Möc löc PHN MÐ U 1 1.1 Mët sè to¡n tû trong khæng gian Hilbert . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 To¡n tû bà ch°n v to¡n tû khæng bà ch°n. . . . . . . 4 1.1.2 To¡n tû li¶n hñp, to¡n tû tü li¶n hñp. . . . . . . . . 5 1.1.3 To¡n tû d÷ìng, to¡n tû unita. . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 To¡n tû compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.5 To¡n tû kh£ âng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Phê cõa to¡n tû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Phê iºm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Phê cèt y¸u, phê ríi r¤c. . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Mët sè ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Khæng gian C1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Ph²p chi¸u trüc giao. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Væ còng b² cõa mët h m. . . . . . . . . . . . . . . . 12 MÖC LÖC iii 1.3.4 Khæng gian Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.5 Nûa nhâm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 K¸t qu£ ch½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Chùng minh ành lþ 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 B§t ¯ng thùc Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Chùng minh ành lþ 2.4 v ành lþ 2.5 . . . . . . . . . . . 23 2.4.1 Chùng minh ành lþ 2.4. . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.2 Chùng minh ành lþ 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . 29
LỜI CẢM ƠN Qua luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô khoa Toán - Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung thầy cô môn Giải tích nói riêng dạy bảo dìu dắt tác giả suốt thời gian qua Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới TS Dương Anh Tuấn, thầy tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ tác giả suốt trình làm luận văn Cảm ơn bạn bè, gia đình, đồng nghiệp tất người quan tâm, động viên giúp đỡ để tác giả hoàn thành nhiệm vụ Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót định Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý độc giả để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng 10 năm 2015 Học viên Nguyễn Kim Hưng i Mục lục PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 1.2 1.3 Một số toán tử không gian Hilbert 1.1.1 Toán tử bị chặn toán tử không bị chặn 1.1.2 Toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp 1.1.3 Toán tử dương, toán tử unita 1.1.4 Toán tử compact 1.1.5 Toán tử khả đóng Phổ toán tử 1.2.1 Phổ điểm 1.2.2 Phổ cốt yếu, phổ rời rạc 10 Một số