1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC THƢƠNG MẠI KHOA TIẾNG ANH THƢƠNG MẠI −−−−−−−− TÀI LIỆU ÔN TẬP Bộ môn Toán cao cấp I Lớp HP 18134FMAT0111 GV Phan Thanh Tùng Hà Nam, 2018 Chương I Ma trận v[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC THƢƠNG MẠI KHOA: TIẾNG ANH THƢƠNG MẠI −−−−−−−− TÀI LIỆU ÔN TẬP Bộ mơn: Tốn cao cấp I Lớp HP: 18134FMAT0111 GV: Phan Thanh Tùng Hà Nam, 2018 Chương I: Ma trận định thức CHƢƠNG I MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC A LÝ THUYẾT I Các phép toán ma trận Hai ma trận Hai ma trận cấp A = (aij) m×n , B = (bij) m×n Ma trận gọi phần tử tương ứng chúng A = B aij = bij ( i, j) Phép cộng, trừ hai ma trận Cho hai ma trận cỡ A = (aij) m×n , B = (bij) m×n Tổng A B ma trận xác định sau: A + B = (aij + bij) m×n Phép nhân ma trận với số tích ma trận A với số α α.A = α.(aij) m×n = (α.aij) m×n Phép nhân hai ma trận Cho A ma trận cỡ m x p: A = (aij) m×p B = (bij) p×n Tích A B ma trận cỡ m x n Kí hiệu: A.B = C = (cij) m×n Chú ý: Phép nhân hai ma trận A.B thực số cột ma trận A số dòng ma trận B A.B B.A Nếu A.B = B.A = In → A ma trận nghịch đảo B ngược lại II Các phƣơng pháp tính định thức Đối với định thức cấp 2: Lấy tích đường chéo trừ tích đường chéo phụ Ví dụ Cho A a11 a 21 a12 a11 / | → det(A) = a22 a21 Đối với định thức cấp cao (n a12 a22 | = a11.a22 – a12.a21 = const 3) Chương I: Ma trận định thức Định thức cấp Cách 1: Dùng công thức Scrame: Viết thêm hai dòng cột kế định thức cho Khi đó: Tích phần tử theo đường chéo ta lấy dấu cộng (+) Tích phần tử theo đường chéo phụ ta lấy dấu trừ (-) a11 Ví dụ Cho A ma trận vuông cấp 3: A = [a21 a31 a11 → det (A) = |a21 a31 a12 a22 a32 a12 a22 a32 a13 a23 ] a33 a13 a23 | a33 = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – a13.a22.a31 – a12.a21.a33 – a11.a23.a32 Cách 2: Dùng phương pháp triển khai theo dòng (hoặc cột) a11 Ví dụ 3.|a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 | = (-1 a33 1 a22 a11.|a 32 a23 a33 | + (-1 a21 a12.|a 31 a23 a33 | + (-1 a21 a13.