Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi môn Toán cao cấp 1 giúp cho các bạn sinh viên nắm bắt được cấu trúc đề thi, dạng đề thi chính để có kế hoạch ôn thi một cách tốt hơn. Tài liệu hữu ích cho các các bạn sinh viên đang theo học môn Toán cao cấp 1 và những ai quan tâm đến môn học này dùng làm tài liệu tham khảo.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Mơn thi: Tốn Cao Cấp Họ tên sinh viên: Nguyễn Hương Giang MSSV: .030137210165 Lớp học phần:D13 THƠNG TIN BÀI THI Bài thi có: (bằng số):…16… trang (bằng chữ):…mười sáu… trang YÊU CẦU BÀI LÀM Trình bày tiểu luận theo chuẩn Giảng viên hướng dẫn lớp học Các ví dụ minh họa phải tính tốn chi tiết Tiểu luận tối thiểu trang, font chữ Times New Roman cỡ chữ 13 Điểm cao dành cho tập có tính đa dạng vận dụng CÂU 1.(4 ĐIỂM) HÃY TRÌNH BÀY THEO SỰ HIỂU BIẾT CỦA EM VỀ CÁC NỘI DUNG SAU (4 ĐIỂM) a) Thuật toán Gauss – Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX = B Để giải hệ phương trình tuyến tính AX B thuật toán Gauss – Jordan, thực theo bước sau: - Bước 1: Viết ma trận hệ số mở rộng 𝐴̃= (A|B) phương trình AX = B, gồm ma trận A ma trận hệ số ẩn B ma trận hệ số tự - Bước 2: Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để biến đổi ma trận mở rộng dạng bậc thang Phép biến đổi sơ cấp: d j αd j βdi , với α i 1,m (với m số dòng A B ) - Bước 3: Dùng định lý Kronecker – Capelli để kiểm tra hệ có nghiệm hay khơng - Bước 4: Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang - Bước 5: Giải hệ ngược từ lên b) Định lý số nghiệm hệ phương trình Mỗi trường hợp cho ví dụ minh họa, ma trận A có dịng - Định lý số nghiệm hệ phương trình AX=B (Định lí Kronecker –Capelli) Ta ln có r A r A B Nếu r(𝐴̃) ≠ r(A) hệ vơ nghiệm Nếu r(𝐴̃) = r(A) hệ có nghiệm + Nếu r(𝐴̃) = r(A) = n hệ có nghiệm + Nếu r(𝐴̃) = r(A) < n hệ có vơ số nghiệm, phụ thuộc vào n – r(A) ẩn tự Trong đó: n số ẩn phương trình - Ví dụ minh họa TH1: Phương trình vơ nghiệm x y z 0 2x y z 3x y 18 z 1 1 A = 1 2 18 1 1 0 1 1 0 1 1 d2 d2 2 d1 d3 d3 5d1 3 3 (A|B) = 1 d3 d3 3d1 2 18 5 15 0 12 Ta thấy r(A) = < r(𝐴̃) = nên hệ vơ nghiệm TH2: Phương trình có nghiệm 2 x1 x2 x3 x 10 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 3 x x x 36 x 4 1 1 Ã = (A|B) = 1 1 1 6 36 10 d1 d3 2 4 1 1 1 1 4 1 6 36 2 1 10 4 2 2 1 1 1 1 d3 d2 d = d - d1 2 4 1 10 d3 = d3 - 2d1 10 2 4 1 d = d - 3d1 4 3 27 2 4 3 27 2 1 d3 d3 d1 0 d4 d4 d1 0 0 1 3 10 24 13 2 1 d4 d4 d3 0 11 22 0 1 3 10 24 0 11 Ta thấy r(A) = r(𝐴̃) = = n (số ẩn) nên hệ có nghiệm 2 6 11 11 Ta có, hệ phương trình tương đương: x1 x2 x3 3x4 x2 3x3 10 x4 x3 24 x4 11 11x4 11 13 13 x2 35 x3 x4 x1 13 13 35 Vậy nghiệm hệ phương trình ( x1; x2 ; x3 ; x4 ) ; ; ;1 9 TH3: Phương trình có vơ số nghiệm x1 x2 x3 3x4 x1 3x2 x3 x4 3x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 14 x4 4 1 Ã A| B = 3 2 1 d3 d3 d1 0 d4 d4 3d1 0 0 1 d d d3 0 0 1 3 2 1 0 1 d2 = d2 - d1 5 2 4 dd34 == dd34 3d 2d1 4 3 3 5 14 1 5 14 7 1 5 7 0 0 1 3 d3 d 0 10 5 0 1 5 7 14 0 3 4 4 