định nghĩa 11 1.3.1 Không gian C0∞ 11 1.3.2 Phép chiếu trực giao 11 1.3.3 Vô bé hàm 12 ii MỤC LỤC iii 1.3.4 Không gian Sobolev 12 1.3.5 Nửa nhóm 13 2.1 Kết 15 2.2 Chứng minh Định lý 2.3 2.3 Bất đẳng thức Hardy 20 2.4 Chứng minh Định lý 2.4 Định lý 2.5 23 16 2.4.1 Chứng minh Định lý 2.4 24 2.4.2 Chứng minh Định lý 2.5 29 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Quỹ đạo chuyển động hạt lượng tử tích điện R2 tương tác với từ trường B = curl A cho công thức toán tử vi phân HB = (i∇ + A)2 , L2 (R2 ) (0.1) Bất đẳng thức tiếng Cwikel-Lieb-Rozenblum [5, 12, 14] nói với số chiều d ≥ 3, số giá trị riêng âm H0 − V ước lượng V+ (x)d/2 dx, N (H0 − V, 0) = N (−∆ − V, 0) ≤ Cd (0.2) Rd đó, V+ = max(V, 0) Cd số độc lập V Hơn nữa, kết [2] bất đẳng thức (0.2) với giả thiết V tương đối tổng quát −∆ thay HB Tuy nhiên, trường hợp hai chiều, người ta bất đẳng thức (0.2) không Thật vậy, toán tử −∆ − V trường hợp hai chiều có giá trị riêng ngắt yếu, cụ thể R2 V dx ≥ 0, V ≡ toán tử −∆ − λV có giá trị riêng âm với λ > Đối với toán tử Schr¨odinger hai có từ trường, người ta rằng, nói chung, giá trị riêng yếu, (xem [21]) Do đó, người ta hy vọng rằng, toán tử Schr¨odinger có từ trường, thiết lập bất đẳng thức kiểu (0.2) cho số giá trị riêng âm Vì vậy, luận văn này, chọn đề tài " Về số giá trị riêng âm toán tử Schr¨odinger hai chiều có từ trường" dựa kết nghiên cứu H.Kovarik (xem [16]) Mục đích nghiên cứu đối tượng nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu cận N (HB − V, 0) Phương pháp nghiên cứu Phương pháp sử dụng dựa phương pháp phát triển Lieb kết hợp với số bất đẳng thức kiểu Hardy Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày số kết toán tử compact, toán tử dương, toán tử unita Chương 2: Về số giá trị riêng âm toán tử Schr¨ odinger MỘT SỐ KÍ HIỆU R+ Tập tất số thực không âm Rn Không gian Euclide n−chiều với tích vô hướng T x, y = x y chuẩn vectơ x = ∂f ∂f ∂f ∂x1 , ∂x2 , , ∂xn ∇f = Bs ={x ∈ R2 : x < s}, với s > λ(A) Tập tất giá trị riêng A S1 ={x ∈ R2 / x = 1} C0∞ Tập hàm khả vi vô hạn Lp (R2 ) ={u : R2 → R : L∞ (Ω) ={u : Ω → R/∃M > 0, |u(x)| Lploc (U ) ={f : U → R : ∀K R2 n i=1 xi |u(x)|p dx < +∞}, với p ≥ U, T Lp (0, T ; X) ={u : (0, T ) → X/ K u(t) M hầu khắp nơi Ω} |f |p dV < +∞}, với p ≥ p X dt < ∞}, với p ≥ Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày khái niệm kết lý thuyết phổ toán tử tuyến tính 1.1 Một số toán tử không gian Hilbert 1.1.1 Toán tử bị chặn toán tử không bị chặn Toán tử tuyến tính (nói chung không bị chặn) H ánh xạ tuyến tính T : D(T ) ⊂ H −→ H, D(T ) trù mật H Ví dụ 1.1 Toán tử