Giáo trình Toán cao cấp Phần 2 Trường ĐH Tài chính Marketing

Chương TÍCH PHÂN 5.1 Tích phân bất định 5.1.1 Nguyên hàm tích phân bất định Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f (x) khoảng  a, b  , nếu: F/ (x)  f (x), x  (a, b) Nếu hàm số G  x  nguyên hàm khác hàm số f (x) khoảng  a, b  G(x)  F(x)  C , với C số Họ tất nguyên hàm của hàm số f (x) khoảng  a, b  gọi tích phân bất định hàm số f (x) khoảng  a, b   f (x)dx Ký hiệu: Vậy /  f (x)dx  F(x)  C  F (x)  f (x) Tính chất a)  f (x)  g(x) dx   f (x)dx   g(x)dx b)  f (x)  g(x) dx   f (x)dx   g(x)dx c)  kf (x)dx  k  f (x)dx với k số d) Tính bất biến biểu thức tích phân: Nếu  f (x)dx  F(x)  C  f (u)du  F(u)  C u  (x) 129 (5.1)   Ví dụ Cho hàm số: F(x)  ln x  x  k Tính đạo hàm hàm số suy nguyên hàm tích phân sau:  x2  k dx Giải Ta có 1 F/ (x)  x x2  k  x  x2  k x k  f (x) Suy  x k dx  ln x  x  k  C 5.1.2 Bảng cơng thức tích phân a)  x  dx  b) x 1  C (  1)  1 g)  x dx  ln x  C h)  c)  e x dx  e x  C d)  sin xdx   cos x  C e)  cos xdx  sin x  C f)  sin x dx   cot x  C  cos2 x dx  tan x  C 1  x2 dx  arcsin x  C i)  k)   x dx  arctan x  C l)   x dx   arc cot x  C  x2 dx   arccos x  C 1 5.1.3 Các phương pháp tính tích phân bất định 5.1.3.1 Sử dụng bảng tích phân phương pháp khai triển Ta tính tích phân hàm phức tạp cách khai triển thành tổng (hiệu) tích phân hàm đơn giản Ví dụ Tính tích phân bất định x x  1dx Giải Nếu ta khai triển x  x   , ta chuyển tích phân tổng tích phân sau: x x  1dx    x   1 x  1dx 130    x  1 x  1dx   x  1dx    x  1  4/3 1/3 dx    x  1 dx 3  x  17/3   x  14/3  C 5.1.3.2 Phương pháp đổi biến số Xét tích phân bất định I   f  x  dx , f (x) hàm số liên tục Để tính tích phân ta chuyển sang tích phân khác cách thay x    t  Với giả thiết hàm x    t  đơn điệu có đạo hàm liên tục, ta có: dx   / (t)dt Vậy I   f  x  dx   f  (t) / (t)dt   g(t)dt (5.2) với g(t)  f  (t)  / (t) Nếu ta tính tích phân  g(t)dt  G  t   C I   g(t)dt  G  1 (x)   C Công thức (5.2) gọi cơng thức đổi biến số Ví dụ Cho tích phân  f  ax  b  dx Đặt t  ax  b  dt  adx Ta có  f  ax  b  dx  a  f  t  dt Hệ a)  (ax  b) dx  b) 1 (ax  b)1  C (  1) a  1  ax  b dx  a ln ax  b  C c)  eax  bdx  eax  b  C a d)  sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C a 131 e)  cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C a f)  1 dx  tan(ax  b)  C a cos (ax  b) 1 g)  sin (ax  b) dx   a cot(ax  b)  C h)  i)   (ax  b)2 dx  a arctan(ax  b)  C   a arccot(ax  b)  C 1 dx  arcsin(ax  b)  C   arccos(ax  b)  C a a  (ax  b) 1 Ví dụ Tính tích phân sau: a) I   b) J    