Bài giảng dao động kỹ thuật đh sư phạm kỹ thuật nam định

LỜI NÓI ĐẦU Dao động tƣợng phổ biến tự nhiên kỹ thuật Các máy móc, phƣơng tiện giao thơng vận tải, tồ nhà cao tầng, cầu bắc qua dòng sông, đồng hồ đeo tay mà thƣờng hay sử dụng… hệ dao động kỹ thuật Bản thân ngƣời hệ dao động mà có lẽ ngƣời biết Vậy dao động gì? Một cách sơ lƣợc, dao động q trình đại lƣợng vật lý (hoá học, sinh học,…) thay đổi theo thời gian mà có đặc điểm lặp lại lần Dao động kỹ thuật dao động hệ kỹ thuật (các máy móc, phƣơng tiện giao thông vận tải,…) Các kiến thức lý thuyết dao động ngày trở thành phận thiếu đƣợc tổng thể kiến thức cần phải trang bị cho ngƣời kỹ sƣ khí, xây dựng, tự động hố, …Nhằm đáp ứng u cầu cần thiết mơn học Dao động kỹ thuật đƣợc đƣa vào chƣơng trình giảng dạy cho sinh viên trƣờng Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Nam Định, nội dung môn học gồm hai phần: Dao động tuyến tính hệ hữu hạn bậc tự Dao động tuyến tính hệ vơ hạn bậc tự tổng số chƣơng chƣơng trình mơn học Tập giảng đƣợc viết sở chƣơng trình mơn học Dao động kỹ thuật Ngƣời biên soạn cố gắng trình bày vấn đề Dao động kỹ thuật theo quan điểm đại, đảm bảo tính sƣ phạm yêu cầu chất lƣợng giảng giảng dạy đại học Những kiến thức trình bày giảng kiến thức tối thiểu, cần thiết để sinh viên học môn học ngành Công nghệ hàn, Cơng nghệ Ơ tơ, Cơng nghệ chế tạo máy… Các Ví dụ giảng gồm hai loại: Các Ví dụ củng cố kiến thức Ví dụ áp dụng giải số mơ hình dao động kỹ thuật Tập giảng đƣợc biên soạn lần đầu nên chắn cịn nhiều thiếu sót Chúng tơi mong nhận đƣợc góp ý đồng nghiệp em sinh viên để có điều kiện sửa chữa, hoàn thiện tập giảng nhằm phục vụ tốt cho công tác giảng dạy học tập Các ý kiến đóng góp xin gửi địa chỉ: Bộ mơn Kỹ thuật sở, Khoa khí, Trƣờng Đại học Sƣ phạm kỹ thuật Nam Định Nhóm tác giả biên soạn MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU MỤC LỤC Chƣơng MƠ TẢ ĐỘNG HỌC CÁC Q TRÌNH DAO ĐỘNG 1.1 DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ 1.1.1 Biểu diễn thực dao động điều hoà 1.1.2 Biểu diễn phức dao động điều hoà 1.1.3 Tổng hợp hai dao động điều hoà phƣơng tần số 1.2 DAO ĐỘNG TUẦN HOÀN 1.2.1 Các tham số động học dao động tuần hoàn 1.2.2 Tổng hợp hai dao động điều hồ có phƣơng khác tần số với tỷ lệ hai tần số số hữu tỷ 1.2.3 Phân tích Fourier hàm tuần hồn 11 1.2.4 Biểu diễn hàm tuần hoàn miền tần số 14 1.2.5 Biểu diễn đồng thời hai đại lƣợng dao động điều hoà theo hai phƣơng vng góc với 14 1.2.6 Biểu diễn dao động tuần hoàn mặt phẳng pha 18 1.3 DAO ĐỘNG KHƠNG TUẦN HỒN 20 1.3.1 Tổng hợp hai dao động điều hoà phƣơng khác tần số với tỷ lệ hai tần số số vô tỷ 20 1.3.2 