tích phân A : L2 (R) −→ L2 (R) cho Af (x) = K(x, y)f (y)dy, K ∈ L2 (R2 ), R D(A) = L2 (R2 ), toán tử bị chặn với chuẩn |K(x, y)| dxdy A = R < ∞ R Xét toán tử T : L2 [0, 1] −→ L2 [0, 1] cho f ∈ L2 [0, 1], T f (x) = f (x), D(T ) = {f ∈ L2 [0, 1] : f ∈ L2 [0, 1]}, T toán tử không bị chặn Thật Lấy fn (x) = xn bị chặn L2 [0, 1] ta có 2n fn (x) = x dx =√ n−1 T fn (x) = (nx ) dx , 2n + =n 2n − Do đó, T ≥ 1.1.2 T fn =n fn 2n + −→ ∞ n → ∞ 2n − Toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp Định nghĩa 1.1 Giả sử H không gian Hilbert tách T : D(T ) ⊂ H −→ H toán tử không bị chặn với miền xác định trù mật D(T ) Khi tồn toán tử không bị chặn T ∗ : D(T ∗ ) ⊂ H −→ H cho D(T ∗ ) = {v ∈ H : tồn C(v) ≥ cho | T u, v | ≤ C(v) u , u ∈ D(T )} T u, v = u, T ∗ v , với u ∈ D(T ), với v ∈ D(T ∗ ) Toán tử T ∗ gọi toán tử liên hợp T Định nghĩa 1.2 Giả sử A, B : H −→ H toán tử không bị chặn, ta nói A ⊂ B D(A) ⊂ D(B) Bu = Au với u ∈ D(A) Ta nói A = B D(A) = D(B) Au = Bu với u ∈ D(A) Định nghĩa 1.3 Giả sử T : H −→ H toán tử không bị chặn có miền xác định trù mật, ta nói T toán tử đối xứng T ⊂ T ∗ T toán tử tự liên hợp T = T ∗ Như vậy, T toán tử tự liên hợp T u, v = u, T v , u, v ∈ D(T ) Định nghĩa 1.4 Toán tử đối xứng T gọi tự liên hợp cốt yếu T toán tử tự liên hợp Ví dụ 1.2 Cho J khoảng J ⊂ R Giả sử V (x) hàm đo giá trị thực hữu hạn A toán tử nhân xác định Af (x) = V (x)f (x), D(A) = {f ∈ L2 (J) : V f ∈ L2 (J)} Khi A toán tử tự liên hợp 1.1.3 Toán tử dương, toán tử unita Định nghĩa 1.5 Giả sử H không gian Hilbert A ∈ L(H) Ta nói A toán tử dương viết A ≥ (Ax, x) ≥ 0, với x ∈ H Ví dụ 1.3 Phép chiếu trực giao P lên không gian đóng M không gian Hilbert H toán tử dương Chứng minh Ta có P toán tử tuyến tính liên tục Mặt khác, với x ∈ H x = x1 + x2 Với x1 ∈ M, x2 ∈ M ⊥ , P x, x = x1 , x1 + x2 = x1 ≥ Suy P toán tử dương Định nghĩa 1.6 Giả sử H không gian Hilbert, toán tử U ∈ L(H) toán tử unita giữ nguyên tích vô hướng U x, U y = x, y , ∀x, y ∈ H Định lí 1.1 Giả sử H không gian Hilbert U ∈ L(H) khẳng định sau tương đương (i) U đẳng cấu unita (ii) U ∗ U = U U ∗ = 1E (iii) U song ánh tuyến tính liên tục U ∗ = U −1 Nhận xét 1.1 Nếu U toán tử unita U = Ví dụ 1.4 (i) Toán tử đồng không gian Hilbert H toán tử unita (ii) Toán tử A : l2 (N) −→ l2 (N) xác định A(x) = (λ1 x1 , λ2 x2 , , λn xn , ), x = (x1 , x2 , , xn , ), λk ∈ C, k = 1, 2, toán tử unita |λk | = với k (iii) Toán tử U : f (t) −→ eit f (t) L2 [0, 2π] toán tử unita 1.1.4 Toán tử compact Định nghĩa 1.7 Giả sử E F không gian Hilbert, toán tử tuyến tính T : E −→ F gọi compact T ({x ∈ E : x ≤ 