x 1 x  dx dx  sin x Giải a) I    x 1 x  dx Ta đổi biến sau Đặt x  t (t  0), dx  6t 5dt Áp dụng công thức (5.2), ta có I  6t t3  t  dt  6 t2   dt  6 1  dt 2  1 t  1 t    t  arctan t   C  b) J     x  arctan x  C dx  sin x Ta đổi biến sau Đặt t  tan x 2t , ta có x  2arctant, dx  dt, sin x  2 1 t  t2 Áp dụng cơng thức (5.2), ta có 132 J  2 1 dx   dt 2t  t  sin x 1 1 t2 2 dt   C   C x t 1 (t  1) tan  5.1.3.3 Phương pháp tích phân phần Giả sử u  u(x) v  v(x) hàm số có đạo hàm liên tục Ta có d  uv   vdu  udv  udv  d  uv   vdu Lấy tích phân vế, ta có  udv  uv   vdu (5.3) hay  v(x)u (x)dx  u(x)v(x)   u(x)v (x)dx / / với u  u(x)  du  u / (x)dx; v  v(x)  dv  v / (x)dx Cơng thức (5.4) gọi cơng thức tích phân phần Ví dụ Tính tích phân bất định sau a) I   x ln xdx b) I   xe x dx c) I   x sin xdx d) I   x arctan xdx Giải a) I   x ln xdx Đặt u  ln x  du  1 dx; dv  xdx  v  x x Vậy I 1 x ln x   xdx  x ln x  x  C 2 b) I   xe x dx 133 (5.4) Đặt u  x  du  dx; dv  e x dx  v  e x Vậy I  xe x   ex dx  xex  ex  C c) I   x sin xdx Đặt u  x  du  dx; dv  sin xdx  v   cos x Vậy I   x cos x   cos xdx   x cos x  sin x  C d) I   x arctan xdx Đặt u  arctan x  du  1 dx; dv  xdx  v  x 2 1 x Vậy x2 I  x arctan x   dx 2  x2 1    x arctan x   1   dx 2  1 x2   1 x arctan x  x  arctan x  C 2 5.1.3.4 Phương pháp tính tích phân hàm hữu tỉ a Tích phân phân thức hữu tỉ với mẫu bậc Xét tích phân P(x)  ax  b dx , với P(x) đa thức Ta biểu diễn biểu thức dấu tích phân dạng: P(x) c  Q(x)  ax  b ax  b Trong đó: Q(x) thương phép chia đa thức c phần dư phép chia Tích phân đa thức Q(x) tính dễ dàng, cịn tích phân phân thức thứ hai tính theo cơng thức: c c  ax  b dx  a ln ax  b  C Ví dụ Tính tích phân 134 I x  3x dx  2x Giải Biểu thức dấu tích phân ta lấy tử chia cho mẫu, ta 7   I     x2  x    dx 8  2x   7   x  x  x  x ln  2x  C 8 16 b Tích phân phân thức hữu tỉ với mẫu bậc hai Xét tích phân  ax P(x) dx , với P(x) đa thức Ta biểu diễn biểu thức  bx  c dấu tích phân dạng: P(x) Ax  B  Q(x)  ax  bx  c ax  bx  c Trong đó: Q(x) thương phép chia đa thức Ax  B phần dư phép chia Tích phân đa thức Q(x) tính dễ dàng Để tính tích phân I   Ax  B dx ta biến đổi sau: ax  bx  c Ax  B A 2ax  b Ap    B  2 ax  bx  c ax  bx  c   ax  bx  c Khi ta được: I  Tích phân: J   Ax  B A 2ax  b Ap   dx   dx   B  dx  2 ax  bx  c ax  bx  c  ax  bx  c  A Ap   ln ax  bx  c   B  J 2   dx tính sau: ax  bx  c Xét tam thức bậc mẫu ta có   b  4ac +) Trường hợp Tam thức bậc mẫu có hai nghiệm phân biệt x1 , x : J  1 dx   dx ax  bx  c a (x  x1 )(x  x )  1 1  1 x  x1  ln  C   dx   