Sự phụ thuộc liên tục của véctơ riêng dương vào giá trị riêng của toán tử (K,Uo)- Lõm chính quy

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I II NGUYEN TH± THU HÀ SU PHU THU®C LIÊN TUC CÚA VÉCTƠ RIÊNG DƯƠNG VÀO GIÁ TR± RIÊNG CÚA TỐN TÚ (K,u0)-LÕM CHÍNH QUY LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC HÀ N®I - 2012 NGUYEN TH± THU HÀ SU PHU THU®C LIÊN TUC CÚA VÉCTƠ RIÊNG DƯƠNG VÀO GIÁ TR± RIÊNG CÚA TỐN TÚ (K,u0)-LÕM CHÍNH QUY LU¼N VĂN THAC SY Chun ngành : TỐN GIÁI Mã so : 60 46 01 TÍCH Ngưài hưáng dan khoa hoc: PGS.TS.GVCC NGUYEN PHU HY HÀ N®I, 2012 Mnc lnc Má đau KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 Không gian đ%nh chuan thnc 1.2 Không gian Banach thnc núa sap thú tn 1.2.1 Nón khơng gian đ%nh chuan 1.2.2 Quan h¾ sap thú tn khơng gian Banach thnc 1.3 Không gian Eu0 10 1.3.1 Đ%nh nghĩa không gian Eu0 m®t so tính chat đơn gián .10 1.3.2 M®t so đ%nh lý ve nón 12 1.4 M®t so khơng gian Banach thnc núa sap thú tn 15 1.4.1 Không gian Rn 15 1.4.2 Không gian l 22 1.4.3 Không gian L2[a, b] 28 TỐN TÚ(K,u0)-LÕM CHÍNH QUY 36 2.1 Toán tú (K,u0) lõm 36 2.1.1 Đ%nh nghĩa 36 2.1.2 M®t so tính chat đơn gián ve tốn tú (K,u0)-lõm 37 2.1.3 Ví du ve tốn tú (K,u0)-lõm 40 2.2 Toán tú (K,u0)-lõm quy 45 2.2.1 Đ%nh nghĩa 45 2.2.2 M®t so tính chat đơn gián ve tốn tú (K,u0)-lõm quy .45 2.2.3 Ví du ve tốn tú (K,u0)-lõm quy 48 SU PHU THU®C LIÊN TUC CÚA VÉCTƠ RIÊNG DƯƠNG VÀO GIÁ TR± RIÊNG CÚA TỐN TÚ (K,u0 ) – LÕM CHÍNH QUY 51 3.1 Sn ton tai véctơ riêng dương cna tốn tú (K,u0)-lõm quy 51 3.2 Đ%nh lý 54 Ket lu¾n Tài li¾u tham kháo 56 57 Lài cám ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna PGS.TS.GVCC Nguyen Phu Hy Tơi xin bày tó lòi cám ơn sâu sac đen PGS.TS.GVCC Nguyen Phu Hy ngưòi thay trnc tiep hưóng dan tơi suot q trình nghiên cúu hồn đe tài Tôi xin chân thành cám GS, TS giáng day chun ngành tốn Giái tích tai Trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2, ban hoc viên cao hoc Tốn Giái tích K14 giúp đõ tơi suot q trình hoc t¾p thnc hi¾n đe tài Nhân tơi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói gia đình, Ban Giám hi¾u trưòng Cao nghe Cơ khí nơng nghi¾p Bình Xun – Vĩnh Phúc ban bố, ong nghiắp ó tao ieu kiắn, đng viờn giúp đõ tơi rat nhieu suot q trình hoc t¾p, nghiên cúu Vĩnh Phúc, ngày tháng năm 2012 Tác giá Nguyen Th% Thu Hà Lài cam đoan Tôi xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan cna PGS.TS.GVCC Nguyen Phu Hy Trong nghiên cúu lu¾n văn, tơi ke thùa