TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP Hồ CHÍ MINH KHOA TOÁN THỐNG KÊ BỘ M ÔN TO Á N C ơ B Ẳ N PHẠM HỒNG DANH (chủ biên) GIẢI TÍCH B i ê n S o ạ n Tuấn Anh Phạm Hồng Danh Đào Bảo Dũng Nguyễn Văn Nhân Hoàng Ngọc Qu[.]
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP Hồ CHÍ MINH KHOA TỐN THỐNG KÊ BỘ M Ơ N T O Á N C B Ẳ N PHẠM HỒNG DANH (chủ biên) GIẢI TÍCH B i ê n S o n : Tuấn Anh - Phạm Hồng Danh - Đào Bảo Dũng Nguyễn Văn Nhân - Hoàng Ngọc Quang - Nguyễn Hữu Thái Lê Quang Trung - Nguyên Thanh Vân - Võ Minh Vinh - Ngô Trấn VQ ¿TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP Hồ CHÍ MINH KHOA TỐN THỐNG KÊ ĐỘ MƠN TỐN C BẢN PHẠM HỒNG DANH (Chủ biên) TỐN CAO CẤP GIẢI TÍCH Biên soạn: Tuấn Anh - Phạm Hồng Danh Đ B ảo Dũng - Nguyễn Văn Nhăn H oàng Ngọc Quang - Nguyễn Hữu Thái Lê Quang Trung - Nguyễn Thanh Vân Võ Minh Vinh - Ngô Tuấn Vũ NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH - 2007 LỜI NÓI ĐẦU Cuốn sách biên soạn dựa chương trình giảng dạy mơn Giải tích cho sinh viên năm thứ trường Đại học Kinh tế thành phố Hồ Chí Minh Trong q trình biên soạn, chúng tơi có tham khảo số sách tốn dành cho sinh viên kinh tế sinh viên ngành khác ngồi nước Một số ví dụ kinh tế giới thiệu để sinh viên bước đầu thấy việc vận dụng kiến thức giải tích vào toán kinh tế Để hiểu chất khái niệm tính chất mơn tốn giải tích điều râ't khó, cần có q trình Chúng mong mỏi sách nàv giúp sinh viên Ikinh tế có kiến thức tốn giải tích cần thiết để tiếp thu giáo trình kinh tế năm Dù cố gắng nhiều chắn không tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận lời góp ý để bổ sung sửa chữa cho lần in sau Chúng tơi xin chân thành càm ơn Nhóm biên SỌÌ Chương o : TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ A TẲP HƠP I Khái niêm Tập hợp ý niệin ngun thủy tốn học, khơng định nghĩa Ta mô tả : số vật thể hợp thành tập hợp; mồi vật thể phần tử • Cho tập hợp A phần tử X Nếu X phần tử A ta viết X e A Ngược lại, ta viết X ẽ A hay X Ệ Ầ (x khơng thuộc A) Ví du : Tất học sinh trường Đại học Kinh tế tập hợp, học sinh phần tử • Đường thẳng tập hợp mồi điểm phần tử II Cách diễn tá Có nhiều cách : 1) Liẽt kê : liệt kê tất phần tử dấu { } Ví du : Tập hợp nguyên âm A = (a, e, i, u, o, y Ị Ví du : T = ị bàn, ghế, mèo, gái, ô mai ì 2) Triftig tính : (nêu tính chất đặc trưng) Nếu phần tử Xcủa tập A có tính chất b, ta viêt : A = {x I Xcó tính chất bị M = {x| X sơ" ngun dương nhỏ 5} => M = {1, 2, 3, 4} 3) Giản đổ Venn III Vài tâp hơp thông dung N = {0, , , , z = N* = N \ {0} [0 ± 1, ± 2, } m e z , n z * } : tập số hữu tỷ ‘R tập số thực ■R' = {z 0} ;M R|rc < 0} ; (a, b) = {.T € R Ia < X < b} } [a, b] = {x G R Ia < X < b} Ví du : (->/2, 15] = {x€ R I -> /ỉ < X < 15} IV Chính số', tâp trơng, tâp hữu han, tâp vô han Tâp hữu han : tập hợp có số phần tử n , với n GN Chính s ố : số phần tử tập A cịn gọi số A (hay card A) Ký hiêu : ch.s A hay card A hay |A| Ví du : A = {-3, 5, a, b} => carđ A = Tảp trơng : tập hợp khơng có phần tử KÝ hiêu : hay { } Ghi : { } * ; {0} * Tâp vô han : tập không hữu hạn gọi tập vơ hạn Ví dư : N, z , Q, R, (0, 1) tập hợp vô hận V Tâp hơp con, tâp hơp Tâp hơp : A tập hợp B phần tử A phần tử B KÝ hiêu : A cz B (A chứa B) A c B o “ Vx, X eA => X € B” Ví du : A = { , - , } ; B = { ,3 , 1, , , - } ; c = {1, -5, 0, 7, } A (Z B c Y , ta nói f tồn ánh f(X) = Y Ta có : f(X) = Y Vy G Y, 3x G X : f(x) = y o Vy Y, phương trình y = f(x) có nghiệm ' o V y € Y, f '*( y)^t Ví du : i) f : R - > R, f(x) = X2 khơng tồn ánh / _1(—!2) = (phương trình X = : vô nghiệm) ii) f : R -> ]R+, f(x) = X2 tồn ánh Vy G M +, phương trình f(x) = y X2 = y ln có nghiệm X = ±yfij Nhân xét : Giả sử f : X -» Y toàn ánh X, Y tập hợp hữu hạn card X > card Y Ghi chü : Để chứng minh f toàn ánh ta chứng minh Vy e Y phương trình f(x) = y có nghiệm IV Đơn ánh : Cho ánh xạ f : X -> Y f đơn ánh o “V x i , X2 € X Xi * X2 => f(X |) * f(x2>” Ta có : f đơn ánh o “V x i, x G X f(x i) = f(X2> => Xi = x2” o “Vy e Y, phương trình y SSf(x) cổ nhiều nghiệm” “Vy € Y, f '*( y) = hay f ' ẳ(y) có phần tử” Ví du : * f :R -> E , f(x) = X2 không đơn ánh f(-2) = f(2) = * f : R + -» K hay R" -> R , f(x) = X2 đơn ánh * f :E -> E , f(x) = —— - đơn ánh Va?!,x2 e R /(Xj) = f( x 2) _ 3#, —5 Sx.j —5 — = —2-— X, = x.y 7 V Song n h : Cho ánh xạ f : X -» Y f song ánh f đơn ánh f tồn ánh Ta có : f song ánh V y € Y , phương trình f(x) — y cỏ nghiệm o V ị / e y , ỉ~ x{y) có nhât phần tử Ví du : f : M -> M ; f(x) = —— - song ánh V y e M, phương trình y = có nghiệm T = 7y + Ví du : f : R -> M; f(x) = X2 khơng đơn ánh, khơng tồn ánh f : R + -» E, f(x) = X2 đơn ánh nhimg khơng tồn ánh => khơng song ánh f : M -* R +, f(x) = X2không đơn ánh tồn ánh => khơng song ánh Ví du : f : M+ -> R +, f(x) = X2là song ánh f : R~ -> R +, f(x) = X2là song ánh VI Ảnh xa ngựơc: Nếu f : X -> Y song ánh Xh-> f(x) ánh xạ sau gọi ánh xạ ngược c ủ a f : r 1: Y X y = f(x)i->x = f ' l(y) Vi du : f : R + ^> R + ,f(x) = x2 ị y = X2 o X = , x ,y > ) f~'(y) = -Jỹ (x ,y > 0) hay = y/x Ví du : f : R -> R + ; f(x) = x2 r \ y ) = - J ỹ hay r ' ( x ) = - V ĩ Ví du : f :R -> \ (0) : f(x) = 3* f ' : R + \ {0} -* R hay f '( x ) = log3X 7T 7T '2 Thì f 1: [-1,1] [-1, 1]; f(x) = sinx - Ĩ - , — , f _1(x) = arcsinx 2 11 * f : [0,7r] —> [-1, 1], f(x) = cosx T h i f :[•-!, 1] —>[0,7r], f _I(x) = arccosx f : 7T 7T ' -> R , f(x) = tgx , T7 r | _ j ’ 2; (x) = arctgx * f : (0,7r) -> R , f(x) = cotgx Thì f : R -> - T h if ' : M ->(0,7r); f ^(x) = arccotgx ¡Ü f TTJ Tn> \ -b - _ Sx + * f : R -» M, /(x) = ■ —- Vi y = — 5 X — — — - nên f : R -> K , f _1(x) = — — — 3 Ví du : Cho X c R , Y c R Xác định X, Y để f song ánh, với f : X -» Y , Ị(x) = —— - ; ■"|~1 Với X = R \ Í — Ị tacó l J 52’ —3 ?