Giáo trình Toán cao cấp ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định

Giáo trình Tốn cao cấp MỤC LỤC MỤC LỤC I CÁC DANH MỤC HÌNH III CHƢƠNG TẬP HỢP – MỆNH ĐỀ SỐ PHỨC 1.1 Tập hợp 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Tập 1.1.3 Các phép toán tập hợp 1.2 Mệnh đề 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Các phép toán mệnh đề 1.3 Số phức 1.3.1 Định nghĩa số phức Số phức liên hợp 1.3.2 Các phép toán 1.3.3 Biểu diễn hình học số phức 13 1.4 Bài tập chƣơng 22 CHƢƠNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 57 2.1 Phƣơng trình vi phân cấp 57 2.1.1 Khái niệm phƣơng trình vi phân cấp 1, nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị 57 2.1.2 Định lý tồn nghiệm 58 2.2 Một số phƣơng trình vi phân cấp 58 2.2.1 Phƣơng trình với biến số phân ly 58 2.2.2 Phƣơng trình đẳng cấp cấp 59 2.2.3 Phƣơng trình tuyến tính 61 2.2.4 Phƣơng trình Bernouli 65 2.3 Phƣơng trình vi phân cấp 67 2.3.1 Định nghĩa phƣơng trình vi phân cấp 2, nghiệm tổng quát, nghiệm riêng 67 2.3.2 Định lý tồn nghiệm 67 2.3.3 Phƣơng trình khuyết 67 2.3.4 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 70 2.3.5 Phƣơng trình vi phân cấp tuyến tính khơng 76 2.3.6 Phƣơng trình vi phân cấp với hệ số số 79 2.4 Bài tập chƣơng 87 CHƢƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 103 i Giáo trình Toán cao cấp 3.1 Phép biến đổi Laplace 103 3.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace 103 3.1.2 Điều kiện đủ để tồn phép biến đổi Laplace 104 3.1.3 Phép biến đổi Laplace số hàm số 105 3.1.4 Phép biến đổi Laplace ngƣợc 106 3.2 Các tính chất phép biến đổi Laplace 110 3.2.1 Tính chất tuyến tính 110 3.2.2 Tính chất dời thứ (dời theo s ) 111 3.2.3 Tính chất dời thứ hai (dời theo t ) 112 3.2.4 Tính chất đổi thang đo 113 3.2.5 Biến đối Laplace đạo hàm 114 3.2.6 Biến đổi Laplace tích phân 114 n 3.2.7 Nhân với t 1144 3.2.8 Biến đổi Laplace tích chập 115 3.2.9 Biến đổi Laplace hàm tuần hoàn 116 3.3 Cách tìm hàm gốc ứng dụng 117 3.3.1 Sử dụng tính chất biến đổi thuận tính biến đổi ngƣợc 117 3.3.2 Khai triển Heaviside 118 3.3.3 Ứng dụng giải phƣơng trình vi phân 121 3.4 Bài tập chƣơng 131 Đáp số số tập chƣơng 144 TÀI LIỆU THAM KHẢO I ii Giáo trình Tốn cao cấp CÁC DANH MỤC HÌNH Hình 1.1 Quan hệ bao hàm A  B Hình 1.2 Hình biểu diễn A  B Hình 1.3 Hình biểu diễn A  B Hình 1.4 Hình biểu diễn A \ B Hình 1.5 Biểu diễn phần bù B A Hình 1.6 Biểu diễn hình học số phức z=1+i 14 Hình 1.7 Biểu diễn hình học số phức z=1-i 15 Hình 1.8 Biểu diễn hình học phép cộng hai số phức 15 Hình 1.9 Biểu diễn hình học phép lấy hiệu hai số phức 16 Hình 1.10 Biểu diễn hình học phép lấy tích số phức với số thực >0 16 Hình 1.11 Biểu diễn hình học phép lấy tích số phức với số thực  mệnh đề toán học sai 1.2.2 Các phép toán mệnh đề 1) Phép phủ định Định nghĩa Phủ định mệnh đề A mệnh đề, kí hiệu A , A sai sai A Ví dụ A:= “10 lớn 5” A := “10 không lớn 5” Hoặc A := “10 nhỏ 5” 2) Phép hội Định nghĩa Hội hai mệnh đề A B mệnh đề, đọc A B, kí hiệu A  B (hoặc A.B), hai mệnh đề A, B sai trường