Đang tải... (xem toàn văn)
Chương VI TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH I Nguvẽn hàm Tích phân bất đỉnh 1 Đính nghĩa Cho các hàm sô" / , F xác định trên [a,b] F được gọi là một nguyên hàm của / trong (a,b) nếu Ff(x) = f ( x ) , Vx E (a,b) F gọ[.]
Chương VI : TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH I Nguvẽn hàm - Tích phân bất đỉnh : Đính nghĩa : Cho hàm sô" / , F xác định [a,b] F gọi nguyên hàm / (a,b) Ff(x) = f(x ) , Vx E (a,b) F gọi nguyên hàm f [a,b] : F'{x) = f ( x ) , Vx G (a,b) F'(a+) = f(a),F'(b-) = f(b) Ví du : • cosx ngun hàm sinx (—cosxỴ = sỉnx —cos X + nguyên hàm sin X • — ,^ - c 3 X / 3> nguyên hàm / ( X2 : = - - C —- - 3J J >3 , Đinh lv : Nếu hàm số / liên tục [a, b] / có nguyên hàm [a, b] Đinh Iv : Giả sử F nguyên hàm / (a,b) Khi ta có : i) F + c (C số) nguyên hàm / (a,b) 119 ii) Nếu G nguyên hàm / (a,b) tồn số c cho G(x) = F(x) + c Vx G (a,b) Chứng minh : i) (F(x) + C)’ = F(x) = f(x), Vx e (a, b) => F + c nguyên hàm / (a,b) ii) [G(x) - F(x)]’ = G’(x) - F’(x) = f(x) - f(x) = 0, Vx e (a,b) =>3CeM: G(x) - F(x) = c, Vx G (a,b) => G(x) = F(x) + c, Vx e (a,b) Ghi : • Định lý thay (a,b) [a,b] • Nếu / có ngun hàm / có vơ số ngun hàm hai nguyên hàm hàm sai khác sơ" Đinh nghĩa : Tập hợp tất nguyên hàm / [a,b] gọi tích phân bất định Ị [a, b], ký hiệu : J f(x)dx Nếu F nguyên hàm / J* f(x)dx =F(z) + c II.Tính chất cửa tích phân bất đinh : Cho / , g hàm số có nguyên hàm (a,b) Khi : i) A / /(x)dx = ( / /(x)dx) ii) d j* f(x)dx =f(x)á x 120 = f( x ) iii) J (f(x) ± g(x)) dx = J f(x)dx ± J g(x)dx iv) J*kf(x)dx = k J f ( x ) d x , k e l Hệ : j ị ^ k tft(x)dx = ¿ f c , J ^(a;)ác Í=1 Í=1 v) Nếu F’(x) = f(x) f F'(x)dx = J d F ( x ) = F ( x ) + c = J f(x)dx Ị f ( y ) d y = F( y ) + c , / / ( í ) í = F( t ) + C , Chứng minh: Dành cho độc giả (suy từ tính chất đạo hàm) III Các cơng thức tích phản bất đinh bần : Ịo d x = J adx = ax + c c n+1 a; + c (n * -1) f — = lnlrcl 4- c J X (vì (ln 1^1 + c y (ln a;/ (a: > ) ln(—a;)/ (x < 0) (x > ) _ _ _ 1_ —X = -, x*0 ) (x < ) X f exdx = e x + c 121 X f a'dx = — J + c (v ii— ] = a x) In a J* sin xdx = —cos X + c J^cosxdx = sinz + c f —^ =- Jf COS2 re X J J cos 10 f J f 11 12 dx •^ sin re X = f J «J dx l + x2 •J (1 (1 una, + tg 2:r)cfo: = tgx - c + cotg 2a;)d:r = —cotgrc + c « dx -n + 13 J Í JI —= J 2>/x —71+ /■ +c= — + C(n*l) (n —1 )2; y/x + c , T’ , f sinx C-d(cosx) , , 14 I tgxdx - I ——— ax = I — - = —In Icos x\ -f u J J cosa; J cosx 15 f cotgardrr = f CQS—¿ừ = f ^(sm£l —ln|sin:c| + c J sin x J 16 I æ-2 J = arcsin — -f c X2 \a\ 122 sin x 18 J yjx2 - b r rf* J dx X - — In X -ị- y j x ¿ a L in X —a 2a X + a b 4" c + c (a * ) 20 '• J\ t( xt- -az) (x X -b — b) b — a 21 f y/a2 — J x 2d x — —yja2 — 22 x 2d x AJ a + X X2 —a + c (a * b) -f —arcsin— 4- c (a * 0) \a\ = a/ ô + ặ2 + In a; + y[aF+~x: IV Vài ví du : X4 — 5æ:* — X X2 + + 3x + K = I IX2 —5x —2 4*•> dx 5x2 Sx + 9' z2+ l j dx if & ÎÏ& + L J U 2+lJ X3 5x f 4.2xdx f dx = - - ~ a: + "T ~.