GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP – XÁC SUẤT THỐNG KÊ A1

Tuy nhiên, một câu hỏi lớn nảy sinh đó là “các kĩ năng nghề nghiệp của sinh viên được trang bị và rèn luyện như thế nào thông qua quá trình học tập các môn thuộc lĩnh vực khoa học cơ bản

1

LỜI NÓI ĐẦU

Nâng cao chất lượng, đổi mới trong giáo dục đào tạo là tiêu chí sống còn đối với một trường đại học trong thời đại khoa học công nghệ như hiện nay Một trong những nội dung đổi mới quan trọng ở Trường Đại học Lạc Hồng được thực hiện trong thời gian qua là xây dựng và ban hành chuẩn đầu ra chất lượng cao bao gồm các yêu cầu về

 Kiến thức;

 Kĩ năng;

 Thái độ;

 Vị trí và khả năng công tác sau khi tốt nghiệp;

 Khả năng học tập và nâng cao trình độ sau khi tốt nghiệp

Như vậy, việc trang bị và rèn luyện các kĩ năng nghề nghiệp cho sinh viên được xác định là nhiệm vụ vô cùng quan trọng và phải thực hiện lâu dài, xuyên suốt trong cả quá trình đào tạo Tuy nhiên, một câu hỏi lớn nảy sinh đó là “các kĩ năng nghề nghiệp của sinh viên được trang bị và rèn luyện như thế nào thông qua quá trình học tập các môn thuộc lĩnh vực khoa học cơ bản và kiến thức đại cương?”

Môn học Toán Cao Cấp & Xác Suất Thống Kê là một môn thuộc khối kiến thức cơ bản và đây là một trong những học phần quan trọng được Bộ Giáo Dục và Đào Tạo quy định là môn học bắt buộc đối với sinh viên ngành Dược Giáo trình Toán Cao Cấp & Xác Suất Thống Kê theo định hướng phát triển kĩ năng này ra đời nhằm mục đích trả lời câu hỏi ở trên với nội dung như sau:

Chương 1 Phép tính tích phân hàm một biến

Chương 2 Phương trình vi phân

Chương 3 Đại cương về xác suất

Chương 4 Đại lượng ngẫu nhiên

Chương 5 Thống kê

Trong giáo trình, bên cạnh việc trang bị các kiến thức cơ bản về phép tính tích phân hàm một biến, phương trình vi phân, xác suất và công thức tính xác suất, các phân phối xác suất thông dụng, các bài toán về thống kê toán học, giáo trình còn hướng đến việc

áp dụng các kiến thức vào bài toán ứng dụng thực tiễn của chuyên ngành Dược và rèn luyện các kĩ năng cần có của sinh viên để thích ứng với nền giáo dục trong bối cảnh của cuộc cách mạng khoa học và công nghệ hiện đại như hiện nay

 Kĩ năng giải quyết vấn đề, đặc biệt là các vấn đề gắn với thực tiễn nghề nghiệp thông qua các tình huống, câu hỏi có vấn đề và bài tập ứng dụng ở mỗi chương

2

 Kĩ năng làm việc nhóm thông qua hệ thống bài tập ứng dụng

 Kĩ năng tự học, tự nghiên cứu thông qua việc trả lời các câu hỏi và giải hệ thống bài tập

 Kĩ năng tư duy tựa thuật giải thông qua các thuật toán đối với từng bài toán cụ thể Như vậy, giáo trình trên đã bước đầu đáp ứng được các yêu cầu đặt ra trong chuẩn đầu ra chất lượng cao của nhà trường Tuy nhiên, đây là giáo trình đầu tiên được biên soạn theo định hướng phát triển kĩ năng nên không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả xin chân thành cảm ơn ThS Trần Đình Ánh đã cho nhiều góp ý rất quý báu trong suốt quá trình biên soạn giáo trình này Tác giả cũng rất mong nhận được những góp ý

từ các bạn sinh viên và các đồng nghiệp gần xa để giáo trình được hoàn thiện hơn khi tái bản

