Giáo trình Toán cao cấp (Trường ĐH Kinh tế Nghệ An)

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH NGHỆ AN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP LƯU HÀNH NỘI BỘ - - ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH NGHỆ AN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN Th.S Trần Hà Lan GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP LƯU HÀNH NỘI BỘ - - LỜI NĨI ĐẦU Tốn học ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực đời sống, xã hội Các toán kinh tế, kế toán, toán khoa học kỹ thuật, giải nhằm phục vụ lợi ích người Tốn học đóng vai trị quan trọng việc diễn tả quy luật kinh tế Trên giới toán học ứng dụng nghiên cứu kinh tế ngày nhiều Một ngành học hình thành dựa kết hợp hai ngành toán học kinh tế học: Ngành kinh tế tốn Chính lý đó, sinh viên trường kinh tế địi hỏi phải biết kiến thức toán ngày nhiều phải biết sử dụng kiến thức để phân tích kinh tế, phân tích tình nghiên cứu kinh tế Để kịp thời phục vụ việc học tập sinh viên, Khoa sở Trường Đại học Kinh tế Nghệ An tổ chức biên soạn giáo trình Tốn cao cấp Đây giáo trình dùng chung cho hệ Cao đẳng hệ Đại học, dựa vào chương trình giảng dạy mơn Khoa học tự nhiên – Khoa sở lựa chọn nội dung giảng dạy phù hợp với trình độ hệ đào tạo Trong giáo trình này, chúng tơi cố gắng trình bày kiến thức tốn thật đơn giản khơng phá vỡ tính liên tục, tính hệ thống chúng Những khái niệm Toán học bản, phương pháp bản, kết chương trình bày đầy đủ Một số định lý không chứng minh, ý nghĩa định lý quan trọng giải thích rõ ràng, nhiều ví dụ minh họa đưa Giáo trình gồm chương: Chương 1: Tập hợp quan hệ Chương 2: Hàm số giới hạn Chương 3: Đạo hàm vi phân Chương 4: Phép tốn tích phân Chương 5: Hàm số nhiều biến số Chương 6: Phương trình vi phân - - Chương 7: Khơng gian vectơ Chương 8: Ma trận định thức Chương 9: Hệ phương trình tuyến tính Chương trình bày tóm tắt nội dung bao quát, thuộc tảng toán học nói chung: tập hợp, khái niệm phép tốn hai ngơi tập hợp, khái niệm ánh xạ Chương trình bày khái niệm hàm số giới hạn, có nói đến việc sử dụng quan hệ hàm số để biểu diễn quan hệ biến số kinh tế Chương 3, chương có số kiến thức đề cập bậc phổ thông, kiến thức chúng tơi trình bày cách xác có mở rộng Những kiến thức trình bày gọn kỹ, nhằm giúp sinh viên dễ dàng lĩnh hội Một vài ví dụ thực tế giới thiệu, qua sinh viên thấy việc cần thiết phải nắm kiến thức chương nhằm phục vụ cho việc học tập nghiên cứu môn học chuyên ngành Chương gồm kiến thức chưa học bậc phổ thông Tên chương “ Hàm số nhiều biến số ” nội dung chương đề cập đến hàm số hai biến số Chương chủ yếu đề cập đến phương trình vi phân tuyến tính cấp cấp Mỗi dạng phương trình nêu có ví dụ minh họa để sinh viên biết cách giải nhận dạng phương trình Chương trình bày số khái niệm khơng gian vectơ Chương 8, chương trình bày kiến thức khái niệm nêu tên chương Các chương gồm kiến thức chưa học bậc phổ thông nên trình bày kỹ, sau mục có ví dụ minh họa nhằm giúp sinh viên nắm kiến thức tạo lập kỹ vận dụng kiến thức để làm tập Cuốn giáo trình biên soạn thời gian ngắn, chắn nhiều sai sót Rất mong góp ý bạn đọc để sách ngày hoàn thiện Tác giả - - CHƯƠNG TẬP HỢP VÀ QUAN HỆ 1.1 Tập hợp 1.1.1 Các khái niệm 1.1.1.1 Tập hợp phần tử Thuật ngữ “Tập