Biểu diễn tích phân Fourier hàm khơng tuần hồn 22 1.3.3 Dao động họ hình sin 25 CÂU HỎI ÔN TẬP 29 Chƣơng 30 DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO 30 2.1 DAO ĐỘNG TỰ DO KHÔNG CẢN 30 2.1.1 Các thí dụ thiết lập phƣơng trình vi phân dao động 30 2.1.2 Tính tốn dao động tự khơng cản 32 2.1.3 Xác định tham số độ cứng hệ dao động 37 2.2 DAO ĐỘNG TỰ DO CÓ CẢN 44 2.2.1 Tính tốn dao động tự có ma sát nhớt 44 2.2.2 Tính tốn dao động tự có ma sát khô 49 CÂU HỎI ÔN TẬP 80 Chƣơng 81 DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO 81 3.1 THÀNH LẬP CÁC PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG 81 3.1.1 Phƣơng pháp sử dụng phƣơng trình Lagrange loại II 81 3.1.2 Phƣơng pháp lực 86 3.2 DAO ĐỘNG TỰ DO KHÔNG CẢN 91 3.2.1 Các tần số riêng dạng dao động riêng 91 3.2.2 Tính chất trực giao véc tơ riêng 93 3.2.3 Các tọa độ 94 3.2.4 Các tọa độ chuẩn 98 3.3 DAO ĐỘNG TỰ DO CÓ CẢN .104 3.3.1 Phƣơng pháp giải trực tiếp (ma trận cản tùy ý) 104 3.3.2 Phƣơng pháp ma trận dạng riêng (ma trận cản đặc biệt) 106 3.4 Dao động cƣỡng 109 3.4.1 Phƣơng pháp giải trực tiếp 109 3.4.2 Phƣơng pháp ma trận dạng riêng 111 CÂU HỎI ÔN TẬP .124 Chƣơng .126 DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ VƠ HẠN BẬC TỰ DO 126 4.1 DAO ĐỘNG DỌC VÀ DAO ĐỘNG XOẮN CỦA THANH THẲNG 126 4.1.1 Dao động dọc tự đồng chất tiết diện không đổi 126 4.1.2 Dao động dọc cƣỡng thẳng đồng chất tiết diện không đổi 132 4.1.3 Dao động dọc tự có tiết diện thay đổi 135 4.2 DAO ĐỘNG XOẮN CỦA THANH THẲNG 139 4.3 DAO ĐỘNG UỐN CỦA DẦM 141 4.3.1 Thiết lập phƣơng trình vi phân dao động uốn dầm 141 4.3.2 Dao động uốn tự dầm Euler- Bernoulli đồng chất tiết diện không đổi 145 4.3.3 Dao động uốn cƣỡng dầm Euler-Bernoulli đồng chất tiết diện không đổi 153 4.3.4 Dao động uốn tự dầm Timoshenko .159 CÂU HỎI ÔN TẬP .171 TÀI LIỆU THAM KHẢO 174 Chƣơng MƠ TẢ ĐỘNG HỌC CÁC Q TRÌNH DAO ĐỘNG Các trình dao động thƣờng trình thay đổi đa dạng theo thời gian Trong tính tốn đo đạc q trình dao động ngƣời ta thƣờng phân thành dao động tuần hoàn dao động khơng tuần hồn Một dạng đặc biệt dao động tuần hoàn dao động điều hồ Trong chƣơng ta trình bày số tính chất động học cách biểu diễn dao động tuần hồn khơng tuần hồn Phần động học trình dao động ngẫu nhiên đƣợc trình bày giáo trình khác 1.1 DAO ĐỘNG ĐIỀU HỒ 1.1.1 Biểu diễn thực dao động điều hoà Dao động điều hồ đƣợc mơ tả phƣơng diện động học hệ thức y t = Asin ωt + α = Asinψ(t) (1.1) Dao động điều hồ cịn đƣợc gọi dao động hình sin Đại lƣợng A khơng giảm tổng qt ln giả thiết số dƣơng đƣợc gọi biên độ dao động Nhƣ biên độ dao động giá trị tuyệt đối độ lệch lớn đại lƣợng