Đánh giá số các giá trị riêng âm của toán tử Schrödinger trong trường hợp hai chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————————— NGUYỄN THỊ HÀ ĐÁNH GIÁ SỐ CÁC GIÁ TRỊ RIÊNG ÂM CỦA TOÁN TỬ SCHR ¨ ODINGER TRONG TRƯỜNG HỢP HAI CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————————— NGUYỄN THỊ HÀ ĐÁNH GIÁ SỐ CÁC GIÁ TRỊ RIÊNG ÂM CỦA TOÁN TỬ SCHR ¨ ODINGER TRONG TRƯỜNG HỢP HAI CHIỀU Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Tạ Ngọc Trí Hà Nội, 2013 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Tạ Ngọc Trí, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Nguyễn Thị Hà Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Tạ Ngọc Trí. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Nguyễn Thị Hà Bảng kí hiệu R tập hợp số thực R n không gian thực n-chiều C tập hợp số phức H không gian Hilbert L p (X) không gian Lebesgue của các hàm p-khả tích L p loc (X) hàm khả tích địa phương L ∞ (X) không gian Lebesgue của các hàm bị chặn hầu khắp nơi L ∞ ∞ (R n ) không gian Lebesgue của các hàm bị triệt tiêu tại ∞ · chuẩn trong không gian · p chuẩn trong không gian Banach L p ·, · tích vô hướng L(X, Y ) tập các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y L = L(X, X) L(H) tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên H T ∗ toán tử liên hợp của toán tử T trong không gian Hilbert T  toán tử liên hợp của toán tử T trong không gian Banach T bao đóng của toán tử T ρ(T ) tập giải được của toán tử T R T giải được của toán tử T D(T ) miền xác định của toán tử T Ker(T ) nhân của toán tử T Ran(T ) miền giá trị của toán tử T v inf cận dưới đúng sup cận trên đúng supp giá của hàm σ(T ) phổ của toán tử T σ p (T ) phổ điểm của toán tử T σ d (T ) phổ rời rạc của toán tử T σ ess (T ) phổ thiết yếu của toán tử T µ ψ độ đo phổ 1 toán tử đơn vị F phép biến đổi Fourier S(R n ) tập các hàm trơn giảm nhanh ˆ f = Ff phép biến đổi Fourier của f ˇ f = F −1 f phép biến đổi Fourier ngược của f C(U) tập các hàm số liên tục từ U vào C C ∞ (U) tập các hàm số trong C(U) triệt tiêu tại ∞ C(U, V ) tập các hàm số liên tục từ U vào V C ∞ c (U, V ) tập các hàm trơn giá compact χ Ω (·) biểu trưng của tập Ω H m (R n ) không gian Sobolev H 0 toán tử tự do H toán tử Schr¨odinger ∆ toán tử Laplace i số phức đơn vị e hàm mũ vi Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Nghiên cứu về lý thuyết phổ của toán tử Schr¨odinger đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Nó là sự kết hợp của giải tích hàm, phương trình đạo hàm riêng và biến đổi Fourier. Việc nghiên cứu này có vai trò quan trọng trong vật lý. Trong cơ học lượng tử, chúng ta gặp toán tử Schr¨odinger −∆ + V . Trong rất nhiều các trường hợp của V , phổ của toán tử −∆ + V có một phần giống như phổ của toán tử Schr¨odinger tự do −∆, tức là [0, ∞) và một số các giá trị riêng âm. Một số trường hợp, ta có thể đánh giá được số các giá trị riêng âm đó. Việc làm này có ý nghĩa trong vật lý. Hiện nay, việc nghiên cứu về số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong trường hợp ba chiều R 3 đã có kết quả chứng minh cụ thể, được giới thiệu trên khá nhiều tạp chí nghiên cứu toán học. Vấn đề đặt ra là một số kết quả đó còn đúng trong trường hợp hai chiều R 2 hay không? Để làm rõ vấn đề này, ta sẽ đi nghiên cứu chi tiết nó. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết phổ, đặc biêt là về số các giá trị riêng âm toán tử Schr¨odinger trong trường hợp R 2 , cùng với sự giúp đỡ tận tình của TS. Tạ Ngọc Trí tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Đánh giá số các giá trị riêng của âm toán tử Schr¨odinger trong trường hợp hai chiều”. vii 2. Mục đích nghiên cứu • Tìm hiểu về một số kết quả liên quan đến toán tử Schr¨odinger, phổ của toán tử Schr¨odinger. • Tìm hiểu về một số đánh giá số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong trường hợp ba chiều. • Cần đánh giá được số các giá trị âm của toán tử Schr¨odinger trong trường hợp hai chiều. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Trình bày các định nghĩa, các ví dụ cụ thể về toán tử Schr¨odinger, phổ của toán tử Schr¨odinger. • Chỉ ra một số các kết quả liên quan đến phổ của toán tử Schr¨odinger. • Trình bày về một số đánh giá số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong trường hợp ba chiều. • Đánh giá số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong trường hợp hai chiều. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: toán tử Schr¨odinger, phổ của toán tử Schr¨odinger và số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong trường hợp hai chiều và ba chiều. viii • Phạm vi nghiên cứu: các tài liệu, các bài báo liên quan tới toán tử Schr¨odinger, phổ của toán tử Schr¨odinger, một số đánh giá về số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger. 5. Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề. • Sử dụng các kiến thức trong lý thuyết phổ, lý thuyết toán tử, toán tử tuyến tính bị chặn, toán tử trong không gian Hilbert, đại số Banach. 6. Những đóng góp của luận văn • Nêu các định nghĩa, ví dụ về toán tử Schr¨odinger và phổ của toán tử Schr¨odinger. Chỉ ra các kết quả liên quan đến phổ của toán tử Schr¨odinger. • Trình bày về một số đánh giá các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong trường hợp ba chiều. • Đánh giá số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong trường hợp hai chiều. ix Mục lục Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii Nội dung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Một số không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Không gian L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . 13 1.4. Toán tử tuyến tính không bị chặn . . . . . . . . . . . . 16 1.5. Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn. . . . . . . . . 20 Chương 2. Toán tử Schr¨odinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1. Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Một số kết quả liên quan đến phổ của toán tử Schr¨odinger . 30 2.2.1. Toán tử Schr¨odinger dạng H 0 + V . . . . . . . . . . 30 2.2.2. Toán tử Schr¨odinger dạng −∆ − λ |x| . . . . . . . . . . 32 2.2.3. Toán tử Schr¨odinger dạng − N  j=1 ∆ j + N  j<k V j,k (x j − x k ) 36 x [...]...Chương 3 Đánh giá về số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨dinger trong trường hợp hai chiều o 45 3.1 Giới thiệu chung về các kết quả 46 3.2 Đánh giá với các trường thế tốt 47 3.3 Đánh giá với một lớp rộng hơn các trường thế 52 Kết luận ... trực chuẩn của H Toán tử Hilbert–Schmidt không chỉ là toán tử bị chặn mà còn compact 1.3 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.3.1 Cho X là không gian Banach trên trường số C, L(X) là tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên X, toán tử T ∈ L(X) Phổ của toán tử T kí hiệu là σ(T ) là tập tất cả các số phức λ sao cho đó T − λ1 không khả nghịch (tức là det(T − λ1) = 0), trong đó 1 là toán tử đơn vị... Toán tử T2 trong định lý Kato–Rellich có thể được coi như toán tử nhiễu của T1 1.5 Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn Định nghĩa 1.5.1 Cho T là toán tử không bị chặn trong H Ta nói một số phức ρ là một phần tử của tập hợp giải được của T nếu T − ρ1 là song ánh từ D(T ) lên H với phép biến đổi ngược bị chặn, 1 là toán tử đơn vị Định