0 3 5 10 0 3 5 0 Ta thấy r(A) = r(𝐴̃) = < (n: số ẩn) nên hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc vào 3-2=1 tham số tự Ta có, hệ phương trình tương đương: x x x 3x x x x 3 3x3 x4 00 Đặt x4 =t, t ∈ R 4t x1 t 1 x2 7t x3 x t 4t t 7t Vậy hệ phương trình có vơ số nghiệm ( x1; x2 ; x3 ; x4 ) ; ; ; t t R 3 c) Xét hệ phương sau : ax x x a x1 bx2 x3 b x1 x2 cx3 c Trong a ngày sinh, b tháng sinh c năm sinh Hãy giải phương trình cách Phương trình sau thay ngày tháng năm sinh vào: 5x x x x 11 x x 13 x x2 2003x3 2005 Cách 1: Dùng thuật toán Gauss – Jordan 13 13 5 11 11 d1 d2 d2 d2 5d1 ( A | B) 11 13 5 1 4 58 d3 d3 d1 54 1 2003 2005 1 2003 2005 10 2002 1992 13 1 11 11 d2 d2 d3 d3 10 d2 54 29 2 1 2 1 27 27 27 10 0 2002 1992 54074 27 29 27 54074 27 13 Ta thấy r(Ã) = r(A) = = n (số ẩn) nên hệ có nghiệm Ta có hệ phương trình: x1 11x2 x3 13 29 x3 x2 27 27 54074 54074 27 x3 27 x1 x2 x 1 Vậy nghiệm hệ phương trình ( x1; x2 ; x3 ) (1;1;1) Chứng minh hệ Cramer x1 x2 x3 G x1 11x2 x3 13 x x 2003x 2005 5 1 A 11 1 2003 1 A 11 dßng 5.(1)11 1 2003 11 1 2003 1.(1)12 = 5.22032 – 1.2002 + 1.(-10) =108148 det( A) 108148 (1) Ta thấy: số ẩn = số phương trình = (2) Từ (1), (2) G hệ Cramer 1 2003 1.(1)13 11 1 Cách 2: Dùng phương trình ma trận AX=B để tìm X hệ Cramer x1 x2 x3 G x1 11x2 x3 13 x x 2003x 2005 1 5 x1 Ta có: A 11 ; X x2 ; B 13 1 2003 x 2005 3 Dạng ma trận hệ: AX B Khi nghiệm X A1.B 1 11 11 13 1 2003 2005 1 1 ứng với 1 x1 x2 x 3 Vậy nghiệm hệ phương trình ( x1; x2 ; x3 ) (1;1;1) Cách 3: Dùng định thức hệ Cramer 5x x x G x1 11x2 x3 13 x x 2003x 2005 1 5 A 11 1 2003 ; B 13 2005 Ta có det( A) 108148 (chứng minh trên) 5 5 1 A1 13 11 ; A2 13 ; A3 11 13 2005 2003 2005 2003 1 2005 Trong đó: - A1 ma trận có từ ma trận A cách thay cột cột tự B - A2 ma trận có từ ma trận A cách thay cột cột tự B - A3 ma trận có từ ma trận A cách thay cột cột tự B det( A1) 7.(1)11 11 13 13 11 1.(1)12 1.(1)13 2003 2005 2003 2005 = 7.22032 + (-1).24034 + 1.(-22042) =108148 det( A2 ) 5.(1)12 13 1 1 13 7.(1)12 1.(1)13 2005 2003 2003 2005 =5.24034 + (-7).2002 + 1.1992 =108148 det( A3 ) 5.(1)11 11 13 2005 1.(1)1 13 2005 7.(1)13 11 1 = 5.22042 + (-1).1992 + 7.(-10) =108148 Ta có: x1 det( A1) 1 det( A) ; x2 det( A2 ) 1 ; det( A) x3 det( A3 ) 1 det( A) Vậy nghiệm hệ phương trình x1; x2 ; x3 (1;1;1) Cách 4: Biến đổi linh hoạt, đặt ẩn phụ a x1 1 x2 1 x3 1 x1 1 b x2 1 x3 1 x1 1 x2 1 c x3 1 x x1 Đặt y x2 , hệ phương trình trở thành: z x ax y z x by z x y cz Do hệ phương trình tuyến tính a 5, b 11, c 2003 làm cho dịng độc lập tuyến tính nên có nghiệm nghiệm tầm thường x x1 Hệ phương trình y x2 x1 x2 x3 z x CÂU (3 ĐIỂM): a) Trình bày cách tính định thức ma trận vng cấp Mỗi cách cho ví dụ minh họa Cách 1: Phần bù đại số A (aij ) nn , đặt A (1) i j M ij ij , Trong đó, M định thức sinh từ định thức ma trận ij A cách bỏ dòng i cột j Còn A gọi phần bù đại số tương ứng với phần tử aij A ij det( A) A dßng n a 11 a1j.