/ = T- — y(2x + 1) = 5x - '2x + 2xy + y = 5x - x(2y - 5) = - y - (*) Phương trình (*) có nghiệm y Với y ^ —, ta có (*)£= ^ - 2y Vậy với X = R \ Ị— I Y = R \ j - j f : X -> Y, /(:c) = ^ — - song ánh, f : Y —> X với 12 -f- —'2x X /-■(*) = Ghi : i) f : X -> Y đơn ánh X, Y tập hữu hạn card X < card Y ii) f : X -> Y song ánh X, Y hữu hạn ix ; = m iii) ÁAịih xạ ngược f f tồn f st ìiiỉ ánh VIL Ảnh xa lìơp : (Ánh xạ tích) Cho hai ánh xạ f X —>Y g : Y -» z Ánh xạ h : X —» z định nghĩa h(x) = g[f(x)], Vx G X Ký hiêu : h = gof gọi ánh xạ hợp (ánh xạ tích) f g Ví du : f :R —> [5,+oo), /(.r) = z + g ! [5, + o o ) —^ M , ~ — T h ì g„f(x) = g ự + ) = - y j ự + ) + = - V ? + Ví du : f, g : 1R —» K ; /(x) = 3x2 —.T; ‘ Thì 2 ( i2 - x) + r ’ - 2x + 9»ỉ(x) = 9(3* - x) = — = J - — - /# )= / /o™ I (2 t +5Ì ] =3 /o™ I K\2 (2r+5l i r+ 4 12r+52x-f55 16 Nhân xét : i) Thông thường, ỹof ^ fog ii) (#"/) = ỉ V (giả sử f, g song ánh) iii =y , V y e Y ( f : X —»Yl song ánh) 13 / lof(x) = X , Vxe X (f : X -> Y song ánh) iv ) Giả sử fo(goh) tồn tại, ta có : (fog)oh = fo(qoh) VIII Đinh nghĩa : 1) Một tập A nói hữu hạn có n phần tử tồn song ánh A tập N Khi đó, ta viết : CardA = n hay \A\ = n 2) Nếụ tập A khơng hữu hạn, ta nói A vơ hạn 3) Hai tập A B nói đồng lực lượng tồn song ánh từ A vào B 4) Một tập A nói đếm tồn song ánh A tập N N Khi đó, N = N ta nói A tập vơ hạn đếm Nói cách khác, ta nói A tập vơ hạn đếm tồn song ánh A tập N 14 Chương I : SỐ THựC I Mơt thiếu sót o M ênh để : Phương trình X2 —2 khơng có nghiệm Q Chứng minh : Giả sử X2 = có nghiệm Q ir(l => £0 = — v i r a , 71 £ z , n ^ v — n n p h â n sô" tố i g i ả n (m , n nguyên tố ) Khi (— = => ?Ệr = => m = 2n2 Inj (1) n => m2 sô" chẵn => m số chẩn (vì m số lẻ ra2 số lẻ) => m = 2k (ke z ) (2) (1) (2) ==> (2Ẵ;)2 = 2n2 => 2k2 = n2 =>rc2 số chẩn => n sô"chẵn => n = 2h (h E X ) => — —— = — n ‘2 h h => — không phân số không tối giản n => mâu thuẫn với giả th iế t Do phương trình X2 — khơng có nghiệm Q II Tiên đề Zorn : Khái niêm : Tất số hữu tỷ vô tỷ gọi chung số thực Tập hợp số thực ký hiệu M Trên R có tính chất 15 phép cộng, nhân bất đẳng thức biết Đinh nghĩa : Cho Ả c R A VÉ i) A bị chận k e R cho X< k ,v X G A ii) A bị chận k e l cho X> k , V X G A Tiên đề Zorn : Mọi tập M khác bị chận tồn chận nhỏ n h ất Nhân xét : A có chận nhỏ chận nhỏ nhâ't ký hiệu supA Chứng minh : Giả sử A có hai chận nhỏ ki k2, ta có : ki < ^2 (vì ki chận nhỏ nhất) ' k.2 < k] (vì k2 chận nhỏ nhất) => kị = k2 • M chận nhỏ A T chận A M < T • m chận lớn A ta có m > t, V t chận A • A c M,A * Nếu A bị chận A có vơ số chận Nếu A bị chận A có vơ sơ" chận Hê quẵ : Cho A c M, Ả Nếu Ả bị chận A có chận lớn nhất, ký hiệu Inf Chứng minh: Đặt D = {—X / X G A} Vì A bị chận nên tồn m G R cho : m < X, V X e A => - X < - m , V -X e B => B bị chặn trên, tiên đề Zorn ta có Sup B tồn Ta có : V X G Ả , -X < sup B => -sup B < X => - Sup B chận Ả Ta chứng minh -sup B chận lớn A Thật vậy, Vt chặn Ả t < X ,v X e Ả => —X < —t , V - x e B => - chận B => sup B < -t => t < -sup B => inf Ả - -sup B Ví du : Với A= {-7,5, -2,1} supA = ; infA = -7 A = {-2,18} supA = 18 ; infA = -2 A= 7:12 supA = 12 ; infA = - A = (-5 ,2 ) supA = ; infA = - • Nhân xét : SupA thuộc A khơng thuộc A Nếu supA € A ta có SupA = MaxA • InfA thuộc A khơng thuộc A Nếu infA € A ta có infA = MinA 5/ Mênh đề (đặc trưng sup) Cho A c K , A ^ Khi đó: M = sup A 17 (i) M chận A (il) V £ > , x0 G A : M - £ < x {) < L ' Chứng minh: ( => ) Giả sử M = supA , (i) hiển nhiên ự£ > => M-e < M => M -s không chặn A => mệnh đề (V X A ; X < M-s) sai => Xo e A: M-e < Xo < M => (ii) thỏa ( s u p A - M < Zoi = M - supA > rừ ii) => Xo € A : M - (M-supA) < Xo < supA 'với £ = M-supA) => SupA < SupA : vô lý Vậy M phải chặn nhỏ A [II Vài ứng dung tiên để Zorn : L M ênh đề : (Tính chất Archimède) V a, b e R v a > luôn ne N n.a > b Chứng minh : 3iả sử € N n a > b => na < b , Vn € N Dặt Ả = { n a / n e N } , ta có A ^ Ả chứa phần tử a = 1.a na € Ả na sup A 18 tồn Theo đặc trưng sup, với = a > : x{) € A : sup A —a < x{ị Vì xị} € A nên 3n0 e N : x{) = n„a Do sup A — a < Ii{ìa => sup A < n{)a + a = (n„ + ì)a G A (vì 710 + G N ) rr> vô lý Hê : V e > 0, e R , n e W cho — < £ n Chứng minh : Áp dụng tính chất Archimède với a = b = ta có : ne > => — < £ n M ênh để Xen kẽ hai số thực khác có số hữu tỷ Nói cách khác : V a,beR vàa< b= > 3aeQ :a sup Ấ + £ £ A Mà sup A + £ > sup A : vô lý ii) Giả sử (supi4)2 >.2 Xét > 0, ta cổ : (sup A - e f = (supA)2 - 2.S supA + s2 > (supA)2 - 2.8 supA >(supA)2-4 £ Để (supA)2- 4.e = 2, ta chọn (g u p ¿ E -2 >0 Khi với £ = —up Ạ) - > 0, ta có (sup A - e)2 > (với < t2< => t € A) Vậy sup Ả —e chặn A ==> sup A < sup A —€ ... thức giải tích vào tốn kinh tế Để hiểu chất khái niệm tính chất mơn tốn giải tích điều râ''t khó, cần có q trình Chúng tơi mong mỏi sách nàv giúp sinh viên Ikinh tế có kiến thức tốn giải tích. .. biên soạn dựa chương trình giảng dạy mơn Giải tích cho sinh viên năm thứ trường Đại học Kinh tế thành phố Hồ Chí Minh Trong q trình biên soạn, chúng tơi có tham khảo số sách toán dành cho sinh... HỌC KINH TẾ TP Hồ CHÍ MINH KHOA TỐN THỐNG KÊ ĐỘ MƠN TỐN C BẢN PHẠM HỒNG DANH (Chủ biên) TỐN CAO CẤP GIẢI TÍCH Biên soạn: Tuấn Anh - Phạm Hồng Danh Đ B ảo Dũng - Nguyễn Văn Nhăn H oàng Ngọc Quang