng địa phương qua mặt như: dân số; việc làm; số nhà ở, nhu cầu trường học, dịch vụ cơng cộng; …v.v 1.1.2 Mục đích kinh tế lượng Mục đích kinh tế lượng giải thích biến thiên biến mối quan hệ biến, ví dụ: Có biến (chỉ tiêu) thay đổi (do lệch khỏi trung bình) mà cần phải giải thích, ví dụ nghiên cứu lượng bán loại sản phẩm (Q) biến động, tác động đến tiêu tác động lẫn 1.1.3 Phương pháp luận kinh tế lượng Nêu giả thuyết hay giả thiết mối quan hệ biến kinh tế: chẳng hạn kinh tế vĩ mô khẳng định mức tiêu dùng hộ gia đình phụ thuộc theo quan hệ chiều với thu nhập khả dụng họ Thiết lập mơ hình tốn học để mơ tả mối quan hệ biến số Các phương trình mô tả mối quan hệ biến số kinh tế với Một phương trình bao gồm biến phụ thuộc nhiều biến giải thích Sự tác động biến giải thích lên biến phụ thuộc đo lường hệ số hình thức hàm phương trình Một phương trình tiêu biểu sau: Y(t) = f{x1(t), x2 (t), xn(t), u(t)} Y(t) biến phụ thuộc thởi điểm t, biểu trưng cho tiêu cần nghiên cứu hay dự báo (ví dụ GDP, việc làm, lạm phát,…) x1(t), x2 (t), xn(t) biến giải thích thời điểm t, biểu trưng cho nhân tố tác động lên biến phụ thuộc Sự thay đổi hay nhiều biến dẫn tới thay đổi biến phụ thuộc u(t) sai số ngẫu nhiên, biểu trưng cho nhân tố không xác định tác động lên biến phụ thuộc thời điểm t Số hạng sai số u(t), ký hiệu ui (hay cịn gọi số hạng nhiễu ngẫu nhiên) thành phần ngẫu nhiên không quan sát sai biệt Yi phần xác định β1 + β2Xi Sau tổ hợp bốn nguyên nhân ảnh hưởng khác nhau: Biến bỏ sót Giả sử mơ hình thực Yi = β1 + β2Xi + β3Zi+vi đó, Zi biến giải thích khác vi số hạng sai số thực sự, ta sử dụng mơ hình Yi = β1 + β2Xi + ui ui = β3Zi+vi Vì thế, ui bao hàm ảnh hưởng biến Z bị bỏ sót Phi tuyến tính ui bao gồm ảnh hưởng phi tuyến tính mối quan hệ Y X Vì thế, mơ hình thực Yi = β1 + β2Xi + β3X2i+vi, lại giả định phương trình Yi = β1 + β2Xi + ui , ảnh hưởng X2i bao hàm ui Sai số đo lường Sai số việc đo lường X Y thể thông qua u Những ảnh hưởng khơng thể dự báo Dù mơ hình kinh tế lượng tốt chịu ảnh hưởng ngẫu nhiên dự báo Những ảnh hưởng thể qua số hạng sai số ui Việc xây dựng hệ thống phương trình, với biến giải thích lựa chọn thường dựa tảng lý thuyết kinh tế Ví dụ hàm tiêu dùng phải dựa lý thuyết tiêu dùng, hàm đầu tư phải dựa lý thuyết đầu tư,… Điều dẫn đến hệ nhà mơ hình khác xây dựng phương trình với biến giải thích khác nhau, tùy thuộc vào việc áp dụng lý thuyết kinh tế Điều lý giải đa dạng mơ hình kinh tế lượng Ví dụ, Giả sử điều tra tất hộ thành phố tính thu nhập hàng tháng họ (X) tổng chi tiêu vào hàng hóa dịch vụ (Y) Vì hộ gia đình có thu nhập có mức chi tiêu khác (có lẽ khác biệt đặc điểm khác số thành viên gia đình), quan sát cụ thể (Y, X) khơng hồn tồn xác nằm đường thẳng Do vậy, mơ hình hồi qui tuyến tính tương ứng với ví dụ có dạng Y = β1 + β2X + u Trong thực tế, không điều tra tất hộ gia đình mà chọn mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể sử dụng quan sát để ước lượng tham số β1 β2 thực kiểm định kiểm tra tính phù hợp giả định mối liên hệ trung bình chi tiêu thu nhập tuyến tính Sau xây dựng xong hệ thống phương trình, phải tập hợp đủ số liệu cho biến tiến hành ước lượng hệ số phương trình Kỹ thuật hồi quy (regression) áp dụng để ước lượng hệ số phương trình Sau ước lượng xong tồn phương trình mơ hình, tiến hành mô (simulation) tác động thay đổi sách tương lai lên biến kinh tế mà quan tâm (ví dụ tăng trưởng, việc làm, lạm phát,…) Trên sở đó, đánh giá tác động chúng hoặc/và đề xuất kịch dự báo Các bước thực Lý thuyết kinh tế tài Nêu giả thuyết Thu thập số liệu Thiết lập mơ hình Ước lượng tham số- phù hợp mơ hình? No Yes Tìm mơ hình khác Dự báo Ra định 1.2 Phân tích hồi qui 1.2.1 Các ví dụ lĩnh vực kinh tế mối quan hệ nhân Trong phân tích hồi qui, cần ước lượng quan hệ toán học biến Những mối quan hệ gọi mối quan hệ hàm số Chúng cố gắng mô tả biến giải thích tác động