Sự phụ thuộc liên tục của véctơ riêng dương vào giá trị riêng của toán tử (K,Uo)- Lõm chính quy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II NGUYỄN THỊ THU HÀ SỰ PHỤ THUỘC LIÊN TỤC CỦA VÉCTƠ RIÊNG DƯƠNG VÀO GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ (K,u 0 )-LÕM CHÍNH QUY LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II NGUYỄN THỊ THU HÀ SỰ PHỤ THUỘC LIÊN TỤC CỦA VÉCTƠ RIÊNG DƯƠNG VÀO GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ (K,u 0 )-LÕM CHÍNH QUY LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.GVCC NGUYỄN PHỤ HY HÀ NỘI, 2012 Mục lục Mở đầu 6 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8 1.1 Không gian định chuẩn thực . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Nón trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach thực . 9 1.3 Không gian E u 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Định nghĩa không gian E u 0 và một số tính chất đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Một số định lý về nón . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự . . . . . . . 15 1.4.1 Không gian R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.2 Không gian l 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.3 Không gian L 2 [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 TOÁN TỬ(K,u 0 )-LÕM CHÍNH QUY 36 2.1 Toán tử (K,u 0 ) lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử (K,u 0 )-lõm . . 37 2.1.3 Ví dụ về toán tử (K,u 0 )-lõm . . . . . . . . . . . . . 40 2.2 Toán tử (K,u 0 )-lõm chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử (K,u 0 )-lõm chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.3 Ví dụ về toán tử (K,u 0 )-lõm chính quy . . . . . . . . 48 2 3 SỰ PHỤ THUỘC LIÊN TỤC CỦA VÉCTƠ RIÊNG DƯƠNG VÀO GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ (K,u 0 ) – LÕM CHÍNH QUY 51 3.1 Sự tồn tại véctơ riêng dương của toán tử (K,u 0 )-lõm chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 Lời cám ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy. Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy người thầy đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề tài. Tôi xin chân thành cảm các GS, TS giảng dạy chuyên ngành toán Giải tích tại Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, các bạn học viên cao học Toán Giải tích K14 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, Ban Giám hiệu trường Cao đẳng nghề Cơ khí nông nghiệp Bình Xuyên – Vĩnh Phúc cùng bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều kiện, động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Vĩnh Phúc, ngày tháng năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hà Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Vĩnh Phúc, ngày tháng năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hà 5 Mở đầu 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Nhiều vấn đề của toán học, vật lý và kĩ thuật dẫn đến việc xét bài toán tìm vectơ riêng và giá trị riêng của toán tử. Chính vì vậy mà bài toán này đã được nhiều nhà toán học lớn trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Các nhà toán học lừng danh như Hilbert, Banach, Frechet. . .