Xin trân trọng cảm ơn

3

MỤC LỤC

Chương 3 ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT 5

3.1 Giải tích tổ hợp 5

3.1.1 Quy tắc cộng 5

3.1.2 Quy tắc nhân 5

3.1.3 Hoán vị 7

3.1.4 Chỉnh hợp – Tổ hợp 8

3.2 Phép thử và biến cố 9

3.2.1 Khái niệm 9

3.2.2 Phân loại biến cố 10

3.2.3 Quan hệ giữa các biến cố 11

3.2.4 Phép toán của các biến cố 12

3.3 Xác suất của biến cố 15

3.3.1 Định nghĩa xác suất 15

3.3.2 Xác suất có điều kiện 18

3.3.3 Biến cố độc lập 19

3.4 Các công thức tính xác suất 20

3.4.1 Công thức cộng xác suất 20

3.4.2 Công thức nhân xác suất 22

3.4.3 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes 26

3.4.4 Công thức Bernoulli 29

CÂU HỎI ÔN TẬP 32

BÀI TẬP 33

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ 39

Chương 4 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 41

4.1 Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên 41

4.1.1 Định nghĩa 41

4.1.2 Phân loại đại lượng ngẫu nhiên 41

4.1.3 Luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 42

4.2 Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên 45

4.2.1 Kỳ vọng (hay giá trị trung bình) 45

4.2.2 Phương sai và độ lệch chuẩn 48

4.2.3 Mode 51

4.3 Đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xác suất đặc biệt 52

4.3.1 Phân phối nhị thức (Bernoulli) 52

4.3.1.1 Định nghĩa 52

4.3.2 Phân phối Poisson 53

4

4.3.3 Phân phối chuẩn 55

4.3.4 Phân phối “Chi – bình phương” 57

CÂU HỎI ÔN TẬP 59

BÀI TẬP 60

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ 63

Chương 5 THỐNG KÊ 65

5.1 Lý thuyết mẫu 65

5.1.1 Khái niệm cơ bản 65

5.1.2 Phân loại mẫu 66

5.1.3 Các tham số đặc trưng của mẫu 67

5.1.4 Phương pháp tính các số đặc trưng của mẫu bằng bảng 68

5.1.5 Phương pháp tính các tham số đặc trưng của mẫu bằng máy tính 72

5.2 Ước lượng các tham số đặc trưng của tổng thể 74

5.2.1 Bài toán ước lượng tỷ lệ tổng thể 75

5.2.3 Bài toán xác định độ tin cậy trong ước lượng tỷ lệ 78

5.2.4 Bài toán xác định độ tin cậy trong ước lượng trung bình 79

5.2.5 Bài toán xác định kích thước mẫu trong ước lượng tỷ lệ 81

5.2.6 Bài toán xác định kích thước mẫu trong ước lượng trung bình 82

5.3 Kiểm định giả thiết thống kê 83

5.3.1 Bài toán kiểm định giả thiết về tỷ lệ tổng thể 84

CÂU HỎI ÔN TẬP 88

BÀI TẬP 89

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ 92

CÁC BẢNG PHỤ LỤC 93

TÀI LIỆU THAM KHẢO 104

 Nhận dạng bài toán và áp dụng đúng các công thức cộng, nhân, có điều kiện, đầy

đủ, Bayes, Bernoulli vào bài toán tính xác suất cụ thể

3.1 Giải tích tổ hợp

Trong lý thuyết xác suất, ta thường thực hiện các công việc và phải tính số cách thực hiện (hay số kết quả) khác nhau có thể xảy ra của công việc đó Với các công việc đơn

giản, ta có thể tính bằng phương pháp suy luận trực tiếp Chẳng hạn như, lấy từ một hộp

có 6 bi xanh và 4 bi đỏ ra một bi Bằng suy luận ta thấy, có 10 cách lấy ra một bi có màu tùy ý, có 6 cách lấy ra một bi xanh, có 4 cách lấy ra một bi đỏ Với các công việc phức tạp hơn, ta có thể tính bằng cách vẽ sơ đồ của công việc rồi đếm số kết quả, ta gọi cách