lên biến phụ thuộc – Biến giải thích biến xảy – Biến phụ thuộc biến kết Ví dụ: Khi cố gắng giải thích chi tiêu dùng người, sử dụng biến giải thích thu nhập độ tuổi Khi giải thích giá tơ, biến giải thích kích cỡ, động máy, độ tin cậy hãng sản xuất độ an tồn tơ Để giải thích giá ngơi nhà biến giải thích kích cỡ, số phịng, tỷ lệ tội phạm khu dân cư độ tuổi ngơi nhà Để dự đốn khả học sinh cuối cấp trung học phổ thông vào đại học, xem xét đến điểm kiểm tra, trình độ giáo dục cha mẹ thu nhập gia đình Vậy phân tích hồi qui nghiên cứu mối liên hệ phụ thuộc biến (gọi biến phụ thuộc hay biến giải thích) với hay nhiều biến khác (được gọi biến độc lập hay giải thích) 1.2.2 Mục đích phân tích hồi qui: Tưởng tượng có thơng tin thu nhập chi tiêu tiêu dùng, tin tưởng chi tiêu tiêu dùng phụ thuộc vào thu nhập biểu diễn biến lên đồ thị Biểu diễn biến phụ thuộc lên trục tung, biến giải thích (biến độc lập) lên trục hồnh Mục đích phân tích hồi quy qua điểm liệu, kẻ đường phù hợp nhất, sát với quan sát để cho biểu diễn mối quan hệ hai biến thu nhập chi tiêu tiêu dùng cách đáng tin cậy 1.2.3 Giới thiệu mơ hình hồi qui tuyến tính đơn giản: Để mơ hình hóa quan hệ tuyến tính diễn tả thay đổi biến Y theo biến X cho trước người ta sử dụng mơ hình hồi qui tuyến tính đơn giản Mơ hình hồi qui tuyến tính đơn giản có dạng sau: Yi = β1 + β2 Xi + ui + Yi : Giá trị biến phụ thuộc Y lần quan sát thứ i + Xi : Giá trị biến độc lập X lần quan sát thứ i + ui : Giá trị dao động ngẫu nhiên (nhiễu ngẫu nhiên) hay sai số lần quan sát thứ i + β1 : thông số diễn tả tung độ gốc (hệ số chặn) đường hồi qui tổng thể, hay β1 giá trị trung bình biến phụ thuộc Y biến độc lập X thay đổi đơn vị + β2 : thông số diễn tả độ dốc (hệ số góc) đường hồi qui tổng thể, hay β2 diễn tả thay đổi giá trị trung bình biến phụ thuộc Y biến độc lập X thay đổi đơn vị Chúng ta ước lượng tham số (β1, β2) phương trình hồi qui tổng thể cách sử dụng số liệu mẫu ngẫu nhiên thu thập Dựa vào số liệu mẫu ta có phương trình hồi qui tuyến tính mẫu yˆi = βˆ1 + βˆ2 X 2i Trong đó: yˆ ước lượng giá trị trung bình Y biến X biết βˆ1 ước lượng β1 βˆ2 ước lượng β2 1.3 Hồi qui tương quan Khi định mơ hình dạng Yi = β1 + β2Xi + ui , ngầm giả định X gây thay đổi Y Việc X Y tương quan chặt với khơng có nghĩa thay đổi X dẫn đến thay đổi Y hay ngược lại Ví dụ, hệ số tương quan số lượng kănguru Úc tổng dân số nước cao Phải điều có nghĩa thay đổi biến làm cho biến thay đổi? Rõ ràng khơng, có trường hợp tương quan giả tạo Nếu hồi quy biến với biến cịn lại, có hồi qui giả tạo Lấy ví dụ khác thực tế hơn, giả sử hồi quy số lượng vụ trộm thành phố với số hạng số số nhân viên cảnh sát (X) sau quan sát thấy hệ số góc ước lượng có giá trị dương, có nghĩa có tương quan thuận X Y Phải điều có nghĩa việc tăng số lượng cảnh sát làm tăng số vụ trộm, ngầm kéo theo phải có sách giảm lực lượng cảnh sát? Rõ ràng kết luận khơng thể chấp nhận Điều xảy mối quan hệ nhân ngược lại, có nghĩa thành phố nên thuê thêm cảnh sát số vụ trộm tăng lên, việc hồi quy X theo Y hợp lý Từ ví dụ ta thấy Hồi qui tương quan khác mục đích kỹ thuật Phân tích tương quan xem xét mức độ kết hợp tuyến tính hai biến, phân tích hồi qui lại ước lượng dự báo biến sở giá trị cho biến khác Về mặt kỹ thuật, phân tích hồi qui biến khơng có tính chất đối xứng, biến phụ thuộc biến ngẫu nhiên, biến giải thích giá trị chúng xác định Trong phân tích tương quan, khơng có phân biệt biến, chúng có tính chất đối xứng 1.4 Các dạng hàm kinh tế lượng Giả sử ta có mơ hình kinh tế tiên đoán mối quan hệ biến phụ thuộc Y biến độc lập X Trong nhiều trường hợp, mơ hình khơng cho biết dạng hàm mà mối quan hệ có liệu, mơ hình thường cho thấy số ý niệm dạng có mối quan hệ Giải pháp thông thường định xem dạng hàm có khả mơ tả tốt liệu nhất, điều phụ thuộc vào suy luận kinh tế phụ thuộc vào việc khảo sát liệu Sau đó, thử xây dựng số dạng