|a 31 a22 a32 | Const phần tử định thức số thực Biểu thức phần tử định thức có chứa ẩn số Số phức phần tử định thức thuộc R thuộc C Đối với định thức cấp cao (cấp n): Dùng phương pháp khai triển theo dịng cột Các phương pháp ứng dụng để tính định thức cấp cao có: Chọn ưu tiên cho dịng cột có nhiều số số để tiến hành khai triển giúp ta giảm bớt bước trung gian Dùng phép biến đổi sơ cấp để đưa dòng cột định thức xuất nhiều số số trước chọn để khai triển Chú ý: Nếu ma trận có dạng chéo tam giác → giá trị định thức tích phần tử đường chéo Chương I: Ma trận định thức Phép biến đổi gauss thứ 1: Nếu đổi dòng → đổi dấu Phép biến đổi gauss thứ 2: Nếu nhân dòng với k → định thức tăng k lần Phép biến đổi gauss thứ 3: Lấy dòng trừ k lần dòng khác → định thức khơng đổi III Hạng ma trận Tìm hạng ma trận phƣơng pháp định thức Bƣớc 1: Tìm định thức cấp k A Giả sử định thức cấp k Dk Bƣớc 2: Xét tất định thức cấp k + A chứa định thức Dk Xảy khả năng: Khơng có định thức cấp k A, xảy k = min{m, n} → Khi r(A) = k = min{m, n} Thuật toán kết thúc Tất định thức cấp k + A chứa định thức Dk → Khi r(A) = k Thuật tốn kết thúc Tồn định thức cấp k + A Dk+1 chứa định thức Dk khác → Khi lặp lại bƣớc với Dk+1 thay cho Dk Và tiếp tục nhƣ xảy trƣờng hợp (1) (2) thuật tốn kết thúc Tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp (phƣơng pháp Gauss) Ba phép biến đổi sau gọi phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận: Đổi chỗ dòng cho Nhân dòng cho số khác Nhân dòng cho số cộng vào dòng khác IV Ma trận nghịch đảo Các tính chất ma trận nghịch đảo Ma trận vng A khả nghịch A-1 xác định Ma trận vuông A khả nghịch (A-1 -1 = A Nếu hai ma trận vuông A,B cỡ khả nghịch (A.B)-1 = B-1 A-1 Chương I: Ma trận định thức E-1 = E với E ma trận đơn vị cấp tùy ý Cách tính ma trận nghịch đảo Nếu định thức ma trận A khả nghịch ma trận nghịch đảo A tính bằng: Bƣớc 1: Tính định thức ma trận A Nếu det(A) = A khơng có ma trận nghịch đảo A-1 Nếu det(A) A có ma trận nghịch đảo A-1 → chuyển sang bước Bƣớc 2: Lập ma trận chuyển vị A’ A Bƣớc 3: Lập ma trận phụ hợp A định nghĩa sau: A* = (Aij’)nn với A’ = Aij’ phần bù đại số phần tử hàng i, cột j ma trận A’ Bƣớc 4: Tính ma trận A-1 = detA A* Chương I: Ma trận định thức B BÀI TẬP I Các dạng tập Bài Thực phép tính ma trận a ( + / d ( b / +( + c : e ; / Lời giải a ( + /=( + / /= /=( + b Đặt A = / Với n = 1: A = / Với n = 2: A = / = → / = / / c : ; =: ;: ;=: ; d ( +( + = ( + Chương I: Ma trận định thức e Đặt A = / Với n = 1: A = / Với n = 2: A = / = / = → /= / = b B.