1}) compact tương đối F , nghĩa bao đóng compact F Ta ký hiệu S∞ lớp toán tử compact Định lí 1.2 Nếu fn ∈ L(E, F ) dãy toán tử compact không gian Hilbert hội tụ tới f L(E, F ) f toán tử compact Ví dụ 1.5 (i) Mọi toán tử tuyến tính hữu hạn chiều toán tử compact Chứng minh Giả sử f : E −→ F toán tử tuyến tính hữu hạn chiều, Imf không gian hữu hạn chiều F Bổ đề 2.3 Giả sử từ trường thỏa mãn điều kiện Định lý 2.4 Khi tồn số κ > cho u ∈ C0∞ (R2 ) ta có 2π ∀r > u(r, θ)dθ = 0, ⇒ R2 |(∇ + iA)u(x)| dx ≥ κ R2 |u(x)|2 dx |x|2 (2.23) Chứng minh Giả sử u ∈ C0∞ (R2 ) thỏa mãn giả thiết (2.23) Khi ta phân tích u thành chuỗi Fourier eimθ um (r) √ , u(r, θ) = 2π m=0 um (r) = √ u(r, ), eimθ 2π L2 (0,2π) Cho từ trường xuyên tâm ta có ∞ |(∇+iA)u| = R2 (Φ(r) + m)2 |um (r)| + |um (r)|2 rdr, (2.24) r m=0 xem (2.31) Từ Φ(r) bị chặn, tồn c > M0 ∈ N cho (Φ(r) + m)2 ≥ c > ∀r > 0, ∀m : |m| ≥ M0 (2.25) Mặt khác, Φ(r) → r → Φ ∈ / Z, cho m = ta tìm < rm < Rm số cm > cho (Φ(r) + m)2 ≥ cm (0, rm ) ∪ (Rm , ∞) Bởi "mở rộng" có trọng Hardy khoảng (rm , Rm ) Bổ đề 2.2 ta ∞ ∀m = 0, |m| < M0 (Φ(r) + m)2 |um (r)| + ∃cm > : |um (r)|2 rdr r ∞ |um (r)|2 ≥ cm dr r Từ (2.24), (2.25) đồng thức Paraseval tồn κ > cho R2 |(∇ + iA)u| ≥ κ 22 R2 |u(x)|2 dx |x|2 Nếu tổng thông lượng Φ số nguyên, ta có Bổ đề 2.4 Giả sử từ trường thỏa điều kiện Định lý 2.5 Khi tồn số κ cho với u ∈ C0∞ (R2 ) biểu diễn đúng: Nếu 2π 2π u(r, θ)dθ = e−iθΦ u(r, θ)dθ = r > 0, (2.26) R2 |(∇ + iA)u(x)| dx ≥ κ R2 |u(x)|2 dx |x|2 (2.27) Chứng minh Lập luận tương tự Bổ đề 2.3 2.4 Chứng minh Định lý 2.4 Định lý 2.5 Cho từ trường xuyên tâm ta giới thiệu vector A tương ứng tọa độ cực (r, θ) sau: a(r) = r A(r, θ) = a(r)(−sinθ, cosθ), r B(t)tdt = Φ(r) r Khi curlA = B Từ A bị chặn, chi tiết giả thiết (H), quỹ đạo chuyển động HB liên kết với dạng toàn phương đóng ∞ 2π (|∂r u|2 +r−2 |i∂θ u + Φ(r)u|2 )rdrdθ, (2.28) u ∈ H (R+ × (0, 2π)) Bằng mở rộng hàm u ∈ L2 (R+ × (0, 2π)) thành chuỗi Fourier với sở trực chuẩn {(2π)−1/2 eimθ }m∈Z L2 (0, 2π), ta L2 (R2 ) = ⊕Lm , m∈Z 23 (2.29) Lm = {g ∈ L2 (R2 ) : g(x) = f (r)eimθ , ∞ |f (r)| rdr < ∞} Vì từ trường B xuyên tâm, toán tử HB có khai triển ⊕(hm ⊗ id)Πm , HB = (2.30) m∈Z hm toán tử sinh bao đóng L2 (R+ , rdr), dạng toàn phương ∞ (Φ(r) + m)2 |f | rdr |f | + r2 (2.31) định nghĩa unita C0∞ (R+ ), Πm : L2 (R2 ) −→ Lm phép chiếu (Πm u)(r, θ) = 2π 2π eim(θ−θ ) u(r, θ )dθ (2.32) Toán tử H0 = −∆ ⊕(Pm ⊗ id)Πm , −∆= (2.33) m∈Z đó, Pm toán tử sinh bao đóng L2 (R+ , rdr), dạng toàn phương ∞ |f |2 + 2.4.1 m2 |f | rdr, r2 f ∈ C0∞ (R+ ) Chứng minh Định lý 2.4 Ta chứng minh cận (2.4) V