hàm khác xem chúng có cho kết tương tự hay không, khơng, phải xem dạng hàm cho kết hợp lý Phần liệt kê số dạng hàm sử dụng phổ biến nhất, cho biết chúng biểu nào, mô tả tính chất chúng, cho số ý tưởng cách chọn lựa dạng hàm 1.4.1 Dạng Hàm Tuyến tính Dạng hàm có phương trình: Y = β + β1 X + ε Dạng hàm tuyến tính mô tả dạng sau: Ưu điểm dạng hàm tuyến tính tính đơn giản Mỗi lần X tăng thêm đơn vị Y tăng thêm β đơn vị, điều giá trị X Y Nhược điểm dạng hàm tuyến tính tính đơn giản nó, lúc tác động X phụ thuộc vào giá trị X Y, dạng hàm tuyến tính khơng thể dạng hàm phù hợp Thí dụ, ta có đường biểu diễn chi phí có dạng C = β + β1Q + ε , dạng hàm tuyến tính ám Q tăng thêm đơn vị chi phí C tăng thêm β đơn vị Điều trường hợp chi phí biên khơng đổi; khơng thể trường hợp chi phí biên tăng dần (hay giảm dần) Nếu nghĩ chi phí biên tăng dần, không muốn sử dụng dạng hàm tuyến tính 1.4.2 Dạng Hàm Bậc hai Dạng hàm cho phép giải thích tác động X lên Y phụ thuộc vào giá trị hành X Nó có phương trình: Y = β + β1 X + β X + ε Dạng hàm bậc hai mơ tả dạng sau: CHƯƠNG III MƠ HÌNH HỒI QUI ĐA BIẾN Trong Chương II giới hạn trường hợp đơn giản mơ hình mơ hình hồi qui hai biến hay hồi qui đơn Trong lý thuyết thực tế, có nhiều trường hợp mà biến kinh tế cho khơng thể giải thích mơ hình hồi qui đơn vậy, ví dụ Lượng cầu phụ thuộc vào giá, thu nhập, giá hàng hoá khác; Giá nhà phụ thuộc vào diện tích nhà, số phòng ngủ số phòng tắm; Chi tiêu hộ gia đình thực phẩm phụ thuộc vào qui mơ hộ gia đình, thu nhập, vị trí địa lý; Tỷ lệ tử vong trẻ em quốc gia phụ thuộc vào thu nhập bình quân đầu người, trình độ giáo dục hay Lương người phụ thuộc vào trình độ giáo dục, kinh nghiệm, giới tính, độ tuổi … Bây giờ, xem xét hồi qui đa biến (hồi qui bội), nghĩa liên hệ biến phụ thuộc Y cho trước với nhiều biến độc lập X2, X3, , Xk 3.1 Giới thiệu mơ hình hồi qui đa biến Mơ hình hồi qui tuyến tính đa biến có dạng tổng quát sau: y = β1 + β2x2 + β3x3 + βkxk + u PRF (3.1) Trong đó: β1: hệ số tự (hệ số chặn) βj: hệ số hồi qui riêng u: sai số ngẫu nhiên 3.2 Các giả thiết mơ hình hồi qui đa biến Các giả thiết OLS cho mơ hình hồi qui tuyến tính đơn giải thích mơ hình hồi qui đa biến: Hàm hồi qui tuyến tính theo tham số E(ui) = Kỳ vọng yếu tố ngẫu nhiên ui Var (ui) = σ Phương sai với ui Cov (ui,uj)=0 Khơng có tương quan ui Cov (ui,xi)=0 U X không tương quan với ui Phân phối chuẩn 37 Giả thiết bổ sung cho mơ hình hồi qui đa biến: Giữa x2, x3, xk khơng có quan hệ tuyến tính Nếu x2, x3, xk có quan hệ tuyến tính người ta nói có tượng đa cộng tuyến Hay không tồn λi ≡ 0: λ1x1i + λ2x2i + λ3x3i + + λkxki +νi = Về mặt hình thức, có tượng đa cộng tuyến biến giải thích mơ hình có tất biến khơng thể tách ảnh hưởng biến lên biến phụ thuộc y Giả sử: x2i = 3x3i, Khi đó: yi = β1 + β2x2i + β3x3i + ui ’ ’ = β1 + (3β2+ β3)x3i + ui ; đặt: β3 =3β2+ β3 => yi = β1 + β3 x3i + ui => Không thể tách ảnh hưởng β2 β3 3.3 Ước lượng tham số mơ hình hồi qui đa biến Ta có hàm hồi qui mẫu tổng quát viết dạng sau: yˆi = βˆ1 + βˆ2 x 2i + βˆ3x 3i + + βˆk x ki Các phần dư định nghĩa giống mơ hình hồi qui đơn: e i = y i − yˆ i Để ước lượng tham số mơ hình, sử dụng phương pháp bình phương ˆ ˆ ˆ ˆ nhỏ nhất-OLS (như giới thiệu Chương II) từ tìm β1, β , β , , β k Ta có: ∑ ei2 = ∑ ( yi − ( βˆ1 + βˆ2 x 2i + βˆ3x 3i + + βˆk x ki ))2 Chúng ta có thiết lập điều kiện bậc cho phép tính tối thiểu sau : 38 ∂ ∑ ei2 = −2∑ ( yi − ( βˆ1 + βˆ2 x 2i + βˆ3x 3i + + βˆk x ki )) = ˆ ∂β ∂ ∑ ei2 = −2∑ ( yi − ( βˆ1 + βˆ2 x 2i + βˆ3x 3i + + βˆk x ki )) x 2i = ˆ ∂β ∂ ∑ ei2 = −2∑ ( yi − ( βˆ1 + βˆ2 x 2i + βˆ3x 3i + + βˆk x ki )) x ki = ˆ ∂β k Hệ phương trình mà có gọi hệ phương trình chuẩn Chúng ta giải K phương trình chuẩn để tìm K hệ số beta chưa biết 3.4 Trường hợp hàm hồi qui có biến giải thích ˆ ˆ ˆ Các tham số β1 , β , β tính từ hệ phương trình chuẩn sau đây: βˆ1 + βˆ2 x + βˆ3x = y