dao động y(t) so với giá trị trung bình (hình 1.1) Đại lƣợng ψ t = ωt + α đƣợc gọi góc pha, hay cách vắn tắt pha dao động Góc 𝛼 đƣợc gọi pha ban đầu 2 T= A y (t) O t   t Hình 1.1 Dao động điều hồ Đại lƣợng 𝜔 đƣợc gọi tần số vịng dao động điều hồ, đơn vị 𝜔 rad/s s-1 Vì hàm sin có chu kỳ 2𝜋 nên dao động điều hồ có chu kỳ 2π ω Điều đƣợc xác định biến đổi sau: T y t + T = Asin ω t + 2π ω (1.2) + α = Asin ωt + α + 2π = Asin ωt + α = y(t) Nhƣ chu kỳ dao động khoảng thời gian nhỏ cần thiết để đại lƣợng dao động trở lại vị trí ban đầu (1.3) T đƣợc gọi tần số dao động Đơn vị tần số f s-1 Hz (Hertz) Nhƣ thế, tần số số lần dao động thực giây Giữa tần số dao động f tần số Đại lƣợng f vịng 𝜔 có mối quan hệ sau 𝜔 = 2𝜋f (1.4) Từ công thức (1.1) ta thấy: dao động điều hoà đƣợc xác định biết ba đại lƣợng A, 𝜔 𝛼 Mặt khác, dao động điều hoà đƣợc xác định biết tần số vòng 𝜔 điều kiện đầu Giả sử điều kiện đầu có dạng t=0 ; y = y0 y(0) = y0 ; Khi từ phƣơng trình (1.1) ta có y0 = Asinα ; y0 = ωAcosα Từ suy y&02 A y  ω (1.5) ωy0 y&0 (1.6) α  arctg Việc biểu diễn pha ban đầu 𝛼 dƣới dạng (1.6) có nhƣợc điểm khoảng từ đến 2𝜋 pha ban đầu 𝛼 khơng đƣợc xác định cách Vì để xác định 𝛼, ta cần ý đến hệ thức α = arcsin y0 (1.7) A Ngƣời ta hay biểu diễn dao động điều hoà (1.1) dƣới dạng sau y t = C1 cosωt + C2 sinωt So sánh biểu thức (1.8) với biểu thức (1.1) ta có hệ thức C1 = Asinα; C2 = Acosα (1.8) (1.9) Từ suy A= C12 + C22 α = arctg C1 C2 = arcsin C1 A (1.10) Các số C1 C2 xác định đƣợc từ điều kiện đầu C1 = y0 ; C2  y&0 ω 1.1.2 Biểu diễn phức dao động điều hồ Một cách biểu diễn có hình ảnh dao động điều hoà biểu diễn véc tơ phức Hàm điều hồ y(t) xem nhƣ phần ảo véc tơ phức z quay với vận tốc góc 𝜔 mặt phẳng số (hình 1.2) z  Aei(ωt α)  Aeiαeiωt  Aeiωt (1.11) y t = Im(z t ) (1.12) Đại lƣợng A = Aeiα đƣợc gọi biên độ phức Nhƣ biên độ phức A biểu diễn vị trí véc tơ phức z thời điểm t = Véc tơ phức z đƣợc gọi véc tơ quay iy iy z A=|z| A=Ae z y=Im(z) i t t+  x x A Hình 1.2 Biểu diễn phức dao động điều hồ Nhờ cơng thức Euler eiφ = cosφ + isinφ Ta có y t = Im z t = A Im(ei ωt+α ) = Asin(ωt + α) Trị tuyệt đối véc tơ phức z biên độ dao động điều hoà Việc biễu diễn dao động điều hoà véc tơ phức quay mặt phẳng số gọi ảnh véc tơ phức dao động điều hoà 1.1.3 Tổng hợp hai dao động điều hoà phƣơng tần số Cho dao động điều hoà phƣơng tần số y1 t = A1 sin 𝜔𝑡 + 𝛼1 ; y2 t = A2 sin⁡ (ωt + α2 ) Tổng hai dao động điều hoà đƣợc xác định hệ thức y t = A1 sin ωt + α1 + A2 sin⁡ (ωt + α2 ) Sử dụng định lý cộng hàm sin ta có y t = A1 sin ωt cosα1 + A1 cosωtsinα1 + A2 sinωtcosα2 + A2 cosωtsinα2 = A1 cosα1 + A2 cosα2 