Giáo trình môn toán cao cấp đh sư phạm kỹ thuật nam định

Giáo trình Tốn cao cấp LỜI NĨI ĐẦU Ngày nay, tƣ tƣởng, phƣơng pháp kết toán học thâm nhập vào hầu hết lĩnh vực đời sống, nhƣ lĩnh vực học, vật lý lý thuyết, hóa học lƣợng tử,…Tốn cao cấp từ lâu nằm chƣơng trình bắt buộc trƣờng Đại học kỹ thuật, đóng vai trị then chốt việc rèn luyện tƣ khoa học, cung cấp cơng cụ tốn học để sinh viên học mơn khác Cuốn sách Tốn cao cấp đƣợc chúng tơi biên soạn nhằm mục đích cung cấp tài liệu học tập cho sinh viên Cao đẳng nghề khoa Cơ khí Giáo trình bao gồm kiến thức mơn tốn cao cấp, sở cho sinh viên học tập mơn chun ngành Giáo trình gồm chƣơng: Chƣơng 1: Ma trận – Định thức hệ phƣơng trình tuyến tính Chƣơng trình bày kiến thức ma trận, định thức, hệ phƣơng trình tuyến tính, phép tốn ma trận số phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình tuyến tính Chƣơng 2: Phép tính vi phân tích phân Chƣơng trình bày vấn đề quan trọng đạo hàm, tích phân hàm biến Nội dung chƣơng phƣơng pháp tính đạo hàm tích phân Đặc biệt, chƣơng hai chúng tơi có phần lý thuyết tính gần ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích vật thể, phần sử dụng nhiều cho lĩnh vực học Chƣơng 3: Phƣơng trình vi phân Chƣơng trình bày cách có hệ thống phƣơng trình vi phân: khái niệm phƣơng trình vi phân, cách giải số dạng phƣơng trình vi phân cấp cấp hai Do giáo trình đƣợc giảng dạy cho sinh viên Cao đẳng nghề khơng phải chun ngành tốn, nên chúng tơi khơng sâu vào việc chứng minh lý thuyết toán học phức tạp Thay vào chúng tơi đƣa nhiều ví dụ minh họa i Giáo trình Tốn cao cấp với bƣớc làm cụ thể chi tiết Cuối chƣơng có lƣợng lớn tập để rèn luyện, ngồi chúng tơi cịn có mục đáp số hƣớng dẫn giải Mặc dù, có nhiều cố gắng biên soạn nhƣng Giáo trình khơng thể tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp đồng nghiệp đọc giả xa gần CÁC TÁC GIẢ ii Giáo trình Tốn cao cấp MỤC LỤC LỜI NĨI ĐẦU i Chƣơng MA TRẬN - ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1 MA TRẬN 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Các phép toán ma trận 1.2 ĐỊNH THỨC .12 1.2.1 Định nghĩa 12 1.2.2 Các tính chất 15 1.2.3 Cách tính định thức phép biến đổi sơ cấp 18 1.3 HẠNG CỦA MA TRẬN 21 1.3.1 Định nghĩa 21 1.3.2 Cách tính hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp hàng 22 1.4 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 24 1.4.1 Định nghĩa 24 1.4.2 Định lý 26 1.4.3 Cách tìm ma trận nghịch đảo phép biến đổi sơ cấp 29 1.5 HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH .30 1.5.1 Dạng tổng quát hệ phƣơng trình tuyến tính 30 1.5.2 Hệ Cramer 31 1.5.3 Phƣơng pháp khử Gauss 34 1.5.4 Hệ .36 1.5.5 Hệ phƣơng trình tuyến tính tổng qt 37 BÀI TẬP CHƢƠNG 40 HƢỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ CHƢƠNG 46 Chƣơng PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN 60 2.1 ĐẠO HÀM 60 