βˆ1 ∑ x 2i + βˆ2 ∑ x 22i + βˆ3 ∑ x 2i x 3i = ∑ yi x 2i βˆ1 ∑ x 3i + βˆ2 ∑ x 2i x 3i + βˆ3 ∑ x 32i = ∑ yi x 3i Trong đó: x = ∑ x 2i / n; x = ∑ x 3i / n; y = ∑ yi / n Giải hệ phương trình ta tìm được: βˆ1 = y − βˆ2 x − βˆ3x ( ( y − y)( x 2i − x ))(∑ ( x 3i − x ) ) − ( ∑ ( y i − y)( x 3i − x ))(∑ ( x 2i − x )( x 3i − x )) βˆ2 = ∑ i (∑ ( x 2i − x ) )(∑ ( x 3i − x ) ) − (∑ ( x 2i − x )( x 3i − x )) ( ( y − y)( x 3i − x ))(∑ ( x 2i − x ) ) − (∑ ( yi − y)( x 2i − x ))(∑ ( x 2i − x )( x 3i − x )) βˆ3 = ∑ i (∑ ( x 2i − x ) )(∑ ( x 3i − x ) ) − (∑ ( x 2i − x )( x 3i − x )) βˆ1 , βˆ2 , βˆ3 gọi ước lượng bình phương nhỏ Phương sai độ lệch chuẩn tính công thức sau: 39 Var ( βˆ2 ) = Var ( βˆ3 ) = σ2 2 ) ∑ ( x 2i − x ) (1 − r23 σ ) ∑ ( x 3i − x ) (1 − r23 Cov( βˆ2 , βˆ3 ) = ; Se( βˆ2 ) = Var ( βˆ2 ) ; Se( βˆ2 ) = Var ( βˆ2 ) 2 − r23 σ (1 − r23 ) ∑ ( x 2i − x ) ∑ ( x 3i − x ) (∑ ( x 2i − x )( x 3i − x )) 2 r23 = ∑ ( x 2i − x ) ∑ ( x 3i − x ) 2 Trong công thức σ phương sai ui, chưa biết Ước lượng không chệch bằng: )2 σ = ∑ ei2 n −3 số tham số mơ hình, trường hợp mơ hình có k tham số β1,β2, β3, βk : )2 σ = ∑ ei2 n−k Hệ số xác định bội R2 hệ số xác định bội hiệu chỉnh R 3.5 Khi đánh giá mức độ thích hợp, tổng bình phương tồn phần, tổng bình phương hồi qui, tổng bình phương sai số có dạng trình bày trước, có TSS = RSS + ESS Trong mơ hình hồi qui hai biến R2 đo độ thích hợp hàm hồi qui Nó tỷ lệ toàn biến đổi biến phụ thuộc y biến giải thích x gây Trong mơ hình hồi qui đa biến tỷ lệ tồn khác biệt biến y tất biến x2 x3 gây gọi hệ số xác định bội, ký hiệu R2: R = βˆ2 ∑ ( yi − y)( x 2i − x ) + βˆ3 ∑ ( yi − y)( x 3i − x ) ∑ ( y i − y) = 1− ∑ ei2 ∑ ( yi − y) 0≤ R2 ≤1 Nếu R2 =1, có nghĩa đường hồi qui giải thích 100% thay đổi y Nếu R2 =0, có nghĩa mơ hình khơng giải thích thay đổi y 40 Tuy nhiên, định nghĩa R2 theo cách phát sinh vấn đề Có thể thấy việc thêm vào biến (dù biến có ý nghĩa hay khơng) R2 khơng giảm Chúng ta dễ thấy điều lý luận theo trực giác Khi biến thêm vào RSS cực tiểu, cực tiểu theo tập nhiều biến số RSS nhỏ (ít khơng lớn hơn) Cụ thể hơn, giả sử số hạng βk+1Xk+1,i thêm vào phương trình (3.1) ta có mơ hình Nếu giá trị cực tiểu tổng bình phương mơ hình lớn giá trị mơ hình cũ, ta đặt βk+1 khơng sử dụng ước lượng cũ cho giá trị β khác tốt hơn, ước lượng khơng thể có RSS cực tiểu Điều kéo theo biến thêm vào, giá trị R2 tương ứng khơng thể giảm mà cịn tăng thêm Do vậy, người ta thường cố gắng thêm biến vào để tăng R2 không kể đến mức độ quan trọng biến vấn đề giải Để ngăn chặn tình trạng “có đưa thêm biến vào mơ hình” nêu trên, phép đo khác mức độ thích hợp sử dụng thường xuyên Phép đo gọi R2 hiệu chỉnh R2 hiệu chỉnh theo bậc tự (kết in thực hồi qui phần mềm chuyên dụng) Để phát triển phép đo này, trước hết phải nhớ R2 đo lường tỷ số phương sai Y “được giải thích” mơ hình; cách tương đương, trừ tỷ số “khơng giải thích” phương sai sai số Var(u) Ta biểu diễn cơng thức tính R sau: R = 1− Var (u ) Var (Y ) Chúng ta biết ước lượng không chệch Var (u) tính RSS/(n – k), ước lượng khơng chệch Var (Y) tính TSS/(n – 1) Thay vào phương trình ta có: R = 1− RSS /( n − k ) RSS (n − 1) = 1− TSS /( n − 1) TSS (n − k ) (n − 1) σˆ (n − 1) (1 − R ) = − = 1− (n − k ) TSS Việc thêm vào biến dẫn đến tăng R2 làm giảm bậc tự do, ước lượng thêm tham số R2 hiệu chỉnh phép đo độ thích hợp tốt cho phép đánh đổi việc tăng R2 giảm bậc tự Cũng cần lưu ý (n −1) / (n − k) khơng nhỏ R2 hiệu chỉnh không lớn R2 Tuy nhiên, R2 khơng thể âm, R2 hiệu chỉnh nhỏ khơng Ví dụ, n = 26, k = 6, R2 = 0,1, có R2 hiệu chỉnh = − 0,125 Từ thấy khơng thể dùng R2 làm tiêu chuẩn để xem xét việc không đưa thêm hay đưa thêm biến giải thích vào mơ hình Do R thường sử dụng để cân nhắc xem xét việc đưa thêm biến giải thích vào mơ hình Chúng ta đưa thêm biến vào mơ hình R tăng 41 3.6 Khoảng tin cậy kiểm định hệ số hồi qui 3.6.1 Ước lượng