liên tục có giá compact Trong trường hợp tổng quát, cách xấp xỉ V dãy hàm liên tục compact sử dụng tiêu chuẩn giới hạn bất đẳng thức (2.4) Đặt Π0 đưa (2.32) đặt Qu = u − Π0 u, 24 u ∈ L2 (R2 ) Từ Π0 Q kết hợp với HB , nguyên lý biến phân bất đẳng thức |(u, (Π0 V Q + QV Π0 )u| ≤ (u, QV Qu) + (u, Π0 V Π0 u), ∀u ∈ C0∞ (R2 ), kéo theo ước lượng HB − V ≥ Π0 (HB − 2V )Π0 + Q(HB − 2V )Q (2.34) theo nghĩa dạng toàn phương C0∞ (R2 ) Do N (HB − V, 0) ≤ N (Π0 (HB − 2V )Π0 , 0) + N (Q(HB − 2V )Q, 0) (2.35) Đặt V (r) = 2π 2π V (r, θ)dθ (2.36) Giả sử ta ký hiệu P0a,b giới hạn toán tử P0 L2 ((a, b), rdr) với điều kiện biên Neumann điểm cuối a b Bổ đề 2.5 Đặt ≤ a < b ≤ ∞ Giả sử W ≥ liên tục giá compact Khi tồn số L0 , không phụ thuộc a b, cho với δ > ta có N (P0a,b δ2 L0 + − W (r), 0)L2 ((a,b),rdr) ≤ r δ b W (r)rdr (2.37) a Chứng minh Xét ánh xạ U : L2 ((a, b), rdr) → L2 (a, b) định nghĩa (Uf )(r) = r1/2 f (r) Tính toán trực tiếp ta có toán tử Tδa,b (Tδa,b u)(r) := U P0a,b δ −1 + U r δ − 41 = −u (r) + u(r), r2 L2 (a, b), u (a) = (2.38) u(a) u(b) , u (b) = , 2b 2b < a < b < ∞, 25 điều kiện biên u(a) = a = u ∈ L2 (a, ∞) b = ∞ Đặt a,b Ga,b δ (r, r , κ) nhân tích phân giải thức Tδ điểm κ tức a,b −1 Ga,b δ (r, r , κ) = (Tδ + κ ) (r, r ) Từ định lý Sturm-Liouville toán tử vi phân thông thường ta tính Ga,b δ (r, r, κ) = r (Iδ (rκ)+ωδ (a)Kδ (rκ))(Iδ (rκ)+ωδ (b)Kδ (rκ)), ωδ (a) + ωδ (b) Iδ Kδ hàm Bessel thay đổi, ωδ (r) = − Iδ (rκ) Kδ (rκ) (2.39) Từ [1] ta có lim Ga,b δ (r, r, κ) = κ→0 2r 22−2δ (ab)2δ + 2δ δ (a + b2δ )r2δ ≤ cr , δ với số c không phụ thuộc vào a, b r Nguyên lý Birman-Schwwinger đưa N (Tδa,b b − W (r), 0)L2 (a,b) ≤ lim κ→0 a Ga,b δ (r, r, κ)W (r)dr c ≤ δ b W (r)rdr a Vì U unita, bổ đề chứng minh Bổ đề 2.6 Giả sử V ∈ L1 (R+ , L∞ (S1 )) Khi ε > tồn Cε cho N HB + ε − V, ≤ Cε V |x|2 L1 (R+ ,L∞ (S1 )) (2.40) Chứng minh Theo tính trù mật, thỏa mãn chứng minh đánh giá V liên tục có giá compact Theo (2.30) ta có N HB + ε ε − V, ≤ N (h + − V , 0)L2 (R+ ,rdr) m |x|2 |x| m∈Z 26 (2.41) Ta nhắc lại kết [11] m2 + ε ε N (P0 + − V , 0)L2 (R+ ,rdr) N (−∆ + − V , 0) = |x| r m∈Z ≤ c(ε) V L1 (R+ ,L∞ (S1 )) (2.42) Vì Φ(r) bị chặn, tồn n0 ∈ N cho (m + Φ(r))2 ≥ m2 ∀r > 0, ∀m ∈ Z : |m| > n0 Do đó, từ (2.42) ta có |m|>n0 ε N (hm + − V , 0)L2 (R+ ,rdr) ≤ r |m|>n0 m2 + ε N (P0 + − 2V , 0)L2 (R+ ,rdr) r2 ≤ N −∆ + ≤ 2c(ε) V ε − 2V , |x|2 L1 (R+ ,L∞ (S1 )) Mặt khác, Bổ đề 2.5 ta có với m ∈ Z N (hm + ε ε (R ,rdr) ≤ N (P0 + − V , 0) − V , 0)L2 (R+ ,rdr) L + r2 r2 ≤ Cε V L1 (R+ ,L∞ (S1 )) Từ (2.41), bổ đề chứng minh Bổ đề 2.7 Giả sử B thỏa mãn giả thiết Định lý 2.4 Giả sử thêm V liên tục giá compact Khi tồn số c0 cho N (Π0 (HB − V )Π0 , 0) ≤ c0 ( V L1 (R2 ) + V log|x| L1 (B1 ) ) (2.43) Chứng minh Theo bất đẳng thức Hardy dẫn tới N (Π0 (HB + U1 − V )Π0 , 0) ≤ c V 27 L1 (R2 ) + V log|x| L1 (B1 ) , (2.44) U1 đưa (2.6) Ta có N (Π0 (HB + U1 − V )Π0 , 0) = N (h0 + U1 − V , 0)L2 (R+ ,rdr) (2.45) Ta bổ sung thêm điều kiện biên Neumann điểm r = Bởi nguyên lý biến phân N (h0 + U1 − V , 0)L2 (R+ ,rdr) ≤ N (P00,1 + − V , 0)L2 ((0,1),rdr) + N (P01,∞ + − V , 0)L2 ((1,∞),rdr) r Hơn nữa, Bổ đề 2.5 thỏa mãn với c N (P01,∞ + − V , 0)L2 ((r0 ,∞),rdr) ≤ c r ∞ V (r)rdr (2.46) Về phần toán tử P00,1 +1 L2 ((0, 1), rdr), ta nhận thấy infσ(P00,1 +1) = Do N (P00,1 + − V , 0)L2 ((0,1),rdr) = N (P00,1 − V , −1)L2 ((0,1),rdr) = N (T0 − V , −1)L2 (0,1) , (2.47) T0 = UP00,1 U −1 toán tử L2 (0, 1) tác động miền (T0 u)(r) = −u (r) − u(r) 4r2 với điều kiện biên u (1) = u(1) , u(0) = Ta tính phần tử chéo nhân tích phân (T0 + κ2 )−1 : (T0 + κ2 )−1 (r, r) =: G0 (r, r, κ) = rI0 (rκ)(K0 (κr) + ω0−1 (1)I0 (rκ)) Sử dụng tính chất hàm I0 K0 xem [1], ta dễ dàng kiểm tra G0 (r, r, 1) ≤ cr(1 + |logr|) r ∈ (0, 1) Theo nguyên lý Birman-Schwinger đẳng thức (2.47) ta có N (P00,1 + − V , 0)L2 (0,1),rdr) = N (T0 − V , −1)L2 (0,1) 28 ≤ G0 (r, r, 1)V (r)dr ≤c V (r)(1 + |logr|)rdr (2.48) Kết hợp (2.46) kéo theo (2.44) bổ đề chứng minh Chứng minh Định lý 2.4 Bổ đề 2.3, bất đẳng thức (2.40) hiệu suất nguyên lý biến phân N (Q(HB − V )Q, 0) ≤ N (Q(HB + ≤ N (HB + ≤c V κ − 2V )Q, 0) |x|2 κ − 2V, 0) |x|2 L1 (R+ ,L∞ (S1 )) Chứng minh hoàn thành sử dụng Bổ đề 2.7 Nhận xét 2.4 Đánh giá tương tự điều kiện bất đẳng thức logarit Lieb-Thirring cho toán tử −∆ − V hai chiều đạt [10] Cận trên N (−∆ − V, 0) bao gồm có trọng logarit nghiên cứu [4, 19, 20] 2.4.2 Chứng minh Định lý 2.5 Bởi Bổ đề 2.2 thỏa mãn chứng minh cận bị chặn (2.5) cho toán tử HB + − V + |x|2 log |x| Bổ đề 2.8 Giả sử B thỏa mãn giả thiết Định lý 2.5 giả thiết Φ = Giả sử thêm V liên tục giá compact Khi tồn số L1 cho N h0 + − V ,0 + r2 log r 29 L2 (R+ ,rdr) ≤ L1 ( V L1 (R2 ) + V log|x| L1 (R2 ) ) (2.49) Chứng minh Ta thêm điều kiện biên Neumann r = Ta có N (h0 + 1 0,2 (R ,rdr) ≤ N (P − V , 0) + − V , 0)L2 ((0,2),rdr) L + + r2 log r + r2 log r + N (P02,∞ + 2 − 2V , 0)L2 ((2,∞),rdr) r log r Thay đổi (2.48) đưa N (P00,2 + − V , 0)L2 ((0,2),rdr) + r2 log r ≤c V (r)(1 + χ(0,1) (r)|logr|)rdr (2.50) Trên khoảng (2, ∞) ta thêm vào điều kiện biên Neumann {r = n, n ∈ N, n ≥ 3} Do − V , 0)L2 ((2,∞),rdr) r2 log r ∞ ≤ N (P0n,n+1 + 2 − V , 0)L2 ((n,n+1),rdr) r log r n=2 N (P02,∞ + (2.51) Xem