tính này là phương pháp vẽ sơ đồ Chẳng hạn như, tung đồng thời hai hột xúc xắc Bằng

phương pháp vẽ sơ đồ, ta thấy có 5 cách tung để tổng số nút xuất hiện của hai hột xúc xắc là 6 Phương pháp tổng quát nhất để tính số cách thực hiện (hay số kết quả) khác

nhau có thể xảy ra của công việc là sử dụng các quy tắc và công thức của giải tích tổ hợp

3.1.1 Quy tắc cộng

Bài toán 1 Công việc: đi từ A đến B và có 3 loại phương tiện Đi bằng xe: có 5

chuyến hàng ngày (7h, 9h, …), đi bằng tàu: có 3 chuyến hàng ngày, đi bằng máy bay:

có 2 chuyến hàng ngày Có bao nhiêu cách đi từ A đến B hàng ngày?

Quy tắc Giả sử công việc H được chia làm k trường hợp để thực hiện Nếu có n i

cách thực hiện theo trường hợp i i1, 2, , k và không có bất kỳ cách thực hiện nào ở trường hợp này trùng với cách thực hiện của các trường hợp khác, thì công việc đó sẽ

có số cách thực hiện là: n   n1 n2 n k

3.1.2 Quy tắc nhân

6

Bài toán 2 Đi từ A đến B phải qua điểm trung gian là C, biết rằng có 2 cách đi từ A

đến C và có 3 cách đi từ C đến B Có bao nhiêu cách đi từ A đến B?

Quy tắc Giả sử công việc H được chia làm k giai đoạn liên tiếp để thực hiện Nếu

có n cách thực hiện ở giai đoạn thứ i i i1, 2, , k, thì công việc đó có số cách thực hiện là: nn n1 .2 n k

Ví dụ 3.1 Có 6 quyển sách toán, 5 quyển lý, 4 quyển sách hóa

Hỏi có bao nhiêu cách để chọn trong các trường hợp sau:

Vậy, theo quy tắc cộng, có 6 5 4 15   cách chọn

b) Việc chọn một bộ gồm 3 quyển sách (T, L, H) được chia làm 3 giai đoạn để thực

hiện:

GĐ1: Chọn quyển Toán có 6 cách;

GĐ2: Chọn quyển Lý có 5 cách;

GĐ3: Chọn quyển Hóa có 4 cách

Vậy, theo quy tắc nhân, có 6.5.4 120 cách chọn

Ví dụ 3.2 Một người có 5 cái áo, 3 cái quần và 2 đôi giày Hỏi người đó có bao nhiêu

cách chọn một bộ đồ để đi dự tiệc (biết rằng một bộ đồ phải bao gồm: áo, quần và giày)

Bài toán 3 Có bao nhiêu bộ thứ tự của 3 phần tử A, B, C?

Quy tắc Một hoán vị của n phần tử là một cách xếp thứ tự của n phần tử đó Số hoán

vị của n phần tử kí hiệu là Pn n!

Chú ý n!n n( 1)(n2) 1.0! (quy ước 0! 1 )

Ví dụ 3.4 Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên trong đó có M, N vào một bàn dài có 5 chỗ

Có bao nhiêu cách xếp trong các trường hợp sau:

a) Ngồi tùy ý

b) M và N ngồi cạnh nhau

c) M và N ngồi ở hai đầu bàn

d) M và N ngồi cách nhau một người

e) M và N không ngồi cạnh nhau

Giải

a) 5! Cách

b) Chia việc xếp thành 2 giai đoạn:

GĐ1: Xếp M, N cạnh nhau có 2! cách;

GĐ2: Xếp 3 người còn lại và M, N vào bàn có 4! cách

Vậy, theo quy tắc nhân có 2!.4!48 cách

c) Chia việc xếp thành 2 giai đoạn:

8

GĐ1: Xếp M, N ngồi ở hai đầu bàn có 2! cách;

GĐ2: Xếp 3 người còn lại vào bàn có 3! cách

Vậy, theo quy tắc nhân có 2!.3! 12 cách

d) Tương tự câu b), ta có số cách xếp là 2!.3.3! 36 cách

e) Ta có số cách xếp M, N không ngồi cạnh nhau = Xếp tùy ý – số cách xếp M, N ngồi cạnh nhau Vậy, có 5! 2!.4! 72  cách

3.1.4 Chỉnh hợp – Tổ hợp

Bài toán 4 Trong mặt phẳng cho 3 điểm không thẳng hàng A, B, C

a) Có bao nhiêu đường thẳng được tạo thành?

b) Có bao nhiêu vector được tạo thành?

Định nghĩa 1 Một tổ hợp chập k của n là một cách lấy ra k phần tử khác nhau từ n

phần tử cho trước và không kể đến thứ tự của k phần tử đó

Số tổ hợp chập k của n phần tử là !

k n

n C

k n k



Định nghĩa 2 Một chỉnh hợp chập k của n là một cách lấy ra k phần tử khác nhau

từ n phần tử cho trước và có kể đến thứ tự của k phần tử đó

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là !

k n

n A

n k



Khi nào số tổ hợp bằng số chỉnh hợp?

Ví dụ 3.5 Trong một buổi tiệc cứ hai người thì bắt tay nhau và người ta đếm được

có 120 cái bắt tay Hỏi buổi tiệc có bao nhiêu người tham dự?

Giải

Gọi số người tham dự buổi tiệc là n, với n

Số cái bắt tay là số tổ hợp chập 2 của n người tham dự buổi tiệc, suy ra 2

120

n

C  Giải phương trình ta nhận nghiệm là n16

Vậy, có 16 người tham dự buổi tiệc

Ví dụ 3.6 Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 nữ Chọn ngẫu nhiên từ lớp đó ra

5 sinh viên Có bao nhiêu cách chọn trong các trường hợp sau

a) Có 5 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn

9

b) Có 3 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn

c) Có ít nhất 4 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn

d) Có nhiều nhất 2 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn

e) Có ít nhất 1 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn

f) Có nhiều nhất 4 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn

Giải

a) Số cách chọn là số tổ hợp chập 5 của 30 phần tử

b) Việc chọn được chia thành 2 giai đoạn:

GĐ1: Chọn 3 sinh viên nữ trong 30 nữ: 3

c) Chia việc chọn thành 2 trường hợp:

TH1: Chọn 4 sinh viên nữ, 1 sinh viên nam: 4 1

d) Chia việc chọn thành 3 trường hợp:

TH1: Chọn 2 sinh viên nữ, 3 sinh viên nam: 2 3

10

Ví dụ 3.7

i) Tung một đồng xu, có 2 kết quả có thể xảy ra là: sấp hoặc ngửa

Tung đồng xu được gọi là phép thử Đồng xu xuất hiện mặt sấp hay ngửa được gọi

là biến cố của phép thử “tung đồng xu”

ii) Tung một hột xúc xắc, có 6 kết quả có thể xảy ra là: 1 nút, …, 6 nút

iii) Quan sát giới tính một ca sinh ta được: nam hoặc nữ

Định nghĩa Thực hiện một công việc được gọi là phép thử Các kết quả có thể xảy

ra của công việc đó được gọi là biến cố Các kết quả đơn giản nhất có thể xảy ra của phép thử được gọi là các biến cố sơ cấp Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử đó

Mỗi biến cố của một phép thử được trình bày dưới dạng một mệnh đề xác định kết quả của phép thử và người ta thường viết mệnh đề đó giữa hai dấu ngoặc kép

Người ta thường dùng các chữ cái in hoa để đặt tên cho các biến cố, đôi khi có chỉ số chẳng hạn: A, B, C, Di ,…

Ví dụ 3.8 Gọi A: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”; Ai: “Hột xúc xắc xuất hiện mặt i nút”, với i1; 2; ; 6 ta được các biến cố: A1, A2,…, A6

Biến cố có hai đặc trưng định tính là xảy ra và không xảy ra Tùy theo hai đặc trưng

này, người ta phân loại biến cố, xét quan hệ giữa các biến cố và xác định các phép toán đối với các biến cố

3.2.2 Phân loại biến cố

3.2.2.1 Biến cố chắc chắn

Là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực hiện phép thử Kí hiệu: Ω

Ví dụ 3.9 Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm không

quá 6” là biến cố chắc chắn

3.2.2.2 Biến cố không thể

Là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử Kí hiệu: Φ

Ví dụ 3.10 Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm lớn

hơn 6” là biến cố không thể

3.2.2.3 Biến cố ngẫu nhiên

11

Là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không xảy ra khi thực hiện phép thử Ta thường dùng các kí tự A, A1, A2, B, C,… để chỉ các biến cố ngẫu nhiên

Ví dụ 3.11 Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt 1 chấm” là một

biến cố ngẫu nhiên

3.2.3 Quan hệ giữa các biến cố

3.2.3.1 Biến cố tương đương

Định nghĩa Hai biến cố A và B được gọi là tương đương nếu A xảy ra thì B xảy ra

và A không xảy ra thì B không xảy ra Kí hiệu: AB

Ví dụ 3.12 Một hộp thuốc có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng Lấy từ hộp thuốc ra 3 lọ

Gọi A “Ba lọ lấy ra không có lọ hỏng”; B “Ba lọ lấy ra là 3 lọ tốt” Khi đó ta có

Định nghĩa Hai biến cố A và B được gọi là đối lập nếu A xảy ra thì B không xảy ra

và ngược lại Kí hiệu: BA

Ví dụ 3.13 Một hộp thuốc có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng Lấy từ hộp thuốc ra 3 lọ

Gọi A: “Ba lọ lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng”;

Gọi B: “Ba lọ lấy ra có nhiều nhất 2 lọ hỏng”

Hãy tìm biến cố đối lập của A, B?

Hướng dẫn

Để A xảy ra gồm có các trường hợp: 1 lọ hỏng, 2 lọ hỏng, 3 lọ hỏng

Suy ra A : “Ba lọ lấy ra là 3 lọ tốt”

Tương tự ta có B : “Ba lọ lấy ra là 3 lọ hỏng”

3.2.3.3 Biến cố xung khắc

12

Bài toán 6 Tung hột xúc xắc Gọi Ai: “Hột xúc xắc xuất hiện mặt i nút”, i1, 2, , 6

Quan hệ giữa A1 và A2?

A1 và A2 có đối lập không? Tại sao?

Nhận xét Nếu A1 xảy ra thì A2 không xảy ra và nếu A2 xảy ra thì A1 không xảy ra Nhưng nếu A1 không xảy ra thì sao? (chưa chắc A2 xảy ra mà có thể là A3, A4, A5,

A6)

Định nghĩa Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A xảy ra thì B không xảy

ra và nếu B xảy ra thì A không xảy ra

Phân biệt quan hệ xung khắc và đối lập?

Ví dụ 3.14 Một lô thuốc có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng Lấy từ lô ra 3 lọ

Gọi Ai: “Ba lọ lấy ra có i lọ hỏng”, i0;1; 2;3 Khi đó A0, A1, A2, A3, là các biến cố xung khắc

3.2.4 Phép toán của các biến cố

3.2.4.1 Phép cộng biến cố

Bài toán 7 Lấy ngẫu nhiên từ hộp thuốc có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng ra 3 lọ

Gọi A1: “Ba lọ thuốc lấy ra là 3 lọ hỏng”;

A2: “Ba lọ thuốc lấy ra là 3 lọ tốt”

Gọi A: “Ba lọ thuốc lấy ra có cùng loại”

Biểu diễn A qua A1, A2

Định nghĩa Tổng của hai biến cố là một biến cố xảy ra khi có ít nhất 1 trong 2 biến