~ r + J Ỉ -f J Ỉ -ị- —— a;3 ~3 5x2 2~ —2z + f i í í ĩ l ì l ì _|_ g arctg X J X2 + 2# -f- ln(x 4-1) + 9arctgỈ -f c b J*(x2 -f x)yjx-jxdx 1 = J*(x2 + x)x2x Adx 123 f e ^ r d x = f ự ĩ Ỵ d x = ( f 7ỵ = -Ế12Ị— + c J J ln(e 7) + ln7 r ^ L - = f i f c ^ ) = l„|x + a| + C J s X + J a fẼ E ẹ k J cos X X + a = rtẵ xdx = r tgx d{tễx) J cos X J = t g l£ + c Cách khác : J s in xdx _ cos3 X J c o s ;ỉ X ^ ( l + tg ^ + c f f J (x - = % tJ x + c — d (c o s x ) 1)2 í (a + £ 2cos = ^ +ự ^ X +c + K dx J Ị i —( i ? = J (x2 + 2xsjx2 + + X + l) ífa i r = — + X + I u 2du (u = X => du = 2x d x ) f dx J X2 — a2 _ Ị* dx _ r (x 4- a) —(x —a) ^ J (x — a)(x + a) 2a J (x — a)(x + a) = — I I— — Idx = — [In la; —a|] —In \x 4- a|] + c 2a J \ x — a X + a) 2a - \x — a , = ~—I n - h c (a ^ ) 2a IX + a h J tg2 xdx = i J t g r>x d x = J J*(tg2 X + 1—1)dx ( t g r>X 4- t g :{ X — = tgx —X + c tg X + t g x — tg x )d x = J tg:{rz;(tg2 X + )dx - J* tgx(tg2 X + )dx + J* tg xdx = V Phương pháp tính tích phân bất đinh : Phương pháp đổi biến : a Giả sử / hàm số có nguyên hàm miền D Đặt X = ip(t) , với (f hàm khả vi đơn điệu biến t miền giá trị ip(t) chứa D Khi đó: J f(x)dx = J f(tp(i))ip'(t)dt Ví du : 1) I = J Đặt iíĩ X = t ' => d x = S t 2d t , yfx* = t 2, ự x = t => I - J"—- -ị —-—- = 3sintdt = —3cœt + c 125 = —3casệfx + c = j* Va2 —x2dx (a > 0, a - )1 X2 > -a < X < a) 7r 7r Đặt X — a sin t , —-—< t < — =>dx = a cos tdt sin t = 2 => I = J* yja2— = J ' Vữ2 —a sin 1acos = J ' aV cos2 ¿a cos tdt = J* a2|cos ¿1cos tdt = J* a2cos2 (vi t e = 7T 7T cost > => |cost| = cost) p a 2(l + cos‘2i) v J „ ữ2 , X a a2 a2 „ = —- Í -f — sin 2t 42 c a n t '2 „ = — arcsin — I sin r cos t + (J a 2 „ I uX a X a X L „ = — arcsin — —4 T- + (J a2 X aV f —2 -7 X a2 „ = - —arcsin—+ —y a —X + (J a b Đặt u = /ỉ(x) với h khả vi liên tục ta có : g(h{x))h'(x)dx = J* g(u)du Ví du : > ^■» 1) 1- ỊQ (\ i + )/ 18 \lx + 5x J dx 3#K Đặt u = —— h 5x => du = (3xr>+ 5)cte (w = /i(x) => du = h'(x)dx ) 126 19 u1 (3 „8 = —— h C = — I—x* 4- 5x | + C 19 1918 !) => I = i ulsdu - f 2) J K^ocdoc P 3xdx J x A 4- Gx2 + = J (x 4- 3)2 4- Dät u — x l + -iJ du = 2xdx xdx (x2 - 3) + = T arctg^ 3)1= = 13 C f - j du J u2 + 6 X2 4-3 76 4- C + G = T aictg V6 P eAxdx _ „ x — Dat Dätuu==eex=> => du = exdx J e +1 * f t’2, d u =— dx yỊx2 + _ dĩz >/x2 + du ỉ i Va ề :2 +r r í/x yjx2 + b _ du +£ u = ln|lnM + Jí M c = ln £ + \jx2 - + c Phương pháp tích phân phần : Cho u = u(x), V = v(:c) hàm khả vi cóđạo hàm liên tục Khi : J udv = uv — 'J vdu