thành khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Vĩnh Phúc, ngày tháng năm 2012 Tác giá Nguyen Th% Thu Hà Má đau LÝ DO CHON ĐE TÀI Nhieu van đe cna tốn hoc, v¾t lý kĩ thu¾t dan đen vi¾c xét tốn tìm vectơ riêng giá tr% riêng cna tốn tú Chính v¾y mà tốn đưoc nhieu nhà tốn hoc lón the giói quan tâm nghiên cúu Các nhà tốn hoc lùng danh Hilbert, Banach, Frechet nghiên cúu van đe tù nhung năm đau cna the kí XX theo nhieu hưóng khác M®t nhung hưóng nghiên cúu lón lý thuyet khai trien theo véctơ riêng cna m®t tốn tú, roi m®t ho huu han tốn tú Tiep theo đó, lý thuyet ny oc phỏt trien cho mđt hắ vụ han tốn tú tn liên hop, dan đen hình thành lý thuyet tốn tú tuyen tính khơng gian hm vụ han chieu m cụng lún thuđc ve viắn sĩ Bededanxki hoc trò cna ơng Đ¾c bi¾t, nhà tốn hoc Nga noi tieng M.A Kraxnơxelxki nghiên cúu lóp tốn tú phi tuyen: Tốn tú lõm (1956) Sau GS-TSKH J.A Bakhtin mó r®ng ket q cho lóp tốn tú phi tuyen (K,u0)- lõm (1984) Các lóp tốn tú có chung tính chat u0- đo đưoc khien cho vi¾c úng dung tró nên khó khăn Năm 1987, PGS-TS Nguyen Phu Hy mó r®ng ket q đoi vói tốn tú lõm cho lóp tốn tú phi tuyen mói: Tốn tú lõm quy, khơng u cau tốn tú có tính chat u0- đo đưoc Vói mong muon tìm hieu sâu ve lóp tốn tú phi tuyen này, nhò sn giúp đõ, hưóng dan t¾n tình cna Thay giáo, PGS-TS - GVCC Nguyen Phu Hy manh dan chon nghiên cúu đe tài: “Sn phn thu®c liên tnc cúa véctơ riêng dương vào giá tr% riêng cúa tốn tú (K,u0)- lõm quy” MUC ĐÍCH NGHIÊN CÚU Đe tài nham nghiên cúu, trình bày ve tốn tú (K,u0)- lõm quy sn phu thu®c liên tuc cna véctơ riêng dương vào giá tr% riêng cna toán tú (K,u0)- lõm quy - NHIfiM VU NGHIÊN CÚU Tìm hieu ve khơng gian Banach thnc núa sap thú tn Tìm hieu ve tốn tú (K,u0)- lõm quy Tìm hieu ve sn phu thu®c liên tuc cna véctơ riêng dương vào giá tr% riêng cna toán tú (K,u0)- lõm quy ĐOI TƯeNG VÀ PHAM VI NGHIÊN CÚU - Đoi tưong nghiên cúu: Các kien thúc só can thiet, ket q ve tốn tú (K,u0)- lõm quy, sn phu thu®c liên tuc cna véctơ riêng dương vào giá tr% riêng cna toán tú (K,u0)- lõm quy - Pham vi nghiên cúu: Các tài li¾u, báo ngồi nưóc liên quan đen véctơ riêng, giá tr% riêng cna toán tú (K,u0)- lõm quy PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CÚU - Thu th¾p tài li¾u báo ve véctơ riêng, giá tr% riêng cna tốn tú (K,u0)- lõm quy - Tong hop, phân tích, h¾ thong khái ni¾m, tính chat - Tham kháo ý kien cna giáo viên hưóng dan GIÁ THIET KHOA HOC (HAY NHUNG ĐĨNG GĨP MéI) Nghiên cúu “Sn