đẳng thức (2.38), ta thu N (P0n,n+1 + − V , 0)L2 ((n,n+1),rdr) r2 log r ≤ N (Tδn,n+1 − V , 0)L2 (n,n+1) , n (2.52) δn2 = log (n + 1) Do theo (2.37) ta có N (Tδn,n+1 n n+1 − V , 0)L2 (n,n+1) ≤ L0 n 30 δn−1 V (r)rdr n+1 ≤c V (r)(logr)rdr n Kết hợp với (2.50) (2.51) bổ đề chứng minh Bổ đề 2.9 Giả sử B thỏa mãn giả thiết Định lý 2.5 giả thiết Φ = −m ∈ Z Giả sử thêm V liên tục giá compact Khi tồn số k1 k2 cho N (hm + ≤ k1 ( V − V , 0)L2 (R+ ,rdr) + r2 log r L1 (R2 ) + V log|x| N (h0 − V , 0)L2 (R+ ,rdr) ≤ k2 ( V L1 (B1 ) L1 (R2 ) ) + V log|x| (2.53) L1 (R2 ) ) (2.54) Chứng minh Thay đơn giản Bổ đề 2.8 2.6 ta có bất đẳng thức (2.53) (2.54) Chứng minh Định lý 2.5 Giả sử Φ = −m ∈ Z Bất đẳng thức (2.20) N (HB − V, 0) ≤ N (HB + − V, 0) + |x|2 log |x| κ (2.55) Đặt Q = − Π0 − Πm phép chiếu phần bù trực giao L0 ⊕ Lm Tương tự đối số mục (2.28) ta thu − V, 0) ≤ N (Q(HB − 3V )Q, 0) + |x|2 log |x| + N (Π0 (HB − 3V )Π0 , 0) + N (Πm (HB + − 3V )Πm , 0) + |x|2 log |x| N (HB + = N (Q(HB − 3V )Q, 0) + N (h0 − 3V , 0)L2 (R+ ,rdr) + N (hm + − 3V , 0)L2 (R+ ,rdr) + r2 log r 31 (2.56) Như chứng minh Định lý 2.4 Bổ đề 2.4 bất đẳng thức (2.40) ta có N (Q(HB − V )Q, 0) ≤ N (HB + κ − 2V, 0) ≤ c V |x|2 L1 (R+ ,L∞ (S1 )) Từ Bổ đề 2.8, 2.9 bất đẳng thức (2.55), (2.56) ta có điều phải chứng minh Nhận xét 2.5 Thừa số logarit trường hợp Φ ∈ Z đặc trưng R2 Ví dụ miền R × (0, 1) suy giảm có trọng Hardy vô cực |x|−2 không phụ thuộc vào tổng thông lượng 32 KẾT LUẬN Trước hết, luận văn trình bày cách hệ thống kiến thức số toán tử không gian Hilbert, phổ toán tử, định nghĩa số không gian với số ví dụ minh họa cụ thể, đồng thời nêu số kiến thức dùng cho phần sau Tiếp đó, luận văn đưa kết số giá trị riêng âm toán tử Schr¨odinger hai chiều có từ trường, dựa theo báo H.Kovarik (xem [16]) 33 Tài liệu tham khảo [1] M Abramowitz and I Stegun, Handbook of mathematical functions National Bureau of Standards (1964) [2] J.E Avron, I Herbst, B Simon: Schr¨odinger operators with magnetic fields, I General interactions Duke Math J 45, (1978) 847–883 [3] M.S Birman spectrum of and a A Laptev: two-dimensional The negative Schr¨odinger discrete operator, Comm Pure and Appl Math XLIX (1996) 967–997 [4] K Chadan, N.N Khuri, A Martin and T.T Wu: Bound states in one and two spatial dimensions, J Math Phys 44 (2003) 406-422 [5] M Cwikel: Weak type estimates for singular values and the number of bound states of Schr¨odinger operators, Ann of Math 106 (1977) 93–100 [6] R.L Frank, E.H Lieb and R Seiringer: Equivalence of Sobolev inequalities and Lieb-Thirring inequalities In: XVIth