Chứng minh: Ta có : d(uv) = vdu + udv => J d(uv) = J udv + J* vdu Suy J* udv = uv — J vdu Thơng thường để tính J f(x)d x , ta phân tích : f(x)dx= udv cho tính tích phân J vdu J dv Nhân x é t : ■* ex ex p(i) cosx d x Đặt u = p(x) dv = cosx dx • D ạng: % sina: sinx 128 ln x ln x p(x) arctgx • D ang: d x Dät u = arctgx , dv =p(x)dx arcsin x arcsin x t- Vi du : a) J x 2eTd x B a t : u = x => du = 2xdx dv = e xdx, chon v = e x (dv = e xdx => v = e x + C, chon C = 0) Do dö : J x 2e rdx = uv — J* vdu = x 2ex —J* 2xe'dx Dat u = 2x => du = 2dx; dv.= exdx, chon v = e x / x 2e'dx = x zeri — 2xer —J*2erdx - x 2e — 2xex + 2e + C Tong q u at: J x"e'dx = xne x - nxn_l e x + n(n -l)xn_2e x + + (—l)n_1n! xe* + (-l)" n !e x + C b) f ln x d x Dat J dx u = lnx => du = — ; x dv = dx, chon v = x xdx / ln xdx = x ln x — f ^ = xlnx - x + C ■ J ■x c) J x ”lnxdx, n ^ -1 Dat u = lnx => du = —dx ; dv = xndx, chon v = xn +1 x f «■ ln xdx = x r x +l ln x — I -J in 4- n +1 129 dx X »1+1 71 + d) ^,»+1 X ln X — — + (n + c 1)2 I = J* X'5sin xdx Đ ặt u= X3=> du = 3x 2dx dv = sinxdx, chọn V = -c o s x => I = —X* cos X + j * 3x2 c o s x d x = —Xa cos X + S x sin X — J* x sin x d x = —X* COS X + x sin X 4- x COS X — cos x d x = —X a co s X + Z x sin X + 6x COS X — sin X + c e ) = J ' X arctg x d x Đ ăt u = arctgx => du = - l + x2 dv = xdx, V = — (x2 + 1) (Chọn c = —) I => = ~ ( x + 1) arctg X — f I —( x + 1) — J 2V = —(x1 + l)arctg:r ——+ f) J \la2 — X 2d x Đặt r dx 'l + z2 c (a > 0) u = y j a — X => du = —2 x d x 2Va2 d v = d x, ch ọ n V = X X1 xdx Va2 - X2 = ị ^ L = X y ja —X2 => 21 = W a — X + — f J a2 y]a1 ^ ^ êx — x 2d x + a2 f f I == J v a —X2 T Ỉ n -7 ò ã I = v a — £ + — arcsin — h (J 2 a => ¿= = J yla2 -X* x^ Tương tự : J = J V« + Đặt u = \faF+ ~ x* => du = —r=== , dv = dx, chọn V = X Ta có zo : n r~ r x 2dx J = XV« + X — I —, ===== J Va22 + + 2x = X y/ã + X - =>2J J X2 -Ị- ữ2 —ü2 J dx x2 f ^ — r= J y¡a‘2 + = x-n/«2 -4- X 4- fl2 f T = dx J \¡a + x = -X y Ja + X2 -f — f —¡= J dx + £ = —yja2 4- X + — ln ị X -f V«2 +~?j + 2 VI Tích phân hàm hữu tỉ : Nhắc lai : 131 c f rá?- — Inị-E4-a| + c X 4- a J r dx _ J ( x + fl)Ả í f J X -1 h c (Ả: — l)(ar + tì)*-1 dx x —a ~ = ln -+ —a 2a X + a c cr đx dx J ịx-x^ịỉ-x,) = ^X h— X ĩ x.t — X, ln r (( xx - X,) - (x - x2) ^ X2-X,J { x - x t) ( x - x 2) X — X., X — Xo X — X, X — X, +c (xx* x 2) Tích phân dang : (Ax + B)dx = [Ả* (a* ) ax2 + bx + c A r 2ax - b an = an = = a0 = Ví du : ax2 + bx + c = có nghiệm phân biệt => a=b=c= 5x + Ví du : (x2 + 1) (3x - 2) Ax + B X 4-1 Cx + D E F G Or2 4-1) + 3x - + (3* - 2) + (3z - 2);: Vi du : 134 X2 — x + (x - x _ + 1)(x + 2y ” Ẩx + g £ X2 - X + ( x 2+ l)2 - 2x2 " Vi du : Tính ỵ - p - = E F (x 4- ):J (rr + )4 _ ẤX -f- Đ X2 —v&r + X X -h ( x + )2 Vi du : _ X4 + ~ £> ( x 2- J2 x + l)(z + Æ Cx " D X2 + ypix + f_ * L_ - ^ X 4-1 ^ (rr-j-1)(æ — Æ + 1) _ Bx + c i4 X -t-1 \ + 1) — X -f-1 _ A(x2 —X -f 1) + (Bx + C)(x +1) " Cho ? n X= - = > A = = > A = — X = 0=>A + C = = > C = x = l = > A + 2(B+C) = l=>B + C = - = > B = - i 3 = — ln|x + 1| —— ln(x2 - X + 1) + — f - , Í | ■ 2' í +! !