2.1.1 Định nghĩa đạo hàm: 60 2.1.2 Các công thức tính đạo hàm 61 2.1.3 Đạo hàm cấp cao 67 2.2 VI PHÂN 68 2.2.1 Định nghĩa 68 2.2.2 Các cơng thức tính vi phân 69 2.2.3 Vi phân cấp cao 71 2.3 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 72 iii Giáo trình Tốn cao cấp 2.3.1 Định lý Lagrange (Lagơrăng) 72 2.3.2 Định lý Cauchy (côsi) 72 2.3.3 Công thức Taylor 72 2.3.4 Công thức L’Hospital 74 2.4 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 77 2.4.1 Định nghĩa 77 2.4.2 Bảng tích phân 78 2.4.3 Các phƣơng pháp tính tích phân bất định 78 3.1.4 Tích phân hàm số hữu tỷ 83 2.5 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 86 2.5.1 Khái niệm tích phân xác định 86 2.5.2 Các tính chất tích phân xác định 87 2.5.3 Công thức Newton-Leibnitz 88 2.5.4 Các phƣơng pháp tính tích phân xác định 88 BÀI TẬP CHƢƠNG 99 HƢỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƢƠNG 102 Chƣơng PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 115 3.1 PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 115 3.1.1 Một số khái niệm mở đầu 115 3.1.2 Định lý tồn nghiệm 116 3.2 MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 116 3.2.1 Phƣơng trình với biến số phân ly 116 3.2.2 Phƣơng trình đẳng cấp cấp 117 3.2.3 Phƣơng trình tuyến tính 120 3.2.4 Phƣơng trình Bernoully 126 3.3 PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI 128 3.3.1 Một số khái niệm mở đầu 128 3.3.2 Định lý tồn nghiệm 128 3.3.3 Phƣơng trình vi phân cấp hai giảm cấp đƣợc 129 3.3.4 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 132 3.3.5 Phƣơng trình vi phân cấp tuyến tính không 138 3.3.6 Phƣơng trình vi phân cấp với hệ số số 141 BÀI TẬP CHƢƠNG 152 HƢỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƢƠNG 156 TÀI LIỆU THAM KHẢO 171 iv Giáo trình Toán cao cấp Chƣơng MA TRẬN - ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1 MA TRẬN Khi ta có m x n số, ta xếp thành bảng số hình chữ nhật chứa m hàng, n cột Một bảng số nhƣ gọi ma trận 1.1.1 Định nghĩa Một bảng số chữ nhật có m hàng, n cột a11 a A =  21   am1 a1n  a 2n    amn  a12 a 22 am  a11  a A =  21    am1 hay , ký hiệu là: A = aij  gọi ma trận cỡ mn a12 a 22 am a1n   a 2n    amn    hay A = aij mn đó: aij phần tử ma trận A nằm giao điểm hàng i cột j  a11 a  21    a i1   am1 a12 a 22 a1 j a j j am amj a1n  a 2n    a in    anm  Cét thø j (j lµ số cột) 1 4 2 Ví dụ 1: Bảng số A =  6  ma trận cỡ x với phần tử a11 = a12 = -4 a13 = a21 = a22 = a23 = 1  Ví dụ 2: Bảng số A =     ma trận cỡ x với phần tử hµng thø i ( i lµ sè hµng) Giáo trình Tốn cao cấp a11 = a21 = a31=4 Ví dụ 3: Bảng số A = 2  9 ma trận cỡ x với phần tử a11= 2, a12= - 3, 1 Ví dụ 4: Cho bảng số A = 6 7 a13= 4, a14= 5   Bảng số ma trận cỡ x với phần tử a11= 1, a12= 5, a21= 6, a22= -2, a31= 7, a32= 1  Ví dụ 5: Cho bảng số A =    4  Bảng số ma trận cỡ x với phần tử a31 = a23 = a21 = a11 = a33 = a13 = a12 = a22 = a32 = - Khi m = n ta gọi ma trận A ma trận vuông cấp n (gọi tắt ma trận cấp n) a11 a A =  21   an1 a12 a 22 an a1n  a 2n  (số hàng = số cột)   ann  a11 , a22 , … , ann gọi phần tử chéo Đường thẳng qua phần tử chéo gọi đường chéo a11 a  21 a 31  a 41 a12 a13 a 22 a 32 a 42 a 23 a 33 a 43 a11 a  21 a 31  a 41 a12 a13 a 22 a 32 a 42 a 23 a 33 a 43 a14  a 24  a 34   a 44  a14  a 24  a 34   a 44  Đƣờng chéo Đƣờng chéo phụ Giáo trình Tốn cao cấp 1  Ví dụ 6: Ma trận A =   ma trận vuông cấp  4  Đƣờng chéo đƣờng thẳng nối phần tử 1, 6, Đƣờng chéo phụ đƣờng thẳng nối phần tử 2, 6, Ma trận tam giác trên: ma trận vuông cấp n mà tất phần tử nằm đường chéo 0, tức aij = i > j a11 0  0    a12 a13 a 22 a 23 a 33 0 a1n  a 2n  a 3n    a nn  1  Ví dụ 7: Ma trận A = 0  ma trận tam giác 0  Ma trận tam giác dƣới: ma trận vuông cấp n mà tất phần tử nằm đường chéo 0, tức aij = i < j  a11 a  21  a 31   an1 0 a 22 a 32 a 33 an an 0  0   ann  1 0  Ví dụ 8: Ma trận A =   ma trận tam giác dƣới  7  Ma trận chéo: ma trận vuông cấp n mà tất phần tử nằm đường chéo , tức aij = i  j a 11 0  0        hay   a nn  a 22 0 a 33 0 0 a 11  a 22       a 33        a nn  Giáo trình Tốn cao cấp 1 0  Ví dụ 9: Ma trận A = 0  ma trận chéo 0 3 Ma trận đơn vị: ma trận chéo mà tất phần tử nằm đường chéo ký hiệu I Ví dụ 10: 1 0 1) I=   ma trận đơn vị cấp 0  2) 1 0  I = 0  ma trận đơn vị cấp 0  Ma trận không: ma trận mà tất phần tử khơng Ma trận khơng ký hiệu O Ví dụ 11: 0 0  1) O=   ma trận không cỡ x 0 0  2) O=   ma trận không cấp 0  0  Hai ma trận nhau: Hai ma trận A B gọi nhau, ký hiệu A = B, chúng cỡ phần tử có vị trí nhau, tức là:   A   aij  mxn , B  bij  mxn A B   aij  bij , i, j   a b  1 2 Ví dụ 12:    có nghĩa a  , b  , c  , d   c d  3  1.1.2 Các phép toán ma trận a) Phép cộng hai ma trận cỡ: Định nghĩa: Cho ma trận cỡ m x n : A = aij  mn ; B = b ij  ma trận C cỡ m x n mà phần tử cij = aij + bij Ta viết C = A + B A  B  aij  mxn Ví dụ 13: Cho 1 4 A=   3 2  bij  mxn  aij  bij  mxn   3 4 B=  1 mn Tổng A + B Giáo trình Tốn cao cấp 1   3   6 Khi đó: A + B =   = 4 3   4  Ví dụ 14: Cho 4  5 A =   3  2 4  B =    2   6   5     3 3  Ta có A + B =  1  4  3  2   1 5   11    3 Chú ý: Điều kiện để ma trận cộng đƣợc với ma trận cỡ Ví dụ 15: Cho ma trận: 1 4 2  3 5 A=   ; B = 4  3 2  Hai ma trận A B khơng cộng với đƣợc A B không cỡ, ma trận A cỡ x , ma trận B cỡ x Tính chất:  A + B = B + A (tính giao hốn)  A + O = O + A = A (O ma trận không)  (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp)  Ma trận –A =  aij  mn đƣợc gọi ma trận đối ma trận A Khi đó: A + (-A) = (-A) + A = O b) Phép nhân ma trận với số: Định nghĩa: Cho ma trận : A = aij  số thực k mn Ta nói: Tích số thực k với ma trận A hay tích ma trận A với số thực k ma trận cỡ m n , ký hiệu k.A hay A.k xác định sau: k.A = A.k = k.aij  mn Ví dụ 16: Tính a) 2 b) (-3)  6  7    2 4 3  1 Giáo trình Tốn cao cấp 1  1  2   2  c) Giải 7   2.7 2.0 2.1 14 2 a)   =  2.2 2.5 2.4  =  10   2 4    3 (3).2  = (3).(6) (3).7 1 2 b) (-3)  6  1  1  1  1  c) 3 2  =  2 2     (3).3   6 (3).4  = 18  21 (3).(1)  1  1 (1)   2   1 2     2 2 1   1 2   9  12   1        Tính chất: Cho ma trận A, B cấp số thực k, h  R Ví dụ 17: 1) k.(A + B) = k.A + k.B 2) (k + h).A = k.A + h.A 3) k.(h.A) = (k.h).A 4) 1.A = A 5) 0.A = O Cho ma trận: 2   A =   3  2 ;  2 B =  1   3 Hãy thực phép tính sau: a) (A - B) + C b) 2A - (B + C) c) d) 3A -2B + 4C A+B-C Giải a) 2  2   1       A - B + C =   3 -  1 +   1  2   3  2 ; 1   C =   1  2 Giáo trình Tốn cao cấp 2udu dx  u2 1 x Giải phƣơng trình với biến số phân ly ta đƣợc: ln | u  1|  ln | x | C  Thay u = y ta đƣợc nghiệm tổng quát phƣơng trình : x y ln | ( )2  1|  ln | x | C  x y x 2) Đặt u= Thay vào phƣơng trình ta đƣợc : u' x = u2  2u Biến đổi phƣơng trình với biến số phân ly: (1  2u )du dx  u2 x Giải phƣơng trình với biến số phân ly ta đƣợc:   2ln | u |  ln | x | C  u Thay u = y ta đƣợc nghiệm tổng quát phƣơng trình : x  x y  2ln | |  ln | x | C  y x y x 3) Đặt u= Thay vào phƣơng trình ta đƣợc : u' x = - u Biến đổi phƣơng trình với biến số phân ly:  du dx  u2 x Giải phƣơng trình với biến số phân ly ta đƣợc:  ln | x | C  u Thay u = y ta đƣợc nghiệm tổng quát phƣơng trình : x 157 Giáo trình Tốn cao cấp x  ln | x | C  y y x 4) Đặt u= Thay vào phƣơng trình ta đƣợc :  2u u'x  4u Biến đổi phƣơng trình với biến số phân ly:  dx 4udu  x  2u Giải phƣơng trình với biến số phân ly ta đƣợc: ln | x |  ln |1  2u | C  Thay u = y ta đƣợc nghiệm tổng quát phƣơng trình : x y ln | x |  ln |1  2( ) | C  x y x 5) Đặt u= Thay vào phƣơng trình ta đƣợc : u'x  3 u u Biến đổi phƣơng trình với biến số phân ly:  dx 3du 1    3 (  )du x u u u 1 u Giải phƣơng trình với biến số phân ly ta đƣợc: ln | x |  ln | Thay u = y ta đƣợc nghiệm tổng quát phƣơng trình : x ln | x |  ln | 6)Đặt u = u | C  1 u y | C  x y y Thay vào phƣơng trình ta đƣợc : x u' x = 1- 4u Biến đổi phƣơng trình với biến số phân ly: 158 Giáo trình Tốn cao cấp du dx   4u x Giải phƣơng trình với biến số phân ly ta đƣợc:  ln |1  4u |  ln | x | C  Thay u= y ta đƣợc nghiệm tổng quát phƣơng trình : x y  ln |1  |  ln | x | C  x y x 7) Đặt u= Thay vào phƣơng trình ta đƣợc : u' x = - (1+ 5u) Biến đổi phƣơng trình với biến số phân ly:  du dx   5u x Giải phƣơng trình với biến số phân ly ta đƣợc:  ln |1  5u |  ln | x | C  Thay u = y ta đƣợc nghiệm tổng quát phƣơng trình : x y  ln |1  |  ln | x | C  x 3.3 Giải phƣơng trình tuyến tính cấp sau: 1) Giải phƣơng trình: y  ta đƣợc y = Cx x y ' Coi C C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc: C '(x)  ln x ln x  C (x)  K x Vậy nghiệm tổng quát phƣơng trình 2) Giải phƣơng trình: y ' y( ln x  K )x y  ta đƣợc y = C (x+ 1) x 1 Coi C C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc: C '(x)  x  C (x)  159 x2 K Giáo trình Tốn cao cấp Vậy nghiệm tổng quát phƣơng trình 3) Giải phƣơng trình: y( x2  K )(x  1) y ' y  ta đƣợc y  Ce x Coi C C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc: C '(x)  x  C (x)  Vậy nghiệm tổng quát phƣơng trình 4) Giải phƣơng trình: y( x3 K x3  K )e x y ' y  ta đƣợc y  Ce2 x Coi C C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc: C '(x)  x   C (x)  Vậy nghiệm tổng quát phƣơng trình 5) Giải phƣơng trình: y( x3  x  K )e x y ' y  ta đƣợc y  Ce x Coi C C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc: C '( x)  5e2 x  C ( x)  Vậy nghiệm tổng quát phƣơng trình 6) Giải phƣơng trình: x3  xK e2x K 5e2x y(  K )e  x y ' y  ta đƣợc y  Ce2x Coi C C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc: C '( x)  2x   C( x)  x  x  K Vậy nghiệm tổng quát phƣơng trình y  ( x2  x  K )e2x 7) Giải phƣơng trình: y ' 2y  ta đƣợc y  Cx x Coi C C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc x2  x 1 C '( x)   C ( x)  x  ln | x |   K x x Vậy nghiệm tổng quát phƣơng trình y  ( x  ln | x |   K ) x x 8) Giải phƣơng trình: y ' 2y  ta đƣợc y  C (x-1)2 x 1 Coi C C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc 160 Giáo trình Tốn cao cấp C '( x)  x2  2x  3  C ( x)  x  K (x-1) x 1 Vậy nghiệm tổng quát phƣơng trình y  ( x  1)2 ( x  y ' 9) Giải phƣơng trình:  K) x 1 y C  ta đƣợc y = x2 x2 Coi C C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc: x3 x C '(x)  ( x  1)( x  2)  C (x)    2x  K Vậy nghiệm tổng quát phƣơng trình y ' 10) Giải phƣơng trình: x3 x   2x  K y x2 y C  ta đƣợc y = x4 x4 Coi C C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc: C '(x)  ( x  3)( x  4)  C (x)  x3 x   12x  K Vậy nghiệm tổng quát phƣơng trình y ' 11) Giải phƣơng trình: x3 x   12x  K y x4 2y C  ta đƣợc y  x x Coi C C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc x x C '( x)  (2x  1) x  C ( x)   K Vậy nghiệm tổng quát phƣơng trình x x  K y x 12) Giải phƣơng trình: y ' y 0 x3 ta đƣợc y  C (x  3) 161 Giáo trình Tốn cao cấp Coi C C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc: C '( x)  Vậy nghiệm tổng quát phƣơng trình y ' 13) Giải phƣơng trình: x x   C ( x)  x  3ln | x  3| C y  (x  3)( x  3ln | x  3| C) y  ta đƣợc y  2( x  1) C x 1 Coi C C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc x 1 x 1 C '( x)  x x   C ( x)   K Vậy nghiệm tổng quát phƣơng trình x 1 x 1  K y x 1 14) ( xy ' 1) ln x  y  y ' Giải phƣơng trình: y ' 2y  x ln x x 2y  ta đƣợc y  C (ln x)2 x ln x Coi C C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc C '( x)  Vậy nghiệm tổng quát phƣơng trình y  ( 15) 1  C ( x)   K x(ln x) ln x  K )(ln x)2 ln x xy ' ( x  1) y  3x 2e x Giải phƣơng trình: xy ' ( x  1) y  ta đƣợc y  C e x x Coi C C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc C '(x)  3x2  C (x)  x3  K Vậy