a x1  x  x  x1 x  x  a x1  x x  x 135 +) Trường hợp Tam thức bậc mẫu có nghiệm kép x : J 1 1 dx   dx    C ax  bx  c a (x  x ) a x  x0 +) Trường hợp Tam thức bậc mẫu vô nghiệm : 1 dx   dx 2 ax  bx  c a     b   x    2a   2a    2ax  b   arctan    C     J Ví dụ Tính tích phân a) I   dx x  3x  b) J   dx x  6x  c) K   dx x  2x  Giải a) I   1 dx   dx x  3x  (x  1)(x  2)  x2      C  dx  ln x 1  x  x 1  b) J   1 dx   dx    C x  6x  (x  3) x 3 c) K   1 x 1  C dx   dx  arctan 2 x  2x  (x  1)  2 2 5.1.3.5 Phương pháp tính tích phân hàm lượng giác a Tích phân có dạng: I   sin m x cosn xdx Nếu hai số m, n số lẻ tích phân loại đưa tích phân đa thức cách đổi biến số: +) Nếu m số lẻ ta đặt: t  cos x , ta có d(cos x)   sin xdx +) Nếu n số lẻ ta đặt: t  sin x , ta có d(sin x)  cos xdx +) Nếu m, n số chẵn ta sử dụng công thức hạ bậc: 136 sin x   cos 2x  cos 2x ; cos x  ;sin x cos x  sin 2x 2 Ví dụ Tính tích phân: I   sin x cos5 xdx Giải Đặt t  sin x , dt  cos xdx Ta có I   sin x cos x cos xdxdx   t 1  t  dt    t  2t  t dt 2 1  t  t  t  C  sin x  sin x  sin x  C 9 b Nếu hàm dấu tích phân khơng chẵn, khơng lẻ theo sin x, cos x Để tính tích phân loại ta đặt t  tan x , đó: Ta có x  arctan t, dx  2t 1 t2 2t   dt, sin x , cos x , tan x  2 1 t 1 t 1 t 1 t2 Ví dụ Tính tích phân I dx (a, b, c số cho trước) a sin x  b cos x  c Giải Đặt t  tan x , đó: x  arctan t, dx  2t 1 t2 dt, sin x  , cos x   t2 1 t2 1 t2 Ta có I a 2t 1 t b c 1 t 1 t2 dt  2 dt 2 1 t (c  b)t  2at  b  c Đây tích phân phân thức hữu tỉ có mẫu tam thức bậc 5.2 Tích phân xác định 5.2.1 Định nghĩa tính chất tích phân xác định Tính diện tích hình thang cong giới hạn đường thẳng x  a, x  b đường cong (C) : y  f (x) liên tục đoạn  a, b  137 Chia đoạn  a, b  thành n đoạn nhỏ a  a  a1    a n  b với a i  a i1  ba , i  1, 2, , n n Trên đoạn a i1, a i  lấy điểm x i tùy ý Diện tích n hình chữ nhật nhỏ Sn  f (x1 )(a1  a )  f (x )(a  a1 )    f (x n )(a n  a n 1 ) hay n Sn   f (x i )(a i  a i1 )  i1 ba n  f (xi ) n i1 Diện tích hình thang cong S ba n  f (xi ) n  n i 1 S  lim Sn  lim n  Đặt b ba n  f (x i ) n  n i 1  f (x)dx  S  lim Sn  lim a n  (5.5) Trong a cận dưới, b cận f (x) hàm lấy tích phân Trường hợp đặc biệt a  0, b  1, x i  a i , ta có 1 n i  f  n  n  n i1  f (x)dx  S  lim Sn  lim n  138 (5.6) 1) Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A (nếu có)   2) Tìm ma trận X cho 13 A T 1  X  2A Câu (1 điểm) Tính giới hạn: lim x  arctan 2x x 0 Câu (1 điểm) Khai triển Maclaurin đến cấp hàm số: f (x)  ln(1  x) Câu (1 điểm) Tính tích phân suy rộng:   1 dx