Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 36 năm 2012 ≥ SỰ PHỤ THUỘC LIÊN TỤC CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VOLTERRA ĐỐI SỐ LỆCH PHI TUYẾN LOẠI HYPERBOLIC LÊ HOÀN HÓA*, NGUYỄN NGỌC TRỌNG**, LÊ THỊ KIM ANH[.]
Số 36 năm 2012 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ SỰ PHỤ THUỘC LIÊN TỤC CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VOLTERRA ĐỐI SỐ LỆCH PHI TUYẾN LOẠI HYPERBOLIC LÊ HỒN HĨA*, NGUYỄN NGỌC TRỌNG**, LÊ THỊ KIM ANH*** TÓM TẮT Trong báo này, chứng minh phụ thuộc liên tục nghiệm phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic sau : t ⎧ ⎪ u ′ ( t ) = A ( t ) ( u ( t ) , u t ) + ∫ L ( t,s, u ( s ) , u s ) ds + f ( t ), t ≥ ⎨ ⎪ ⎩ u = ϕ ∈ Cr (T ) Từ khóa: Tính phụ thuộc liên tục nghiệm , phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic ABSTRACT Continuous dependence of solution for the nonlinear Hyperbolic Volterra integrodifferential equation with deviating argument In this paper, we prove the continuous dependence result for the following nonlinear Hyperbolic Volterra integrodifferential equation with deviating argument t ⎧ ⎪ u ′ ( t ) = A ( t ) ( u ( t ) , u t ) + ∫ L ( t,s, u ( s ) , u s ) ds + f ( t ), t ≥ ⎨ ⎪ ⎩ u = ϕ ∈ Cr (T ) Keywords: Continuous dependence of solution, nonlinear Hyperbolic Volterra integrodifferential equation with deviating argument Giới thiệu Lí thuyết phương trình lĩnh vực rộng lớn toán học nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Trong đó, lớp phương trình vi tích phân đóng vai trị quan trọng Các kết lĩnh vực tìm nhiều ứng dụng vật lí, hóa học, sinh học việc nghiên cứu mơ hình phát triển xuất phát từ kinh tế học Năm 1981, [4] M.L.Heard xem xét phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến loại Hyperbolic có dạng: * PGS TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM ThS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM *** ThS, Đại học Tiền Giang ** 22 Lê Hoàn Hóa tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ t ⎧ ′ u t + A t u t = ( ) ( ) ∫ g ( t,s, u ( s ) ) ds + f ( t ), t ≥ 0, ⎪ ( ) ⎨ ⎪ ⎩u ( ) = u Năm 1996, [5] R.Nagel E.Sinestrari nghiên cứu phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến loại Hyperbolic t ⎧ ⎪u′ ( t ) = Au ( t ) + ∫ K ( t,s, u ( s ) ) ds + f ( t ), t ≥ t , ⎨ ⎪ ⎩u ( t ) = u Các loại phương trình phát sinh cách tự nhiên việc nghiên cứu đàn hồi vật rắn Gần đây, hai báo [1], [2] tài liệu tham khảo [3] chúng tơi xem xét tính khác rỗng, tính continuum tính R δ tập nghiệm phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến loại Hyperbolic có xuất đối số lệch t ⎧ ′ u t = A t u t + L t u + V t, u t + ( ) ( ) ( ) t ( ( ) ) ∫ K ( t,s, u ( s ) , u s ) ds + f ( t ), t ≥ 0, ⎪ ( ) ⎨ ⎪ ⎩u = ϕ ∈ Cr Trong báo này, nghiên cứu phụ thuộc liên tục nghiệm phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic dạng ( T ) Để làm điều chứng minh bổ đề bất đẳng thức tích phân dạng Gronwall Bản thân phụ thuộc liên tục nghiệm tính chất thú vị quan trọng tính chất đóng vai trị quan trọng tính chỉnh tốn, việc xấp xỉ nghiệm nghiên cứu tồn nghiệm tuần hồn Kết 2.1 Giới thiệu tốn Cho r > Ta kí hiệu • chuẩn không gian Banach E + = [0, ∞ ) , ∆ = {( t,s ) ∈ + × : t ≥ s} ∆ n = ∆ I [0, n ] với n ∈ + { , } Cr = C ([ − r,0] , E ) với chuẩn u r = sup u ( t ) : t ∈ [ − r,0] , X = C ([ − r, ∞ ) , E ) không gian Frechet hàm liên tục từ [ − r, ∞ ) vào E với họ nửa chuẩn { • n }n định nghĩa sau : x n = sup{ x ( t ) : t ∈ [ −r, n]}, n ∈ Đặt F = E × Cr với chuẩn ( x, y ) = x + y r Đặt • L chuẩn khơng gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ E × Cr vào E 23 Số 36 năm 2012 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Với u ∈ C ([ − r, ∞ ) , E ) t ≥ đặt u t ∈ Cr định nghĩa u t (θ ) = u ( t + θ ) với θ ∈ [ − r,0] Với u ∈ C ([ − r,d ] , E ) t ∈ [ 0,d ] đặt u t ∈ Cr định nghĩa u t (θ ) = u ( t + θ ) với θ ∈ [ − r,0] Với n ∈ , đặt X n = C ([ − r, n ] , E ) không gian Banach gồm hàm liên tục u : [ − r, n ] → E với chuẩn u n { } = sup u ( t ) : t ∈ [ − r, n ] Xét phương trình t ⎧ ⎪u′ ( t ) = A ( t ) ( u ( t ) , u t ) + ∫ L ( t,s, u ( s ) , u s ) ds + f ( t ), t ≥ 0, ⎨ ⎪ ⎩u = ϕ ∈ Cr , {A ( t )} t ≥0 họ tốn tử tuyến tính liên tục từ E × Cr vào E , f : (T ) + → E liên tục Hơn ta giả thiết : (E.1) t a A ( t ) liên tục ; (E.2) L : ∆ × F → E hàm L1 − Caratheodory , nghĩa (E.2.1)Với z ∈ F , hàm τ a L (τ ,z ) Borel đo ; (E.2.2)Với hầu hết τ ∈ ∆ , hàm z a L (τ ,z ) liên tục ; ( (E.2.3)Với n ∈ h C ∈ L1 [0, n ] ) tập compact K z ∈ BF ( 0,C ) với hầu hết u:Ω→ số C > , tồn hàm không âm C E cho L ( t,s,z ) ∈ h C ( t,s ) K C với ( t,s ) ∈ ∆ n (trong L1 ( Ω ) khơng gian hàm khả tích Ω ) ; (E.3) lim z →∞ L ( t,s,z ) z = theo ( t,s ) tập bị chặn ∆ Định nghĩa u : [ − r, ∞ ) → E nghiệm phương trình ( T ) u [0,∞ ) ∈ C1 ([ 0, ∞ ) , E ) u thỏa phương trình ( T ) , C1 ([ 0, ∞ ) , E ) không gian hàm khả vi liên tục u : [ 0, ∞ ) → E Chú ý Chứng minh tương tự [3] ta thấy giả thiết (E.1), (E.2) (E.3) thỏa mãn phương trình (T) có nghiệm ta thêm giả thiết toán tử L Lipschitz địa phương phương trình (T) có nghiệm 24 Lê Hồn Hóa tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ 2.2 Sự phụ thuộc liên tục nghiệm Định lí (Bất đẳng thức dạng Gronwall) Cho u : [ a, b ] → + liên tục, c α hai số khơng âm Giả sử ta có ⎛s ⎞ u ( t ) ≤ c + α ∫ u ( s )ds + α ∫ ⎜ ∫ u (τ ) dτ ⎟ds với a ≤ τ ≤ s ≤ t ≤ b ⎜ ⎟ a a⎝a ⎠ t t α ⎛ ⎞ exp ( (α + 1)( t − a ) ) − ⎟ Khi u ( t ) ≤ c ⎜ + ⎝ α +1 ⎠ Chứng minh: t t s ⎛ ⎞ Đặt v ( t ) = c + α ∫ u ( s )ds + α ∫ ⎜ ∫ u (τ ) dτ ⎟ds Theo giả thiết ta có u ( t ) ≤ v ( t ) , ⎜ ⎟ a a⎝a ⎠ ( ) t ⎛ ⎞ ta lại có v ′ ( t ) = α u ( t ) + α ∫ u ( s )ds ≤ α ⎜ v ( t ) + ∫ v ( s )ds ⎟ ⎜ ⎟ a a ⎝ ⎠ t t Đặt m ( t ) = v ( t ) + ∫ v ( s )ds Vậy v ′ ( t ) ≤ α m ( t ) m ( a ) = v ( a ) = c a t Vì ∫ v (s ) ds ≥ nên v ( t ) ≤ m ( t ) a Do m′ ( t ) = v ′ ( t ) + v ( t ) ≤ α m ( t ) + m ( t ) = (α + 1) m ( t ) Vậy m′ ( t ) − (α + 1) m ( t ) ≤ Nhân hai vế bất đẳng thức với exp ( − (α + 1) t ) ta có: m′ ( t ) exp ( − (α + 1) t ) − (α + 1) m ( t ) exp ( − (α + 1) t ) ≤ , ( ) ′ nghĩa m ( t ) exp ( − (α + 1) t ) ≤ Vậy t ∫ ( m (s ) exp ( − (α + 1) s ) ) ds ≤ ′ a Từ m ( t ) exp ( − (α + 1) t ) − m ( a ) exp ( − (α + 1) a ) ≤ Vậy m ( t ) ≤ cexp ( (α + 1)( t − a ) ) Do ta có v ′ ( t ) ≤ α m ( t ) ≤ α c.exp ( (α + 1)( t − a ) ) Vậy t t a a ∫ v ′ ( s )ds ≤ ∫ α c.exp ( (α + 1)(s − a ) ) ds = Từ ta có v ( t ) ≤ v ( a ) + αc ( exp ( (α + 1)( t − a ) ) − 1) α +1 αc ( exp ( (α + 1)( t − a ) ) − 1) α +1 25 Số 36 năm 2012 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ α ⎛ ⎞ = c ⎜1 + exp ( (α + 1)( t − a ) ) − ⎟ ⎝ α +1 ⎠ ( ) α ⎛ Vậy u ( t ) ≤ v ( t ) ≤ c ⎜ + exp ( (α + 1)( t − a ) ) − ⎝ α +1 minh Định lí ) ⎞⎟⎠ Định lí ( chứng Giả sử L0 : ∆ × F → E thỏa điều kiện (E.1), (E.2), (E.3), ϕ ∈ C r f0 : + → E liên tục Với k ∈ , lấy L k : ∆ × F → E thỏa điều kiện (E.1), (E.2), (E.3) dãy {L k }k hội tụ L0 Lấy {ϕ k }k dãy Cr cho lim ϕ = ϕ Cr lấy {f k }k ⊂ C ( k →∞ +,E ) hội tụ f Ta xét phương trình sau: t ⎧ ′ ⎪u ( t ) = A ( t ) ( u ( t ) ,u t ) + ∫ Lk ( t,s,u ( s ) ,us ) ds + fk ( t ), t ≥ 0, ⎨ ⎪ ⎩u0 = ϕk ∈ Cr , t ⎧ 0 ⎪u′ ( t ) = A ( t ) ( u ( t ) ,u t ) + ∫ L ( t,s,u ( s ) ,us ) ds + f ( t ), t ≥ 0, ⎨ ⎪ ⎩u0 = ϕ ∈ Cr ( Tk ) (T ) Lấy u k nghiệm phương trình ( Tk ) u nghiệm phương trình ( T ) Ta giả sử phương trình ( T ) có nghiệm 0 Khi ta có lim u k = u C ([ − r, ∞ ) , E ) k →∞ Chứng minh: { Đặt Bn = u k [ − r,n ] : k∈ } với n ∈ Bước Ta chứng minh Bn bị chặn X n Vì {L k }k hội tụ L0 nên tồn k ∈ cho với k ∈ k ≥ k L k ( t,s,z ) − L0 ( t,s, z ) < với ( t,s,z ) ∈ ∆ × F Từ điều kiện (E.3) ta thấy tồn C > cho z > C L0 ( t,s, z ) < z L k ( t,s,z ) < z với ( t,s ) ∈ ∆ n k = 1, k 26 Lê Hồn Hóa tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ ( Từ điều kiện (E.2.3) ta thấy tồn R > hàm không âm h C ∈ L1 [ 0, n ] ) cho với k = 1, k ta có L0 ( t,s,z ) < Rh C ( t,s ) L k ( t,s,z ) < Rh C ( t,s ) với z ∈ F thỏa z ≤ C với hầu hết ( t,s ) ∈ ∆ n Vậy L0 ( t,s,z ) ≤ Rh C ( t,s ) + z L k ( t,s,z ) ≤ Rh C ( t,s ) + z với z ∈ F , hầu hết ( t,s ) ∈ ∆ n k = 1, k Ta có L k ( t,s, z ) ≤ L k ( t,s,z ) − L0 ( t,s, z ) + L0 ( t,s,z ) ≤ + Rh C ( t,s ) + z với z ∈ F , hầu hết ( t,s ) ∈ ∆ n k ≥ k Do L k ( t,s,z ) ≤ + Rh C ( t,s ) + z với k ∈ ( t,s ) ∈ ∆ n Vì {f k }k hội k ∈ ,s ∈ [ 0, n ] , với z ∈ F hầu hết tụ f nên tồn q > cho f k ( s ) ≤ q với ( Từ giả thiết (E.1) kiện h C ∈ L1 [ 0, n ] ) ta thấy tồn α > cho: ⎛n ⎞ q + max A ( s ) L + ∫ ⎜ ∫ (1 + Rh C ( s,τ ) ) dτ ⎟ds < α ⎜ ⎟ s∈[ 0,n ] 0⎝0 ⎠ n ( ) Ta thấy u k ( s ) ≤ u k với s ∈ [ 0, n ] nên với t ∈ [ 0, n ] ta có s r ⎛s ⎞ + f k ( s ) ds + ∫ ⎜ ∫ Lk s,τ ,uk (τ ) , uk dτ ⎟ds u ( t ) ≤ ϕk ( ) + ∫ A ( s ) u ( s ) , u ⎜ ⎟ s τ 0⎝0 ⎠ t t t s ⎛ ⎞ ≤ ϕk ( 0) + α ∫ u k ds + ∫ fk ( s ) ds + ∫ ⎜ ∫ + RhC ( s,τ ) + uk dτ ⎟ds ⎜ ⎟ s r τ r 0 0⎝0 ⎠ ( t k ( )) k t k ( ( ) t ( ) ≤ ϕk (0) + α ∫ uk { Đặt b = sup ϕ k r : k∈ t Ta có u k (t) ≤ c + λ∫ ( s ( )) ( ) t s ⎛ ds + nα + α + ∫ ⎜ ∫ u k ⎜ r 0⎝0 ( )τ ) ⎞ dτ ⎟ds ⎟ r ⎠ } , c = ( n + 1)α + b λ = α + (u ) ⎛s k ds + λ ∫ ⎜ ∫ u ⎜ r 0⎝0 t k s ( )τ ⎞ dτ ⎟ds với t ∈ [ 0, n ] ⎟ r ⎠ 27 Số 36 năm 2012 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Mặt (u ) k t r k t r với t ( ) ≤ c + λ∫ u ánh t ∈ [ − r, 0] xạ s ta ( ) t a uk ( )τ t r uk ( t ) = ϕk ( t ) ≤ b thấy ⎛s k ds + λ ∫ ⎜ ∫ u ⎜ r 0⎝0 t k Vì (u ) khác liên nên ta có ta có ⎞ dτ ⎟ds với t ∈ [ 0, n ] ⎟ r ⎠ tục nên theo Định lí λ ⎡ ≤ c ⎢1 + exp ( ( λ + 1) t ) − ⎣ λ +1 )⎤⎥⎦ ≤ c ⎡⎢⎣1 + λ λ+ ( exp ( ( λ + 1) n ) − 1)⎤⎥⎦ ( λ ⎡ ⎤ u k ( t + θ ) ≤ c ⎢1 + exp ( ( λ + 1) n ) − ⎥ ⎣ λ +1 ⎦ k ∈ , t ∈ [ 0, n ] ,θ ∈ [ − r,0] Suy ( ) với λ ⎡ ⎤ Vậy u k ( t ) ≤ c ⎢1 + exp ( ( λ + 1) n ) − ⎥ với k ∈ , t ∈ [ − r, n ] Từ ⎣ λ +1 ⎦ Bn bị chặn X n ( ) Bước Ta chứng minh Bn tập compact tương đối X n Đặt V,C0 ,Ck : X → X (với k ∈ ⎧t ⎪ A ( s ) ( u ( s ) , u s ) ds Vu ( t ) = ⎨ ∫0 ⎪ ⎩0 ) sau , t ≥ 0, , t ∈ [ − r,0] , t ⎧t ⎛ s ⎞ 0 ⎪⎪ ∫ ⎜⎜ ∫ L ( s,τ , u (τ ) , uτ ) dτ ⎟⎟ ds + ϕ ( ) + ∫ f ( s ) ds , t ≥ 0, C u (t) = ⎨0 ⎝ 0 ⎠ ⎪ , t ∈ [ − r,0] , ⎪⎩ϕ ( t ) t ⎧t ⎛ s ⎞ ⎪⎪ ∫ ⎜⎜ ∫ L k ( s,τ , u (τ ) , uτ ) dτ ⎟⎟ ds + ϕ k ( ) + ∫ f k ( s ) ds , t ≥ 0, Ck u ( t ) = ⎨ ⎝ 0 ⎠ ⎪ , t ∈ [ − r,0] ⎪⎩ϕ k ( t ) Từ Định lí 1.2.12 [3] ta có C k ,C0 ánh xạ hoàn toàn liên tục chứng minh tương tự Định lí 1.2.10 [3] ta thấy tồn c n > cho: i Vx 28 n i nc n ) ( ≤ i! x n với i ∈ x ∈ X ... cứu phụ thuộc liên tục nghiệm phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic dạng ( T ) Để làm điều chứng minh bổ đề bất đẳng thức tích phân dạng Gronwall Bản thân phụ. .. E.Sinestrari nghiên cứu phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến loại Hyperbolic t ⎧ ⎪u′ ( t ) = Au ( t ) + ∫ K ( t,s, u ( s ) ) ds + f ( t ), t ≥ t , ⎨ ⎪ ⎩u ( t ) = u Các loại phương trình phát sinh... nhiên vi? ??c nghiên cứu đàn hồi vật rắn Gần đây, hai báo [1], [2] tài liệu tham khảo [3] chúng tơi xem xét tính khác rỗng, tính continuum tính R δ tập nghiệm phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến