2 TOÁN TỬ(K,u0)-LÕM CHÍNH QUY
2.1.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử (K,u0)-lõm
Định lý 2.1. Nếu toán tử A là toán tử (K,u0)-lõm thì ∀ c∈ R∗+, cA là toán tử (K,u0)-lõm.
Chứng minh.
*) ∀c ∈ R∗+, ta có: cA là toán tử lõm vì:
+) Do A là toán tử dương nên (∀x ∈ K)Ax ≥θ ⇒cAx ≥cθ = θ
⇒cA là toán tử dương;
+) Do A-đơn điệu nên (∀x, y ∈ K : x ≤ y)Ax ≤ Ay
⇒ cAx ≤ cAy(c > 0)
⇒ cA là toán tử đơn điệu;
+) Do A là u0-đo được nên(∀x∈ K) (∃α = α(x) > 0, β = β(x) > 0)
αu0 ≤Ax ≤ βu0 ⇒ cαu0 ≤cAx ≤ cβu0(c > 0).
Đặt cα = α∗ > 0, cβ = β∗ > 0. Ta được α∗u0 ≤ cAx ≤ β∗u0
⇒cA có tính chất u0-đo được;
+) (∀x ∈ K\ {θ}) (∀t ∈ (0,1))Atx > tAx ⇒cAtx > c(tAx) > tcAx.
Do đó, nếu A là toán tử lõm thì (∀c ∈ R∗+), cA cũng là toán tử lõm.
*) cA là toán tử (K,u0) – lõm vì: Do A là toán tử (K,u0) – lõm, nên
∀x, y∈K(u0), ∀t∈(0,1) sao cho x-ty>θ, ∃δ0 = δ0(x, y, t) đều có Ax-tAy ≥ δ0u0
⇒với c>0 có cx –cty>θ,∃δ = cδ0 để c(Ax-tAy) ≥c(δ0u0)
⇔cAx-tcAy ≥δu0.
Suy ra cA thỏa mãn điều kiện thứ hai về toán tử (K,u0)-lõm. Vậy nếu (K,u0)-lõm thì cA (∀c ∈ R∗+) cũng là (K,u0)-lõm.
Định lý 2.2. Nếu A là toán tử (K,u0)-lõm thì ∀n∈N∗, An là toán tử (K,u0)-lõm.
Chứng minh.
Hiển nhiên , định lí đúng với n = 1.
Giả sử định lí đúng với n = k ≥1, nghĩa là toán tử Ak là (K, u0)-lõm. Với n = k + 1 ta xét toán tử Ak+1. Ta có :
+) AkK ⊂ K ⇒ Ak+1K = Ak(AK) ⊂AkK ⊂K;
+) ∀x, y ∈ K mà x ≤ y ⇒ Akx ≤ Aky ⇒ Ak+1x = A(Akx) ≤
A(Aky) =Ak+1y ;
+) Do Ak là u0- lõm : (∀x ∈ K(u0)) (∃α = α(x) > 0, β = β(x) > 0) :
αu0 ≤ Akx ≤ βu0 ⇒Aαu0 ≤ Ak+1x≤ Aβu0. Mặt khác, (∃α1(x) >
0, β1(x) > 0) α1(x)u0 ≤ Aαu0;Aβu0 ≤ β1(x)u0.
Vậy α1(x)u0 ≤ Ak+1x ≤ β1(x)u0 hay Ak+1 có tính chất u0−đo được. +) ∀x ∈ K\ {θ}, ∀t ∈ (0,1) Aktx > tAkx ⇒ Akx > Aktx > θ và
Akx∈ K\ {θ}
Ak+1tx = A(Aktx) ≥At(Akx) > tA(Akx) =tAk+1x;
+) ∀x, y ∈ K(u0), ∀t ∈ (0,1) mà x−ty > θ , ∃δ = δ(x, y, t) > 0 sao cho Akx−tAky ≥ δu0;
Khi đó ∃η = η(Akx, Aky, t) > 0 theo lập luận trên
Akx∈ K(u0), Aky ∈ K(u0), nên ∃η(Akx, Aky, t) > 0,
Ak+1x−tAk+1y = A(Akx)−tA(Aky) ≥ηu0.
Vậy Ak+1 là (K, u0)- lõm . Theo nguyên lí quy nạp , toán tử An là (K, u0)- lõm với ∀n∈ N∗.