khoảng tin cậy βj Hồi qui tuyến tính bội có tính chất gần giống hồi qui tuyến tính đơn bậc tự thay đổi Các hệ số ước lượng tuân theo phân phối chuẩn βˆ j ~ N ( β j , Se( βˆ j )) βˆ j − β j Se( βˆ j ) ~ T (n − k ) Như trường hợp hồi qui đơn, ước lượng phương sai sai số dựa vào phần dư bình phương tối thiểu Trong k số hệ số có phương trình hồi qui đa biến ) σ2 = ∑ ei2 n−k + Ước lượng phía, ta tìm tα/2 (n-3) thoả mãn P(− tα / (n − 3) ≤ βˆ j − β j Se( βˆ j ) ≤ tα / (n − 3)) = − α Khoảng tin cậy 1-α βj là: [βˆ j − tα / (n − 3)Se(βˆ j); βˆ j + tα / (n − 3)Se(βˆ j) ] 3.6.2 Kiểm định giả thiết βj Kiểm định ý nghĩa thống kê hệ số hồi qui có ý nghĩa hay khơng: kiểm định biến giải thích có thực ảnh hưởng đến biến phụ thuộc hay khơng Nói cách khác hệ số hồi qui có ý nghĩa thống kê hay không Cách làm tương tự hồi qui đơn, thay đổi độ tự Ví dụ kiểm định hai phía, Giả thiết: H0 : β j = β0 H1 : β j ≠ β Luật định: t c > t * (α / 2,n − k ) bác bỏ giả thiết khơng Chúng ta sừ dụng giá trị p-value EViews Nếu p.value tính nhỏ mức ý nghĩa bác bỏ giả thiết khơng 42 3.7 Kiểm định mức độ ý nghĩa chung mơ hình (trường hợp đặc biệt KIỂM ĐỊNH WALD) 3.7.1 Khái quát kiểm định WALD: Giả sử có mơ hình đây: (U ) : Y = β1 + β X + β X + β X + u ( R) : Y = β1 + β X + ν Mơ hình U gọi mơ hình khơng giới hạn (unrestrict), Mơ hình R gọi mơ hình giới hạn (restrict) Đó β3 β4 buộc phải khơng Mơ hình R Ta kiểm định giả thuyết liên kết β3 = β4 = với giả thuyết đối hệ số không không Kiểm định giả thuyết liên kết gọi kiểm định Wald Thủ tục sau Đặt mơ hình giới hạn khơng giới hạn là: (U ) : Y = β1 + β X + + β m X m + β m +1 X m +1 + + β k X k + u ( R) : Y = β1 + β X + + β m X m + ν Mơ hình R có cách bỏ bớt số biến Mơ hình U, Xm+1, Xm+2, …Xk Vì vậy, giả thuyết là: H : β m +1 = = β k = H : khong phai dong thoi cac tham so bang Lưu ý (U) chứa k hệ số hồi qui chưa biết (R) chứa m hệ số hồi qui chưa biết Do đó, Mơ hình R có k – m thông số so với U Câu hỏi nêu k –m biến bị loại có ảnh hưởng liên kết có ý nghĩa Y hay không Giả sử biến bị loại khơng có ảnh hưởng có ý nghĩa Y Chúng ta không kỳ vọng tổng bình phương sai số Mơ hình R (RSSR) khác biệt với tổng bình phương sai số Mơ hình U (RSSU) Nói cách khác, sai biệt RSSR – RSSU nhỏ Nhưng giá trị nhỏ nào? Chúng ta biết RSS nhạy với đơn vị đo lường, làm giá trị lớn hay nhỏ đơn giản cách thay đổi thang đo “Nhỏ” “lớn” xác định cách so sánh sai biệt với RSSU, tổng bình phương sai số mơ hình hồn tồn khơng giới hạn Vì vậy, RSSR – RSSU so sánh với RSSU Nếu giá trị đầu “nhỏ” tương đối so với giá trị sau, kết luận việc loại bỏ biến Xm+1, Xm+2, …Xk khơng thay đổi RSS đủ để tin hệ số chúng có ý nghĩa Do RSSU/σ2 có phân phối chi bình phương với n – k bậc tự (n quan sát trừ k thơng số Mơ hình U) Có thể thấy (RSSR – RSSU)/σ2 phân phối chi bình phương (vì tính chất cộng chi bình phương) với bậc tự số biến số loại bỏ (R) Do tỷ số hai phân bố chi bình phương độc lập có phân phối F có hai thơng số: bậc tự cho tử số tỷ số, bậc tự cho mẫu số Trị thống kê tỷ số F Thủ tục kiểm định sau: 43 H : β m +1 = = β k = H : khong phai dong thoi cac tham so bang Trị thống kê kiểm định giả thiết : Fc = = [RSS R − RSSU ] /(k − m) ~ F (α , k − m, n − k ) RSSU /(n − k ) ( RU2 − R R2 ) /(k − m) (1 − RU2 ) /( n − k ) với R2 số đo độ thích hợp khơng hiệu chỉnh Với giả thuyết khơng, Fc có phân phối F với k − m bậc tự tử số n − k bậc tự mẫu số Nguyên tắc định: Bác bỏ giả thiết không Fc > F (α , k − m, n − k ) Hoặc giá trị p-value thống kê F nhỏ mức ý nghĩa cho trước 3.7.2 Kiểm định ý nghĩa mô hình: Trong mơ hình hồi qui đa biến, giả thiết "khơng" cho mơ hình khơng có ý nghĩa hiểu tất hệ số hồi qui riêng (các tham số độ dốc) không Ứng dụng kiểm định Wald (thường gọi kiểm định F) tiến hành cụ thể sau: Bước Giả thuyết không H0: H : β = β = = β k = Giả thuyết ngược lại H1: có giá trị β không không Bước Trước tiên hồi