Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử schrödinger trong một số trường hợp

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I NGUYEN CHÍ HÁI ƯéC LƯeNG SO CC GI TR RIấNG M CA TON T SCHROă DINGER TRONG M®T SO TRƯèN Chun ngành: Tốn giái tích Mã so: 60.46.01 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS Ta Ngoc Hà N®i-2012 Trí LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna TS Ta Ngoc Trí Em xin đưoc chân thành cám ơn TS Ta Ngoc Trí Sn t¾n tình chí báo cna Thay suot q trình hoc t¾p làm lu¾n văn giúp em trưóng thành hn rat nhieu ve cỏch tiep cắn mđt van e mói Xin chân thành cám ơn thay giáng day chun ngành Tốn Giái tích nhi¾t tình cung cap tri thúc khoa hoc giúp em nâng cao trình đ® tư duy, hồn thành tot q trình hoc t¾p làm lu¾n văn Tơi xin đưoc cám ơn Phòng Sau đai hoc Trưòng Đai hoc Sư pham H Nđi 2, trũng Cao ang Kinh te-Ky thuắt Trung ương, quan tâm giúp đõ tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tơi suot q trình hoc t¾p nghiên cúu Cuoi cùng, tơi bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ban bè giúp đõ, đ®ng viên k%p thòi đe tơi hồn thành bán luắn ny H Nđi, thỏng nm 2012 Nguyen Chí Hái LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan Lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan cna TS Ta Ngoc Trí Trong thnc hi¾n lu¾n văn, tơi ke thùa nhung thành khoa hoc cna nhà khoa hoc đong nghiắp vúi sn trõn v biet n H Nđi, tháng năm 2012 Nguyen Chí Hái Mnc lnc Má đau .6 Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian Banach .8 1.2 Không gian Lebesgue Lp 11 1.3 Không gian Lp yeu 12 1.4 Bat thúc Sobolev 13 1.5 Không gian Hilbert 16 1.6 Toán tú tn liên hop 18 1.7 Toỏn tỳ Schrăodinger 20 1.8 Ket lu¾n chương 21 Chương Đieu ki¾n Rollnik .22 2.1 Quan h¾ vói không gian Lp 23 2.2 Dang p-không gian 26 2.3 Quan h¾ vói chuoi Born 30 2.4 Hach tích phân 35 2.5 The mien huu han 38 2.6 M®t so ví du 39 2.7 Ket lu¾n chương 40 Chương Ưác lưang so giá tr% riêng âm cúa toán tN Schroă dinger 41 3.1 Phương trình tích phân cho trang thái tói han 42 3.2 C¾n cna so giá tr% riêng âm 46 3.3 Ket lu¾n chương 49 Ket lu¾n 50 Tài li¾u tham kháo 51 BÁNG KÝ HIfiU inf M R Rn C H (x, y) "" c¾n dưói cna t¾p so thnc M đưòng thang thnc khơng gian Euclid n - chieu trưòng so phúc khơng gian Hilbert tích vơ hưóng x y chuan khơng gian |x| z giá tr% tuy¾t đoi cna so x liên hop cna so phúc z n |x| = i=1 x i2 chuan Euclid cna x 1 V (x) = V (x) | || 12 V (x) =| V1 (x)[sgnV (x)] T −1 D(A) ∂f (x) || cna toán tú lưong ngh%ch đáo cna toán tú T mien xác đ%nh cna toán tú A đao hàm riêng cna f tai theo xi ∂x i ∇f (x)n ∆ = gradient cna f tai x ∂2 toán tú Laplace ∂x2i H = Ho + V A i=1 toỏn tỳ Schrăodinger toỏn tỳ liờn hop cna toán tú A f:X→Y suppf f∗g Lp(X) ≤ p < "f"Lp = "f"p = [ |f (x)|pdà]1/p X ánh xa tù X vào Y giá cna hàm f tích ch¾p cna f g hàm đo đưoc p - tích chuan Lp(X) "f"L∞ = "f"∞ "f"∞ = inf{C : |f (x)| ≤ C h.k.n} chuan L∞(X) L∞(X) ≤ p < ∞ hàm đo đưoc b% ch¾n h.k.n h.k.n hau khap nơi ρ(T ) t¾p giái thưc cna tốn tú T σ(T ) cna tốn tú T Mé ĐAU Lí chon đe tài Lý thuyet cna toán tú Schrăodinger ó thu hỳt oc sn quan tõm v nghiờn cúu cna nhieu nhà tốn hoc Nó sn ket hop ch¾t che cna giái tích hàm, phương trình đao hàm riêng bien đoi Fourier, có vai trò quan trong v¾t lý Trong hoc lưong tú chỳng ta gắp toỏn tỳ Schrăodinger + V Trong rat nhieu trưòng hop cna V , cna tốn tú −∆ + V có m®t phan giong nh cna toỏn tỳ Schrăodinger "tn do" , tỳc [0, ∞) m®t so giá tr% riêng âm M®t so trưòng hop ta có the ưóc lưong đưoc so giá tr% riêng âm Vi¾c làm có ý nghĩa v¾t lý (xem [4], [8], [12] nhung tài li¾u trích dan đó) Lu¾n văn nghiên cúu m®t so ưóc lưong ve so giỏ tr% riờng õm cna toỏn tỳ Schrăodinger toỏn tú the V đưoc xét m®t so lóp hàm đ¾c bi¾t Sau đưoc hoc nhung kien thúc ve giái tích hàm, phương trình đao hàm riêng bien đoi Fourier, vói sn đ%nh hưóng cna thay TS.Ta Ngoc Trí, vói mong muon tìm hieu sâu ve nhung kien thúc hoc, moi quan h¾ úng dung cna chúng, chon đe tài nghiên cúu: “ Ưóc lưong so giá tr% riêng âm cỳa toỏn tỳ Schroădinger mđt so trũng hop e làm lu¾n văn tot nghi¾p cna Mnc đích nghiên cNu Nam đưoc khái ni¾m úng dung cna “Ưóc lưong so giá tr% riêng âm cna toỏn tỳ Schrăodinger mđt so trũng hop e bo sung kien thúc, cnng co hieu biet sâu ve tốn giái tích , lý thuyet tốn tú Nhi¾m nghiên cNu Tìm hieu ve “Ưóc lưong so giá tr% riêng âm cna toán tú Schrăodinger mđt so trũng hop oi tang v pham vi nghiên cNu • Đoi tưong: Nghiên cúu ve “Ưóc lưong so giá tr% riêng âm cna tốn tỳ Schrăodinger mđt so trũng hop Pham vi: Các báo, tài li¾u ngồi nưóc nghiên cúu ve “Ưóc lưong so giá tr% riêng õm cna toỏn tỳ Schrăodinger mđt so trũng hop Phương pháp nghiên cNu • Tìm hieu thơng tin sách báo liên quan đen n®i dung nghiên cỳu; Tong hop kien thỳc, vắn dung cho muc đích nghiên cúu thu th¾p đưoc qua nhung tài li¾u liên quan đen đe tài, sú dung phương pháp nghiên cúu cna giái tích hàm, lý thuyet tốn tú • Tham kháo ý kien cna chuyên gia NhÑng úng gúp cỳa e ti Trỡnh by oc mđt cách có h¾ thong nhung kien thúc bán ve “Ưóc lưong so giá tr% riêng âm cna tốn tỳ Schrăodingertrong mđt so trũng hop v cỏc tớnh chat cna nú Tong hop, hắ thong mđt so ket đưoc nhà khoa hoc nghiên cúu cơng bo ve “Ưóc lưong so giá tr% riêng õm cna toỏn tỳ Schrăodinger mđt so trũng hop Chương Kien thNc chuan b % Chương dnh cho viắc trỡnh by mđt so khỏi niắm v ket can thiet ve nhung không gian nhung toán