(2A / / Bài Cho A = ( a Tính (2A / +; B = ( + A2 B A2 có thực khơng, sao? Lời giải a 2A = 2.( +=( A2 = ( 2A + + =( A2 = ( → (2A + A2 ).B = ( + +( ( +( +=( + =( +=( + + + b B=( + → số cột B Chương I: Ma trận định thức (2A + A2 ) = ( + → số dòng (2A + A2 ) → B.(2A + A2 ) khơng thực đƣợc số cột B khơng số dịng (2A + A2 ) Bài Tính 1, x2, x3, x4: / / / / / Lời giải / / / / / → |A| Đặt A = X A / / / / / / Bài Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: a A = / b A = ( + c A = ( A21 = A22 = + Lời giải a |A| = A11 = A12 = → A-1 = / / b |A| = | A11 = ( | ) | | A12 = ( ) | | A13 = ( ) | | Chương I: Ma trận định thức A21 = ( ) | | A22 = ( ) | | A31 = ( ) | | A32 = ( ) | | ( → A-1 = A23 = ( A33 = ( ) ) | | | | + c |A| = | | A11 = ( ) | | Tương tự: →A A12 = A13 = A21 = A22 = A23 = A31 = A32 = A33 = = ( + Bài Tính định thức sau: a b c 1 3 2 5 3 5 11 4 | | d e x a a a a x a a a a x a a a a x 1001 1002 1003 1004 1002 1003 1001 1002 1001 1001 1001 1001 1000 998 999 999 Lời giải Chương I: Ma trận định thức a 1 3 2 7 C1 (C C3 C ) 5 3 5 D D1 D3 D1 D D1 1 3 5 3 5 =7× 1 1 1 3 5 3 5 1 0 2 4 2 2 1 1 2 2 =7× = × (1)1 × 4 2 1 2 8 2 2 8 2 2 2 7× 0 = × (8 32 4) (4 32) = b 11 9 D4 D3 4 = ( 1) 2+1 11 D4 D1 7 10 1 9 10 × + ( 1) 10 4+1 × = (280 315 315) (324 250 343) (49 144 75) (45 140 84) = 7+1= a c b c a2 a D D b ab D1 D3 c a c a2 a b2 = ( a c2 a a ) ab = ( 0 bc a a ) 0 ab ac )( D3 D4 ( d )( x a a a a x a a a a x a a a a x C1 (C C3 C ) )( )( x 3a a a a x 3a x a a x 3a a x a x 3a a a x ) =( 1 ) 1 a x a a a a x a a a a x 10 Chương I: Ma trận định thức D1 D D1 D3 ( )| |=( )( ) D1 D e = = 1001 1002 1001 1001 1002 1003 1004 1001 1002 1003 1004 D1 D 1003 1001 1002 1 1 2 D1 D3 1001 1001 999 D1 D 1000 998 999 5 1001 0 1002 1 1003 2 1004 5 1 ( = ,( ) –( – ) )- 2 5 ,( ( )( ) ) –( 1002 1003 1004 5 )- Bài Tính định thức sau: a n 1 n n 1 2 b 2 2 2 2 2 Lời giải 11 Chương I: Ma trận định thức a b n D D 1 n D D n D1 D x 0 n 2n 2n 0 n 2 2 2 C1 (C C3 ) 2 2 2 2 D D 1 D D 3 2(n 1) = 3 2(n 1) 2 D n D1 2 2 2 2 0 = 3 2(n 1) 0 Bài Chứng minh rằng: x y xy a y z zx b c x2 y yz y z zx z x b1 c c1 a b2 c c2 a b3 c c3 a ( a b1 a1 a b2 = a a b3 a3 a b1 x a x b c1 a b2 x a x b2 c2 = ( a b3 x a x b c3 cosα sinα d cosβ sinβ = 4.sin