(1)1 j A(1 / j) i 1 ( 1)11 A(1 / 1) a12 ( 1)12 A(1 / 2) a1n ( 1)1 n A(1 / n) Cách tính cơng thức khai triển theo dịng Có thể chọn dịng cột tùy ý *Thủ thuật: Chọn dòng cột chứa nhiều số để khai triển cho nhanh Ví dụ minh họa: dßng 2.(1)11 1 6 1.(1)12 4.(1)13 5 3 2.1.(1.3 6.5) 1.(1).(3.3 6.2) 4.1.(3.5 1.2) 54 52 Cách 2: Qui tắc Sarrus Để tính định thức ma trận vuông cấp theo quy tắc Sarrus, ta : a11 a12 a13 detA a21 a22 a23 a31 a32 a33 Bước 01: Viết lại cột đầu định thức theo thứ tự phía sau cột cuối (cột 3) ma trận vuông ban đầu a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a21 a22 a31 a32 Bước 02.1: Tích phần tử (đủ phần tử) song song với đường chéo cộng chúng lại với a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 Bước 02.2: Tích phần tử (đủ phần tử) song song với đường chéo phụ cộng chúng lại với nhau, đặt cho dấu trừ trước tổng a13a22 a31 a11a23a32 a12 a21a33 Bước 02.3: Cộng hai phần lại với nhau, ta có định thức ma trận A detA a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a13a22 a31 a11a23a32 a12 a21a33 Hoặc ta dựa vào sơ đồ sau: det(A) = A = Tổng đường chéo đỏ - tổng đường chéo xanh A a11.a22.a33 a12.a23.a31 a13.a21.a32 (a13.a22.a31 a11.a23.a32 a12.a21.a33 ) Ví dụ minh họa: VT 2x x x 1 x x 1 2x x x 1 x x 1 2 2x x 1 x 1 x.1.8 1( x 2).7 x( x 1)( x 1) x.1.7 x( x 2)( x 1) 1.( x 1).8 16 x x 14 x3 x x (7 x x3 x x x 8x 8) 16 x x 14 x3 x x x x3 x x x x x3 x 13x 22 VP x3 x 13x 22 2 x3 x 13x 24 x b) Định nghĩa ma trận khả nghịch? Nêu phương pháp để xác định tính khả nghịch ma trận? Cho ví dụ minh họa cụ thể (ma trận cấp 3, cấp 4) - Đinh nghĩa: Cho A ma trận vuông cấp n k Ta bảo A ma trận khả nghịch tồn ma trận B vuông cấp n k cho: A.B=B.A=In Khi B gọi ma trận nghịch đảo A(ký hiệu A-1), A gọi ma trận khả nghịch Trong đó, In ma trận đơn vị cấp n Như vậy: A.A-1=A-1.A=In - Phương pháp để xác định tính khả nghịch ma trận: tính det(A) Nếu det(A) Ma trận A có tính khả nghịch Nếu det(A) Ma trận A khơng có tính khả nghịch - Ví dụ minh họa xét tính khả nghịch ma trận + Ma trận cấp 3: 1 A 3 2 A 2 1 1 1 3 1.2.3+1.1.2+2.3.1 (2.2.2 1.1.1 1.3.3) 14 18 Ma trËn vu«ng A cã tÝnh khả nghịch + Ma trn cp 4: B B 1 2 16 2 1 2 16 2 0 2 1 2 4 20 4 1 5 1 10 1 2 1 5 1 4 20 4 0 1 0 5 5 1 det( B) 1.(1).(5).0 Ma trận B khơng có tính khả nghịch c) Cho ví dụ cụ thể vận dụng tính khả nghịch ma trận việc giải phương trình ma trận sau: A.X = B, X.A=B, A.X.B=C A.X = B 2 4 1 2 1 X 3 3 X 1 1 2 4 3 10 2 10 5 7 10 25 10 1 5 X.A=B 4 4 1 1 X 12 X 12 1 1 1 1 7 2 45 3 1 1 . 3 11 2 1 45 3 1 16 45 15 31 6 45 11 A.X.B=C 1 0 5 3 X 4 7 4 5 0 4 6 1 0 5 3 X 4 7 4 5 0 6 -1 1 3 2 4 23 23 1 3 3 5 23 23 7 4 3 2 17 11 12 1 23 23 23 3 2 21 1 23 23 23 5 7 4 52 81 29 23 46 23 153 65 111 92 184 92 CÂU (3 ĐIỂM) HÃY TRÌNH BÀY THEO SỰ HIỂU BIẾT CỦA EM VỀ CÁC NỘI DUNG SAU a) Sự phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính họ vector Cho ví dụ minh hoạ? Một hệ vector v1, v2 , v3, , vm gọi phụ thuộc tuyến tính có tổ hợp tuyến tính khơng tầm thường v1, v2 , v3, m civi , với i 1 12 m , vm