x(x  1) Câu (1 điểm) Cho hàm số: y  f (x) thỏa mãn đẳng thức x  x 2e y  2ln y  2018 Tính y /x ( y /x đạo hàm y theo x) Câu (1 điểm) Tìm cực trị hàm sau: f  x, y   x  3xy  15x  12y  2018 với x, y  Câu (1 điểm) Giải phương trình vi phân: y /  2y  4xe 2x với y(0)  10 Đề số 13 Câu (2 điểm) 2x1  x  1) Giải hệ phương trình tuyến tính sau :  x1  x 5x  x  1 0 2) Tính định thức ma trận sau : A   3  0 2 3  x3  x3  3x 2  1  4 Câu (2 điểm)  2 1   1) Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A   1  (nếu có) 1 1    1 2) Cho ma trận A    Tìm ma trận B cho AB  BA  1 Câu (1 điểm) Tính giới hạn: lim 1  x  x 0 ln x 235  x4  2x  2x     e 2x   Câu (1 điểm) Cho hàm số f  x    x  x  m3  x0 x0 Tìm m để hàm f liên tục x  Với m tìm tính f /   , (nếu có) Câu (1 điểm) Tính tích phân suy rộng:  dx  3x  12x  39 1 Câu (1 điểm) Cho hàm số: u  ln x  y Chứng minh rằng: x u u y 1 x y Câu (1 điểm) Tìm cực trị hàm f  x, y   2x  3y , với ràng buộc x  9y2  180 Câu (1 điểm) Giải phương trình vi phân: y /  2xy  3xe  x với y(0)  Đề số 14 Câu (2 điểm) 2x1  x  1) Giải hệ phương trình tuyến tính : 3x1  2x 5x  x  1 0 2) Tính định thức ma trận sau : A   1  0 2 3  x3  2x  3x  x4  x4  2x    3  1  4 Câu (2 điểm)  2 1   1) Tìm ma trận nghịch đảo ma trận : A   3  (nếu có)  1 2    1  2) Tìm ma trận B cho AB  BA với A    1  Câu (1 điểm) Tính giới hạn: lim x  tan x x 0  e3x   Câu (1 điểm) Cho hàm số f  x    x  x  m2  x0 x0 Tìm m để hàm f liên tục x  Với m tìm tính f /   , (nếu có) 236 Câu (1 điểm) Tính tích phân suy rộng:  dx  3x  12x  39 Câu (1 điểm) Cho hàm số: u  arctan x u u Chứng minh : y  x  y x y Câu (1 điểm) Tìm cực trị hàm f  x, y   3x  y , với ràng buộc 9x  y  162 Câu (1 điểm) Giải phương trình vi phân: y /  4xy  xe 2x với y(0)  Đề số 15 Câu (2 điểm) 2x1  x  1) Giải hệ phương trình tuyến tính sau :  x1  x 7x  2x  1  2) Tính định thức ma trận sau : A   2  0 2  x3  x3  4x  x4  2x  x4    2  0 1  4 Câu (2 điểm) 2 1   1) Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A   3  (nếu có)  2   1 2 2) Cho ma trận A    Tìm ma trận B cho AB  BA  1 1  Câu (1 điểm) Tính giới hạn: lim x cos 2x x 0 Câu (1 điểm) Khảo sát tính tăng, giảm cực trị hàm số sau: f (x)  Câu (1 điểm) Tính tích phân suy rộng: 2 ln x x dx  2x  4x  20  Câu (1 điểm) Cho hàm số: y  f (x) thỏa mãn đẳng thức x  y3  6xy  2018 Tính y /x ( y /x đạo hàm y theo x) Câu (1 điểm) Tìm cực trị hàm f  x, y   x  3y , với ràng buộc x  9y2  288 Câu (1 điểm) Giải phương trình vi phân: y /  2xy  3xe x với y(0)  237 Phụ lục Tập số, tổng, tích hữu hạn, đẳng thức, bất đẳng thức, chứng