■+■! yỊx2 —X >/3 -1 >/3 VII Tích phân biếu thức iươnạ giác: hữu tỷ, vê tích phân biếu thức hữu tỷ Trường hơp tổng qu t : Ta dùng công thức đổi biến t X = t g — => X= a rctg t áp dụng cơng thức 2í 1- í sin X = — , cos X = , + í2 + 12 dx sin X + cos re + 2dt — 51 +.Í Đăt í = tg — => X = 2arctg£ ta có : r 2dt _ r dt = J ? “ J e + i+4 2í = f- ĨT ? + ết + -7 2) ĨT =— t+ ^ + + c = - ^ - + c tg — f 136 2 D ang đăc b iẽ t: • Nếu R (—sin X,eosx) = —R (sinX,cosa;) đặt t — cosx • Nếu R (sin X, —cos x ) = —/ỉ(sinx,cosa;) đặt t = sinx • Nếu R ( —sinX, —cosa;) = R (sinx,cosa;) đặt í = t g £ , hay ¿ = cotgx Ví du : Tính I = I (sin2 X eos3 X + cos x) dx = J* (sin 2X cos 2a: -f 2) cos x d x Đặt t = sin X => d t — cos xdx sin 2£ eos 2X + = í 2(l —í 2) + = —¿4 + ¿2 + I= — (—í4+ £24"2^d t = -1 1-2Ủ-f-c —sin X sin X Ví du : Đặt = tg x => t + sin x + = f — - — J sin 2XT 4- sin 2.1 —3cos 2X sin2a: dt = — — ta có: cos X _ dx cos 2X ịtg2x + tgx —3) t —1 = -rln - — T + ¿+ c r dt J t2 4- 2t — „ - tg x —1 ~ = -7 ln I * + c Itg 2; + 3 D ạng I sin”' X cosMxdx 137 • Nếu m ( n) số nguyên lẻ đổi biến t = cos X (h o ặ c t = sin X ) • Nếu m n số ngun dương chẩn ta dùng cơng thức hạ bậc • Nếu m n nguyên chẵn có số âm đổi biến t = tg X (h o ặ c t = c o tg x ) Ví du: Tính ( dành cho độc giả ) K = J sin X cos4 xdx / M s in X L = J sin X cos2 xdx N dx cos4 X / cos2 X dx s in X VIII Tích phân biếu thức cổ chứa : Với phép đổi biến thích hợp, ta đưa tích phân biểu thức có số tích phân biểu thức hữu tỷ Các tích phân đưa tích phân hàm lượng giác : Dạng J *R Ịx, VA2 —X Ỵx đặt X = A siĩit, t 7T 7T '2 Dạ n g J r \ x , ^ j 42 + x 2Ỵx đặt X = A t g t , t e Ị - — j Dạng J*Rịx,yjx2 - Á2Ỵx đặt X = —— , t e Ịo,7Tj \ 1^1 cx + d, Đăt tk Ch*JC I = với k bôi số chung nhỏ cx + d 138 n s ... t = 2 => I = J* yja2— = J '' V? ?2 —a sin 1acos = J '' aV cos2 ¿a cos tdt = J* a2|cos ¿1cos tdt = J* a2cos2 (vi t e = 7T 7T cost > => |cost| = cost) p a 2( l + cos‘2i) v J „ ? ?2 , X a a2 a2 „ =... Tính I = I (sin2 X eos3 X + cos x) dx = J* (sin 2X cos 2a: -f 2) cos x d x Đặt t = sin X => d t — cos xdx sin 2? ? eos 2X + = í 2( l —í 2) + = —¿4 + ? ?2 + I= — (—í4+ ? ?24 "2^ d t = -1 1 -2? ??-f-c —sin... X - =>2J J X2 -Ị- ? ?2 —? ?2 J dx x2 f ^ — r= J y¡a? ?2 + = x-n/? ?2 -4- X 4- fl2 f T = dx J \¡a + x = -X y Ja + X2 -f — f —¡= J dx + £ = —yja2 4- X + — ln ị X -f V? ?2 +~?j + 2 VI Tích phân hàm hữu tỉ