International Congress on Mathematical Physics, Proceedings of the ICMP held in Prague, August 3-8, 2009, P Exner (ed.), 523-535, World Scienti 34 c, Singapore, 2010 [7] A Grigor’yan and L Saloff-Coste: Stability results for Harnack inequalities Ann Inst Fourier 55 no 3(2005) 825-890 [8] H Hess, R Schrader and D.A Uhlenbrock: Domination of semigroups and generalizations of Kato’s inequality Duke Math J 44 (1997) 893904 [9] D Hundertmark and B Simon: A diamagnetic inequality for semigroup differences, J Reine Angew Math 571, (2004) 107-130 [10] H Kovarík, S Vugalter and T Weidl: Spectral estimates for twodimensional Schr¨odinger operators with application to quantum layers, Comm Math Phys 275 (2007) 827-838 [11] A Laptev: The negative spectrum of a class of two- dimensional Schr¨odinger operators with spherically symmetric potentials, Func Anal Appl 34 (2000) 305–307 [12] E.Lieb: Bound states of the Laplace and Schr¨odinger operators, Bull Amer Math Soc.82 (1976) 751–753 [13] W.F Moss and J Piepenbrink: Positive solutions of elliptic equations Pacific J Math 75 (1978), 219-226 [14] G.V.Rozenblum: trum of Distribution singular of differential Izv Vassh Ucheb Zaved Matematika the operators (1976) translation in Soviet Math.20 (1976) 63– 71 35 discrete (in 75–86 specRussian), English [15] B.Simon: Kato’s inequality and the comparison of Semigroups, J Funct Anal 32 (1979) 97-101 [16] H.Kovarik, Eigenvalue bounds for two-dimensional magnetic Schr¨odinger operators J Spectr Theory (2011), 363-387 [17] G V Rozenblum, M.Z Solomyak: The Cwikel-Lieb-Rozenblum estimates for generators of positive semigroups and semigroups dominated by positive semigroups St Petersburg Math J (1998) 1195-1211 [18] G Rozenblum and M Solomyak: On the number of negative eigenvalues for the two-dimensional magnetic Schr¨odinger operator In Differential operators and spectral theory, 205–217 Amer Math Soc Transl Ser 2, 189, (1999) [19] M Solomyak: Piecewise-polynomial approximation of functions from H d ((0, 1)d ), 2l = d, and applications to the spectral theory of the Schr¨odinger operator, Israel J of Math.86 (1994) 253-275 [20] T Weidl: Cwikel type estimates in non-power ideals Math Nachr 176 (1995) 315-334 [21] T Weidl: A remark on Hardy type inequalities for critical Schr¨odinger operators with magnetic fields Op Theory: Adv and Appl.110 (1999) 247–254 36 ... ∞ |(φf ) (r)|2 rdr + c0 (1 − c0 ) |f (r)|2 rdr ∞ |f (r)|2 rdr + c0 ≤ |f (r)|2 rdr Mặt khác, từ (2) = 0, tích phân phần ta ∞ (φf )(r) (φf ) (r) − 2rlogr ∞ ∞ |(φf ) (r)| rdr − rdr = 2 |(φf )(r)|2