đã nghiên cứu vấn đề này từ những năm đầu của thế kỉ XX theo nhiều hướng khác nhau. Một trong những hướng nghiên cứu lớn là lý thuyết khai triển theo các véctơ riêng của một toán tử, rồi một họ hữu hạn các toán tử. Tiếp theo đó, lý thuyết này được phát triển cho một hệ vô hạn các toán tử tự liên hợp, dẫn đến hình thành lý thuyết toán tử tuyến tính trong các không gian hàm vô hạn chiều mà công lớn thuộc về viện sĩ Bededanxki và các học trò của ông. Đặc biệt, nhà toán học Nga nổi tiếng M.A. Kraxnôxelxki đã nghiên cứu lớp toán tử phi tuyến: Toán tử lõm (1956). Sau đó GS-TSKH J.A. Bakhtin mở rộng kết quả cho lớp toán tử phi tuyến (K,u 0 )- lõm (1984). Các lớp toán tử trên có chung tính chất u 0 - đo được khiến cho việc ứng dụng trở nên khó khăn. Năm 1987, PGS-TS Nguyễn Phụ Hy đã mở rộng các kết quả đối với toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới: Toán tử lõm chính quy, trong đó không yêu cầu toán tử có tính chất u 0 - đo được. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử phi tuyến này, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của Thầy giáo, PGS-TS - GVCC Nguyễn Phụ Hy tôi đã mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: “Sự phụ thuộc liên tục của véctơ riêng dương vào giá trị riêng của toán tử (K,u 0 )- lõm chính quy”. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về toán tử (K,u 0 )- lõm chính quy và sự phụ thuộc liên tục của véctơ riêng dương vào giá trị riêng của toán tử (K,u 0 )- lõm chính quy. 6 7 3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự. - Tìm hiểu về toán tử (K,u 0 )- lõm chính quy. - Tìm hiểu về sự phụ thuộc liên tục của véctơ riêng dương vào giá trị riêng của toán tử (K,u 0 )- lõm chính quy. 4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về toán tử (K,u 0 )- lõm chính quy, sự phụ thuộc liên tục của véctơ riêng dương vào giá trị riêng của toán tử (K,u 0 )- lõm chính quy. - Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến véctơ riêng, giá trị riêng của toán tử (K,u 0 )- lõm chính quy. 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Thu thập tài liệu và các bài báo về véctơ riêng, giá trị riêng của toán tử (K,u 0 )- lõm chính quy. - Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất. - Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn. 6. GIẢ THIẾT KHOA HỌC (HAY NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI) Nghiên cứu “Sự phụ thuộc liên tục của véctơ riêng dương vào giá trị riêng của toán tử (K,u 0 )- lõm chính quy” sẽ cho ta những hiểu biết sâu sắc về vấn đề này. Hơn nữa, kết quả thu được có thể mở rộng cho lớp các toán tử khác. Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu cho những vấn đề toán học tương tự khác. Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian định chuẩn thực Định nghĩa 1.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P≡R hoặc P≡C), cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu là . (đọc là chuẩn) thỏa mãn các điều kiện sau đây: T 1 ) (∀x∈X) . ≥ 0, . = 0 ⇔ x = θ (phần tử không của X ); T 2 ) (∀x∈X) (∀α ∈P) αx = |α|. x; T 3 ) (∀x, y∈X) x + y ≤ x + y. Số x gọi là chuẩn của véctơ x. Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn tương ứng là X. Các tiên đề T 1 , T 2, T 3 gọi là hệ tiên đề chuẩn. Định nghĩa 1.2. Không gian định chuẩn X trên trường R gọi là không gian định chuẩn thực, ký hiệu: X. Định nghĩa 1.3. Dãy điểm (x n ) ∞ n=1 của không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ tới điểm x∈X, nếu lim n→∞ x n − x = 0. Định nghĩa 1.4. Dãy điểm (x n ) ∞ n=1 trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản, nếu lim m,n→∞ x n − x m  = 0. Định nghĩa 1.5. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. 