minh phương pháp quy nạp Các ký hiệu tập số 1.1 Tập số tự nhiên (natural integer) Ký hiệu:    0,1, 2,  ; *  1, 2,    \ 0 1.2 Tập số nguyên (relative integer) Ký hiệu:     , 2, 1,0,1, 2,  1.3 Tập số hữu tỷ (rational number) Ký hiệu:  m     m  ,n  *  n  1.4 Tập số thực (real number): Ký hiệu:  1.5 Tập số phức (complex number) Ký hiệu:      a  bi a, b  , i  1 Tổng, tích hữu hạn 2.1 Ký hiệu tổng, tích Cho a1 , a , , a n   n n i 1 i 1 a1  a   a n   a i ;a1  a   a n   a i 2.2 Tổng, tích định nghĩa quy nạp  n   a i   a i  a n1;  a i    a i   a n1 i 1 i 1 i 1  i1  n 1 Quy ước: n  a i  a1; i 1 n 1  a1  a1 i 1 Hằng đẳng thức n n a  a  b    Ckn a n k b k (Nhị thức newton) k 0 238 n b a n  b n   a  b   a n k b k 1 k 1 với Ckn  n! k!(n  k)! Hệ n n a  a  b    Ckn (1)k a n k b k i 0 n b Nếu n lẻ: a n  bn   a  b   (1)k 1 a n k b k 1 k 1 Bất đẳng thức 4.1 Bất đẳng thức Cauchy Cho a1 , a , , a n  , ta có a1  a   a n n  a1a a n n Dấu “=” xảy a1  a    a n 4.2 Bất đẳng thức BCS Cho a1 , a , , a n , b1 , b , , b n    n   n  n  a b   i i     a i   bi   i 1   i 1  i1  Dấu “=” xảy a1 a a   n b1 b bn 4.3 Bất đẳng thức Bernoulli n Cho a  1 Ta có n  , 1  a    na Dấu “=” xảy n   n  1,a  1 Chứng minh phương pháp quy nạp Xét hàm mệnh đề: p(n), n  * Nếu + p(1) + p(n)  p(n  1) 239 Thì p(n) với n  * Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau phương pháp quy nạp 1  n  n(n  1) p(n) :1     n  n(n  1) Giải Đặt +) Với n  1, p(1) :1  1(1  1) đẳng thức +) Với n bất kỳ, p(n) đúng, nghĩa đẳng thức 1  n  n(n  1) đó, ta có     n  (n  1)  n(n  1) (n  1)(n  2)  (n  1)  2 nghĩa p(n  1) mệnh đề Nói khác n  , p(n)  p(n  1) mệnh đề Do nguyên lý quy nạp, đẳng thức 1  n  n(n  1) với n   Chú ý nguyên lý quy nạp không đơn phép chứng minh Nó cịn dùng phép suy luận Tổng quát hơn, nguyên lý quy nạp dùng để chứng minh hàm mệnh đề sau: Xét hàm mệnh đề: n  n , p(n) Nếu +) p(n ) +) n  n , p(n)  p(n  1) Thì n  n , p(n) 240 Phụ lục Tập hợp ánh xạ Tập hợp 1.1 Khái niệm tập hợp Tập hợp khái niệm bản, không định nghĩa Thông thường, tập hợp bao gồm nhiều đối tượng, đối tượng gọi phần tử tập hợp Ta nhận biết tập hợp thơng qua phần tử Ví dụ Tập hợp mơn mà sinh viên năm thứ trường Đại học Tài – Marketing phải học; tập hợp mặt hàng mà công ty bán,… Người ta thường kí hiệu tập hợp chữ in hoa A, B, C,…và phần tử tập hợp chữ in thường a, c, b,… Một tập hợp A chứa phần tử a (hay phần tử a thuộc tập hợp A) kí hiệu aA Tập hợp khơng chứa phần tử gọi tập rỗng, ký hiệu  Để biểu diễn tập hợp A, người ta dùng giản đồ Venn với đường cong đơn khép kín, chia