tú mà can dùng đen chương sau Nhung kien thúc trình bày chương đưoc chon tù tài li¾u [1], [2], [5], [12] 1.1 Khơng gian Banach Cho X m®t khơng gian vectơ trưòng so phúc C Đ%nh nghĩa 1.1.1 Mđt chuan, kớ hiắu || ã ||, X l m®t ánh xa tù X vào R thóa mãn đieu ki¾n: 1) ||x|| ≥ vói moi x ∈ X ; 2) ||x|| = chí x = θ (θ kí hi¾u phan tú khơng); 3) ||λx|| = |λ|||x|| vói moi so λ ∈ C moi x ∈ X; 4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| vói moi x, y ∈ X So ||x|| đưoc goi chuan (hay đ® dài) cna vectơ x ∈ X M®t khơng gian vectơ X vói m®t chuan xác đ%nh khơng gian ay, đưoc goi l mđt khụng gian %nh chuan Mắnh e 1.1.2 Giá sú X m®t khơng gian đ%nh chuan Vói moi x, y ∈ X, đ¾t ρ(x, y) = ||x − y|| Khi đó, ρ m®t metric X Đ%nh nghĩa 1.1.3 Dãy (xn) không gian đ%nh chuan X đưoc goi h®i tu đen x0 ∈ X neu limn→∞ ||xn − x0|| = A The kỳ d% Ví dn 2.6.1 Neu V = Cr−α, α < 2, V ∈ L3/2 + L∞ R + L∞ Ví dn 2.6.2 Neu Vβ (r) = r−2(−logr)−β ; (r < e−1), Vβ ∈ L3/2 chí β > 2/3 Đ¾c bi¾t Vβ ∈ R vói β > 2/3 Ví du sú dung tính tốn ¸ ¸ |Vβ | e 3/2 d r = 4π dr r(− log ¸ = 4π ∞ du u3β/2 3β/2 r) B The Rollnik khơng thu®c L3/2 Chúng ta se chí |Vˆβ¸(p)| < C|p|−1 (logp) vói p đn lún Vỡ Vá b% chắn, khi(logp) chúng 2β d3 p[p−3 ] 1/2, Vβ ∈ R Vì v¾y 2/3 ≥ β > 1/2, ta có Vβ ∈ R ∈/ L3/2 Vβ 2.7 Ket lu¾n chương Chương trình bày nhung ket khác ve hàm the V toán tỳ Schrăodinger H = H0 + V Nhung kien thúc trình bày chương chn yeu lay tù chương cna [12] báo [11] Chương Ưác lưang so giá tr% riêng âm cúa toỏn tN Schroădinger Trong chng ny chỳng ta se nghiờn cúu nhung trang thái tói han, túc so giá tr% riêng âm theo nghĩa cna Toán hoc cho cỏc toỏn tỳ Schrăodinger H = H0 + V Như thay, nhân Rk (x, y) xác đ%nh (2.17) xuat hiắn mđt cỏch tn nhiờn ú nhieu ni M®t tính chat trung tâm cna nhân (1 − Rk)−1 ton tai [khi V ∈ R + (L∞)ε] mà E nam m¾t phang cat tac khơng giá tr% riêng cna H, tính chat chí có the chúng minh bang cách nghiên cúu nhung trang thái tói han cna H Chúng ta se trình bày m®t so ket q trưòng hop V ∈ L2 + L∞; đ¾c bi¾t se trình bày nhung trưòng hop: a) Khi V ∈ R, c¾n Schwinger so lưong trang thái lưong âm, nghĩa là: ¸ N ≤ |V (x)||V ( y )| d3x d3y |x − y|2 thnc sn tói han trang thái lưong khơng dương, túc N có the bao gom cá trang thái tói han lưong zero (v thắm cỏ nhung cđng húng s- súng lưong zero) b) Khi V ∈ R, khơng có trang thái tói han lưong dương cao c) M®t chúng minh đơn gián rang, khơng có trang thái tói han lưong dương ¸ |x − y|−2|V (x)||V (y)|d3x d3y < (4π)2 Nhung n®i dung trình bày chương chn yeu lay tù [12], 54 chương III 3.1 Phương trình tích phân cho trang thái tái han Trong muc se dan m®t phương trình tích phân cho nghi¾m lưong âm cna phương trình Schrodinger khơng