8 9 1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 1.2.1 Nón trong không gian định chuẩn Định nghĩa 1.6. Cho không gian Banach thực E, một tập con khác rỗng K⊂E gọi là một nón, nếu K thỏa mãn các điều kiện sau đây: N 1 ) K là một tập đóng trong không gian E; N 2 ) (∀x∈K),(∀y∈K) x+y ∈K; N 3 ) (∀x∈K),(∀t≥0) tx ∈K; N 4 ) (∀x∈K),(∀x= θ) -x /∈K. 1.2.2 Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach thực Giả sử E là không gian Banach thực, K là nón trong không gian E, ta đưa quan hệ sắp thứ tự vào không gian E như sau: Với x, y ∈ E, ta viết x ≤ y, nếu y-x ∈ K. Khi đó quan hệ "≤" là một quan hệ sắp thứ tự trên E. Thật vậy, +) (∀x∈E) x≤x, vì x-x = θ ∈ K. ⇒Quan hệ "≤" có tính chất phản xạ. +) (∀x, y, z∈E: x≤y, y≤z) ⇒y-x ∈ K, z-y ∈ K. Ta có: z-x=(z-y)+(y-z) ∈ K ⇒ x≤z. ⇒ Quan hệ "≤" có tính chất bắc cầu. +) (∀x, y∈E: x≤y, y≤x) x=y, vì nếu x =y thì y-x = θ. Do y-x ∈ K, nên x-y /∈ K, mâu thuẫn với giả thiết y ≤ x. ⇒ Quan hệ "≤" có tính chất phản đối xứng. Do đó quan hệ "≤" là quan hệ sắp thứ tự trong không gian E với nón K. Lúc này, ta nói không gian E cùng với nón K đã cho trở thành không gian Banach sắp thứ tự bộ phận hay không gian Banach nửa sắp thứ tự. Từ định nghĩa, dễ dàng suy ra các tính chất đơn giản sau (ngoài các tính chất và khái niệm đã biết trong lý thuyết tập hợp). Tính chất 1.1. Nếu (x) ∞ n=1 ⊂ E, (y) ∞ n=1 ⊂ E, x n ≤ y n , ∀n = 1, 2, và lim n→∞ x n = x, lim n→∞ y n = y thì x≤y. Thật vậy, [...]... với nón K, giả sử u0 ∈K\{θ} Phần tử x∈ E gọi là u0 – đo được nếu tìm được hai số không âm t1 , t2 sao cho: −t1 u0 ≤ x ≤ t2 u0 Ta ký hiệu cận dưới đúng của t1 là α(x), của t2 là β (x) Theo các tính chất 1.3, 1.4 của mục 1.2.2: −α(x)u0 ≤ x ≤ β(x)u0 (1.1) Hơn nữa, bất đẳng thức (1.1) còn thỏa mãn với mọi t1 >α(x), t2 >β (x) 11 Ký hiệu Eu0 là tập hợp tất cả các phần tử x∈E có tính chất u0 - đo được Khi... không gian Banach thực nửa sắp thứ tự Không gian Rn 1.4.1.1 Không gian Banach thực Rn Cho không gian véctơ n chiều Rn : Rn = x = (xj )n ; xj ∈ R, j = 1, n , n ∈ N ∗ j=1 16 Đối với véc tơ bất kỳ x = (x1 , x2 , ., xn ) ∈Rn ta đặt: n |xj |2 x = (1.6) j=1 Khi đó, nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực ta có: +) (∀x ∈ R) , x = (xj )n , xj ∈ R, j = 1, n, do j=1 n |xj |2 ≥ 0, nên x j=1 xác định... a   2 |x(t)| dt < +∞  Cùng với hai phép toán cộng hai hàm số thuộc L2 [a, b] và nhân một số thực với một hàm số thuộc L2 [a, b], và đồng nhất hai hàm số khi chúng bằng nhau hầu khắp nới (h.k.n) trên [a,b] Với mỗi x=x(t)∈ L2 [a, b], ta đặt: 29 1 2 b  |x(t)|2 dt x = (1.15) a Ta có, công thức (1.15) cho một chuẩn trên L2 [a, b] Thật vậy, *) Hai phép toán đóng kín trong L2 [a, b] +) ∀x, y ∈ L2... chứng minh sự hội tụ trong không gian Rn là sự hội tụ (k) theo tọa độ: Giả sử điểm x(k) = (xj )n , k=1,2, hội tụ tới x = (xj )n j=1 j=1 n trong không gian R Theo định nghĩa, ta có: (k) (∀ε > 0) (∃k0 ∈ N ∗ ) (∀k ≥ k0 ) xj − xj < ε hay n (k) xj − xj 2 0 sao cho −αu0 ≤ x ≤ αu0 hay −αc ≤ x ≤ αc, trên [a, b] ⇒ |x(t)| ≤ αc h.k.n trên [a, b] Đặt αc = M ta có M> 0 35 Do đó ∃M > 0 sao cho |x(t)| ≤ M h.k.n trên [a, b] Nên x thuộc vế phải (1.17) +) Giả sử x thuộc vế phải (1.17) ⇒ x đo được trên [a, b] và ∃M > 0, sao cho |x(t)| ≤ M, h.k.n trên [a, b] hay −M ≤ x(t) ≤ M h.k.n trên [a, b] ⇒ x ∈ L2 [a, b] và M M ≤ x(t) ≤ h.k.n trên [a,b] hay −αc . này nhằm nghiên cứu, trình bày về toán tử (K,u 0 )- lõm chính quy và sự phụ thuộc liên tục của véctơ riêng dương vào giá trị riêng của toán tử (K,u 0 )- lõm chính quy. 6 7 3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU -. sắp thứ tự. - Tìm hiểu về toán tử (K,u 0 )- lõm chính quy. - Tìm hiểu về sự phụ thuộc liên tục của véctơ riêng dương vào giá trị riêng của toán tử (K,u 0 )- lõm chính quy. 4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM. cơ sở cần thiết, các kết quả về toán tử (K,u 0 )- lõm chính quy, sự phụ thuộc liên tục của véctơ riêng dương vào giá trị riêng của toán tử (K,u 0 )- lõm chính quy. - Phạm vi nghiên cứu: Các tài