vector 0, nghĩa ci2 i 1 Một hệ vector v1, v2 , v3, , vm gọi độc lập tuyến tính hệ vector khơng phụ thuộc tuyến tính m ci vi ci i 1 i 1,m Ví dụ minh họa: Xét tính phụ thuộc tuyến tính/ độc lập tuyến tính hệ vector Ví dụ 1: A v1 1;2;3 ; v2 2;1;0 ;v 0;1; 2 Xét c1v1 c2v2 c3v3 c1 1;2;3 c2 2;1;0 c3 0;1; 2 c1 2c2 2c1 c2 c3 3c 2c c1 c2 c3 Vậy hệ vector A độc lập tuyến tính Ví dụ 2: B u1 2;4 ;u2 1; 2 Xét c1v1 c2v2 c1 2;4 c2 1; 2 2c1 c2 4c1 2c2 2c1 c2 Tồn c1 1; c2 để c1v1 c2v2 Vậy hệ vector B phụ thuộc tuyến tính b) Khơng gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính nhất? Hãy cho ví dụ minh hoạ xác định số chiều sở Hệ phương trình tuyến tính ln có nghiệm tầm thường, phần tử trung hoà phép cộng Như nghiệm hệ phương 13 trình tuyến tính lập thành không gian không gian n với n số ẩn hệ phương trình Từ phương trình ta tìm liên hệ ẩn, gọi r số liên hệ độc lập hệ phương trình tuyến tính n ẩn, ta có khơng gian có số chiều n – r, nghĩa lập nên sở gồm n – r vectors độc lập tuyến tính Ví dụ: Xét hệ phương trình tuyến tính x1 x2 x3 3x4 x1 3x2 3x3 x4 2 x x x x Xét ma trận hệ số ẩn 3 3 d2 d2 d1 A 3 4 d3 d3 d2 d1 5 0 0 2 Ma trận gồm r = dịng độc lập tuyến tính (hay rank A r ), vector nghiệm tổng qt hệ phương trình có số chiều ( dim W* n ), hệ phương trình tạo không gian W chứa vector nghiệm X với số chiều dim W n r x3 m Chọn x4 t , biểu diễn x1 , x2 theo m,t từ mối liên hệ x1 x2 x3 3x4 x2 5x3 x4 x1 2x2 3t 4m x2 5m 4t x1 11t 14m x2 5m 4t Vậy nghiệm tổng quát có dạng x1 14m 11t 14 11 x2 5m 4t 4 X m t x3 m t x4 14 Vậy vector khơng gian nghiệm W hệ phương trình biểu diễn 14 11 4 dạng tổ hợp tuyến tính hai vectors độc lập tuyến tính X ; X2 Như vậy, sở không gian nghiệm W B X 1;X2 dim W cardB c Xét không gian 4 , cho ví dụ khơng gian nằm khơng gian có số chiều Xác định sở cơng thức biểu diễn toạ độ vector không gian với sở trên? Xét khơng gian x1 x có vector tổng quát dạng X x3 x4 x1 17 x3 x4 Nếu thêm ràng buộc x2 24 x3 x4 , khơng tính tổng quát ta đặt x3 y , ta không gian W với vector tổng quát dạng: x4 s 17 y 4s 24 y s X y s với y,s Có thể viết X dạng tổ hợp tuyến tính 17 24 X y s 0 1 15 Như vậy, vector X khơng gian W viết dạng 17 4 24 tổ hợp tuyến tính Y S , dễ nhận thấy Y, S độc lập tuyến tính 1 0 0 1 Khơng tính tổng quát, chọn B Y , S sở không gian W, vector X W viết dạng X c1Y c2 S , với c1, c2 gọi toạ độ X ứng với sở B không gian W 16 17 ... 5.(? ?1) 12 13 1 1 13 7.(? ?1) 12 ? ?1. (? ?1) 13 2005 2003 2003 2005 =5.24034 + (-7 ).2002 + 1. 1992 =10 814 8 det( A3 ) 5.(? ?1) 1? ?1 11 13 2005 1. (? ?1) 1 13 2005 7.(? ?1) 13 11 1 = 5.22042 + ( -1 ) .19 92 + 7.( -1 0 )... B - A3 ma trận có từ ma trận A cách thay cột cột tự B det( A1) 7.(? ?1) 1? ?1 11 13 13 11 ? ?1. (? ?1) 12 ? ?1. (? ?1) 13 2003 2005 2003 2005 = 7.22032 + ( -1 ) .24034 + 1. (-2 2042) =10 814 8 det( A2 ) 5.(? ?1) 12... x1; x2 ; x3 ) (1; 1 ;1) Chứng minh hệ Cramer x1 x2 x3 G x1 11 x2 x3 13 x x 2003x 2005 5 1 A 11 1 2003 1 A 11 dßng 5.(? ?1) 1? ?1 1 2003 11 1