cosγ sinγ )( )( )( ) b1 b2 b3 c1 c2 c3 a1 ) a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 α β β γ γα sin sin 2 Lời giải 12 Chương I: Ma trận định thức a Biến đổi vế trái ta có: x y xy VT = y z zx x2 y yz y z zx z2 x = y (x + y) (x2 + z2) + xy (z + x) (y2 + z2) + zx (y + z) (x2 + y2) – yz (x + z) (x2 + y2) – zx (x + y) (y2 + z2) – xy (y + z)(x2 + z2) = [xyz (z2 + x2) + y2z (z2 + x2) + x2y (y2 + z2) + xyz (y2 + z2) + xyz (x2 + y2) + z2x (x2 + y2)] [xyz (z2 + x2) + xy2 (z2 + x2) + zx2 (y2 + z2) + xyz (y2 + z2) + xyz (x2 + y2) + yz2 (x2 + y2)] = y2z (z2 + x2) + x2y (y2 + z2) + z2x (x2 + y2) - xy2 (z2 + x2) - zx2 (y2 + z2) - yz2 (x2 + y2) = x2y2z + y2z3 + x2y3 + x2yz2 + z2x3 + xy2z2 - x3y2 - xy2z2 - x2y2z - z3x2 - x2yz2 - y3z2 = y2z3 + x2y3 + z2x3 - x3y2 - z3x2 - y3z2 = y2(z3 - x3) - y3(z2 - x2) - (z3x2 - z2x3) = y2 (z - x) (z2 + zx + x2) - y3 (z - x) (z + x) - z2x2 (z - x) = (z - x) (y2z2 + xy2z + x2y2 - xy3 - y3z - z2x2) = (z - x) [(y2z2 - y3z) + (xy2z - xy3) - (z2x2 - x2y2)] = (z - x) [y2z (z - y) + xy2 (z - y) - x2 (z - y) (z + y)] = (z - x) (y - z) (x2y + zx2 - y2z - xy2) = (z - x) (y - z)[(x2y - xy2) + (zx2 - y2z)] = (z - x) (y - z) (x - y) (xy + yz + zx = VP (đpcm b Biến đổi vế trái ta có: b1 c c1 a a b1 VT = b2 c b3 c c2 a a b2 c3 a a b3 = b1 c1 c2 a a b3 + a b1 b2 c2 c3 a + c1 a a b2 b3 c3 a1 b1 c2 a2 b3 c3 c1 a1 b2 c2 a3 b3 b1 c1 a2 b2 c3 a3 =[ b1 c1 c2 a2 a3 b3 a1 b1 c2 a2 b3 c3 ] + [ a1 b1 b2 c2 c3 a3 c1 a1 b2 c2 a3 b3 ] + [ c1 a1 a2 b2 b3 c3 b1 c1 a2 b2 c3 a3 ] 13 Chương I: Ma trận định thức = c2 a a 3b1 a 3c1 b1 b3 b3c1 a b3 a 1c3 b1b3 b1c3 + b2 c2 a1c3 a1a3 b1c3 a3b1 a3c1 a1a3 b3c1 a1b3 + a2 b2 b3c1 a1b3 c1c3 a1c3 b1c3 c1c3 a3b1 a3c1 = c2 a2 a3b1 a3c1 b3c1 a1b3 a1c3 b1c3 + b2 c2 a1c3 b1c3 a3b1 a3c1 b3c1 a1b3 + a2 b2 b3c1 a1b3 a1c3 b1c3 a3b1 a3c1 = a3b1c2 + a3c1c2 + b3c1c2 - a1b3c2 - a1c2c3 - b1c2c3 + a2a3b1 + a2a3c1 + a2b3c1 - a1a2b3 - a1a2c3 - a2b1c3 + a1b2c3 + b1b2c3 + a3b1b2 - a3b2c1 - b2b3c1 - a1c2c3 + a1c2c3 + b1c2c3 + a3b1c2 - a3c1c2 - b3c1c2 - a1b3c2 + a2b3c1 + a1a2b3 + a1a2c3 - a2b1c3 - a2a3b1 - a2a3c1 + b2b3c1 + a1b2b3 + a1b2c3 - b1b2c3 - a3b1b2 - a3b2c1 = 2.a3b1c2 + 2.a2b3c1 + 2.a1b2c3 - 2.a1b3c2 - 2.a3b2c1 - 2.a2b1c3 (1) Biến đổi vế phải ta có: a1 b1 c1 VP = a b2 c2 = 