mặt phẳng làm hai miền, miền phía bên đường cong dành cho phần tử thuộc tập hợp A miền phía bên ngồi mặt phẳng dành cho phần tử không thuộc tập hợp A Chẳng hạn, với giản đồ Venn sau mô tả 1,2,3  A 4,5  A Có hai cách để xác định tập hợp Cách thứ liệt kê phần tử Trong tốn học, người ta liệt kê phần tử tập hợp hai ngoặc nhọn (“{” “}”), không ý thứ tự liệt kê phần tử liệt kê lần Cách thứ hai mơ tả tính chất phần tử tập hợp Ví dụ Một số tập hợp số thường dùng Tập hợp số tự nhiên, ký hiệu  = {0,1,2, } ; tập hợp số tự nhiên khác 0, kí hiệu * Tập hợp số nguyên, ký hiệu  = { , -2, -1,0,1,2, } Tập hợp số hữu tỷ, ký hiệu  = { m | m  ; n  ;n  0} n 241 Tập hợp số thực, ký hiệu   {x | x    x  I} ; tập hợp số thực khác 0, ký hiệu * ; tập hợp số thực không âm, ký hiệu   ; tập số thực không dương ký hiệu   ,… Tập hợp số phức, ký hiệu   {a  bi | a, b  ;i  1} 1.2 Các phép toán tập hợp 1.2.1 Phép lấy phần bù Phần bù A X, ký hiệu C X A (hay A ), tập X gồm phần tử không thuộc A, nghĩa : A   x  X x  A  1.2.2 Phép lấy phần hợp Phần hợp A với B, ký hiệu A  B , tập X gồm phần tử thuộc A hay thuộc B, nghĩa : A  B   x  X x  A  x  B  1.2.3 Phép lấy phần giao Phần giao A với B, ký hiệu A  B , tập X gồm phần tử nằm A nằm B, nghĩa : A  B   x  X x  A  x  B  1.2.4 Phép lấy phần hiệu Phần hiệu A với B , ký hiệu A \ B , tập X gồm phần tử nằm A không nằm B, nghĩa : A \ B   x  X x  A  x  B  242 Chú ý: A \ B  A  B Ví dụ Cho tập X = 0,1,2,3, ,8,9 hai tập hợp A = 0,2,4,6,8;B = 0,2,4 ta tìm A = 1,3,5,7,9 ; A  B = 0,1,2,3,4,6,8 ; A  B = 0,2,4 ; A \ B = 6,8 1.3 Các tính chất tập hợp Với tập hợp A, B,C  X Ta có : i)  A   A ii) A  B  B  A ; A  B  B  A iii)  A  B  C  A   B  C  ;  A  B  C  A   B  C  iv) A   B  C    A  B   A  C  ; A   B  C    A  B   A  C  v)  A  B   A  B ;  A  B   A  B vi) A  A  A ; A  A  A vii) A    A ; A  X  A viii) A  X  X ; A     ix) A  A  X ; A  A   x) A   A  B  A ; A   A  B  A Ánh xạ 2.1 Định nghĩa Với hai tập hợp không rỗng X, Y, ánh xạ f từ X vào Y liên kết phần tử X Y cho phần tử x  X liên kết với phần tử y  Y , ký hiệu y  f  x  , gọi ảnh x qua ánh xạ f Ta viết f :X Y x  y  f x Tập X gọi miền xác định f, tập Y gọi miền ảnh f Người ta dùng giản đồ Venn để mô tả ánh xạ 243 Ví dụ Để mơ tả ánh xạ f : X  Y , với X = 1,2,3 , Y = a,b f 1 = a ; f  2 = f   = b ta mơ tả hình vẽ sau : Ảnh A  X qua f , ký hiệu f  A  , tập hợp phần tử y  Y cho ảnh phần tử x  A , nghĩa : f  A    y  Y x  A, y  f  x   Đặc biệt, f  X  gọi ảnh f, ký hiệu Im f Ảnh ngược B  Y qua f , ký hiệu f 1  B  , tập hợp gồm phần tử x cho f  x   B , nghĩa : f 1  B    x  X f  x   B  Đặc biệt, với y  Y , ta ký hiệu f 1  y  thay cho f 1  y Một số ánh xạ đặc biệt : i) Với tập X bất kỳ, ánh xạ f : X  X xác định f  x  = x , với x  X , gọi ánh xạ đồng X, ký hiệu id X ii) Với tập không rỗng A tập hợp X, hàm tiêu A, ký hiệu  A , ánh xạ f : X   xác định : 1 x  A , với x  X f x =  0 x  A 2.2 Phân loại ánh xạ Xét ánh xạ f : X  Y Ta nói : i) f tồn ánh Im f  Y , nghĩa phần tử y  Y ảnh phần tử x  X Nói khác đi, f 1  y  có phần tử, với y  Y ii) f đơn ánh f 1  y  có nhiều phần tử, với y  Y , nghĩa với x, x  X ta có f  x   f  x  x  x  244 iii) f song ánh vừa đơn ánh tồn ánh Nói khác đi, f song ánh f 1  y  ln ln có phần tử, với y  Y Ví dụ Ánh xạ f :    xác định f  x   x không đơn ánh, không toàn ánh Ánh xạ g :     xác định g  x   x khơng tồn ánh đơn ánh Ánh xạ h :     xác định h  x   x không đơn ánh toàn ánh Ánh xạ  :      xác định   x   x vừa toàn ánh, vừa đơn ánh nên song ánh 2.3 Ánh xạ ngược Cho song ánh f : X  Y , ánh xạ từ Y vào X, liên kết phần tử y  Y với phần tử (duy nhất) x  X cho f  x   y gọi ánh xạ ngược f, ký hiệu f 1 Ví dụ Ánh xạ f cho giản đồ Venn song ánh có ánh xạ ngược xác định f 1  a   (vì f    a ), f 1  b   (vì f  3  b ), f 1  c   (vì f 1  c ) 245 2.4 Ánh xạ hợp Xét hai ánh xạ f : X  Y g : Y  Z Ánh xạ có miền xác định X, miền ảnh Z, liên kết phần tử x  X với phần tử z  g  f  x    Z gọi ánh xạ hợp f với g, ký hiệu g  f , gf : X  Z x  g f  x   Ví dụ i) Với ánh xạ f g cho giản đồ Venn ta ánh xạ hợp g  f ii) Với ánh xạ f ,g :    xác định f  x   x g  x   x  , ta có ánh xạ hợp g  f , f  g, f  f , g  g :    xác định :   g  f  x   g  f  x    g x  x  ; x   f  g  x   f  g  x    f  x  1   x  1 ; x       f  f  x   f f  x   f x  x 2  x ; x   g  g  x   g  g  x    g  x  1   x  1   x  , x   Định lý Với ánh xạ f : X  Y g : Y  X , ta có g  f 1 f  g  id Y g  f  id X 246 Phụ lục Tính tốn ma trận máy tính cá nhân Trong phần chúng tơi hướng dẫn sử dụng máy tính cá nhân FX 570 ES Plus II loại VINACAL để tính tốn số phép tính ma trận cịn phép tính khác bạn học cấp Các loại máy tính 570 khác cách làm tương tự Cụ thể cho hai ma trận 1 2 3 1     A   ; B   2  5  4     Sử dụng máy tính FX 570 ES Plus II Tính 2A, 3A  4B, AB, BA, A , B , A 1 , B1 Bước Vào chức ma trận Nhấn Mode  chọn MATRIX nhấn (các máy tính khác ký hiệu số khác)  AC Bước Nhập ma trận +) Nhấn Shift   chọn cấp ma trận (DIM) nhấn  chọn ma trận A nhấn  Chọn cấp ma trận chưa thấy cấp nhấn  di chuyển phím mũi tên xuống tìm cấp ma trận nhấn   nhập ma trận A  AC +) Nhấn Shift   chọn cấp ma trận (DIM) nhấn  