nghiệm tổng quát phƣơng trình y  ( x3  K ) e x x 16) (1  x ) y ' xy   x Giải phƣơng trình: (1  x ) y ' xy  ta đƣợc y  C (1  x ) Coi C C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc C '(x)   C (x)  x  K Vậy nghiệm tổng quát phƣơng trình y  ( K  x)(1  x ) 17) x y ' (2 x  1) y  x 162 Giáo trình Tốn cao cấp Giải phƣơng trình: x y ' (2 x  1) y  ta đƣợc y  Kx 2e x Coi C C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc C '( x)  Vậy nghiệm tổng quát phƣơng trình y  (e  x   1x x e  C ( x )  e K x2  K )x 2e x 3.4 Tìm nghiệm phƣơng trình vi phân thỏa mãn điều kiện cho trƣớc: 1) (e2 y  y) cosx dy  e y sin x, y(0)  dx Đáp số : e y  ye y  e y   2cos x 2) dy  sinx  ; y (0)  dx 3( y  1)2 Đáp số : y   (2 x  cos x  2) 3) y '  x3 y  y ; y (0)  y4  y2 1 Đáp số : y  y  4ln y  x4  x  4) Giải phƣơng trình: y ' y  ta đƣợc y= C lnx x ln x Coi C C(x) thay vào phƣơng trình thu đƣợc C ( x)  Vậy nghiệm tổng quát phƣơng trình Kết hợp với điều kiện y x e  Vậy y  x2 5) y( x2  C ) ln x e2 e2 e2  (  C ) ln e   C  2 x2 ln x dy  y  0; y (1)  dx Đáp số : y  x2 C 3x 4x  6) y '  y  x2 ; y(0)  163 Giáo trình Tốn cao cấp Đáp số y  3ex  x2  2x  3.5 Giải phƣơng trình vi phân cấp với hệ số sau:  1) Nghiệm phƣơng trình : y  C1e x  C2e2 x Dạng tổng quát nghiệm riêng : y*  axe2x Thay y * vào phƣơng trình ta tìm đƣợc : a = Nghiệm tổng quát phƣơng trình là: y  C1e x  C2e2 x + 4xe2x 2) Nghiệm phƣơng trình y  ex (C1 sinx  C2cosx) Dạng tổng quát nghiệm riêng : y*  ae3x Thay y * vào phƣơng trình ta tìm đƣợc : a  5 Nghiệm tổng quát phƣơng trình là: y  ex (C1 s inx  C2cosx)  e3x 3) Nghiệm phƣơng trình : y  C1  C2e4x Dạng tổng quát nghiệm riêng : y*  aex Thay y * vào phƣơng trình ta tìm đƣợc : a   5 Nghiệm tổng quát phƣơng trình là: y  C1  C2e4x  e x  4) Nghiệm phƣơng trình : y  C1  C2e7 x Dạng tổng quát nghiệm riêng y*  x(ax  b) Thay y * vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y*  x( x - 25 ) 49 Nghiệm tổng quát phƣơng trình y  C1  C2e7 x + x( x - 25 ) 49  5) Nghiệm phƣơng trình : y  C1e x  C2e3 x Dạng tổng quát nghiệm riêng y*  x(ax  b)e x 4 Thay y * vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y*  x( x- )e x 4 Nghiệm tổng quát phƣơng trình y  C1e x  C2e3 x + x( x- )e x 164 Giáo trình Tốn cao cấp  6) Nghiệm phƣơng trình : y  C1e2 x  C2e3 x Dạng tổng quát nghiệm riêng y*  (ax  b)e x Thay y * vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y*  ( x  )e x Nghiệm tổng quát phƣơng trình y  C1e2 x  C2e3 x + ( x  )e x  7) Nghiệm phƣơng trình : y  C1e2 x  C2 xe2 x Dạng tổng quát nghiệm riêng y*  (ax  b)e x Thay y * vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y*  xe x Nghiệm tổng quát phƣơng trình y  C1e2 x  C2 xe2 x + xe x  8) Nghiệm phƣơng trình : y  C1e2 x  C2 xe2 x Dạng tổng quát nghiệm riêng y*  (ax  b)e x Thay y * vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y*  ( x  x )e 27 