2(a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 - a3b2c1 - a1b3c2 - a2b1c3) a3 b3 c3 = 2.a3b1c2 + 2.a2b3c1 + 2.a1b2c3 - 2.a1b3c2 - 2.a3b2c1 - 2.a2b1c3 (2) Từ (1 (2 → đpcm c Biến đổi vế trái ta có: a1 b1 x a1 x b1 c1 VT = a2 b2x a2x b2 c2 a3 b3x a3x b3 c3 = (a1 + b1x) (a2x + b2) c3 + (a2 + b2x) (a3x + b3) c1 + (a3 + b3x) (a1x + b1) c2 - (a3 + b3x) (a2x + b2) c1 - (a2 + b2x) (a1x + b1) c3 - (a1 + b1x) (a3x + b3) c2 = [(a1 + b1x) (a2x + b2) c3 - (a2 + b2x) (a1x + b1) c3] + [(a2 + b2x) (a3x + b3) c1 - (a3 + b3x) (a2x + b2) c1] + [(a3 + b3x) (a1x + b1) c2 - (a1 + b1x) (a3x + b3) c2] = c3 (a1a2x + a2b1x2 + b1b2x + a1b2 - a1a2x - a1b2x2 - b1b2x - a2b1) + c1 (a3b2x2 + a2a3 + b2b3x + a2b3 - a2b3x2 - a2a3x - b2b3x - a3b2) + c2 (a1b3x2 + a1a3x + b1b3x + a3b1 - a3b1x2 - a1a3x - b1b3x a1 b ) 14 Chương I: Ma trận định thức = c3 (a2b1x2 + a1b2 - a1b2x2 - a2b1) + c1 (a3b2x2 + a2b3 - a2b3x2 - a3b2) + c2 (a1b3x2 + a3b1 -a3b1x2 a1 b ) = c3 [(a2b1x2 - a2b1) + (a1b2 - a1b2x2)] + c1 [(a3b2x2 - a3b2) + (a2b3 - a2b3x2)] + c2 [(a1b3x2 - a1b3) + (a3b1 - a3b1x2)] = c3 [a1b2 (1 – x2) - a2b1 (1 - x2)] + c1 [a2b3 (1 - x2) - a3b2 (1 - x2)] + c2 [a3b1 (1 - x2) - a1b3 (1 x2)] = c3 (1 - x2) (a1b2 - a2b1) + c1 (1 - x2) (a2b3 - a3b2) + c2 (1 - x2) (a3b1 - a1b3) = (1 - x2) (a1b2c3 - a2b1c3 + a2b3c1 - a3b2c1 + a3b1c2 - a1b3c2) (1) Biến đổi vế phải ta có: a1 VP = (1 - x2) a a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 = (1 - x2) (a1b2c3 + a3b1c2 + a2b3c1 - a3b2c1 - a1b3c2 - a2b1c3) (2) Từ (1 (2 → đpcm Biến đổi vế trái ta có: d cosα sinα VT = cosβ sinβ cosγ sinγ = cosβ sin γ + cos α sinβ + cos γ sinα = ( cos sin γ cos γ sin ) + ( cos α sinβ cosβ sin α cos α sin γ cos γ sinβ cosβ sin α ) + ( cos γ sinα cos α sin γ ) = sin( γ β ) + sin( β α ) + sin( α γ ) = 2sin αγ αγ γ α 2β γα cos + 2sin cos 2 2 = 2sin αγ αγ cos 2 = 2sin αγ αγ ( cos 2 = 2sin αγ α β β γ ( 2sin sin ) 2 2sin αγ γ α 2β cos 2 cos γ α 2β ) 15 Chương I: Ma trận định thức = 4sin γα α β β γ sin sin = VP (đpcm 2 Bài Tính hạng ma trận: 1 1 A = 1 2 3 2 4 3 a b 25 75 B = 75 25 31 17 43 94 53 132 94 54 134 32 20 48 Lời giải a 1 1 1 2 3 2 4 3 D4 D2 D5 D2 C C5 D 2 D1 D 2 D1 D4 2 D1 D5 4 D1 C C 1 1 5 1 0 2 5 0 10 13 0 20 26 1 1 1 5 0 5 2 1 7 2 3 D5 2D4 1 1 0 0 0 0 1 2 5 5 10 13 0 Ta