qui Y theo số hạng không đổi X2, X3, …, Xk, sau tính tổng bình phương sai số RSSU Kế đến tính RSSR Chúng ta định nghĩa phân phối F tỷ số hai biến ngẫu nhiên phân phối chi bình phương độc lập Điều cho ta trị thống kê: Fc = [RSS R − RSSU ] /(k − m) ~ F (α , k − m, n − k ) RSS U /(n − k ) Vì H : β = β = = β k = , dễ dàng thấy trị thống kê kiểm định giả thiết là: Fc = ESS /(k − 1) ~ F (α , k − 1, n − k ) RSS /(n − k ) Bước Từ số liệu bảng F tương ứng với bậc tự k − cho tử số n − k cho mẫu số, với mức ý nghĩa cho trước α, ta có F*(α, k-1,n-k) cho diện tích bên phải F* α 44 Bước Bác bỏ giả thuyết không mức ý nghĩa a Fc > F* Đối với phương pháp giá trị p, tính giá trị p = P(F > Fc|H0) bác bỏ giả thuyết không giá trị p nhỏ mức ý nghĩa 3.8 Phương pháp ma trận giải toán hồi qui đa biến Chúng ta thấy hồi qui đa biến, sử dụng cách thức thay dần để tìm tham số hồi qui phức tạp nhiều thời gian, đặc biệt mô hình có nhiều biến giải thích Một cách đơn giản để giải sử dụng phương pháp ma trận Giả sử có hàm hồi qui tổng thể y = β1 + β2x2 + β3x3 + βkxk + u Chúng ta viết cho quan sát sau: y1 = β1 + β x 21 + β3x 31 + + β k x k1 + u1 y = β1 + β x 22 + β3x 32 + + β k x k + u M M M y n = β1 + β x 2n + β3x 3n + + β k x kn + u n Viết dạng ma trận ta có: Y = Xβ +U Y ma trận cấp n × X ma trận cấp n × k β ma trận cấp k × U ma trận cấp n × Với x1 biểu diễn là: ⎡1⎤ ⎢1⎥ x1 = ⎢ ⎥ ⎢M ⎥ ⎢⎥ ⎣1⎦ Ví dụ k 2: 45 PRF ⎡ y1 ⎤ ⎡1 x 21 ⎤ ⎡ u1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢1 x 22 ⎥ ⎡ β1 ⎤ + ⎢ u ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢M M ⎥⎣β ⎦ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ y n ⎥⎦ ⎢⎣1 x 2n ⎥⎦ ⎢⎣u n ⎥⎦ Hàm hồi qui mẫu viết sau: yˆi = βˆ1 + βˆ2 x 2i + βˆ3x 3i + + βˆk x ki y = βˆ + βˆ x + βˆ x + + βˆ x + e i 2i 3i k ki i Hay Y = Xβˆ + e ⎡e1 ⎤ ⎢ ⎥ e e = ⎢ ⎥ = Y − Xβˆ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢e n ⎦⎥ Khi ước lượng OLS tìm cách: ∑ ei2 = ∑ ( yi − ( βˆ1 + βˆ2 x 2i + βˆ3x 3i + + βˆk x ki )) ⇒ e' e = ∑ ei2 = (Y − Xβˆ )' (Y − Xβˆ ) = Y ' Y − βˆ ' X' Y − Y ' Xβˆ + βˆ ' X ' Xβˆ = Y' Y − βˆ ' X ' Y + X ' Xβˆ ∂ (e' e) = −2X ' Y + 2X ' Xβˆ ⇒ X ' Y = X ' Xβˆ ˆ ∂β ⇒ βˆ = (X ' X) −1 X ' Y Từ dễ dàng tính tham số hàm hồi qui mẫu, việc ứng dụng qui tắc tính phương sai độ lệch chuẩn dễ dàng tìm phương sai độ lệch chuẩn tham số hồi qui 46 BÀI THỰC HÀNH Khi nghiên cứu số người di chuyển xe buýt với nhiều yếu tố ảnh hưởng khác Người ta thu thập liệu chéo cho 40 thành phố khắp nước Mỹ BUSTRAVL 2073.0 2136.1 1878.8 937.5 7343.3 837.9 1648.0 739.1 1070.7 274.6 312.9 1879.1 1941.0 2317.6 471.4 594.3 7632.9 510.1 630.6 1650.9 1618.3 2009.8 1562.4 1139.4 13103.0 3739.6 525.7 2385.8 1698.5 544.0 1769.1 1065.0 803.1 1616.7 146.5 18.1 2056.1 470.1 242.5 3933.5 FARE 0.85 0.75 0.60 1.00 0.50 0.85 1.00 0.75 1.50 1.50 0.75 1.00 0.60 1.50 1.05 0.70 0.60 0.60 0.60 1.00 0.50 1.15 1.15 0.60 1.00 1.35 0.75 1.00 1.15 1.00 0.85 0.50 1.25 0.75 0.75 0.75 1.00 0.75 0.75 0.60 GASPRICE 0.88 1.03 0.91 0.91 0.97 0.88 0.91 0.89 0.89 0.89 0.87 0.94 0.99 0.87 0.93 0.79 0.93 0.93 0.93 1.03 0.86 0.96 0.96 0.88 1.00 0.92 0.91 0.89 0.93 0.87 0.81 0.85 0.98 0.90 0.90 0.90 0.88 0.92 0.92 0.96 INCOME 17293 17768 17823 15163 17480 15329 16141 15326 17115 17117 16127 17242 17340 15108 15809 16321 18027 18023 12349 17886 16537 13019 13019 13130 20513 17409 15944 15207 15409 17743 16309 15092 18014 21886 20744 21313 17539 17633 17643 15522 POP 537.1 787.0 587.1 338.0 3090.0 399.0 561.8 585.1 1142.4 486.5 198.7 549.8 1253.0 1603.0 741.2 490.4 3478.9 423.3 304.0 377.2 664.0 368.0 265.0 572.0 7323.3 1760.2 991.6 396.6 387.0 167.0 495.9 794.0 1027.2 753.6 376.0 698.1 548.3 295.7 259.8 693.6 DENSITY 4099 9798 12438 8070 13547 5110 7110 3234 3431 2027 4113 4975 8913 2885 2105 1551 7486 8508 4997 10994 6702 6714 5144 2832 24288 12944 3059 8147 3751 8309 8077 2318 3208 16240 6988 4422 3790 3497 4675 