sinωt + A1 sinα1 + A2 sinα2 cosωt Nếu ta đƣa vào ký hiệu Acosα = A1 cosα1 + A2 cosα2 Asinα = A1 sinα1 + A2 sinα2 biểu thức có dạng y t = Asinωtcosα + Acosωtsinα = Asin(ωt + α) (1.13) Nhƣ tổng hợp hai dao động điều hoà phƣơng tần số dao động điều hoà với tần số tần số dao động điều hoà thành phần, biên độ A góc pha ban đầu 𝛼 đƣợc xác định hệ thức sau A= A1 cosα1 + A2 cosα2 = α  arctg + A1 sinα1 + A2 sinα2 (1.14) A21 + A22 + 2A1 A2 cos⁡ (α1 − α1 ) A1 sin α1  A sin α A1 cos α1  A cos α (1.15) A1 sin α1  A sin α (1.16) A Nếu sử dụng cách biểu diễn phức dao động điều hồ, hai dao động điều hồ thành phần có dạng α  arcsin z1 = A1 ei(ωt+α ) ; z2 = A2 ei(ωt+α ) Từ dao động tổng hợp có dạng z = z1 + z2 = A1 eiα + A2 eiα eiωt = (A1 + A2 )eiωt = Aeiωt (1.17) Trong A = A1 + A (1.18) Công thức (1.18) đƣợc biểu diễn mặt phẳng số nhƣ hình 1.3 Sử dụng cơng thức Euler, từ (1.17) ta tìm đƣợc cơng thức xác định biên độ pha ban đầu dao động tổng hợp nhƣ công thức (1.14) (1.15) Khi pha ban đầu 𝛼1 = 𝛼2 = ta có A = A1 + A Hai dao động điều hồ y1(t) y2(t) có phƣơng, tần số biên độ đƣợc gọi dao động đồng Mặc biên độ A1 A2 chúng biểu diễn đại lƣợng vật lý khác Thí dụ nhƣ y1(t) biểu diễn lực thay đổi điều hoà, y2(t) biểu diễn biến dạng đàn hồi lực gây Chúng tạo nên trình diễn biến đồng A A1 1  2 A2 Hình 1.3 Tổng hợp hai dao động điều hồ 1.2 DAO ĐỘNG TUẦN HỒN 1.2.1 Các tham số động học dao động tuần hoàn Một hàm số y(t) đƣợc gọi hàm tuần hoàn, tồn số T > 0, cho với t ta có hệ thức y(t + T) = y(t) (2.1) Một trình dao động đƣợc mô tả mặt động học hàm tuần hoàn y(t) đƣợc gọi dao động tuần hoàn Hằng số T nhỏ hệ thức (2.1) đƣợc thoả mãn gọi chu kỳ dao động Hình vẽ 1.5 biểu diễn trình diễn biến theo thời gian dao động tuần hoàn Chú ý hàm số y(t) có chu kỳ T hàm số u(t) = y(at) có chu kỳ T/a Thực u t+ T T =y a t+ a a = y at + T = y at = u(t) Hình 1.4 Dao động tuần hồn Đại lƣợng nghịch đảo chu kỳ dao động (2.2) T đƣợc gọi tần số dao động Nhƣ tần số dao động f số dao động thực đơn vị thời gian Nếu chu kỳ dao động T tính giây (s) tần số dao động f tính s-1 Hz (Hertz) Trong kỹ thuật ngƣời ta hay sử dụng khái niệm tần số vòng ω ω = 2πf (2.3) Khái niệm tần số vòng ω đƣợc dung nhiều nên ngƣời ta hay gọi tắt tần số dao động Cần ý đến cách gọi tắt để khỏi nhầm lẫn với khái niệm tần số dao động f Thứ nguyên ω rad/s 1/s Biên độ A dao động tuần hoàn y(t) đƣợc định nghĩa hệ thức sau f A= max y t − y(t) (2.4) Đối với dao động tuần hoàn, tham số động học đặc trƣng nhƣ chu kỳ, tần số, biên độ ngƣời ta sử dụng tham số giá trị trung bình theo thời gian hàm y(t) chu kỳ Ba loại giá trị trung bình hay đƣợc sử