hợp” dùng rộng rãi toán học Chúng ta thường nói tập hợp số nguyên, tập hợp điểm mặt phẳng, tập hợp nghiệm phương trình, tập hợp học sinh lớp học Tập hợp khái niệm tốn học, dùng làm sở cho khái niệm khác thân khơng định nghĩa qua khái niệm đơn giản Khi nói tập hợp ta đối tượng có tính chất Chẳng hạn nói tập hợp số tự nhiên, đối tượng tập hợp số tự nhiên; nói tập hợp học sinh lớp học, đối tượng tập hợp học sinh lớp học Các đối tượng tập hợp cho gọi phần tử tập hợp Để phân biệt, ta gọi tên tập hợp chữ in hoa A, B, C  ký hiệu phần tử chữ in thường a, b, c  Để nói a phần tử tập hợp A ta dùng ký hiệu: a  A (đọc là: “ a thuộc A ”) Ngược lại a phần tử tập hợp A viết: a  A (đọc “ a khơng thuộc A ”) Ví dụ 1.1: Ở chương trình phổ thông ta biết tập hợp sau: Tập hợp  số tự nhiên; Tập hợp  số nguyên; Tập hợp  số hữu tỉ; Tập hợp  số thực Cho tập hợp A nghĩa xác định tất phần tử Có hai cách cho tập hợp: Cách 1: Cho tập hợp cách liệt kê phần tử tập hợp Ví dụ 1.2: +) Nếu A tập hợp số nguyên dương nhỏ ta viết: A = {1; 2; 3; 4; 5} +) Có thể liệt kê phần tử tập hợp  số tự nhiên tập  số nguyên sau:  = { 0; 1; 2;  } - -  = { 0; 1; 2; 3  } Cách 2: Cho tập hợp cách tính chất phần tử Nếu P(x) mệnh đề tính chất x A tập hợp phần tử x có tính chất P(x) ta viết: A   x p ( x) Ví dụ 1.3: +) Nếu A tập hợp tất số nguyên chẵn ta viết: A   n  Z n ch½n +) Có thể mơ tả tập hợp  số hữu tỉ sau: p     p, q  Z ; q   q  Nếu A tập hợp hữu hạn, tức liệt kê tất phần tử ta ký hiệu A số phần tử tập hợp A 1.1.1.2 Tập rỗng Tập A gọi tập rỗng khơng chứa phần tử Có tập rỗng ký hiệu  Như || = Viết A   (đọc A không rỗng) nghĩa A chứa phần tử 1.1.1.3 Tập đẳng thức tập hợp +) Giả sử cho hai tập hợp A B Nếu phần tử A phần tử B ta nói A tập B, ký hiệu A  B (đọc A B) B  A (đọc B chứa A) +) Hai tập hợp A B gọi A B B  A, ký hiệu A = B +) Nếu tập hợp A khơng tập hợp B ta viết A  B +) Tập A gọi tập thật tập hợp B A  B A  B Quy ước: Tập hợp  tập tập hợp 1.1.1.4 Biểu đồ Venn Để dễ hình dung tập hợp mối liên hệ tập hợp, người ta dùng tập hợp điểm mặt phẳng để minh họa Thông thường ta xét tập hợp phần tử tập hợp bao trùm, gọi không gian hay vũ trụ Tập không gia mô tả tập hợp điểm hình chữ nhật Mỗi tập hợp không gian minh họa tập hợp điểm giới hạn đường - - khép kín bên hình chữ nhật Cách minh họa ước lệ gọi Biếu đồ Venn Ví dụ, biểu đồ Venn hình mơ tả hai tập hợp A, B, A tập B A B 1.1.2 Các phép toán tập hợp 1.1.2.1 Phép hợp phép giao - Phép hợp Hợp hai tập hợp A B tập hợp mà phần tử phần tử tập hợp đó, ký hiệu A B Như vậy: A  B ={x  A x  B} Ví dụ 1.4: Cho hai tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4}; Khi đó: B = {0; 1; 3; 5; 7} A  B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 7} - Phép giao Giao hai tập hợp A B tập hợp mà phần tử phần tử đồng thời thuộc hai tập hợp A B, ký hiệu A  B Như vậy: A  B ={x  A x  B} Ví dụ 1.5: Cho hai tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4}; Khi đó: B = { 0; 1; 3; 5; 7} A  B = {0; 1; 3} - Các tính chất phép hợp phép giao tập hợp +) Tính giao hốn A  B = B  A; A  B = B  A - - +) Tính chất kết hợp A  (B  C) = (A  B)  C; A  (B  C) = (A  B)  C +) Tính chất phân phối A  (B  C) = (A  B) (A  C); A (B  C) = (A  B)  (A  C) 1.1.2.2 Phép trừ tập hợp phần bù tập hợp - Hiệu