hợp cịn lại Ví dụ A:= “1 nghiệm phƣơng trình x2   ” B:= “1 nghiệm phƣơng trình x2  3x   ” A  B := “1 vừa nghiệm phƣơng trình x   vừa nghiệm phƣơng trình x2  3x   ” Do A B hai mệnh đề nên A  B mệnh đề 3) Phép tuyển Định nghĩa Tuyển hai mệnh đề A B mệnh đề, đọc A B, kí hiệu A  B (hoặc A+B), sai hai mệnh đề A, B sai, trường hợp cịn lại Giáo trình Tốn cao cấp  x  x  y  a)  với y    x     y  x  y   x  3x  y  9e2t b)  với x    2; y    2t 2 x  y  y  3e 12 Giải hệ phƣơng trình vi phân sau:  x  x  y  cost với x    y    a)   y  x  y  sint  y  x  y  x  sint với x  0  y  0  y  0       y x y  b)   x  y  et với x  0  y  0  y  0   x  x  y  c)  13 Cho hàm f (t ) có đồ thị Hình 3.10 Hàm sóng vng Viết phƣơng trình f (t ) tìm L  f  t  14 Cho hàm f (t ) có đồ thị Hình 3.11 Hàm sóng cưa Viết phƣơng trình f (t ) tìm L  f  t  15 Cho hàm f (t ) có đồ thị 133 Giáo trình Tốn cao cấp Hình 3.12 Hàm sóng tam giác Viết phƣơng trình f (t ) tìm L  f  t  16 Cho hàm f (t ) có đồ thị Hình 3.13 Hàm sóng chữ nhật Viết phƣơng trình f (t ) tìm L  f  t  17 Cho hàm f (t ) có đồ thị Hình 3.14 Hàm sóng tự Viết phƣơng trình f (t ) tìm L  f  t  18 Xác định F ( s) hàm f (t ) sau: a) f  t    5e9t  2et  et  u  t  b) f  t    5et  et  u  t  1 c) f  t   u  t   2u  t  1 19 Tìm biến đổi Laplace hàm sau: a) 10  t   b)   2  t  1    t   5u  t  134 Giáo trình Tốn cao cấp c) d t e u  t   dt  d) d t e cos2t u  t  dt  Hƣớng dẫn giải số 20) Tìm biến đổi laplace hàm : f  t   t  3cos 2t  sin 3t Giải L t   s3 ; L cos2t  s ; L sin 3t  ; L  f  t   23  23s  s2  s 9 s s 4 s 9 Điều kiện chung : s > b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: y '' y ' y  cos t  sin t ; y    y '(0)  Giải Lấy biến đổi laplace vế phƣơng trình thay điều kiện ta đƣợc phƣơng trình ảnh s 1 s2  Y s   Y s  s  s2  s2  Biến đổi L ngƣợc hai vế phƣơng trình ta đƣợc y(t) = cost + sin t Vậy nghiệm phƣơng trình : y(t) = cost + sin t 21 f  t   t  4e2t  sin 3t a) Tìm biến đổi laplace hàm : Giải L t   Vậy s3 ; L sin 3t  L  f  t   ; s2   L e   2t    s 1 2   s s2 s 9 Điều kiện chung : s > b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình y '' y  t ; y  0  y '(0)  Giải 135 Giáo trình Tốn cao cấp Lấy biến đổi laplace vế phƣơng trình thay điều kiện ta đƣợc phƣơng trình ảnh s ( s  1) 1 Y s   s s 1 Y s  Biến đổi L ngƣợc hai vế phƣơng trình ta đƣợc y(t) = t - sin t Vậy nghiệm phƣơng trình : y(t) = t - sin t 22 a) Tìm biến đổi laplace hàm : f  t   5t  2t  cos 2t  et Giải L 3t   Vậy s3 ; L 2t   L  f  t   12 ; s4 L cos2t  s ; s2  1  1 L  et   3  s 1 s 12 1  4  s s s  s 1 Điều kiện chung : s > b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: y '' y ' y  t  ; y(0)  0, y '    Giải Lấy biến đổi laplace vế phƣơng trình thay điều kiện ta đƣợc phƣơng trình ảnh Y  s  ( s  s  1)   Y s  1 s 1 s2 s2 Biến đổi L ngƣợc hai vế phƣơng trình ta đƣợc Vậy nghiệm phƣơng trình : y(t) = t 23 a) Tìm biến đổi laplace hàm : f t   2t  e2t  sin t Giải L 2t  s2 L  f  t   ; L sin t  ; s 1 L e2t   s2 1   s2 s  s2  Điều kiện chung : s > b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: 136 y(t) = t Giáo trình Tốn cao cấp y '' y  t ; y  0  1, y '    2 Giải Lấy biến đổi laplace vế phƣơng trình, thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng trình ảnh s2 s 2Y  s   s   Y  s    Y s  s   2 s s 1 s 1 Biến đổi L ngƣợc hai vế phƣơng trình ta đƣợc y  t   t  cos t  3sin t Vậy nghiệm phƣơng trình y t   t  cos t  3sin t 24 a) Tìm biến đổi laplace hàm : f t   t  et cos2t Giải L t   s3 ; L cos 2t  L  f  t   Vậy s s 4  L et cos2t  s 1  s  1 4  s 1 s  2s  17 s 1  s  2s  17 s Điều kiện chung : s > b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình y '' y ' y  3; y    0, y '    Giải Lấy biến đổi laplace vế phƣơng trình, thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng trình ảnh Y s  s( s  1)( s  5) Biến đổi L ngƣợc hai vế phƣơng trình ta đƣợc 1 y  t     et  e5t 10 Vậy nghiệm phƣơng trình : y  t     et  5t e 10 25 a) Tìm biến đổi laplace hàm : f t   t  sin 4t  et cos t L t  Vậy s2 ; L sin 4t  ; L et co s t  s 21 ( s  1)  s  16 L  f  t   s 1   s s  16 ( s  1)2  Điều kiện chung : s > 137 Giáo trình Tốn cao cấp b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: y '' y ' y  tet ; y    0, y '    Giải Lấy biến đổi laplace vế phƣơng trình thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng trình ảnh s 2Y  s    2sY  s   Y  s    s  1  Y s   s  1   s  1 Biến đổi L ngƣợc hai vế phƣơng trình ta đƣợc y  t   t 3et  tet y  t   t 3et  tet Vậy nghiệm phƣơng trình : 27 Tìm biến đổi laplace hàm : f t   t 2e3t  et  sin t Giải L t e3t    s  3 ; L sin t  ; L et   s 1 s 1  L  f  t    s  3  1  s 1 s 1 Điều kiện chung : s > b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: y ' y  ; y    Giải Lấy biến đổi laplace vế phƣơng trình, thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng trình ảnh  Y s  s(2s  1) Biến đổi L ngƣợc hai vế phƣơng trình ta đƣợc   y  t   L1    s(2s  1)     1   1  L1    L    L    s  2s  1  s(2s  1)  Suy y  t   4  4e t Vậy nghiệm phƣơng trình y  t   t  cos t  3sin t 28 a) Tìm biến đổi laplace hàm : f  t   3t  2sin 5t  te Giải 138 t Giáo trình Tốn cao cấp L 3t   72 ; s5 Vậy L 2sin 5t  L  f  t    12 t  10 L ; te   2 s  25   s 1   2  72 10   s s  25  1 s    2  Điều kiện chung : s > 1/2 b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: y '' y  ; y    1, y '    Giải Lấy biến đổi laplace vế phƣơng trình thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng trình ảnh Y s   s s 1 Biến đổi L ngƣợc hai vế phƣơng trình ta đƣợc  1 y  t   L1    =  s s  1 1+2sint Vậy nghiệm phƣơng trình y t   t  cos t  3sin t 29 a) Tìm biến đổi laplace hàm : f t   t 2e3t  e2t sin 4t  et cos 4t Giải L t e3t    s  3 ; L e2t sin  4t   L  f  t   Vậy  s  2  16  ; L et cos 2t  s  s  4s  20 s  2s  s 1   ( s  3) s  4s  20 s  2s  Điều kiện chung : s > b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: y ' y  t ; y    Giải Lấy biến đổi laplace vế phƣơng trình thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng trình ảnh Y s  s (2s  1) Biến đổi L ngƣợc hai vế phƣơng trình ta đƣợc   y  t   L1    s (2 s 1)   139 Giáo trình Toán cao cấp y  t   2e t/2 -t-2 Vậy nghiệm phƣơng trình y t   t  cos t  3sin t 30 a) Tìm biến đổi laplace hàm : f t   3t  t 3et  cos3t Giải L 3t   ; L t 3et   s  s  1 L  f  t   Vậy ;  L cos3t  s s 9 6 s   s  s  1  s   Điều kiện chung : s > b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: y '' y ' y  te2t ; y  0  y '    Giải Lấy biến đổi laplace vế phƣơng trình thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng trình ảnh Y s  ( s  1)2 ( s  2) Biến đổi L ngƣợc hai vế phƣơng trình ta đƣợc   y  t   L1  2    ( s 1) ( s 2)   t y  t   e (t+2) + e2t(t-2) Vậy nghiệm phƣơng trình : y  t   et(t+2) + e2t(t-2) 31 a) Tìm biến đổi laplace hàm : f  t   3t  t  et  cos2t Giải L 3t   Vậy 72 , L t   64 s5 s ; L  f  t   L cos2t  s ;  L  et   1 s2  3  s 1 s 72  4  s s  s  1 s  Điều kiện chung : s > b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: y '' y ' y  ; y  0  0, y '    Giải 140 Giáo trình Toán cao cấp Lấy biến đổi laplace vế phƣơng trình thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng trình ảnh Y s  s( s  1)( s  2) Biến đổi L ngƣợc hai vế phƣơng trình ta đƣợc   y  t   L1     s ( s 1)( s 2)   y  t   1/2 –et +1/2e2t Vậy nghiệm phƣơng trình : y  t   1/2 –et +1/2e2t 32 a) Tìm biến đổi laplace hàm : f  t   t et  e3t  cos2t Giải L t et    s  1 Vậy L  f  t   3 3  ; L cos2t  s L  e3t   s 4 2  2s  ;  s  1  s  2s  s  Điều kiện chung : s > b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: y '' y ' y  8e2t ; y    0, y '    Giải Lấy biến đổi laplace vế phƣơng trình thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng trình ảnh Y s  ( s  2)( s  1)( s  2) Biến đổi L ngƣợc hai vế phƣơng trình ta đƣợc   y  t   L1      ( s 2)( s 1)( s 2)   y  t   -8/3 et + 2e2t + 2/3e-2t Vậy nghiệm phƣơng trình : y  t   -8/3 et + 2e2t + 2/3e-2t 33 a) Tìm biến đổi Laplace ngƣợc hàm: F s  Giải 3s    2t 1   1  L1    3cos 4t ; L    t   4e ; L  s   s  16  s  2 141 3s -  s  s  16 s Giáo trình Tốn cao cấp Vậy L1 F  s   4e2t  3cos 4t -t b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: y ''' y '' y ' y  tet ; y    0, y '    y ''    Giải Lấy biến đổi laplace vế phƣơng trình thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng trình ảnh s 3Y  s   3s 2Y  s   3sY  s   Y  s    s  1  Y s   s  1 Biến đổi L ngƣợc hai vế phƣơng trình ta đƣợc y(t) =   L1  5  ( s  1)   y t   t t e 24 Vậy nghiệm phƣơng trình y  t   t t e 24 34 a) Tìm biến đổi Laplace ngƣợc hàm : F s  s  2s  Giải Có F s  1 ; F  s  1   L1 F  s  1  sin 2t  2 s  2s   s  1  s 4 Áp dụng tính chất dời thứ nhất,suy ra: L1 F  s   et sin 2t b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: y '' y ' y  2t  2; y  0  0, y '  0  Giải Lấy biến đổi laplace vế phƣơng trình thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng trình ảnh s 2Y  s   2sY  s   2Y  s   2s  1  Y  s  2 s s Biến đổi L ngƣợc hai vế phƣơng trình ta đƣợc: y  t   t Vậy nghiệm phƣơng trình : y t   t 35 a) Tìm biến đổi Laplace ngƣợc hàm : F s  s +  s 1 s  s 1 Giải 142 Giáo trình Tốn cao cấp   t L1  e ;  s  1 Vậy  s  L1    cos 2t ; s  4 L1 F  s   et  cos 2t +   L1    sin t  s  1 sint b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: y ''' y '  1; y  0  0, y '    y ''    Giải Lấy biến đổi laplace vế phƣơng trình thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng trình ảnh s 3Y  s   4sY  s   Y s  s Suy Y(s) = s ( s  4) 1 1  s2 s2  Biến đổi L ngƣợc hai vế phƣơng trình ta đƣợc: 1   1   y t   L    L    4s   4( s  4)  Vậy nghiệm phƣơng trình 1 y  t   t  sin 2t 36 a) Tìm biến đổi Laplace ngƣợc hàm : F s  s 1 +  s  s 1 s  Giải   2t L1  e ; s  2 Vậy L1 F  s   e2t  et +   t L1  e ;  s  1  s  L1    cos 2t s  4 cos2t b) Sử dụng phép biến đổi Laplace giải phƣơng trình: y '' y  t ; y    y '    Giải Lấy biến đổi laplace vế phƣơng trình thay điều kiện ban đầu ta đƣợc phƣơng trình ảnh Y(s) = s ( s  1) Biến đổi L ngƣợc hai vế phƣơng trình ta đƣợc: 143 Giáo trình Tốn cao cấp 1   y t   L  2  s ( s 1)    t t 1   L    sin t ( s   1)  suy 1   L  2 =  s ( s 1)     sin udu  y(t) = -sint +t Vậy nghiệm phƣơng trình : y(t) = -sint +t Đáp số số tập chƣơng a) s4 b) 3 s2  , s 1 s s 1 c) d) 3s s  25 2 a) b) c)  s  2 s 1  s  1 4 72 12 10  4 s s s  25 s  2s  4  s  1  s   3 e s 1 s 1 a)  e3t b) t 1 c) t  et a) 3e2t  e3t 144   sin t  t Giáo trình Tốn cao cấp b) 2e3t  3et  5e2t c) 2et  3cos t  2sin t a)  3t   et  4e3t b) t  et  e2t  c)  2t  t  5 e2t  6e2t a) y  t   4cos 3t 4sin 3t cos 2t   5 b) y  t   t c) y  t   1  et cos t   6et sin t 5     10 a) 3et  2e2t  2t   2et b) 25t  40t  22  2e2t  2sin t 11cos t  c) 1  t sin t  3t cos t     11 2 t   x  1  2t  e 2 t   y  1  2t  e a)   x  et  e t b)  t 2t y  e e 12  x  4t   2cost  3sint y  2t  2sint  a)  t 2t t       x e e t t te cos sin  45 5 b)  1  y  et  e 2t  te t  9  x   et  e at  ebt c)  t  at  bt  y   e  be  ae 145 Giáo trình Tốn cao cấp 146 Giáo trình Tốn cao cấp TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Đình Trí, Tốn cao cấp 1, NXB Giáo dục, 2004 Nguyễn Đình Trí, Tốn cao cấp 3, NXB Giáo dục, 2004 Đậu Thế Cấp, hàm biến phức, NXB Giáo dục, 2000 Nguyễn Kim Đính, phép biến đổi Laplace, Đại học Kỹ thuật thành phố Hồ Chí Minh, 1998 Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Hàm biến phức, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 1997 Trƣơng Văn Thƣơng, hàm số biến số phức, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2002 Phan Bá Ngọc, Hàm phức phép biến đổi Laplace, NXB Giáo dục, 1996 i ... sau: a) – 4j b) -1 5 + 8j c) -8 + 6j d) -3 – 4j 2.4 Hãy viết số phức sau dạng lƣợng giác dạng mũ a) b) -1 c) j d) -j e) 1+j f) 1-j g) -1 + j h) -1 - j i) 1+j j) 1-j k) -1 + j c) -j 2.5 Tìm dạng... sinh viên Cao đẳng nghề khoa Điện – Điện tử, khoa Khoa học Cơ biên soạn giáo trình “Tốn cao cấp? ?? giúp cho ngƣời học có tài liệu học tập Giáo trình “Tốn cao cấp? ?? dùng cho sinh viên Cao đẳng nghề... Việt Nam giới tạo thành tập hợp ngƣời Việt Nam Mỗi ngƣời Việt Nam phần tử tập hợp Ví dụ Tất sinh viên trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định tạo thành tập hợp sinh viên trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