chọn ma trận B nhấn  Chọn cấp ma trận chưa thấy cấp nhấn  di chuyển phím mũi tên xuống tìm cấp ma trận nhấn   nhập ma trận B  AC Bước Khai thác kết +) Tính 2A Nhấn    Shift    ta kết 2 4    2A     10    +) Tính 3A  4B Nhấn    Shift        Shift    ta kết 247 15 10    3A  4B  14 17   13 11 31   +) Tính AB Nhấn Shift     Shift    ta kết  13  AB   14  16 11 25    +) Tính BA Nhấn Shift     Shift    ta kết  11    BA   10 17  17 28    +) Tính A Nhấn Shift    Shift    ta kết A  1 +) Tính B Nhấn Shift    Shift    ta kết B  +) Tính A 1 Nhấn Shift    x 1   ta kết A 1  6      1 1     2 5  +) Tính B1 Nhấn Shift    x 1   ta kết 1   3   11 4 1  B  2   3    2    248 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Huy Hoàng (chủ biên), Lê Thị Anh, Phùng Minh Đức, Bùi Quốc Hoàn, Phạm Bảo Lâm, Nguyễn Mai Quyên, Đoàn Trọng Tuyến, Hoàng Văn Thắng – Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp cho nhà kinh tế, NXB ĐHKTQD, 2006& NXB Thống kê, 2007 [2] Bộ mơn tốn – Bài tập tốn cao cấp, NXB Đại học Kinh tế Quốc dân, 2008 [3] Nguyễn Huy Hồng – Tốn sở cho kinh tế, NXB Thông tin Truyền thông, 2011& NXB GD, 2014 [4] Nguyễn Thị An, Nguyễn Huy Hoàng, Giới thiệu đề thi tuyển sinh Sau đại học (2006 – 2012), Môn Toán Kinh tế (Phần Toán sở cho Kinh tế), NXB Chính trị – Hành chính, 2012 [5] Laurence D Hoffmann, Gerald L Bradley, Applied Calculus For Business, Economics, and the Social and Life Sciences, The Mc Graw - Hill Companies, Inc (Expanded 10th ed), 2010 [6] Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengos, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England (second edition), 2011 [7] Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengos, Solutions Manual Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England (second edition), 2011 [8] A C Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Mc GrawHill, Inc., 3rd edition, 1984 [9] A C Chiang, Instructor’s Manual to accompany Fundamental Methods of Mathematical Economics, Mc GrawHill, Inc., 4rd edition, 2005 249 ... phương d 2f (ma trận Hess):  a11 a 12  a a 22 H   21      a n1 a n  a1n    a 2n       a nn  (6 .20 ) có định thức cấp k  k  1, 2, , n  là: a11 Hk  a 12  a1k a 21 a 22  a 2k ... Xét định thức D a11 a 12  a11a 22  a12a 21 a 21 a 22 (6 .23 ) // a11  f xx  x , y0  ; a 12  f xy//  x , y0  ; // a 21  f yx  x , y0  ; a 22  f yy//  x , y0  Trường hợp : Nếu D  điểm... 4y  2xy  2x  3y  Giải Bước 1: Giải hệ phương trình   z /x  6x  2y    x   22   /  z y  8y  2x   y   22   Vậy hàm số có điểm dừng M   ,   22 22  Bước 2: Kiểm