dụng giá trị trung bình tuyến tính y tt  T T T y  t  dt  (2.5) giá trị trung bình hiệu dụng T y hd  T 2 T y  t  dt  (2.6) giá trị trung bình hiệu chỉnh y hc  T T T y(t) dt  (2.7) Trong công thức (2.5), (2.6) (2.7) khoảng lấy tích phân – T/2, T/2 thay khoảng t , t + T 1.2.2 Tổng hợp hai dao động điều hồ có phƣơng khác tần số với tỷ lệ hai tần số số hữu tỷ Cho hai dao động điều hoà thành phần y1 t = A1 sin 𝜔1 𝑡 + 𝛼1 ; y2 t = A2 sin⁡ (ω2 t + α2 ) với ω1 T2 p   1 ω2 T1 q  p,q  1, 2,3 (2.8) Tổng hai dao động điều hoà đƣợc xác định hàm y t = y1 t + y2 t = A1 sin ω1 t + α1 + A2 sin ω2 t + α2 (2.9) Chu kỳ dao động thành phần y1(t) T1 = 2π/ω1 , dao động thành phần y2(t) T2 = 2π/ω2 Từ công thức (2.8) ta suy chu kỳ dao động tổng hợp y(t) T = pT1 = qT2 (2.10) Vậy tổng hợp hai dao động điều hoà phƣơng khác tần số với tỷ lệ hai tần số số hữu tỷ ω1 : ω2 = p: q dao động tuần hoàn chu kỳ T = pT1 = qT2 Nếu p/q phân số tối giản T bội số chung nhỏ T1 T2 Hình 1.5 đồ thị dao động tổng hợp hai dao động điều hoà với A1:A2 = 2:1, ω1 : ω2 = 2: 3, α1 = 0, α2 = π Hình 1.5 Đồ thị dao động tổng hợp hai dao động điều hoà Nếu sử dụng véc tơ phức ta viết cách hình thức nhƣ sau z = z1 + z2 = z1 eiψ + z2 eiψ = z eiψ Trong (2.11) z1 = A1 ; z2 = A2 ; ψ1 = ω1 t + α1 ; ψ2 = ω2 t + α2 Từ hình vẽ 1.6 ta xác định đƣợc mođun z argument ψ số phức z z = z1 + z2 = ψ  t   arcsin − z1 z2 cos π − ψ2 − ψ1 (2.12) A21 + A22 + 2A1 A2 cos ω2 − ω1 z1 sin ψ1  z2 sin ψ2 = arcsin (2.13) z A1 sin ω1 t + α1 + A2 sin ω2 t + α2 z Bây ta xét trƣờng hợp riêng quan trọng Đó trƣờng hợp 1 - 2 nhỏ biên độ dao động điều hoà thành phần A1 = A2 = A Chú ý đến hệ thức lƣợng giác 2𝑐𝑜𝑠 𝛼 = + 𝑐𝑜𝑠2𝛼, từ công thức (2.12) ta suy z = A + cos ω2 − ω1 t + α2 − α1 = 2A cos ω2 − ω1 t + α2 − α1 /2 2.14 Hình 1.6 Tổng hợp hai dao động điều hồ Chú ý đến hệ thức lƣợng giác sinα  sinβ  2sin α β α β cos ta biến 2 đổi biểu thức (2.13) dạng đơn giản ω2 + ω1 t + α2 + α1 ω2 − ω1 t + α2 − α1 2sin cos 2 ψ t = arcsin ω2 − ω1 t + α2 − α1 2cos 10 Phƣơng trình (3.71) phƣơng trình bậc hai hàm 4 Giải ta đƣợc  k41,k  k21,k   2 4   k i   k i   k i     1        2(1   )  l   (1   )  l   2i    l        (3.72) Khác với lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, ứng với giá trị k ta có hai trị riêng khác k1> k2 Nhƣ ứng với hàm riêng Xk(x) ta có hai tần số riêng k1 > k2 Sở dĩ có tƣợng lý thuyết dầm Euler-Bernoulli độ võng w góc xoay  có liên quan với w’ = , lý thuyết dầm Timoshenko chúng hai đại lƣợng độc lập với Về mặt kỹ thuật ngƣời ta quan tâm đến tần số cao (ứng với dấu cộng trƣớc (3.72)) Ta xét trƣờng hợp ứng với dấu trừ trƣớc Trong trƣờng hợp ki/l