phn thu®c liên tnc cúa véctơ riêng dương vào giá tr% riêng cúa toán tú (K,u0)- lõm quy” se cho ta nhung hieu biet sâu sac ve van đe Hơn nua, ket thu đưoc có the mó r®ng cho lóp tốn tú khác Lu¾n văn có the sú dung làm tài li¾u cho nhung van đe tốn hoc tương tn khác Chương KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 Không gian đ%nh chuan thNc Đ%nh nghĩa 1.1 chuan) Ta goi làkhông gian đ%nh chuan (hay khơng gian tuyen tính đ%nh khơng gian tuyen tínht¾p X trưòng P (P≡R ho¾c P≡C), vói m®t ánh xa tù X vào so thnc R, ký hi¾u "." (đoc chuan) thóa mãn đieu ki¾n sau đây: T1) (∀x∈X) "." ≥ 0, "." = ⇔ x = θ (phan tú không cúa X ); T2) (∀x∈X) (∀α ∈P) "αx" = |α| "x"; T3) (∀x, y∈X) "x + y" ≤ "x" + "y" So "x" goi chuan cúa véctơ x Ta ký hi¾u khơng gian đ%nh chuan tương úng X Các tiên đe T1, T2, T3 goi h¾ tiên đe chuan Đ%nh nghĩa 1.2 Khơng gian đ%nh chuan X trưòng R goi khơng gian đ%nh chuan thnc, ký hi¾u: X ∞ Đ%nh nghĩa 1.3 Dãy điem (xn) n= cúa không gian đ%nh chuan X đưoc goi h®i tn tói điem x X, neu lim "xn − x" = ∈ n→∞ ∞ Đ%nh nghĩa 1.4 Dãy điem (xn) n= không gian đ%nh chuan X đưoc goi dãy bán, neu lim "xn − xm " = m,n→∞ Đ%nh nghĩa 1.5 Không gian đ%nh chuan X đưoc goi không gian Banach, neu moi dãy bán X đeu h®i tn 10 1.2 Khơng gian Banach thNc nNa sap thN tN 1.2.1 Nón khơng gian đ%nh chuan %nh ngha Chonún, khụng Banach E, mđt khỏc rong K⊂E goi1.6 m®t neugian K thóa mãn thnc cỏc ieu kiắn sau õy: N K l mđt đóng N21)) (∀x∈K),(∀y∈K) x+y ∈K; khơng gian E; N3) (∀x∈K),(∀t≥0) tx ∈K; N4 ) (∀x∈K),(∀xƒ= θ) -x ∈/K 1.2.2 Quan h¾ sap thN tN khơng gian Banach thNc Giá sú E không gian Banach thnc, K nón khơng gian E, ta đưa quan h¾ sap thú tn vào khơng gian E sau: Vói x, y ∈ E, ta viet x ≤ y, neu y-x K Khi ú quan hắ "" l mđt quan h¾ sap thú tn E Th¾t v¾y, +) (∀x∈E) x≤x, x-x = θ ∈ K ⇒Quan h¾ "≤" có tính chat phán xa +) (∀x, y, z∈E: x≤y, y≤z) ⇒y-x ∈ K, z-y ∈ K Ta có: z-x=(z-y)+(y-z) ∈ K ⇒ x≤z ⇒ Quan h¾ "≤" có tính chat bac cau +) (∀x, y∈E: x≤y, y≤x) x=y, neu x ƒ=y y-x ƒ= θ Do y-x ∈ K, nên x-y K, mâu thuan vói giá thiet y ≤ x ∈/ ⇒ Quan h¾ "≤" có tính chat phán đoi xúng Do quan h¾ "≤" quan h¾ sap thú tn khơng gian E vói nón K Lúc này, ta nói khơng gian E vói nón K cho tró thành khơng gian Banach sap thỳ tn bđ phắn hay khụng gian Banach nỳa sap thú tn Tù đ%nh nghĩa, de dàng suy tính chat đơn gián sau (ngồi tính chat khái ni¾m biet lý thuyet t¾p hop) ∞ Tính chat 1.1 Neu (x) n= ⊂ E, (y)∞ lim xn = x, lim n→∞ Th¾t v¾y, n→∞ yn = y x≤y n= ⊂ E, xn ≤ yn, ∀n = 1, 2, 1 1−t uj ≥ (1 − t) max uj 1≤j≤n ≥ δuj , δ = max uj > 1≤j≤n Suy Ax − tAy > δu0 vói δ 1 − t > = max uj 1≤j≤n V¾y A tốn tú (K,u0)lõm Tốn tN (K,u0 )-lõm quy 2.2 2.2.1 Đ%nh nghĩa Đ%nh nghĩa 2.9 Giá sú E không gian Banach thnc núa sap thú tn nhò gian nón E, K⊂E, A tốn tú phi tuyen ánh xa không gian E vào không θ kí K\{θ} hi¾u phan tú khơng cúa khơng gian E, u0 phan tú thu®c Tốn tú A goi (K,u0) – lõm quy neu: 1) A đơn đi¾u K; 2) dương ∀x∈K\{θ}, ∀t∈(0,1): Atxnón > tAx; 3) ∀x, y∈K(u0) ∀t∈(0,1) mà x-ty>θ, ∃δ = δ(x, y, t) cho AxtAy≥ δu0 2.2.2 M®t so tính chat đơn gián ve tốn tN (K,u0)-lõm quy Đ%nh lý 2.6 Neu A tốn tú (K,u0)-lõm quy ∀α ∈ R∗ , αA + )-lõm quy tốn tú (K,u0 Chúng minh *) Do A (K, u0)-lõm quy, suy ra: (+) A toán tú dương nên (∀x ∈ K) Ax ≥ θ ⇒ αAx ≥ α.θ = θ ⇒ αA toán tú dương (+) Do A đơn đi¾u nên (∀x, y ∈ K : x ≤ y) Ax ≤ Ay ⇒ αAx ≤ αAy (α > 0) ⇒ αA tốn tú đơn đi¾u *) (∀x ∈ K\ {θ})(∀t ∈ (0, 1)) Atx > tAx ⇒ αAtx > αtAx = tαAx (α > 0) *) (∀x, y ∈ K(u0)) (∀t ∈ (0,1) : x − ty > θ) (∃δ0 = δ0(x, y, t)) đeu có Ax − tAy ≥ δ0u0 Suy vói α > có αx−αty > θ, ∃δ = αδ0 đe α(Ax−tAy) ≥ α(δ0u0) ⇔ αAx − tαAy ≥ δu0 V¾y, neu A tốn tú (K, u0)-lõm quy, ∀α ∈ R∗ , αA + (K, u0)-lõm quy Đ%nh lý 2.7 Neu A tốn tú (K,u0)-lõm quy ∀n ∈ N ∗, An tốn tú (K,u0)-lõm quy Chúng minh Hien nhiên, đ%nh lý vói n=1 Giá sú đ%nh lý vói n=k ≥ 1, nghĩa tốn tú Ak lõm quy Vói n=k+1 ta xét tốn tú Ta có: Ak+1 AkK ⊂ K ⇒ Ak+1K=Ak(AK)⊂AkK⊂K +) ∀x, y ∈ K mà x ≤ y ⇒ Akx ≤ Aky ⇒ Ak+1x = A(Akx) ≤ A(Aky) = Ak+1y +) (∀x ∈ K\{θ})(∀t ∈ (0, 1))Aktx > tAkx ⇒ Akx > Aktx > θ ⇒ Akx ∈ K\{θ} Ak+1tx = A(Aktx) ≥ At(Akx) > tA(Akx) = tAk+1x +) (∀x, y ∈ K(u0))(∀t ∈ (0,1)) mà x-ty>θ, ∃δ = δ(x, y, t) > cho Akx − tAky ≥ δu0, ∃η = (Akx, Aky, t) > Ak+1tx = A(Aktx) ≥ At(Akx) ≥ (1 + η)tA(Akx) = (1 + η)tAk+1x Nên Ak+1 toán tú lõm quy Theo ngun lý quy nap, tốn tú An lõm quy ∀n∈N∗ Đ%nh lý 2.8 Neu A tốn tú (K,u0)-lõm quy tốn tú A khơng có q m®t điem bat đ®ng K(u0) Chúng minh Giá sú ton tai x, y ∈K(u0), xƒ=y cho Ax = x, Ay = y Vì x-y nờn phỏi tỳ x-y hoắc y-x khụng thuđc nún ƒ= K θKhơng mat có tínhm®t tongtrong qt,haigiáphan sú x-y ∈/K, tù tính u0 -đo đưoc cna tốnα tú A nón K, ∃α,β>0 cho αu ≤ Ax = x, Ay =y α ≤ βu0 nên α α y So 1, đ¾t λ có = β − αt α (1 − λ) + λt = Do đó: α + λ(x − ty) ∈ K β x − y = (1 − x− y λ) α β α (Đieu có đưoc do: 1−λ > 0, (x− y) ∈ K ⇒ β (1−λ) x− β y ∈K λ > 0,(x-ty)∈K ⇒ λ(x-ty)∈K) Tù mâu thuan vói giá thiet x-y K Vì v¾y, x ≥ ty (t θ Tù tính (K,u0) –lõm cna tốn tú A, (∃δ>0) x-t0 y=Ax-t0 Ay≥ δu0 Tù tù y ≤ βu0 suy ra: δ δ y = x − t0y − βu0 = (x − t0y) − δu0 ≥ θ β x − t0 + δ β Mâu thuan vói tính chat cna t0, vói t0 + > t0 Mâu thuan nh¾n đưoc chúng tó tốn tú A β khơng the có m®t điem bat đ®ng khác khơng K(u0) Đ%nh lý 2.9 Giá sú tốn tú A: E→E thóa mãn đieu ki¾n: 1)A tốn tú (K,u0)-lõm quy 2)∃x0,y0 ∈K(u0) cho x0 ≤Ax0, Ay0 ≤y0 Khi x0 ≤y0 Chúng minh Tù giá thiet, ∃α>0, ∃β>0 cho: αu0 ≤x0, y0 ≤ βu0 Giá sú không xáy bat thúc x0 ≤y0 Theo bo đe 2.1, goi t0 so lón nhat cho y0-tx0 ≥ θ So t0 ∈(0,1), neu t0 ≥1 y0 ≥t0x0 ≥x0 mâu thuan đieu≥ki¾n 0>0, t0 x0 ≥ Ay0vói -t0 Ax Ay0giá -At0sú, x0 ≥ θ hien ⇒ y0nhiên -t0 x0 t≥ θ ta có y0 Theo tính chat cna toán tú A, ∃δ>0 cho y0-t0x0 ≥ Ay0 -t0 Ax0 ≥ δu0 −1 ⇒y0-t0x0 ≥ δu0 ≥ δβ−1x0 ⇒ y−1 )x0 ≥ θ, mâu thuan vói 0-(t0 + δβ tính chat cnc đai cna t0, t0 + δβ >t0 Mâu thuan chúng tó x0 ≤ y0 Đ%nh lý 2.10 Neu ∀x∈K\{θ} mà Ax=λx, λ ∈R λ>0 Chúng minh Theo tính chat cna tốn tú A, λx=Ax=A2−1.2x > 2−1.Ax ≥ θ ⇒ λ>0(do x>θ) Đ%nh lý 2.11 Moi tốn tú (K,u0)-lõm quy chs có khơng q m®t véctơ riêng úng vói m®t giá tr% riêng K(u0) Chúng minh Giá sú ∃x∈K(u0), ∃y∈K(u0), xƒ=y cho Ax = λx, Ay = λy ⇒ λ>0 Do tốn tú A1=λ−1A có tính chat tốn tú A lai có điem bat đ®ng K(u0), mâu thuan vói đ%nh lý 2.8 2.2.3 Ví dn ve tốn tN (K,u0)-lõm quy Ví dn 2.2 Trong khơng gian Banach thnc núa sap thú tn Rn vói nón n K = ,x = (xj )j= : xj ≥ 0, j = 1, 2, , n,, toán tú: √3 √3 √3 n n A : R → R , Ax = ( x x 1, , , quy, u0 ∈ K\ {θ} Th¾t v¾y,xn ) tốn tú (K,u0 )-lõm * Ta có K(u0) xác đ%nh bói cơng thúc (2.1) * Ta chúng minh A tốn tú (K,u0)-lõm quy Th¾t v¾y, √3 n +) ∀x ∈ K, x = (xj )j= : xj ≥ 0, j = 1, 2, , n xj ≥ 0, j ⇒ = 1, 2, , n ⇒ Ax ≥ ⇒ AK ⊂ K ⇒ A tốn tú dương nón K n +)∀x, y ∈ K, x = (xj )j= : xj ≥ 0, j = 1, 2, , n, y = (yj : yj ≥ n ) 0, j = 1, n : x ≤ y ⇔ xj ≤ yj , j = 1, n √3 ⇒ xj ≤ √3 j= yj , j = 1, n ⇒ Ax ≤ Ay ⇒ A tốn tú đơn đi¾u nón K n +) ∀x ∈ K \ {θ} , x = (xjj= ) , ∃j0 : > 0, ∀t ∈ (0, 1) ta có: xj √3 √3 √3 √ √ √ Atx = ( tx1 , tx2 , txn ) tAx = (t x1 , t x2 , , t xn ), √3 t ∈ (0, 1) ⇒ t > t ⇒ √3 > t√3 0xj ⇒ Atx > tx j tAx +) ∀x, y ∈ K(u0) ∀t ∈ (0, 1) cho x − ty > θ tìm đưoc δ = δ(x, y, t) > cho Ax − tAy ≥ δu0 Th¾t v¾y, đ¾t S1 = {j ∈ {1, 2, , n} : xj − tyj > 0} , S2 = {j ∈ {1, 2, , n} : xj − tyj = 0} S1 ƒ= ∅, S2 = {1, 2, , n} \S1 Ta có: -) (∃α > 0) y ≥ αu0 ⇒ yj ≥ αuj , ∀j = 1, n √3 √ √ √ √ -) Vói j ∈ S2 có xj = tyj , xj − t yj = t yj − t yj √ √ = ( t − t) y j √ ≥ t− t)√3 ( √ √ uj = ( t − t) α max √ 1≤j≤n u j √ √3 ( t − t) α > = δuj , δ = ma √3 x 1≤j≤ n uj √3 √ √3 √3 √ -) Vói j ∈ S1 có xj > tyj , x j − t yj > t yj − t yj =( √ t − t) ≥ ( √3 √3 − √ t t) ≥ δuj y j .√ √ Do đó, vói ∀j = 1, n xj − t yj ≥ δuj vói δ= 3√ √ ( t − t) α √ √ ( t − t) α > Suy ra, Ax − tAy > δu0 vói δ ma √ x = 1≤j≤ n ma √3 x u 1≤j≤n j > uj V¾y A tốn tú (K,u0)-lõm quy +) Tuy nhiên tốn tú A khơng có tính chat u0-đo đưoc Th¾y v¾y: Giá sú tốn tú có tính chat u0- đo đưoc đoi vói u0 = (u0, u0, , u0 ) ∈ n K\ {θ} Khi đó, đoi vói phan tú x = (t, 0, , 0) ∈ K\ {θ}, t ∈ R, y = (1, 0, , 0) ∈ K\ {θ} ton tai so dương α, β cho αu0 ≤ Ax, Ay ≤ βu0, tù suy αu ≤ √3 t, ≤ βu0 , 1 αu0 ≤ 0, ≤ βu0 đieu vơ lý V¾y A tốn tú (K,u0)-lõm quy Chương SU PHU THU®C LIÊN TUC CÚA VÉCTƠ RIÊNG DƯƠNG VÀO GIÁ TR± RIÊNG CÚA TỐN TÚ (K,u0) – LÕM CHÍNH QUY 3.1 SN ton tai véctơ riêng dương cúa tốn tN (K,u0)lõm quy Đ%nh nghĩa 3.1 Cho không gian Banach thnc E núa sap thú tn nhò nón goi làK⊂E, tốn tú A: E→E Tốn tú tuyen tính b% ch¾n Q: E→E đưoc đao hàm ti¾m c¾n cúa tốn tú A theo nón K neu: "W(x)" Ax=Qx+W(x), ∀x∈K cho lim =0 x∈K,"x"→∞ "x" Đ%nh lý 3.1 Giá sú u0 ∈K\{θ} tốn tú (K,u0)-lõm quy A thóa mãn đieu ki¾n: 1) Vói moi dãy (xn) cúa nón K tăng, b% ch¾n theo chuan đeu có Sup(Ax n) ∈K; 2) Tốn tú A b% ch¾n theo chuan b% ch¾n bói u0 nón K; 3) Đao ti¾m c¾n Q cúa tốn tú A theo nón K có véctơ riêng xq ∈K(uhàm 0) tương úng vói giá tr% riêng λq>0 bang bán kính r(Q) cúa tốn tú Q Khi đó, tốn tú A có véctơ riêng K(u0) Chúng minh Đe chúng minh đ%nh lý 3.1 ta can bo đe sau: Bo đe 3.1 Qx≤Ax, ∀x∈K 51 70 Chúng minh Th¾t v¾y, Bo đe vói x= θ, Qθ = θ, Aθ∗≥ θ Giá sú x ∈ K\ {θ} nghĩa x>θ, ∀n∈N ta có: Ax − 1 Qx nx = A ≥ − "x" "x Anx Qx n " "x" (3.1) Qx − n Anx − Qnx W(nx) = "nx" = "nx" Cho n→ ∞ (3.1) theo đ%nh nghĩa đao hàm ti¾m c¾n ta đưoc Ax − Qx ≥ θ ⇒ Ax ≥ Qx "x" V¾y, Qx ≤ Ax, ∀x∈K Bo đe 3.2 Vói moi so −1 dương h, tốn tú Q1=h−1Q đao hàm ti¾m c¾n cúa−1tốn tú A1=h A theo nón K có bán kính r(Q1)=h r(Q) Chúng minh Th¾t v¾y, ∀x∈K\{θ} ta có lim "A1x − Q1x" = lim "W(x)" =0 h "x"→∞ "x" "x " nên Q1 đao hàm ti¾m c¾n cna tốn A1 theo nónK M¾t khác theo đ%nh nghĩa bán kính pho, "x"→∞ r(Q lim 1) = n n n→∞ = h lim n→∞ "Qn" = lim n "Qn" = n n→∞ r(Q) h h Qn 71 Bo đe 3.3 Neu A tốn tú (K,u0)-lõm quy x0 ∈K(u 0) ∗ cho∗ dãy ∗ xn=Axn−1(n=1,2 ) tăng ton tai sup(xn) =x ∈K(u0) Ax =x Chúng minh Th¾t v¾y, hien nhiên xn ≤ x∗ xn ≤ xn+1=Axn ≤ Ax∗ (n =1,2, ) ⇒ x∗ ≤ Ax∗ (3.2) Do x0 ≤ xn ≤x∗ (n=1,2, .) x0, x∗ ∈K(u0), nên xn ∈K(u 0) (n=1,2, ∗ ) theo bo đe 2.1 tìm đưoc so t n lón nhat cho xn-tnx ≥ θ So tn ∈(0,1] (n=1,2, ) De dàng thay dãy so (tn) tăng, nên có lim tn = t ∈ (0, 1] (3.3) Giá sú ttAx∗ ≥tx∗ ⇒Atx∗-tx∗>θ Cũng theo tính chat cna tốn tú A, ∃δ>0, A(Atx*)- tAx*≥ δu0 hay A2tx*- tAx*≥ δu0 Theo giá thiet, x∗ ∈K(u 0) ⇒ (∃β1>0) x*≤ β1u−1 γ=(β1t)−1δ>0 ta đưoc u0 ≥ Chon ∗ γtδ x A2tx∗ ≥tA x∗ + δu0 ≥tx∗ + γtx∗=t(1+γ)x∗ Do đó: xn+2 = A2xn ≥ A2tnx∗ = A2(tnt−1tx∗) ≥ tnt−1A2tx∗ ≥ tnt−1t(1 + γ)x∗ = (1 + γ)tnx∗ ⇒ tn+2 ≥(1+γ)tn (n=1,2, .) Đ¾c bi¾t: t1 > (k=1,2, ) k t2k+1 ≥(1+γ)t2k−1 ≥ ≥ (1+γ) ⇒t= lim tn= lim t2k+1=+∞ mâu thuan vói đieu giá sú t tA(t−1xq) ≥ tQ(t−1xq) = λqxq (3.6) Do xq ∈K(u0), bat thúc (3.6) đieu ki¾n 2) cna đ%nh lý, ∃α>0 ∀t0 ∈(0,1) ta có: αu0 ≤ xq < λ−1Axq ≤ λ−1u0 ⇒ λ−1Axq ∈ K(u0) q q q t0λ−1Axq − t0xq > θ ⇒ ∃δ > 0, A(t0λ−1Axq) − t0Axq ≥ δu0 q q ⇒ (λ−1A)(t0λ−1Axq) − t0λ−1Axq ≥ δλ−1u0 Đ¾t x0 = t0λ−1Axq q q q q q ) ⇒ ∃ α > 0, ∃β > 0, ≤ ≤ βu0 αu0 x0 −1 −1 −1 ⇒λ q Ax0 − x0 ≥ δλq u0 ≥ δ(λ q β) x0 −1 −1 x0 ⇒ x0 ≤ λq−1(1 + η)−1Ax0, ⇒ λ η = δ(λqβ)−1 > Theo bo đe 3.2, Q2 = (1 + η)−1qλ−1Q đao hàm ti¾m c¾n cna tốn tú A2 = λq−1(1 + η)−1A bán kính cna tốn tú Q2 (1+η)−10, ∃β>0,∃α>0 αu0 ≤x(λ0) ≤ βu0 Theo đ%nh lý 2.7 toán tú λ−1A (K,u0)lõm cho quy, nên ∀t∈(0,1), ∀τ >1, −1 −1 λ−1 0 Atx(λ0) − tx(λ0) = λ0 Atx(λ0) − tλ0 Ax(λ0) > 0, τ x(λ0 ) − λ−1 Aτ x(λ0 ) = τ λ−1 Ax(λ0 ) − λ−1 Aτ x(λ0 ) > 0 0 Do đó, ∃δ >0 −1 λ A tx(λ ) − tx(λ0 λ−1 A δu0 Suy ra, ∃η>0 )≥ −1 , )− λ A τ x(λ0 τ x(λ )− tx(λ tx(λ0 ) ≥ (1 + η) tx(λ0) ) ≥ δu0, τ x(λ0 ) − (λ−1 A)2 τ x(λ0 ) ≥ (1 + η)2 − (λ−1 A)2 τ x(λ0 ) 0 ⇒ (1 + η)−2(λ0 −1A)2tx(λ0) ≥ tx(λ0), (1 + η)−2 (λ−1 A) τ x(λ0 ) ≥ τ x(λ0 ) Vói λ ∈ σu0 (A) ∩ λ0(1 + η)1; λ0(1 + η) ta có − (1 + η) −1 λ−1 A x(λ) ≤ λ−1A x(λ) = x(λ) ≤ λ−1(1 + 2 η)A Theo đ%nh lý 2.7 đ%nh lý 2.10, ta có: x(λ) ; (1 + η)λ0 tx(λ0) ≤ x(λ) ≤ τx(λ0 ), ∀λ ∈ (λ ∈ σu0 (A)) ∩ λ0(1 + η)− ⇒ −(1−t)βu0 ≤ −(1−t)x(λ0) ≤ x(λ)−x(λ0) ≤ (τ −1)x(λ0) ≤ (τ −1)βu0 ; (1 + η)λ ∀λ ∈ σu0 (A) ∩ λ0(1 + η) − Ta có: λ0(1 + η) "x(λ) − x(λ0)"u0 ≤ βmax {1 − t, τ − 1} , ∀λ ∈ σu0 −1 (A)∩ , (1 + η)λ0 Tù bat thúc tính chat tùy ý cna so t∈(0,1), τ >1 ta đưoc lim "x(λ) − x(λ0)"u0 = λ∈σ (A),λ→λ u0 Ket lu¾n Bưóc đau tìm hieu đe tài: "Sn phn thu®c liên tnc cúa véctơ riêng dương vào giá tr% riêng cúa tốn tú (K, u0)-lõm quy", vói muc đích đe ra, lu¾n văn chi tiet van đe se nghiên cúu tùng chương: - Chương 1: Trong chương h¾ thong kien thúc bán ve không gian đ%nh chuan, không gian Banach thnc núa sap thú tn, khơng gian Eu0 Giói thiắu mđt so khụng gian Banach thnc nỳa sap thỳ tn - Chương 2: Trong không gian Banach thnc E vói nón K, đưa m®t so đ %nh nghĩa ve tốn tú dương, đơn đi¾u u0-đo đưoc, tốn tú (K, u0)-lõm, tốn tú (K, u0)-lõm quy xây dnng ví du ve tốn tú - Chương 3: Trình bày chúng minh đ%nh lý ve sn phu thu®c liên tuc cna véctơ riêng dương giá tr% riêng cna tốn tú (K, u0)-lõm quy Do thòi gian kien thúc có han nên lu¾n văn khơng tránh khói nhung han che thieu sót, em rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cna thay ban đong nghi¾p đe lu¾n văn cna em đưoc hồn thi¾n 56 Tài li¾u tham kháo A Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Phu Hy (2006), Giái tích hàm, Nxb Khoa hoc kĩ thu¾t Hà Nđi [2]Nguyen Phu Hy (2007), Bi Giỏi tớch hm, Nxb Khoa hoc k thuắt H Nđi [3]Nguyen Phu Hy (1987), “Các vectơ riêng cna tốn tú lõm quy”, Tap chí tốn hoc, t¾p 15 (so 2), (17-23) [4] Nguyen Phu Hy (1987), “Các điem bat đ®ng cna tốn tú lõm quy”, Tap chí tốn hoc, t¾p 15 (so 1), (27-32) [5] Nguyen Phu Hy (1991), “M®t so đ%nh lý ve nón khơng gian đ%nh chuan”, Thơng tin khoa hoc trưòng ĐHSP Hà N®i 2, (so 2), (2-8) [6] Nguyen Phu Hy (1989), “Ve m®t lóp phương trình phi tuyen”, Thơng tin khoa hoc trưòng ĐHSP Hà N®i 2, (so 2), (23-30) [7] Hồng Tuy (2003), Hàm thnc giái tích hàm, Nxb Đai hoc quoc gia Hà N®i [8] Lê Hong Sơn (2008), Vectơ riêng cna mđt lúp toỏn tỳ phi tuyen dcnc tr%, Luắn thac sĩ [9] Tran Th% Thúy Vân (2009), Moi liên h¾ giua tốn tú lõm tốn tú giá lõm, Lu¾n văn thac sĩ B Tài li¾u tieng Nga [10] Bakhtin M.A (1984), Các nghi¾m dương cúa phương trình phi tuyen vói tốn tú lõm, Vơrơnegiơ, (tieng Nga) [11] Kraxnơxelxki M.A (1956), Các phương pháp tôpô lý thuyet phương trình tích phân, Matxcơva, (tieng Nga) [12] Kraxnơxelxki M.A (1962), Các nghi¾m dương cúa phương trình tốn tú, Matxcơva, (tieng Nga) 57 ... (K,u0)- lõm quy, sn phu thu®c liên tuc cna véctơ riêng dương vào giá tr% riêng cna tốn tú (K,u0)- lõm quy - Pham vi nghiên cúu: Các tài li¾u, báo ngồi nưóc liên quan đen véctơ riêng, giá tr% riêng. .. SU PHU THU®C LIÊN TUC CÚA VÉCTƠ RIÊNG DƯƠNG VÀO GIÁ TR± RIÊNG CÚA TOÁN TÚ (K,u0 ) – LÕM CHÍNH QUY 51 3.1 Sn ton tai véctơ riêng dương cna tốn tú (K,u0) -lõm quy 51 3.2 Đ%nh lý ... tài nham nghiên cúu, trình bày ve tốn tú (K,u0)- lõm quy sn phu thu®c liên tuc cna véctơ riêng dương vào giá tr% riêng cna toán tú (K,u0)- lõm quy - NHIfiM VU NGHIÊN CÚU Tìm hieu ve khơng gian