thấy ma trận thu ma trận hình thang có : D4 = 1 0 1 0 0 1 10 = 20 ≠ Vậy r(A) = b 16 Chương I: Ma trận định thức 25 75 B= 75 25 31 17 43 94 53 132 94 54 134 32 20 48 D3 D2 D4 D D D1 D D1 D D1 25 31 17 43 0 3 0 2 0 2 25 31 17 43 0 3 0 5 0 5 D D = B’ Ta thấy B ma trận hình thang 25 31 17 D3 = = 25 ≠ 0 Vậy r(B) = r(B’) = Bài Tính hạng ma trận tùy theo giá trị λ : a 4 A = 2 b 1 A = 1 10 6 Lời giải a 4 A = 2 D 3 D1 D 2 D1 = 3 4 3 9 4 4 5 1 12 3 6 0 3 6 Khi –λ – = λ = D2 = C1 C4 C C C C D3 D2 4 1 6 3 12 0 ta có : ≠ → r(A) = 17 Chương I: Ma trận định thức Khi –λ – ≠ λ ≠ ta có: 4 D3 = 3 12 = 0 3 ≠ → r(A) = 3.( λ b 1 A = 1 10 6 D D1 D D1 C C4 1 1 2 0 3 D D 1 1 1 2 1 5 10 1 9 3 ta có: Khi D2 = = ≠ → r(A) = 9 3 Khi λ ≠ ta có: D3 = 1 2 = 0 3 3λ ≠ → r(A) = Bài 10 Tìm giá trị m để ma trận sau có hạng lớn nhất, nhỏ A= 1 m2 1 1 m 1 Lời giải 18 Chương I: Ma trận định thức A= 1 m2 1 1 m 1 D D1 D D1 C C 1 1 1 1 m 1 m 3 1 2 1 m 1 D3 D2 m 3 1 1 0 m2 m 1 Ta có : 1 m2 r ( A)min m = m 1 m2 r ( A)max m ≠ m Bài 11 Xác định giá trị α để ma trận A khả nghịch, tìm ma trận nghịch đảo A : a sin A = sin b cos A = cos 0 0 Lời giải a Ta có: A = sin sin A khả nghịch A →≠ k (k Ta có: A-1 = =1 sin2 01 sin2 cos2 cos ℤ) sin sin 1 1 × A = cos2 sin sin sin A b 19 Chương I: Ma trận định thức cos Ta có: A cos cos2 k 2 cos cos2 1 2 cos k 2 A khả nghịch A → k (k ℤ) Ta có: A11 = ( 1)1+1 A13 = ( 1)1+3 A22 = ( 1)2+2 A31 = ( 1)3+1 A33 = ( 1)3+3 =1 A12 = ( 1)1+2 cos 0 A21 = ( 1)2+1 =0 =1 cos cos A23 = ( -1)2+3 A32 = ( 1)3+2 =0 cos cos =1 cos 0 = 4cos = cos 1 cos 0 cos =0 =0 4cos2 cos → A = cos 0 cos cos → A = cos 0 cos cos 1 →Α × cos A = cos2 Α 0 cos 1 20 ... D e = = 10 01 1002 10 01 10 01 1002 10 03 10 04 10 01 1002 10 03 10 04 D1 D 10 03 10 01 1002 ? ?1 ? ?1 2 D1 D3 10 01 10 01 999 D1 D 10 00 998 999 5 10 01 0 10 02 1 1003 2 10 04 5 ? ?1 ( = ,( ) –( – ) )-... a a a x 10 01 1002 10 03 10 04 10 02 10 03 10 01 1002 10 01 10 01 10 01 10 01 1000 998 999 999 Lời giải Chương I: Ma trận định thức a ? ?1 3 2 7 C1 (C C3 C ) 5 3 5 D D1 D3 D1 D D1 ? ?1 3 5... a 11 Ví dụ Cho A ma trận vuông cấp 3: A = [a 21 a 31 a 11 → det (A) = |a 21 a 31 a12 a22 a32 a12 a22 a32 a13 a23 ] a33 a13 a23 | a33 = a 11. a22.a33 + a12.a23.a 31 + a13.a 21. a32 – a13.a22.a 31 – a12.a 21. a33