Không phải tất cả toán tử trong vật lí toán học đều bị chặn. Những toán tử không bị chặn (unbounded operator) không thể xác định khắp nơi trên toàn bộ không gian.
Định lý 1.4.1 (Hellinger–Toeplitz, [6], tr. 84). Cho T là toán tử tuyến tính xác định khắp nơi trên không gian Hilbert H thỏa mãn hϕ, T ψi =
Như vậy, kết quả trên cho thấy rằng toán tử tuyến tính không bị chặn
T sẽ chỉ xác định trên một tập con tuyến tính trù mật của không gian Hilbert H. Do đó, một toán tử trên không gian Hilbert H là ánh xạ tuyến tính từ miền của nó (một không gian con tuyến tính của H) vào
H. Trừ khi ta chỉ định nếu không, ta sẽ luôn giả thiết rằng miền đó là trù mật. Không gian con đó được kí hiệu là D(T), gọi là miền của toán tử T.
Nếu toán tử tuyến tính T : H → H bị chặn thì tồn tại hằng số C ≥0
sao cho kT xk ≤ Ckxk, với mọi x ∈ H.
Toán tử không bị chặn T là một ánh xạ tuyến tính xác định trên miền
D(T) ⊆ H sao cho tồn tại một dãy số {xj}, xj ∈ D(T),kxjk = 1, j = 1,2, ... và kT xjk → ∞. Ta thường xét D(T) là tập con tuyến tính trù mật trong H :D(T) = H.
Định nghĩa 1.4.2. Cho T là toán tử không bị chặn xác định trên miền D(T) của không gian Hilbert. Ta nói T đóng (closed) nếu với mỗi
xj ∈ D(T), xj →x và T xj →y, thì x ∈ D(T) và T x = y.
Toán tử T0 là một mở rộng của T (tức là T ⊂ T0) nếu D(T) ⊆D(T0)
và T x = T0x với mọi x ∈ D(T). Hơn nữa, ta nói T là đóng được nếu T
có một mở rộng đóng. Khi đó, mỗi toán tử đóng được có một mở rộng đóng nhỏ nhất, được gọi là bao đóng của nó và kí hiệu là T. Nếu toán tử T đóng được, lõi của T là tập con của D(T) sao cho bao đóng của T
hạn chế trên tập này chính là T.
Định nghĩa 1.4.3. Cho T là toán tử không bị chặn xác định trên D(T)
tồn tại phần tử z ∈ H sao cho với mọi x ∈ D(T) ta có hT x, yi = hx, zi.
Với mỗi y ∈ D(T∗), ta đặt T∗y = z và toán tử T∗ này được gọi là toán tử liên hợp của T.
Định lý 1.4.4 ([6],Theorem VIII.1, tr. 252). Cho T là toán tử không bị chặn xác định trên D(T) của không gian Hilbert H. Khi đó
(a) T∗ là đóng;
(b) T đóng được nếu và chỉ nếu D(T∗) trù mật trong H, trường hợp này T = T∗∗;
(c) Nếu T đóng được thì (T)∗ = T∗.
Định nghĩa 1.4.5. Toán tử không bị chặn T được gọi là đối xứng (symmetric) (hoặc Hermitian) nếu T ⊂ T∗, nghĩa là nếu D(T) ⊂ D(T∗)
và T ϕ = T∗ϕ với mọi ϕ∈ D(T). Tương đương, T là đối xứng khi và chỉ khi hT ϕ, ψi = hϕ, T ψi với mọi ϕ, ψ ∈ D(T).
Định nghĩa 1.4.6. T được gọi là tự liên hợp nếuT đối xứng và D(T) = D(T∗).
Một toán tử đối xứng luôn luôn đóng được, vì D(T∗) ⊃ D(T) là trù mật trong H. Nếu T đối xứng, T∗ mở rộng đóng của T, vậy thì toán tử nhỏ nhất mở rộng đóng T∗∗ của T phải chứa trong T∗. Do đó, với toán tử đối xứng ta có
với toán tử đóng đối xứng
T = T∗∗ ⊂T∗
và với toán tử tự liên hợp
T = T∗∗ = T∗
Từ đó có thể dễ dàng thấy được một toán tử đối xứng đóng T là tự liên hợp khi và chỉ khi T∗ đối xứng.
Định nghĩa 1.4.7. Một toán tử đối xứng T được gọi là tự liên hợp thiết yếu (essentially self-adjoint) nếu bao đóng T là tự liên hợp.
Định lý 1.4.8 ([6], Theorem VIII.3, tr. 256). Cho T là toán tử đối xứng trên không gian Hilbert H. Khi đó hai mệnh đề sau là tương đương:
(a) T là tự liên hợp;
(b) T đóng và Ker(T∗ ±i) = {0}; (c) Ran(T ±i) = H.
Hệ quả 1.4.9 ([6], Corollary, tr. 257). Cho T là toán tử đối xứng trên không gian Hilbert. Khi đó các điều sau tương đương:
(a) T là tự liên hợp thiết yếu; (b) Ker(T∗ ±i) = {0};
Định lý 1.4.10 (Kato–Rellich, [14], Theorem 1.11.2, tr. 21). Giả sử T1
tự liên hợp, T2 đối xứng với D(T1) ⊆ D(T2). Giả sử tồn tại a, b với a, b
thỏa mãn
kT2xk ≤ akT1xk+bkxk
với mọi x ∈ D(T1). Khi đó, toán tử T1+T2 tự liên hợp trên D(T1) và tự liên hợp thiết yếu trên miền lõi bất kỳ của T1.
Toán tử T2 trong định lý Kato–Rellich có thể được coi như toán tử nhiễu của T1.