Định lý 2.3. Nếu A là toán tử (K,u0)-lõm thì A không có quá một điểm bất động khác không trong nón K.
Chứng minh. Giả sử tồn tại x, y ∈K, x6=y sao cho Ax = x, Ay = y.
Vì x-y 6= θ nên phải có một trong hai phần tử x-y hoặc y-x không thuộc nón K. Không mất tính tổng quát, giả sử x-y ∈/K, từ tính u0-đo được của toán tử A trên nón K, ∃α,β>0 sao cho αu0 ≤ Ax = x, Ay= y ≤ βu0 nên
x ≥ αu0 = α β(βu0) ≥ α βy. Số α β<1, vì nếu α β ≥ 1 thì x≥y ⇒x-y ∈ K, mâu thuẫn với giả thiết x-y ∈/ K.
Tiếp theo, ta chứng minh từ x≥ty ⇒ t<1. Thật vậy, do x-y ∈/ K nên t6=1, giả sử t>1, đặt λ = β−α β −αt ta có λ ∈ (0,1) vì α < β và t>1 ta có (1−λ)α β +λt = 1 Do đó: x−y = (1−λ) x− α βy + λ(x−ty) ∈ K
(Điều này có được là do:
1−λ > 0,(x− α βy) ∈ K ⇒ (1−λ) x− α βy ∈ K λ > 0,(x-ty)∈K ⇒ λ(x-ty)∈K).
Từ đó mâu thuẫn với giả thiết x-y ∈/ K. Vì vậy, x ≥ ty (t<1). Ta ký hiệu t0 là số lớn nhất sao cho x-t0y ≥ θ.
Để chứng minh ∃t0, ta cần bổ đề sau:
Bổ đề 2.1. Giả sử (x, y ∈ K) (∀t < 1)x ≥ty. Khi đó, tồn tại t0 lớn nhất sao cho x−t0y ≥ θ.
Chứng minh. Thật vậy Xét ánh xạ h:
R →E
t 7→h(t) = x−ty.
Từ tính liên tục của phép cộng hai phần tử trong không gian E và phép nhân một số thực với phần tử trong không gian E, suy ra h liên tục trên
R.
Xét tập I = {t ∈ R|x−ty ≥ θ} = {t∈ R|x−ty ∈ K} = h−1(K). Do K là một nón trong không gian E, nên K là tập đóng trong E, do đó
h−1(K) = I là tập đóng trong R. Theo lập luận trên,0 ≤ α
β ≤ t < 1,∀t ∈
Chứng minh tiếp định lý 2.3:
Khi đó, x−t0y 6= θ vì nếux−t0y = θthìx = t0y = t0Ay < At0y = Ax, điều này mâu thuẫn với Ax = x. Do đó, x−t0y > θ.
Từ tính (K,u0) –lõm của toán tử A, (∃δ>0) x-t0y=Ax-t0Ay≥ δu0.
Từ đó và từ y ≤ βu0 suy ra: x− t0 + δ β y = x−t0y − δ ββu0 = (x−t0y)−δu0 ≥ θ.
Mâu thuẫn với tính chất của t0, với t0 + δ
β > t0.
Mâu thuẫn nhận được chứng tỏ toán tử A không thể có hơn một điểm bất động khác không trong K.
Định lý 2.4. Nếu x∈K\{θ} mà Ax=λx thì λ>0.
Chứng minh. Nhờ tính u0-đo được của toán tử A trên nón K, ∃α,β>0 sao cho:
αu0 ≤Ax = λx ≤ βu0.
+Nếu λ = 0 thì từ αu0 ≤ θ ≤ βu0 ⇒ u0 = θ, mâu thuẫn với u0 ∈K\{θ}.
+Nếu λ < 0 thì từ x ≤ α
λu0 ≤θ ⇒x = θ, mâu thuẫn với x∈K\{θ}. Vì vậy λ > 0.
Định lý 2.5. Nếu A là toán tử (K,u0)-lõm, thì A không có quá một véctơ riêng ứng với một giá trị riêng trong nón K.
Chứng minh. Giả sử∃x∈K,∃y∈K, x6=y sao cho Ax =λx, Ay =λy⇒ λ>0. Do đó toán tử A1=λ−1A có cùng tính chất như toán tử A nhưng lại có 2 điểm bất động trong K, mâu thuẫn với định lý 2.3.