11068 LANDAREA 131.0 80.3 47.2 41.8 228.1 78.1 79.0 180.9 333.0 240.2 48.4 110.6 135.6 556.4 352.0 316.3 464.7 49.8 60.0 34.3 95.8 55.1 52.4 199.4 301.5 136.0 324.0 55.4 103.3 18.9 61.4 262.7 320.0 46.4 53.9 158.0 144.6 84.4 55.5 62.7 Các biến định nghĩa sau: BUSTRAVL = Mức độ giao thông xe bt thị tính theo ngàn hành khách 47 FARE = Giá vé xe buýt tính $ GASPRICE = Giá ga lơng nhiên liệu tính $ INCOME = Thu nhập bình qn đầu người tính $ POP = Dân số thành phố tính ngàn người DENSITY = Mật độ dân số tính (người/dặm vng) LANDAREA = Diện tích thành phố (dặm vng) Đặc trưng tổng qt mơ hình, xem có dạng sau: BUSTRAV = β1 + β2FARE + β3GASPRICE + β4INCOME + β5POP + β6DENSITY + β7LANAREA + u Trước ước lượng mơ hình, xác định dấu biến, mức độ ưu tiên, cho hệ số hồi qui Ở giả định tiềm ẩn phía cung khơng xem quan trọng Bởi gia tăng giá vé xe buýt làm giảm nhu cầu xe buýt, nên kỳ vọng β2 âm Trong lĩnh vực di chuyển, xe thay xe buýt, gia tăng giá nhiên liệu khiến số người tiêu thụ chuyển sang xe buýt, kỳ vọng hiệu ứng tích cực đây; nghĩa β3 dương Khi thu nhập tăng, kỳ vọng nhu cầu hàng tiêu dùng tăng lên, thường lệ kỳ vọng β4 dương Tuy nhiên, hàng tiêu dùng thuộc loại hàng hóa “thấp cấp”, hiệu ứng thu nhập (nghĩa là, β4) âm Một gia tăng dân số hay mật độ dân số thường làm gia tăng nhu cầu di chuyển xe buýt, vậy, kỳ vọng β5 β6 dương Nếu diện tích đất tăng lên, thành phố trải rộng người tiêu thụ thích dùng xe phương tiện giao thơng hơn, tình β7 kỳ vọng âm Kết hồi qui tính tốn phần mềm Eviews Mơ hình 1: Dependent Variable: BUSTRAVL Method: Least Squares Date: 06/07/08 Time: 00:05 Sample: 40 Included observations: 40 Variable Coefficient Std Error t-Statistic Prob C FARE GASPRICE INCOME POP DENSITY LANDAREA 2744.680 -238.6544 522.1132 -0.194744 1.711442 0.116415 -1.155230 2641.672 451.7281 2658.228 0.064887 0.231364 0.059570 1.802638 1.038994 -0.528314 0.196414 -3.001294 7.397176 1.954253 -0.640855 0.3064 0.6008 0.8455 0.0051 0.0000 0.0592 0.5260 R-squared Adjusted R-squared S.E of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0.921026 0.906667 742.9113 18213267 -317.3332 2.082671 Mean dependent var S.D dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) 48 1933.175 2431.757 16.21666 16.51221 64.14338 0.000000 Qua bảng kết thấy R2 hiệu chỉnh 0,907, có nghĩa 90,7% biến đổi BUSTRAVL giải thích chung biến mơ hình (đã điều chỉnh giảm bậc tự mơ hình) Đối với nghiên cứu chéo, R2 hiệu chỉnh cao Nhìn vào giá trị p-value (được cho cột cuối cùng), kiểm định hai phía cho thấy INCOME, POP, DENSITY có hệ số có nghĩa mức 10% Hằng số hệ số FARE, GASPRICE, LANDAREA khơng có ý nghĩa mặt thống kê mức lớn Kiểm định ý nghĩa mơ hình kiểm định F, ta thấy F = 64,14 mức ý nghĩa F, PF < 0.1 ta kết luận mơ hình có ý nghĩa Nhưng phải làm với hệ số khơng có ý nghĩa Qui tắc chung bỏ qua ý nghĩa số khơng cần Tuy nhiên, FARE, GASPRICE, LANDAREA cần phải xem xét loại bỏ khỏi mơ hình khơng có chứng chứng tỏ chúng có ảnh hưởng có nghĩa lên BUSTRAVL Chúng ta thực bỏ tất chúng, ước lượng mơ hình giới hạn, thực kiểm định Wald F-test trình bày Để tạo thực việc này, lấy tổng bình phương sai số số bậc tự cho mơ hình khơng giới hạn vừa ước lượng Tuy nhiên, cần cẩn trọng, việc lúc loại bỏ vài biến bỏ biến có ý nghĩa biến quan trọng mặt lý thuyết Do đó, cách làm thận trọng nhạy bén loại bỏ dần biến Có vài lý việc loại bỏ biến với hệ số nghĩa Thứ nhất, mơ hình đơn giản dễ diễn giải mơ hình phức tạp Thứ hai, việc bỏ bớt biến làm tăng bậc tự cải thiện xác hệ số lại Cuối cùng, thấy chương tiếp theo, biến giải thích có tương quan chặt với gây khó khăn cho diễn giải riêng hệ số Việc loại trừ biến làm giảm hội nảy sinh tương quan làm cho việc diễn giải có ý nghĩa Điểm bắt đầu cho trình loại bỏ nhận diện biến có hệ số hồi qui có nghĩa Điều thực cách nhìn vào giá trị p-value cao Từ kết mơ hình A, để ý hệ số cho GASPRICE