nghĩa 1.5.2 Phổ của toán tử T , kí hiệu bởi σ(T ) là tập các. .. không gian Banach, L(X) tà tập các toán tử bị chặn trên X Toán tử A ∈ L(X) được gọi là khả nghịch nếu tồn tại toán tử B ∈ L(X) sao cho AB = BA = 1 (1 là toán tử đơn vị trong X) Khi đó, toán tử B được gọi là toán tử ngược của A và kí hiệu là B = A−1 Định lý 1.2.12 Nếu A ∈ L(X) là một toán tử tuyến tính thỏa mãn A < 1, thì toán tử 1 − A là khả nghịch 12 Định lý 1.2.13 Nếu toán tử A, B ∈ L(X) là khả nghich... bởi σ(T ) là tập các số phức không thuộc vào tập giải được của T Mỗi giá trị riêng của T đều thuộc σ(T ) Phổ rời rạc của T , kí hiệu bởi σd (T ) là tập các giá trị riêng bị cô lập với số bội hữu hạn Phổ thiết yếu của T , kí hiệu bởi σess (T ) là tập σ(T )\σd (T ) Như chúng ta đã biết tập phổ của một toán tử bị chặn là bị chặn Tuy nhiên điều này không đúng trong trường hợp toán tử không bị chặn (xem... 72) Cho T là toán tử tự liên hợp Khi đó inf σ(T ) = inf ψ, T ψ ψ∈D(T ), ψ =1 và sup σ(T ) = sup ψ, T ψ ψ∈D(T ), ψ =1 Định lý 1.3.9 ([13], Theorem 2.19, tr 72) Cho T là toán tử đối xứng Khi đó tất cả các giá trị riêng là thực và các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng trực giao Định lý 1.3.10 ([13], Theorem 2.20, tr 72) Giả sử T là toán tử đối xứng có cơ sở trực chuẩn của các hàm riêng {ϕj }... T1 là toán tử tự liên hợp dương và qT2 là dạng toàn phương liên hợp với toán tử đối xứng T2 , được xác định trên Q(T1 ) Nếu có các số thực a < 1 và b thỏa mãn |qT2 (x)| ≤ aqT1 (x) + b x, x với mọi x ∈ Q(T1 ) Khi đó tồn tại duy nhất toán tử tự liên hợp T với Q(T ) = Q(T1 ) sao cho T liên hợp với hình thức qT1 + qT2 Trong trường hợp này ta cũng gọi T2 là toán tử nhiễu của T1 Giả sử T1 tự liên hợp Ta... Một toán tử đối xứng luôn luôn đóng được, vì D(T ∗ ) ⊃ D(T ) là trù mật trong H Nếu T đối xứng, T ∗ mở rộng đóng của T , vậy thì toán tử nhỏ nhất mở rộng đóng T ∗∗ của T phải chứa trong T ∗ Do đó, với toán tử đối xứng ta có T ⊂ T ∗∗ ⊂ T ∗ 18 với toán tử đóng đối xứng T = T ∗∗ ⊂ T ∗ và với toán tử tự liên hợp T = T ∗∗ = T ∗ Từ đó có thể dễ dàng thấy được một toán tử đối xứng đóng T là tự liên hợp khi... là hai toán tử thuộc L(X, Y ), khi đó ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán: • Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là một toán tử, kí hiệu là A + B và được xác định bởi biểu thức (A + B)(x) = Ax + Bx với mọi x ∈ X; • Tích vô hướng của α ∈ C với toán tử A ∈ L(X, Y ) là một toán tử, kí hiệu là αA và được xác định bởi biểu thức (αA)(x) = α(Ax) Dễ dàng kiểm tra được rằng A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và hai. .. L(H) Tập hợp giải được của T xác định bởi ρ(T ) = λ ∈ C| (T − λ)−1 ∈ L(H) (1.1) Chính xác hơn, số phức λ ∈ ρ(T ) khi và chỉ khi T − λ là song ánh với toán tử ngược bị chặn Phần bù của tập giải được gọi là phổ σ(T ) = C\ρ(T ) (1.2) của T Đặc biệt, λ ∈ σ(T ) nếu T −λ có một hạt nhân không tâm thường Một vectơ ψ ∈ Ker(T − λ) được gọi là vectơ riêng và λ được gọi là giá trị riêng trong trường hợp đó Hàm . về một số đánh giá số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong trường hợp ba chiều. • Cần đánh giá được số các giá trị âm của toán tử Schr¨odinger trong trường hợp hai chiều. 3. Nhiệm. về một số đánh giá số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong trường hợp ba chiều. • Đánh giá số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong trường hợp hai chiều. 4. Đối tượng. trị riêng âm. Một số trường hợp, ta có thể đánh giá được số các giá trị riêng âm đó. Việc làm này có ý nghĩa trong vật lý. Hiện nay, việc nghiên cứu về số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong