Định nghĩa 1.5.1. Cho T là toán tử không bị chặn trong H. Ta nói một số phức ρ là một phần tử của tập hợp giải được của T nếu T −ρ1
là song ánh từ D(T) lên H với phép biến đổi ngược bị chặn, 1 là toán tử đơn vị.
Định nghĩa 1.5.2. Phổ của toán tử T, kí hiệu bởi σ(T) là tập các số phức không thuộc vào tập giải được của T. Mỗi giá trị riêng của T đều thuộc σ(T). Phổ rời rạc của T, kí hiệu bởi σd(T) là tập các giá trị riêng bị cô lập với số bội hữu hạn. Phổ thiết yếu của T, kí hiệu bởi σess(T) là tập σ(T)\σd(T).
Như chúng ta đã biết tập phổ của một toán tử bị chặn là bị chặn. Tuy nhiên điều này không đúng trong trường hợp toán tử không bị chặn (xem chi tiết, [2]).
của một số loại toán tử không bị chặn. Đó là thông quadạng toàn phương (quadratic form).
Định nghĩa 1.5.3. Dạng toàn phương là một ánh xạ q : Q(q)×Q(q) → C, trong đó Q(q) là tập con tuyến tính trù mật của H, được gọi là miền hình thức (form domain), sao cho q(x,·) tuyến tính và q(·, y) liên hợp tuyến tính với mọi x, y ∈ Q(q).
Ta tóm lược cách làm thế nào để liên kết một dạng toàn phương và một toán tử không bị chặn. Trước hết ta chú ý tới định nghĩa toán tử dương mở rộng tới toán tử không bị chặn. Ta nói rằng toán tử T dương, kí hiệu T ≥ 0, nếu T đối xứng và hT x, xi ≥ 0 với mọi x ∈ D(T). Với mỗi toán tử dương T ta có thể xác định một tích vô hướng hx, yiT trên
D(T) bởi
hx, yiT = hT x, yi +hx, yi.
Nếu ta kí hiệu Q(T) là mở rộng của D(T) ứng với chuẩn k·kT cảm sinh bởi tích vô hướng trên thì D(T) ⊆ Q(T) ⊂ H. Thật vậy, ta thấy rằng nếu {xj} là dãy Cauchy trong D(T) thì nó cũng là dãy Cauchy trong H do kxk ≤ kxkT. Từ đó ta có thể đồng nhất giới hạn trong Q(T)
với giới hạn trong H. Do đó dạng toàn phương liên hợp với T kí hiệu bởi qT có thể mở rộng tới mọi x ∈ Q(T) bằng cách đặt
qT(x) = kx, xkT − kxk2.
Ta gọi Q(T) là miền của T. Vậy ta có thể nói rằng việc xét dạng toàn phương dẫn đến cách hữu ích để xác định toán tử tự liên hợp nếu ta bắt đầu với toán tử đối xứng nửa bị chặn được cho bởi kết quả sau:
Định lý 1.5.4 (mở rộng Fredrichs, [14], Theorem 1.11.3, tr. 21). Cho T
là toán tử đối xứng nửa bị chặn, tức là giả sử tồn tại γ ∈ R sao cho
qT(x) = hT x, xi ≥ γkxk2 với mọi x ∈ D(T).
Khi đó tồn tại một mở rộng tự liên hợp T0 của T bị chặn dưới bởi γ và thỏa mãn D(T0) ⊆ Q(T). Hơn nữa, T0 là mở rộng tự liên hợp duy nhất của T với miền chứa trong Q(T).
Điều ngược lại của kết quả này cũng rất quan trọng: Cho dạng toàn phương q, câu hỏi đặt ra là liệu có một toán tử tương ứng T sao cho
q = qT không? Câu trả lời là có (xem chi tiết, [6]).
Bây giờ ta xét một dạng toàn phương của định lý Kato–Rellich được gọi là định lý KLMN được đưa ra bởi Kato, Lions, Lax, Milgram và Nelson. Định lý này cho phép ta xét dạng tổng của các toán tử.
Định lý 1.5.5 ([14], Theorem 1.11.4, tr. 22). Cho T1 là toán tử tự liên hợp dương và qT2 là dạng toàn phương liên hợp với toán tử đối xứng T2, được xác định trên Q(T1). Nếu có các số thực a < 1 và b thỏa mãn
|qT2(x)| ≤ aqT1(x) + bhx, xi với mọi x ∈ Q(T1).
Khi đó tồn tại duy nhất toán tử tự liên hợp T với Q(T) =Q(T1) sao cho
T liên hợp với hình thức qT1 +qT2.
Trong trường hợp này ta cũng gọi T2 là toán tử nhiễu của T1.
Giả sử T1 tự liên hợp. Ta nói T2 compact tương đối ứng với T1 nếu
D(T1) ⊆ D(T2) và toán tử T2(T1 + i)−1 compact. Thực tế ta có thể thay
tỏ rằng T2 compact tương ứng với T1 nếu với mỗi dãy {xj} ⊂ D(T1) ⊆
D(T2) thỏa mãn kT1xjk+kxjk ≤ c với c ≥ 0 thì ta có thể chọn dãy con {xjk} sao cho {T2xjk} hội tụ.
Ta cũng có các kết quả sau: Nếu T1 tự liên hợp và T2 compact tương đối ứng với T1 thì toán tử tổng T1 +T2 xác định trên D(T1) đóng. Hơn nữa toán tử tổng có cùng phổ thiết yếu với T1. Nếu ta cần T2 đối xứng thì toán tử tổng tự liên hợp.
Định lý 1.5.6 ([13], Theorem 4.12, tr. 113). Giả sử A là toán tử tự liên hợp và ψj,1 ≤ j ≤ k, là các phần tử độc lập tuyến tính của H. Cho
λ ∈ R, ψj ∈ D(A). Nếu
hψ, Aψi < λkψk2
với mỗi tổ hợp tuyến tính khác không ψ = k
P
j=1
cjψj thì
dim Ran PA(−∞, λ) ≥ k.
Bổ đề 1.5.7 ([13], Lemma 6.23, tr. 142). Giả sử A là toán tử tự liên hợp,
B là toán tử đối xứng và A bị chặn với cận nhỏ hơn một. Nếu Kcompact tương đối với A thì nó cũng compact tương đối với A+B.
Bổ đề 1.5.8 ([13], Lemma 0.13, tr. 10). Cho X là không gian metric compact địa phương. Giả sử K là một tập compact và {Oj}nj=1 là một phủ mở. Khi đó tồn tại một phân hoạch đơn vị của K phụ thuộc vào phủ mở này, nghĩa là có các hàm số liên tục hj : X → [0,1] sao cho hj có giá compact chứa trong Oj và
n
P
j=1
hj(x) ≤1
Chương 2
Toán tử Schr¨odinger
Nhiều tác giả đã nghiên cứu toán tử Schr¨odinger dưới những khía cạnh khác nhau. Trong chương này, chúng tôi xin đề cập đến ba dạng toán tử Schr¨odinger đó là H = H0 +V H = −∆− λ |x|, D(H (1)) = H2(R3) H = − N X j=1 ∆j + N X j<k Vj,k(xj −xk)
đồng thời cũng đưa ra một số kết quả về phổ của chúng.
Để thuận lợi cho việc trình bày những kiến thức ở trên, chúng tôi xét một số định nghĩa và tính chất về phép biển đổi Fourier và toán tử Schr¨odinger tự do thông qua toán tử Laplace ∆ =
n P j=1 ∂2 ∂x2 j. Trong phần này thông qua các định lý và bổ đề để đưa ra một số kết quả liên quan tới phổ của toán tử Schr¨odinger tự do. Đặc biệt, Đinh lý 2.1.7 nói rằng toán tử Schr¨odinger tự do tự liên hợp và σ(H0) = [0,∞). Những nội dung trình bày trong chương này chủ yếu lấy từ [13].