có giá trị p-value cao có ý nghĩa Do đó, biến bị loại bỏ khỏi đặc trưng mơ hình thực hồi qui với biến lại Kết hồi qui thu sau loại bỏ biến GASPRICE sau: 49 Mơ hình 2: Dependent Variable: BUSTRAVL Method: Least Squares Date: 06/07/08 Time: 00:07 Sample: 40 Included observations: 40 Variable Coefficient Std Error t-Statistic Prob C FARE INCOME POP DENSITY LANDAREA 3215.856 -225.6595 -0.195716 1.716808 0.118216 -1.195297 1090.469 440.4936 0.063777 0.226474 0.058023 1.765554 2.949058 -0.512288 -3.068778 7.580596 2.037401 -0.677010 0.0057 0.6118 0.0042 0.0000 0.0495 0.5030 R-squared Adjusted R-squared S.E of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0.920934 0.909307 732.3323 18234559 -317.3565 2.079321 Mean dependent var S.D dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) 1933.175 2431.757 16.16783 16.42116 79.20400 0.000000 Ta thấy việc loại bỏ biến cải thiện ràng buộc lựa chọn mơ hình, cải thiện độ xác hệ số cịn lại cách làm cho chúng có ý nghĩa nhiều hơn, dễ dàng thấy điều qua giá trị p-value Biến có hệ số ý nghĩa (giá trị pvalue cao nhất), FARE Nhưng vé xe buýt thước đo theo cách nói lý thuyết kinh tế yếu tố quan trọng nhu cầu Do đó, khơng nên loại bỏ giá trị p-value cho bỏ Do bước ta loại bỏ LANDAREA, biến có giá trị p-value cao Tiếp tục thực hồi qui, ta thu được: Mơ hình 3: Dependent Variable: BUSTRAVL Method: Least Squares Date: 06/07/08 Time: 00:08 Sample: 40 Included observations: 40 Variable Coefficient Std Error t-Statistic Prob C FARE INCOME POP DENSITY 3111.181 -295.7306 -0.202197 1.588337 0.149027 1071.067 424.8354 0.062564 0.122654 0.035713 2.904749 -0.696106 -3.231821 12.94973 4.172925 0.0063 0.4910 0.0027 0.0000 0.0002 R-squared Adjusted R-squared S.E of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0.919868 0.910710 726.6434 18480373 -317.6243 1.995180 Mean dependent var S.D dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) 50 1933.175 2431.757 16.13122 16.34233 100.4449 0.000000 Ta thấy biến DENSITY gia tăng ý nghĩa đáng kể Tuy nhiên, biến FARE có giá trị p-value 49%, cao chấp nhận Điều gợi ý rằng, với có mặt biến khác, giá khơng ảnh hưởng lên nhu cầu xe buýt Nói cách khác, có nhu cầu xe bt, người tiêu thụ khơng nhạy cảm với giá Do vậy, loại bỏ FARE cần thiết lại tiếp tục hồi qui với biến cịn lại, ta thu kết quả: Mơ hình 4: Dependent Variable: BUSTRAVL Method: Least Squares Date: 06/07/08 Time: 00:09 Sample: 40 Included observations: 40 Variable Coefficient Std Error t-Statistic Prob C INCOME POP DENSITY 2815.703 -0.201273 1.576575 0.153421 976.3007 0.062101 0.120612 0.034898 2.884053 -3.241076 13.07148 4.396311 0.0066 0.0026 0.0000 0.0001 R-squared Adjusted R-squared S.E of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0.918759 0.911989 721.4228 18736228 -317.8993 1.878671 Mean dependent var S.D dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) 1933.175 2431.757 16.09497 16.26386 135.7080 0.000000 Qua kết ta thấy mơ hình có trị thống kê lựa chọn mơ hình thấp tất hệ số có nghĩa lớn Hơn nữa, hệ số INCOME, POP, DENSITY không khác với hệ số mô hình mơ hình Vì kết luận việc loại bỏ FARE không nghiêm trọng Dựa tất ràng buộc, mơ hình dường “tốt nhất” chọn mơ hình cuối cho việc diễn dịch Các hệ số thu nhập, kích thước dân số, mật độ dân số có ý nghĩa lớn Lý thuyết kinh tế chuẩn cho ảnh hưởng thu nhập lên nhu cầu hàng hóa dương, hệ số ước lượng INCOME lại âm Điều này, không gây ngạc nhiên, gợi ý xe buýt loại hàng hóa “thấp cấp” Khi thu nhập tăng lên, người ta có khuynh hướng sử dụng xe để di chuyển, lượng xe buýt giảm xuống Nếu thu nhập đầu người tăng lên khoảng 100 la, trung bình, xe buýt kỳ vọng giảm khoảng khoảng 20,13 ngàn người Hệ số POP DENSITY dương hay nói dân số hay mật độ dân số tăng lên, có nhiều người di chuyển xe buýt Mặc dù vậy, để thực có kết luận thật thoả đáng, phải thực kiểm định phân tích sâu 51