phu thu®c thòi gian (H(ψ) = E(ψ)) Vói muc đích so sánh, se xét trưòng hop V ∈ L2 Khi H = H0 + V phương trình tốn tú, v¾y H(ψ) = E(ψ) suy (E − H0)ψ = V ψ ho¾c ψ = [(E − H0 )−1 V ]ψ (3.1) −1 Vì V ∈ L2, tốn tú (E − H0)√ V có hat nhân Hilbert-Schmidt đơn, (3.1) có dang (κ = −E): ψ(x) = − ¸ e−κ|x−y| y (3.2) V (y)ψ(y)d 4π|x − y| Neu V ∈ R, h¾ thúc quan H(ψ) = H0ψ + V ψ (xem quan h¾ giua véc tơ H) có the khơng có the xáy D(H)∩D(H0 ) = {0} Vì v¾y (3.1) ú (3.2) se sai Chỳng ta se thnc hiắn mđt vài thao tác hình thúc (3.1) Neu φ = V (3.1) 1/2 vói V , nh¾n đưoc || φ = [V || 1/2 1/2 ψ bang cách nhân || ψ(E − H0)−1V 1/2]φ (3.3) phương trình tích phân đưoc Schwinger sú dung đau tiên trưòng hop L2 ∩L1 Khi V ∈ R, (3.3) có nghĩa v¾y hy vong rang se đưoc chúng minh cho trang thái tói han Tương tn vói (3.1), (3.3) có dang tích phân vói ¸nhân Hilbert-Schmidt (κ = √−E): 1/2 −κ|x−y| 1/2 V e (x) (y) φ(y) y V φ(x) = || d 4π|x − y| − (3.4) Vói nhung lưong âm, chúng minh cna (3.3) cho hàm riêng dna vào bo đe sau: Bo đe 3.1.1 Cho ψ ∈ D(H) vói H = H0 + V Khi vói bat kỳ E m¾t phang cat tac: V 1/2 || (E − H0)−1(E − H)ψ = (1 − V 1/2 || (E − H0)−1V 1/2)(V || 1/2 ψ)(3.5) Chúng minh Chúng ta chon E âm cho nhung thnc hi¾n chuoi lũy thùa hình thúc hop lý tiep tuc m®t cách giái tích Co đ%nh E cho " V||1/2 (E − H0 )− V 1/2 "< 1; (1 − V||1/2 (E − H0)V 1/2 )−1 ton tai Như đ%nh lý II.40 (a): V 1/2 || (E − H)−1[1 − V 1/2 || (E − H0)V 1/2]−1[V 1/2 || (E − H0)−1] Do v¾y, 1/2 −1 [1 − V|| (E − H0 ) V 1/2 1/2 ]V || (E − H) −1 1/2 =V (E || −1 − H0 ) Vói ψ ∈ D(H) áp dung phương trình cuoi cho (E − H)ψ Vì v¾y (3.5) thóa mãn vói E thnc sn âm Vì cá hai phía đeu giái tích vói E m¾t phang cat, (3.5) thúa ton bđ mắt phang cat Q Hắ trnc tiep cna bo đe Đ%nh lý 3.1.2 Cho V ∈ R + L∞, E = −κ < Neu Hψ = Eψ V Φ 1/2= theo (3.3) Hơn the, neu V ∈ R Φ thóa mãn phương trình || tích phân Fredholm (3.4) Ket quan đ%nh lý đáo cna đ%nh lý vùa nêu Đieu dna vào bo đe sau: Bo đe 3.1.3 Cho ψ ∈ H+1 cho V ∈ R + L∞ Khi [1 − (E − H0)−1V ]ψ = (E − H0)−1(E − H)ψ (3.6) vói bat kỳ E m¾t phang cat tac (Như thơng thưòng, (E−H) đưoc xem ánh xa tù H+1 vào H−1 (E − H 0)− tù H−1 vào H+1) Chúng minh Ta xem E − H = (E − H0) − V ánh xa: H+1 → H−1 Q Đ%nh lý 3.1.4 Cho V ∈ R + L∞ Cho φ = 1/2 || (E − H0)−1V 1/2]φ vói [V E m¾t phang cat tac Khi đó, ton tai φ thóa mãn: (a) ψ ∈ D(H) (b) Hψ = Eψ (c) φ = V 1/2 ψ || Chúng minh Lay ψ = [(E − H0)−1V H0)−1V 1/2 ]φ Vì V 1/2 || −1/2 H 1/2 , (E − 1/2 D(H0 ) tốn tú b% ch¾n nên ψ ∈ Ran(E − H0) = ≡ H+1 Vì φ thóa mãn phương trình tích phân, (c) hien nhiên Do v¾y ψ = [(E − H0)−1V 1/2](V 1/2ψ) = [(E − H0)−1V ]ψ Khi đó, theo (3.6) (E − H0)−1(E − H)ψ = Vì (E − H0)−1 song ánh tù H−1 lên H+1, ta có (E − H)ψ = m®t phan tú cna H−1 Nhưng Hψ = Eψ ∈ H+1 ⊂ H nghĩa ψ ∈ H+1 Hψ ∈ H, ψ ∈ D(H) Vì v¾y (a) (b) Q H¾ q 3.1.5 Cho V ∈ R Khi phương trình tích phân ψ = φ + [V || 1/2 (E − H0)−1V 1/2]ψ có nghi¾m nhat vói moi φ ∈ L2, E m®t siêu phang cat tac mà khơng phái giá tr% riêng cúa H; đ¾c bi¾t ImE ƒ= Chúng minh Vì V 1/2 || (E − H0)−1V 1/2 Hilbert-Schmidt, õy l mđt hắ quỏ trnc tiep khỏc cna đ%nh lý A.25 (Theorem A.25) [12] Q Khi E = ho¾c dương, (3.1) khơng nghĩa m®t phương trình tốn tú nua, (E − H0)−1V khơng the xác đ%nh Tuy v¾y (và đieu đưoc Scadrom c®ng sn ý đau tiên [ ]), V ∈ R, V 1/2 H0)−1V 1/2 có m®t giói han Hilbert-Schmidt E xap xí (E − vúi truc thnc dng tự mđt phớa Vỡ vắy chỳng ta hy vong m®t phương || trình tích phân kieu (3.3) thóa mãn có m®t hàm riêng lưong không âm Như se thay, sn tương tn cna đ%nh lý 3.1.2 đúng, sn tương tn cna đ%nh lý 3.1.4 khơng Đ%nh lý 3.1.6 Cho Hψ = Eψ vói H = H0 + V vói V ∈ R E ≥ Khi lim(1 − 1/2 (E ± iε − H0)−1V 1/2) 1/2 ψ) = 0, || || V (V ε↓0 túc φ = V 1/2 ψ thóa mãn c¾p phương trình tích phân: || ¸ φ(x) = |V (x)|1/2(4π|x − y|)−1e±i √ E|x−y| V 1/2 (y)φ(y)d3y (3.6a) Chúng minh Nhò bo đe 3.1.1 V 1/2 || (E ±iε−H0 )−1 (E ±iε−H)ψ = (1−V 1/2 || 1/2 (E ±iε−H0 )−1 V 1/2)(V || ψ) (3.7) bang Ve phái cna (3.7) h®i tu tói η±, (3.6a) tương đương vói η± = Cho χΩ hàm đ¾c trưng cna t¾p b% ch¾nΩ Khi đó, sú dung (E − H)ψ = 0: 1/2 χΩη± = lim ±(iε) (χΩV || )(E ± iε − H0 )−1 ψ, ε↓0 Vì V đ%a phương L1, χΩV 1/2 || vói chuan ¸ e−1κ|x−y| (E ± iε H0)−1 Hilbert-Schmidt 1/2 ¸ 1/2 χΩ(x)|V (x)| d 4π|x − y|2 xd y < Ω |V (x)|d x 2κ1/2 √ κ = |Im E ± iε| = 0(ε) Vì v¾y so hang ó giói han cuoi có chuan ∼ ε0(ε−1) = 0(ε1/2) → ε ↓ Do χΩ η± = vói Ω bat kỳ, ta có η± Q Lưu ý: Tuy nhiên khơng phái nghi¾m cna phương trình 3.6a nhat thiet phái tương úng vói trang thái tói han Ví du như: gieng vng cau vói nhung c®ng hưóng s- sóng lưong zero có hàm sóng thóa mãn (3.6a) 1/2 (vói E = 0) lai có ψ(r) r−1 Vì v¾y || V ψ ∈ L2 ψ ƒ∈ L2, túc (3.6a) cú mđt nghiắm L2 nhng H = khơng có nghi¾m L2 3.2 C¾n cúa so giá tr% riêng âm Trong muc se xem xét van đe thay đoi c¾n trưòng hop the thu®c R Bo đe 3.2.1 (Schwinger, [12], tr 86 ) Cho N (V ; E < −κ2) so trang thái tói han cúa H0 + V vói lưong E b% ch¾n bói −κ2 Cho V ∈ L κ > Khi đó: ¸ N (V ; E < −κ2) ≤ (4π) |V (x)|e−2κ|x−y||x − y|−2|V (y)|d3xd3y −2 Chúng minh Đau tiên xét trưòng hop V ≤ Theo Schwinger, ý tói tính liên tuc tương tác hang (xem [12], Đ%nh lý II.33) sn ki¾n nói rang, giá tr% riêng đơn đi¾u giám, N (V ; E < −κ) so giá tr% riêng không âm λ < mà vói chúng (H0 + λV )ψ = −κ2ψ có nghi¾m Theo đ%nh lý 3.1.2, đong nhat vói so nghiắm cna (x) = R(x, y)(y)d3y, (3.8) vói λ < 1, R đưoc cho bói (3.4) Nhưng (vói V < 0, Rκ tn liên hop) T r(R Rκ ) = (λ−2) + κ n ≥ λn Hơn the theo đ%nh lý 3.1.6 Trang thái tói han lưong khơng thóa mãn ψ = R0ψ Vì v¾y N (V ; E0 ≤ 0) ≤ T r(RT R0) Neu V ≤ khơng thóa mãn, sú dung N (V ; E ≤ 0) ≤ N (−|V |; E ≤ 0) Q Nh¾n xét 3.2.3 Như biet, sn bao hàm cúa trang thỏi E = l mđt ket quỏ múi thắm chí so vói V thóa mãn đieu ki¾n Kato Chúng ta có the đem sn c®ng hưóng lưong khơng, lưong khơng tương úng vói hàm riêng bình phương tích N (V ; E ≤ 0) Tat nhiên |V(−)(x)| = | min(V (x), 0)| có the thay the V (x) bat thúc tích phân tương đương Trong bat thúc có the thay the ” ≤ ” bang ” < ” Rκ có giá tr% riêng λ > Như hai ví du cna phương pháp xap xí, se chúng minh Đ%nh lý 3.2.4 Cho V ∈ R Khi ¸ N (V ; E < 0) ≤ (4π) V (x)V (y)|x − y|−2d3xd3y −2 Chúng minh Cho VN (x) = V (x) neu |V (x) < Thì VN → V N| |V (x) > N| chuan Rollnik tù h¾ (2.15) PN (−∞, E) → P (−∞, E) "" E < không giá tr% riêng cna H0 + V Do v¾y N (VN , E < −κ2) → N (V ; E < −κ2) Vì VN Kato, tói han Ghirardi-Rimini suy ¸ N (VN ; E < −κ2) ≤ N (VN ; E < 0) ≤ |x−y|−2VN (x)VN (y)d3xd3y (4π)−2 Tù đ%nh lý h®i tu V εR −2 3 |x − y| V (x)V (y)d xd y ¸ N (V ; E < −κ2) ≤ (4π) −2 suy ket Q Nh¾n xét 3.2.5 Như Ghirardi Rimini, trang thái tói han ln ln tot tói han V (x) đơi tot hơn, đơi xau tói han |V(−)(x)| Có m®t chúng minh trnc tiep cúa đ%nh lý theo Ghirardi Rimini Vói bat kỳ nghi¾m cúa (H − E)ψ = 0(E < 0) có [(H0 − E)−1/2V (H0 − E)−1/2]φ = φ vói φ = (H0 − E)1/2ψ Vì lưong liên ket đơn đi¾u tương tác, l¾p lu¾n sau tương đương vói l¾p lu¾n cna Schwinger chí ra: N ≤ lim[T r[(H0−E) −1/2 −2 V (H0−E) −1/2 ¸ ] ] = (4π) V (x)V (y)|x−y|d3xd3y E↓0 Đ%nh lý 3.2.6 [C¾n Bargmann] Cho V ∈ R Giá sú V trung tâm ¸ ∞ r V (r) dr Khi đó, so trang thái A-kênh thu đưoc n (V ) < | | ∞ A nA(V ) ≤ (2A + 1)−1 thóa mãn ¸∞ r|V (r)|dr Chúng minh Giá sú VN đưoc xác đ%nh chúng minh đ%nh lý 3.2.4 Goi PA phép chieu lên khơng gian đ®ng lưong A; PA giao hốn vói H0 + V H0 + VN phép chieu cna chúng Vì v¾y PN (−∞, E)PA → P (−∞, E)PA (H®i tu ó h®i tu theo chuan) neu E < khơng giá tr% riêng cna H0 + V Do nA(V ) = lim dim[P (−∞), E] E↑0 li = lim m dim[PN (−∞, E)] ≤ (2A + ¸∞ r|V |dr 1)−1 E↑0 N →∞ moi dim[PN (−∞, E)] < (2A + 1)−1 Bargmann [3] ¸ ∞ r|V |dr theo chúng minh cna Q 3.3 Ket lu¾n chương Trong chương này, trình bày m®t so n®i dung ve trang thái tói han cho toỏn tỳ Schrăodinger Núi mđt cỏch khỏc, chỳng ta trình bày m®t so ưóc lưong so giá tr% riờng õm cna toỏn tỳ Schrăodinger KET LUắN Luắn ó trỡnh by mđt so kien thỳc liờn quan en toỏn tỳ Schrăodinger-mđt toỏn tỳ quan trong Vắt lý Nđi dung nghiờn cỳu cna luắn bao gom: Mđt so kien thỳc Giỏi tớch hm Mđt lúp toỏn tỳ the nng thúa ieu kiắn Rollnik Mđt so kien thỳc ve trang thỏi túi han cna toỏn tỳ Schrăodinger Trờn c sú nhung kien thúc chuan b%, chúng tơi co gang trình bày m®t so n®i dung rat bán ve tốn tú the V thóa mãn đieu ki¾n Rollnik, chí ra: Lóp tốn tú the l¾p thành m®t khơng gian Banach Đong thòi, co gang trình bày m®t so kien thúc ve trang thái tói han cna toỏn tỳ Schrăodinger Nhung kien thỳc trỡnh by chỳa nng m®t so ưóc lưong so giá tr% riêng âm cna toỏn tỳ Schrăodinger Vúi pham vi luắn v thũi gian han che, vi¾c trình bày đay đn đưa nhung ví du minh hoa chưa đưoc thnc sn hồn thi¾n.Vi¾c nghiên cúu nhung tớnh chat cna toỏn tỳ Schrăodinger chac chan cũn đòi hói nhieu cơng súc Rat mong đưoc Thay chí báo ban đong nghi¾p góp ý đe em có đieu ki¾n nghiên cúu sâu sac nua Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] A N Cơnmơgơrop, X V Fơmin (1971), Cơ só Lý thuyet hàm giái tích hàm, NXB Giáo duc, H Nđi [2] Hong Tuy (1979), Giỏi tớch hiắn đai: t¾p 1, t¾p 2, t¾p 3, NXB Giáo duc, H Nđi [B] Ti liắu tieng Anh [3] V Bargmann (1952), On the number of bound states in a central field of force, Pros Nat Aca Sci (U.S.A), 38, 961-966 [4] M Birman and M Solomyak (1992), Schroădinger operator Esti- mates for number of bound states as function-theoretical problem, Amer Math Soc Transl.,150, 1–54 [5] H Brezis (2011), Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer, New York [6] G C Ghirardi and A Rimini (1965), The formal theory of scattering, J Math Phys.,6, 40–44 [7] A.Gossman and T.T Wu (1962), Schroădinger scattering amplitude, III, J Math Phys.,3, 684-689 [8] H Kov˘arik, S Vugalter and T Weidl (2007), Spectral estimates for twodimensional Schroădinger operators with application to quantum layers,Comm Math Phys.,275, 827–838 [9] E Nelson (1970), Topic in Dymanics I : Flows, Princeton Univ Press 51 52 [10] M Scadron, S Weinberg, J Wright (1964), Functional analysis and scattering theory Phys Rev135, B202-B207 [11] Barry Simon (1971), Hamiltonians defined as quadratic forms, Commun Math Phys 21, 192-210 [12] Barry Simon (1971), Quantum mechanics for Hamiltonians defined as quadratic forms, Princeton University Press, Princeton, New Jersey ... giong cna toỏn tỳ Schrăodinger "tn do" , tỳc l [0, ∞) m®t so giá tr% riêng âm M®t so trưòng hop ta có the ưóc lưong đưoc so giá tr% riêng âm Vi¾c làm có ý nghĩa v¾t lý (xem [4], [8], [12] nhung tài... Ưóc lưong so giá tr% riêng âm cúa toỏn tỳ Schroădinger mđt so trũng hop e lm lu¾n văn tot nghi¾p cna Mnc đích nghiên cNu Nam đưoc khái ni¾m úng dung cna “Ưóc lưong so giá tr% riêng âm cna tốn tỳ... mien xác đ%nh cna toán tú A đao hàm riêng cna f tai theo xi ∂x i ∇f (x)n ∆ = gradient cna f tai x ∂2 toán tú Laplace ∂x2i H = Ho + V A i=1 toỏn tỳ Schrăodinger toỏn tỳ liờn hop cna toán tú A f:X→Y