Nghiệm tổng quát phƣơng trình y  C1e2 x  C2 xe2 x + ( x  9) Nghiệm phƣơng trình x )e 27  y  C1e3 x  C2 xe3 x Dạng tổng quát nghiệm riêng y*  (ax  b)e x x x)e 16 32 Thay y * vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y*  ( x x)e 16 32 Nghiệm tổng quát phƣơng trình y  C1e3 x  C2 xe3 x + ( 10) Nghiệm phƣơng trình :  y  C1  C2e4 x Dạng tổng quát nghiệm riêng y*  x(ax  bx  c) Thay y * vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y*  x( x  x ) 12 16 32 Nghiệm tổng quát phƣơng trình y  C1  C2e4 x + x( 11) Nghiệm phƣơng trình :  y  C1  C2e3 x 165 x  x ) 12 16 32 Giáo trình Tốn cao cấp Dạng tổng qt nghiệm riêng : y*  x(ax  bx  c) 9 ) 27 Thay y * vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y*  x( x  x  9 Nghiệm tổng quát phƣơng trình y  C1  C2e3 x + x( x  x  12) Phƣơng trình đặc trƣng : k  k    Nghiệm phƣơng trình : y  C1e x  C2e2 x Dạng tổng quát nghiệm riêng y*  ax  bx  c Thay y * vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y*  2x  x  Vậy phƣơng trình có nghiệm y  C1e x  C2e2 x + 2x  x   13)Nghiệm phƣơng trình : y  C1e x  C2e2 x Dạng tổng quát nghiệm riêng y*  ax  bx  c Thay y * vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y*  x  x  13 Vậy phƣơng trình có nghiệm y  C e x  C e2 x + 13 x  x 2  14) Nghiệm phƣơng trình : y  C1e3 x  C2 xe3 x Dạng tổng quát nghiệm riêng y*  ax  b Thay y * vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y*  x  27 Nghiệm tổng quát phƣơng trình y  C1e3 x  C2 xe3 x + x 27  15) Nghiệm phƣơng trình : y  C1e x  C2 xe x Dạng tổng quát nghiệm riêng y*  ax  b Thay y * vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y*  2x  Vậy phƣơng trình có nghiệm y  C e x  C xe x + 2x   16) Nghiệm phƣơng trình : y  C1e Dạng tổng quát nghiệm riêng y*  axe x 166  x  C2e x ) 27 Giáo trình Tốn cao cấp Thay y * vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y*  xe x Vậy phƣơng trình có nghiệm y  C1e  x  C2e x + xe x  17) Nghiệm phƣơng trình : y  C1e x  C2e  x Dạng tổng quát nghiệm riêng y*  axe x Thay y * vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y*  xe x Vậy phƣơng trình có nghiệm y  C1e  x  C2e x + xe x  18) Nghiệm phƣơng trình : y  C1  C2e6 x Dạng tổng quát nghiệm riêng y*  x(ax  b) Thay y * vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y*  x( x - ) 12 ) 12 ) 12 ) 12 Nghiệm tổng quát phƣơng trình y  C1  C2e6 x + x( x  19) Nghiệm phƣơng trình : y  C1  C2e6 x Dạng tổng quát nghiệm riêng y*  x(ax  b) Thay y * vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y*  x( x - ) 12 Nghiệm tổng quát phƣơng trình y  C1  C2e6 x + x( x  20) Nghiệm phƣơng trình : y  C1  C2e6 x Dạng tổng quát nghiệm riêng y*  x(ax  b) Thay y * vào phƣơng trình ta tìm đƣợc y*  x( x - ) 12 Nghiệm tổng quát phƣơng trình y  C1  C2e6 x + x( x - 3.6 Hãy đƣa dạng phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp tìm nghiệm: 1) y’( x + siny) = 167 Giáo trình Tốn cao cấp Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với dx  x  sin y  x ' x  sin y , phƣơng dy trình tuyến tính Xét phƣơng trình tƣơng ứng x ' x   x  Ce y e y (sin y  cos y ) Coi C hàm số biến y ta đƣợc C ( x)  C Vậy nghiệm phƣơng trình cho x  (sin y  cos y )  Ce y 2) Xét phƣơng trình tƣơng ứng ( x3  x) y ' 3x y  ta đƣợc y  Coi C hàm số biến y ta đƣợc C ( x)  x2  ln | x | C x2  ln | x | C Vậy nghiệm phƣơng trình cho y  ( x  1)5 3) y '  y  x2 ; y(0)  Đáp án: y  3e x  ( x2  x  2) 4) dy  y  x2  dx Đáp án: y  Ce x  x2  x  5) x dy  y  x 4e x dx Đáp án: y  x5e x  x4e x  cx4 6) ( x  9) dy  xy  dx Đáp án: y  C x2  8) x2 y '  xy  Đáp án: y  x1 ln x  c1; x  9) x dy  y  x s inx dx Đáp án: y  cx  x cos x; x  168 C ( x  1)5 Giáo trình Tốn cao cấp 10) x2 y ' x(x  2) y  e x Đáp án: y  x C x e  e ;x 0 x2 x 11) ydx  4( x  y )dy  Đáp án: x  y  cy2 ; y  13) xy ' y  e x ; y(1)  ex  e Đáp án: y   ; 0 x x x 14) Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với dx  y  2x  x ' 2x  y , phƣơng trình dy tuyến tính Xét phƣơng trình tƣơng ứng x ' x   x  Ce2 y Coi C hàm số biến y ta đƣợc C ( x)  e2 y ( y2 y   )C 2 y2 y Vậy nghiệm phƣơng trình cho x     Ce2 y 2 3.7 Hãy tìm nghiệm phƣơng trình vi phân sau có dạng phƣơng trình vi phân đẳng cấp: 1) Đáp án: x2  xy  y  C  2) Đáp án: y  x 1   3) Đáp án:   ln x   y  ln y  C x 4) Đáp án: Khơng có dạng đẳng cấp 5) Đáp án: Khơng có dạng đẳng cấp 6) Đáp án: y3  yx  C 5 7) Đáp án: ( y  3x) (y x)  3.8 Giải phƣơng trình Bernoully: 1) Đáp án: y   x  cx 169 Giáo trình Tốn cao cấp 2) Đáp án: y3   cx3 3) Đáp án: y 3  x   ce3 x 4) Đáp án: y 3   x y  49 6 x 5) Đáp án: x   Ce x  y 3 6) Đáp án: Cx  e x y 170 Giáo trình Tốn cao cấp TÀI LIỆU THAM KHẢO Ngun Đình Trí (chủ biên), Toán học cao cấp (ba tập), NXB Giáo dục, 2010 Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Bài tập toán cao cấp (ba tập), NXB Giáo dục, 2010 Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Phu, Cơ sở ph-ơng trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1995 Trần Trọng Huệ, Đại số tuyến tính hình học giải tích (tập một), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002 Trần Đức Long- Nguyễn Đình Sang- Hoàng Quốc Toàn, Giáo trình giải tích (tập hai), NXB Đại học Quốc gia Hµ Néi, 2004 171 ... 69 2.2.3 Vi phân cấp cao 71 2.3 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 72 iii Giáo trình Toán cao cấp 2.3.1 Định lý Lagrange (Lagơrăng) 72 2.3.2 Định lý Cauchy (côsi)... trận cấp p ma trận A Định thức ma trận gọi định thức cấp p ma trận A 21 Giáo trình Tốn cao cấp 2  3  1 4 Ví dụ 40: Xét ma trận: A =     2 Ta có: min3,4 =  p = 1, 2, Các định. .. 3.1.2 Định lý tồn nghiệm 116 3.2 MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 116 3.2.1 Phƣơng trình với biến số phân ly 116 3.2.2 Phƣơng trình đẳng cấp cấp 117 3.2.3 Phƣơng trình