hai tập hợp Hiệu tập hợp A tập hợp B tập hợp gồm tất phần tử thuộc tập hợp A không thuộc tập hợp B, ký hiệu A\ B Vậy: A\ B = { x  A x  B } Ví dụ 1.6: Cho A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}; B = {0; 2; 4; 6; 8} Ta có: A\ B = { 1; 3; 5} B \ A = { 6; 8} - Phần bù tập hợp Cho tập hợp E A tập E, nghĩa A E Lúc E\ A gọi phần bù A E, ký hiệu A Nhận xét: A  E; A = E \ A = A Ví dụ 1.7: Trong tập hợp tất số thực  , tập hợp số vô tỉ phần bù tập hợp tất số hữu tỉ Định lý (Định lý De Mocgan hay Nguyên lý đối ngẫu) Với A  E; B  E, ta có A  B  A  B; A  B  A  B Nghĩa là: - Phần bù hợp tập hợp giao phần bù chúng - Phần bù giao tập hợp hợp phần bù chúng Chứng minh: Ta chứng minh đẳng thức đầu đẳng thức sau tương tự Xét x  E, ta có: x  A  B  x  A  B  ( x  A x  B )  ( x  A x  B )  x  A  B; x  A  B  ( x  A x  B )  ( x  Avà x  B )  x  A  B  x  A  B; Vậy: - - A B  A B 1.2 Quan hệ 1.2.1 Tích Descartes - Tích Descartes tập hợp Tích Descartes hai tập hợp X Y tập hợp tất cặp có thứ tự (x; y) x phần tử tập X y phần tử tập Y Tích Descartes X Y gọi tắt tích X Y Ký hiệu tích hai tập hợp X Y X  Y : X  Y   ( x; y ) x  X ; y  Y  Chú ý: Ký hiệu (x; y) cặp có thứ tự : x phần tử đứng trước, y phần tử đứng sau Với x y hai phần tử khác (x; y) (y; x) hai cặp có thứ tự khác Từ hai tập hợp X Y ta có hai tập tích X  Y Y  X Ví dụ 1.8: Cho X = {1; 2}; Y = {3; x} X  Y = {(1;3); (1;x); (2;3); (2;x)}; Y  X  (3;1);(3;2);( x;1);( x;2) X  X = {(1;1); (1;2); (2;1); (2;2)} - Tích Descartes n tập hợp Tích Descartes n tập hợp X1; X2; ; Xn tập tất n phần tử có thứ tự (x1; x2; ; xn) xk phần tử tập hợp Xk ( k = 1; 2; …; n), ký hiệu X  X    X n X  X  X n  ( x1 ; x2 ; ; xn ) xk  X k ; k  1; n  Tích đề X  X    X (n lần) viết gọn Xn X  X  X  X n  ( x1 ; x2 ;; xn ) xk  X ; k  1; n 1.2.2 Quan hệ 1.2.2.1 Khái niệm quan hệ Theo nghĩa thông thường, quan hệ tập hợp tính chất đặc trưng hay quy ước liên kết phần tử tập hợp Quan hệ hai ngơi liên kết phần tử theo cặp Chẳng hạn, quan hệ hôn nhân cộng đồng người liên kết hai người có đăng ký kết hôn; quan hệ chia hết liên kết số nguyên theo cặp ( p; q), p số chia hết cho q Một cách khái quát, quan hệ hai tập hợp X quy tắc xác định cặp phần tử ( x; y) có quan hệ với theo quy tắc Nếu xem cặp phần tử (x; y) tập hợp X phần tử tập tích X2 quan hệ xác định - - tập hợp   X2 Ta đồng quan hệ tập hợp X với tập  tập tích X2 Định nghĩa Quan hệ hai tập hợp X tập tập hợp X2 Ví dụ 1.9: Trong tập hợp số thực  , quan hệ “không lớn hơn” tập hợp: ( x; y ) : x  , y  , x  y   1.2.2.2 Quan hệ tương đương Cho   X2 quan hệ tập hợp X Nếu ( x; y)  ta nói phần tử x có quan hệ  với phần tử y viết xy Định nghĩa Một quan hệ  tập hợp X gọi quan hệ tương đương có tính chất sau: - Tính phản xạ: xx, xX ( phần tử x tập hợp X có quan hệ  với nó) - Tính đối xứng : xy yx ( x có quan hệ  với y y có quan hệ  với x ) - Tính bắc cầu: Nếu xy yz xz (nếu x có quan hệ  với y y có quan hệ  với z x có quan hệ  với z ) Ví dụ 1.10: Quan hệ “ x đồng dạng với y ” quan hệ tương đương tập hợp tất tam giác Quan hệ “ x bạn y ” tập hợp sinh viên trường đại học quan hệ tương đươngvì quan hệ khơng có tính bắc cầu 1.2.2.3 Quan hệ thứ tự: Định nghĩa Một quan hệ  tập hợp X gọi quan hệ thứ tự có tính chất sau: - Tính phản xạ: xx, xX ( phần tử x tập hợp X có quan hệ  với nó) - Tính bắc cầu: Nếu xy yz xz (nếu x có quan hệ  với y y có quan hệ  với z x có quan hệ  với z ) - Tính đối xứng: Nếu xy yx x = y (phần tử x trùng với phần tử y) Ví dụ 1.11: +) Quan hệ “ x  y ” quan hệ thứ tự tập hợp tất số thực - 10 -  3 Ví dụ 8.22: Cho A   3 ; tìm A1   1 8 Giải: Ta có det( A)  1  nên A1 c11  40 c12  13 c13  5 c21  16 c22  c23  c31   c32  c33  Do  40 13 5   40 16 9    '   C   13  C   16  9  5     Vậy  40 16  ' A  C   13 5 3  det( A)  2 1    1 8.4.3 Các tính chất ma trận nghịch đảo Ta thừa nhận tính chất sau +) Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo : ( A1 ) 1  A A1  A 1 Hệ thức thứ suy trực tiếp từ định nghĩa ma trận nghịch đảo, hệ thức thứ hai suy từ mệnh đề nói định thức tích hai ma trận vng cấp: AA1  E  A A1  +) Nếu hai ma trận vng cấp A B có ma trận nghịch đảo ma trận AB có ma trận nghịch đảo ( AB ) 1  B 1 A1 8.5 Hạng ma trận 8.5.1 Khái niệm hạng ma trận Cho ma trận cấp m  n a12 a1n   a11 a a22 a2 n  21  A     am amn   am1 - 169 - Gọi p số nguyên dương thoả mãn p  m; n Định nghĩa Ma trận vuông cấp p suy từ A cách bỏ (m – p) dòng (n – p) cột gọi ma trận cấp p A Định thức ma trận gọi định thức cấp p A Ví dụ 8.23: Xét ma trận cấp 3  3  A 1     1 2 2  Ta có: min{3; 4} = 3, p = 1; 2; Các định thức cấp A 3 4 3 3 2 1; ; ; 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 Các định thức cấp hai A là: 3 7; 1 2  3.v.v Định nghĩa Hạng ma trận A cấp cao định thức khác A Hạng ma trận A ký hiệu  ( A) (hoặc r ( A) ) Ví dụ 8.24: Xét ví dụ trên: Các định thức cấp khơng có định thức cấp khác không.Vậy  ( A)  (chú ý:  ( A' )   ( A); A ma trận vng) 8.5.2 Các phương pháp tìm hạng ma trận 8.5.2.1 Phương pháp định thức bao quanh Định nghĩa 10 Ta nói định thức D ( cấp r  1) ma trận A định thức bao quanh định thức D ( cấp r ) D thành lập cách bổ sung thêm dịng cột A ngồi r dòng r cột chọn để lập định thức D Nếu D định thức cấp r ma trận cấp m  n ( r < m r < n ) để lập định thức cấp r  bao quanh D, ta có m  r cách chọn thêm dòng n  r cách chọn thêm cột (ngồi dịng cột chọn để lập định thức D), số định thức cấp r  bao quanh định thức D (m  r )(n  r ) - 170 - Mệnh đề Nếu ma trận A có định thức D  cấp r mà định thức cấp r  bao quanh ( có ) hạng ma trận A r Từ mệnh đề nêu trên, ta tính hạng ma trận theo phương pháp lặp sau: Xuất phát từ định thức D  cấp r ma trận, ta cần tính định thức cấp r  bao quanh (nếu có) Nếu tất định thức cấp r  bao quanh D 0, ma trận khơng có định thức cấp r  (khi r số dòng số cột ma trận), hạng ma trận r Nếu số định thức cấp r  bao quanh D có định thức D khác ta lại chuyển sang xét định thức cấp r  bao quanh D (nếu có) Lặp lại q trình này, sau số hữu hạn bước ta xác định hạng ma trận Ví dụ 8.25: Xét ma trận cấp 3  3  A 1     1 2 2  Nhận thấy có: D 3   0; Khi đó, ta tính định thức cấp bao quanh D, thấy: 3 1  0; 1  1 3 2  1   Vậy hạng A 8.5.2.2 Phương pháp biến đổi Xét ma trận dạng: - 171 - b11 b12 0 b 22     0 0     0  b1s  b1n   b2 s  b2 n         bss  bsn    0         (8.5.1) s  n bii  0, i  1, 2, , s Nếu xóa dịng gồm tất phần tử phía dịng thứ s (nếu có) hạng ma trận (8.5.1) khơng thay đổi (do dịng biểu diến tuyến tính qua dịng cịn lại), mặt khác ta thấy ma trận (8.5.1) có định thức khác 0: b11 b12  b1s b22  b2 s     0  b11b22 bss  bss Điều chứng tỏ hạng ma trận A s Do phép biến đổi sơ cấp khơng làm thay đổi tính khác khơng hay không định thức ma trận, nên khơng thay đổi hạng ma trận Vì ta áp dụng chúng để đưa ma trận dạng (8.5.1) áp dụng suy hạng ma trận cho  3  Ví dụ 8.26: Xét ma trận A   1     1 2 2  Khi đó: 1  2 1 3  d (5/7) d  7  0  0  0 0 5  0 d1( 2) d 0 A  d1(1)  d  Từ ta có r ( A) = - 172 - CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 9.1 Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính phương pháp khử ẩn liên tiếp 9.1.1 Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính 9.1.1.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng qt Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn x1 , x2 , , xn hệ có dạng tổng quát sau:  a11x1  a12 x2   a1n xn  b1  a x  a x   a x  b  21 22 2n n   am1x1  am x2   amn xn  bm (9.1.1) đó: aij , bi số cho trước: số aij gọi hệ số ẩn x j phương trình thứ i, bi gọi số hạng tự phương trình thứ i ( i  1,2, , m; j  1, 2, , n ) 9.1.1.2 Ma trận hệ số ma trận mở rộng Hệ phương trình (9.1.1) cho tương ứng hai ma trận:  a11 a12 a a22 A   21    am1 am a1n  a2 n     amn   a11 a12 a a22 A   21     am1 am  a1n b1   a2 n b2        amn bm  Khi A gọi ma trận hệ số, A gọi ma trận mở rộng hệ phương trình tuyến tính (9.1.1) 9.1.1.3 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Nghiệm hệ phương trình tuyến tính n ẩn (9.1.1) n số có thứ tự (1; ; ; n ) mà gán x1  1 , x2   , , xn   n vào tất phương trình hệ ta đẳng thức Nghiệm hệ phương trình (9.1.1) viết ba dạng sau: (1; ; ; n ) ;  1    2  ;     n  - 173 -  x1  1   x2      xn   n Giải hệ phương trình tuyến tính có nghĩa tìm tập hợp tất nghiệm hệ phương trình 9.1.1.4 Hệ tương đương phép biến đổi tương đương Định nghĩa Hai hệ phương trình tuyến tính với ẩn số gọi tương đương chúng có tập hợp nghiệm, tức nghiệm hệ đồng thời nghiệm hệ ngược lại (hoặc hai hệ vô nghiệm) Khi giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp sơ cấp, ta thường phải biến đổi hệ phương trình dạng thuận tiện cho việc xác định nghiệm Định nghĩa Một phép biến đổi biến hệ phương trình tuyến tính thành hệ tương đương gọi phép biến đổi tương đương 9.1.1.5 Các phép biến đổi sơ cấp Định nghĩa Các phép biến đổi sau một hệ phương trình tuyến tính gọi phép biến đổi sơ cấp: +) Đổi chỗ hai phương trình hệ +) Nhân hai vế phương trình hệ với số   +) Biến đổi phương trình hệ cách lấy tích hai vế phương trình khác (trong hệ đó) với số k cộng vào hai vế tương ứng phương trình Định lý Các phép biến đổi sơ cấp phép biến đổi tương đương 9.1.2 Hệ phương trình dạng tam giác dạng hình thang Ý tưởng chung phương pháp sơ cấp để tìm nghiệm hệ phương trình nhiều ẩn số khử dần ẩn để quy việc giải phương trình ẩn số Việc khử dần ẩn số hệ phương trình tuyến tính dẫn đến hai dạng (nếu hệ có nghiệm) Theo hình dạng vế trái, ta gọi hệ phương trình hệ tam giác hệ hình thang 9.1.2.1 Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác hệ có dạng sau:  a11x1  a12 x2   a1n xn  b1  a22 x2   a2 n xn  b2     ann xn  bm tất hệ số a11, a22 , ann khác - 174 - (9.1.2) Đây hệ phương trình có số phương trình số ẩn, theo thứ tự từ xuống, ẩn số dần ( aij  i  j ) Phương trình cuối hệ cịn lại ẩn số Từ phương trình hệ (9.1.2), ta xác định được: xn   bn  n ann Tiếp theo, thay xn   n vào phương trình phía ta lại có phương trình ẩn số xn 1 , từ xác định xn1   n 1 Lặp lại trình theo trình tự từ lên ta tìm được: xn2   n 2 , , x1  1 Hệ phương trình (9.1.2) có nghiệm nhất: (1;  ; ;  n ) Ví dụ 9.1: Giải hệ phương trình :  x1  x2  x3   x2  x3    x3  16  Giải Hệ phương trình cho có dạng tam giác Từ phương trình thứ ba, ta tìm x3  Thay x3  vào phương trình thứ hai ta có: x2  16   x2  Tiếp theo, thay x3  , x2  vào phương trình thứ nhất, ta có x1     x1  Vậy hệ cho có nghiệm (3;2;4) 9.1.2.2 Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang có đặc điểm giống hệ tam giác phương trình hệ khuyết dần ẩn số theo thứ tự từ xuống, hệ hình thang có số phương trình nhỏ số ẩn, phương trình phương trình nhiều ẩn số: a11x1  a12 x2   a1m xm   a1n xn  b1  a22 x2   a2 m xm   a2 n xn  b2     amm xm   ann xn  bm (m  n; aii  0, i  1, 2, , m) - 175 - (9.1.3) Ở dạng (9.1.3) ta gọi m ẩn đầu x1, x2 , , xm ẩn ẩn cịn lại gọi ẩn tự Gán cho ẩn tự giá trị tùy ý xm1   m1, , xn   n chuyển số hạng chứa chúng sang vế phải ta hệ tam giác ẩn chính: a11x1  a12 x2   a1m xm  b1  a1( m1) m1   a1n n  a22 x2   a2 m xm  b2  a2( m1) m1   a2 n n     amm xm  bm  am ( m1) m1   amn n  Theo phương pháp giải hệ tam giác, ta xác định giá trị ẩn x1 , x2 , , xm theo  m1 , , n Nghiệm hệ (9.1.3) có dạng:  x1  c11 m1   c1( nm ) n  d1    xm  cm1 m1   cm ( nm ) n  d m (9.1.4)    x  m1 m1    xn   n Hệ hình thang (9.1.3) có vô số nghiệm Nghiệm viết dạng (9.1.4) với ( m1 , , n ) n  m số bất kỳ, gọi nghiệm tổng quát Mỗi số thực ( m1 , , n ) gán cho ẩn tự cho tương ứng nghiệm hệ (9.1.3), gọi nghiệm riêng Ví dụ 9.2: Giải hệ phương trình  x1  x2  x3  x4  x5  3  x2  x3  x4  x5    x3  x4  x5   Giải Đây hệ hình thang với ẩn x1, x2 , x3 ẩn tự x4 , x5 Chuyển số hạng chứa ẩn tự sang vế phải gán x4   , x5   , ta hệ sau:  x1  x2  x3  6     x2  x3        x3  2  3   Theo quy tắc giải hệ tam giác ta tìm được: - 176 - x3      2; x2  3    4; x1  4  3  19 Nghiệm tổng quát hệ phương trình là: (4  3  19;  3    4;      2) Mỗi hai số ( ;  ) cho tương ứng nghiệm riêng Chẳng hạn, với   0,   ta có nghiệm riêng (19;4;2;0;0) 9.1.3 Điều kiện có nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định lý sau cho phép ta vào hạng ma trận hệ số hạng ma trận mở rộng để nhận biết hệ phương trình tuyến tính có nghiệm hay không ( Ta thừa nhận định lý ) Định lý Cronecker – Capelli: Điều kiện cần đủ để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm hạng ma trận mở rộng hạng ma trận hệ số 9.1.4 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng qt Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính cách khử dần ẩn số để đưa dạng tam giác dạng hình thang gọi phương pháp khử ẩn liên tiếp, hay phương pháp Gauss Nội dung phương pháp sau: Xét hệ phương trình (9.1.1) Khơng làm tính tổng quát, ta giả sử a11  (nếu khơng ta đổi chỗ phương trình lại thứ tự ẩn số để có điều đó) Trước hết ta khử ẩn x1 phương trình từ phương trình thứ hai trở xuống cách cộng vào hai vế phương trình thứ i (i = 2, 3, , m) tích vế tương ứng phương trình thứ với số  ai1 a11 Chú ý rằng, phép biến đổi sơ cấp phép biến đổi tương đương, sau m  phép biến đổi vậy, ta hệ tương đương: a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1  ' a22 x2   a2' n xn  b2'    '  am' x2   amn xn  bm'  : aij'  aij  ai1 a a1 j , b'j  bi  i1 b1 (i  1; m; j  1; n) a11 a11 - 177 - (9.1.5) Trong hệ (9.1.5) có khả xuất phương trình với vế trái đồng ( hệ (9.1.1) có phương trình có vế trái tỷ lệ với vế trái phương trình thứ ): 0.x1  0.x2   0.xn  b (9.1.6) Nếu b  phương trình (9.1.6) đẳng thức với số gán cho x1, x2 , , xn , ta loại bỏ phương trình khỏi hệ Nếu b  phương trình (9.1.6) đẳng thức sai với số gán cho x1 , x2 , , xn , hệ vô nghiệm Tiếp theo, cách tương tự, ta lại khử ẩn x2 phương trình từ phương trình thứ ba trở xuống hệ (9.1.5) (nếu có), sau ta lại khử ẩn x3 phương trình từ phương trình thứ tư trở xuống hệ (9.1.5)(nếu có) v.v Phương pháp khử ẩn theo cách nêu thủ tục lặp Sau số hữu hạn bước biến đổi, trình khử ẩn kết thúc ba trường hợp sau: +) Hệ nhận có chứa phương trình dạng (9.1.6) với b  +) Hệ nhận có dạng tam giác +) Hệ nhận có dạng hình thang Trong trường hợp thứ nhất, hệ phương trình vơ nghiệm, cịn hai trường hợp sau ta biết cách giải nghiệm Như vậy, xét theo số nghiệm hệ phương trình tuyến tính phân thành loại: hệ vơ nghiệm, hệ có nghiệm nhất, hệ có vơ số nghiệm Như ta biết, hệ phương trình tuyến tính hoàn toàn xác định biết ma trận mở rộng nó, phép biến đổi hệ phương trình tuyến tính tương ứng với phép biến đổi ma trận mở rộng Các phép biến đổi ma trận mà ta nói đến hiểu theo nghĩa sau: +) Nhân dòng ma trận với số  có nghĩa nhân số nằm dịng với số  ; +) Cộng dịng vào dịng i có nghĩa cộng số dòng vào số tương ứng dòng i Các phép biến đổi sơ cấp hệ phương trình tuyến tính thực tương ứng ma trận mở rộng sau: Biến đổi hệ phương trình Đổi chỗ hai phương trình hệ Biến đổi ma trận mở rộng Đổi chỗ hai dòng tương ứng ma trận mở rộng Nhân hai vế phương trình với Nhân dịng tương ứng ma trận mở rộng - 178 - số  0 với số  0 Cộng vào vế phương trình thứ i Cộng vào dịng thứ i ma trận mở rộng tích vế tương ứng phương trình tích dịng thứ k với số thứ k với số  ( để biến đổi phương dòng thứ i )  ( để biến đổi trình thứ i ) Trong trình biến đổi, ma trận mở rộng có dịng có tất số ta bỏ dịng (tương ứng với việc loại khỏi hệ phương trình có tất hệ số vế trái số hạng tự vế phải 0) Ví dụ 9.3: Giải hệ phương trình:  x1  x2  x3  5  2 x1  x2  x3  13  3x  x  x  15  Giải: Ma trận mở rộng: 1 3 5   A   13   4 15  Các phép biến đổi khử ẩn thực ma trận mở rộng sau: 1 3 5  1 11 23  0 10 10 30  d1 ( 2)  d  d 2'  A  0 d1 ( 3)  d d 3' 3 5  1     0 1 11 23  0 100 200  d ( 10)  d d 3' Ma trận cuối ma trận mở rộng hệ phương trình dạng tam giác:  x1  x2  x3  5    x2  11x3  23   100 x3  200  Giải hệ ta nghiệm (3;  1;2) Ví dụ 9.4: Giải hệ phương trình: - 179 -  x1  x2  x3  x4  2 x  x  x  x     3x1 + 8x2  11x3  x4  2   x1  x2  x3  x4  10 Giải: Ma trận mở rộng:  5 1       A  11 3 2    10   1 Các phép biến đổi khử ẩn thực ma trận mở rộng sau: 1  d (2)  d d ;d ( 3)  d d A   d (1)  d d 0  0 ' ' 3 ' 4 1  d (2)  d d ;d ( 7)  d d   0  0 ' 3 ' 4 5 1  3  6 5  1 11  5 1   3  10 16 17   20 32 31 1 5 1    3  d ( 2)  d d    0 10 16 17     0 0 Ma trận cuối ma trận mở rộng hệ phương trình: ' 4  x1  x2  x3  x4   x2  x3  x4    10x3  16 x4  17   03 Sau phép biến đổi trên, ta nhận hệ có chứa phương trình với tất hệ số vế trái số hạng tự vế phải 3, hệ phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ 9.5: Giải hệ phương trình: - 180 -  x1  x2  x3  x4  x5   2 x1  x2  x3  x4  x5  3 x  x  x  x  x  5  Giải: Ma trận mở rộng: 1 4    A   7   2 6  Các phép biến đổi khử ẩn thực ma trận mở rộng sau: 1 4   5 1 2 5  0 11 4 7  d ( 2)  d d   0 A  d ( 3)  d d ' 2 3 ' 1 4  d (2)  d d     0 5 1 2 5 0 1  ' 3 Từ ma trận mở rộng cuối cùng, ta có nghiệm hệ phương trình: (27  30a  2b;  20  19a  2b;4a  3; a; b) 9.2 Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính trường hợp riêng hệ phương trình tuyến tính tất số hạng tự 0:  a11x1  a12 x2   a1n xn   a x  a x   a x   21 22 2n n   am1x1  am x2   amn xn  (9.1.7) Khi giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp khử ẩn liên tiếp ta cần ý đặc điểm sau: +) Hệ phương trình tuyến tính (9.1.7) có nghiệm ( x1  0; x2  0; ; xn  0) , gọi nghiệm khơng, hay nghiệm tầm thường Do đó, hệ phương trình tuyến tính có hai khả xảy ra: +) Hệ có nghiệm nghiệm tầm thường (quá trình khử ẩn kết thúc dạng tam giác); +) Hệ có vơ số nghiệm (q trình khử ẩn kết thúc dạng hình thang) - 181 - +) Mọi hệ phương trình tuyến tính với số phương trình nhỏ số ẩn có vơ số nghiệm (q trình khử ẩn chắn kết thúc dạng hình thang) +) Một hệ phương trình tuyến tính xác định biết ma trận hệ số phép biến đổi sơ cấp biến hệ thành hệ tương đương Do đó, giải hệ phương pháp khử ẩn liên tiếp ta cần biểu diễn phép biến đổi ma trận hệ số Ví dụ 9.6: Giải hệ phương trình 2 x1  x2  x3  x4   4 x1  x2  x3  x4  2 x  x   x3  x4  Giải: Ma trận hệ số:  1  A   2     1 5   1 3 9    0 4 12  d (2)  d d  0 A   d (1)  d d ' 2 3 ' 2 d (  ) d d3'   0 1  3 9     0 0  Ma trận hệ số cuối cho hệ phương trình: 2 x1  x2  x3  x4    x3  x4   Giải hệ theo phương pháp biết, ta nghiệm tổng quát:  x1  a  x  2a  8b    x3  3b  x4  b - 182 - ( a, b   ) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan, Tốn cao cấp cho nhà kinh tế, Nhà xuất Đại học Kinh tế quốc dân, 2012 [2] Lê Đức Vĩnh, Nguyễn Thị Thanh Tâm, Giáo trình Tốn cao cấp, Nhà xuất Đại học nơng nghiệp, 2013 [3] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán cao cấp (tập 1, 2, 3), Nhà xuất Giáo dục, 2000 [4] Nguyễn Đình Trí, Lê Trọng Vinh, Dương Thủy Vỹ, Giáo trình Toán cao cấp (tập 1, 2) (Dùng cho sinh viên trường CĐ), Nhà xuất Giáo dục, 2000 [5] Lê Văn Hốt, Trần Cơng Chín, Trương Lâm Đơng, Hồng Ngọc Quang, Nguyễn Thanh Vân, Toán cao cấp (Dành cho sinh viên ĐH chuyên ngành kinh tế), Trường ĐH Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh, 2002 - 183 - ... TỈNH NGHỆ AN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN Th.S Trần Hà Lan GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP LƯU HÀNH NỘI BỘ - - LỜI NĨI ĐẦU Tốn học ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực đời sống, xã hội Các toán kinh tế, ... tình nghiên cứu kinh tế Để kịp thời phục vụ việc học tập sinh viên, Khoa sở Trường Đại học Kinh tế Nghệ An tổ chức biên soạn giáo trình Tốn cao cấp Đây giáo trình dùng chung cho hệ Cao đẳng hệ Đại... hợp hai ngành toán học kinh tế học: Ngành kinh tế tốn Chính lý đó, sinh viên trường kinh tế địi hỏi phải biết kiến thức tốn ngày nhiều phải biết sử dụng kiến thức để phân tích kinh tế, phân tích