13

3.2.4.2 Phép nhân biến cố

Bài toán 8 Có hai hộp thuốc, hộp 1 có 6 lọ tốt, 4 lọ hỏng; hộp 2 có 7 lọ tốt, 3 lọ hỏng

Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ Gọi Ai: “Lọ thuốc lấy ra từ hộp i là lọ hỏng”

i1; 2

Dùng A1, A2 biểu diễn các biến cố sau:

a) A “Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng”;

b) B “Hai lọ thuốc lấy ra có một lọ hỏng”

Định nghĩa Tích của hai biến cố là một biến cố xảy ra khi cả hai biến cố đó đồng

Nhận xét Với biến cố A, có khả năng xảy ra phụ thuộc vào nhiều biến cố khác, thì

biến cố đó được biểu diễn dưới dạng tích của các biến cố Khi đó, nếu ta suy luận: “A nghĩa là A1 và A2 và … và An”, thì ta có: A = A1 A2 .….An

Ví dụ 3.15 Có 2 hộp thuốc, mỗi hộp có 10 lọ trong đó hộp thứ i có i + 2 lọ hỏng còn

lại là lọ tốt Lấy từ mỗi hộp ra 1 lọ thuốc Gọi Ai “Lọ thuốc lấy ra từ hộp i là lọ hỏng”, i

= 1 ;2

Hãy dùng A1, A2 để biểu diễn các biến cố sau :

a) Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng

b) Hai lọ thuốc lấy ra có 1 lọ hỏng

14

c) Hai lọ thuốc lấy ra có cùng loại

d) Hai lọ thuốc lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng

e) Hai lọ thuốc lấy ra có nhiều nhất 1 lọ hỏng

e) Gọi E: " Hai lọ thuốc lấy ra có nhiều nhất 1 lọ hỏng"

Suy ra E : “Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng”

Do đó EA A1 2

Ví dụ 3.16 Ba bác sĩ khám bệnh độc lập nhau Khả năng chuẩn đoán sai của các bác

sĩ tương ứng là 5%, 10% và 15% Ba người đã khám cho một bệnh nhân

Gọi Ai: ‘‘ Bác sĩ thứ i chuẩn đoán đúng’’, i=1;2;3

Hãy dùng A1, A2, A3 để biểu diễn các biến cố sau:

15

f) Chỉ có bác sĩ thứ hai chuẩn đoán đúng

Hướng dẫn

Giải tương tự như Ví dụ 3.15 với chú ý để xảy ra một trường hợp cần có 3 giai đoạn

3.3 Xác suất của biến cố

3.3.1 Định nghĩa xác suất

Biến cố có hai đặc trưng định tính là xảy ra và không xảy ra Khi gặp một biến cố của một phép thử, câu hỏi được đặt ra là biến cố đó có xảy ra không? Biến cố chắc chắn thì

dĩ nhiên phải xảy ra, biến cố không thể thì đương nhiên không xảy ra dù ta thực hiện

phép thử của biến cố đó bao nhiêu lần Biến cố ngẫu nhiên thì có thể xảy và cũng có thể không xảy ra trong những lần thử khác nhau Khi thực hiện phép thử của một biến cố ngẫu nhiên nhiều lần trong những điều kiện như nhau, ta thấy đặc trưng xảy ra hay không xảy ra của biến cố có tuân theo những quy luật xác định Để thể hiện quy luật xảy ra của một biến cố, người ta gán cho biến cố một số hợp lý để thể hiện khả năng xảy ra của biến cố đó Người ta gọi số đó là xác suất của biến cố và đó là đặc trưng định lượng của

biến cố Như vậy, xác suất của một biến cố là một số thể hiện khả năng xảy ra của biến

cố đó Tính xác suất của một biến cố là tính khả năng xảy ra, hay tỷ lệ xảy ra trong số

lần thử, của biến cố

3.3.1.1 Định nghĩa cổ điển

Bài toán 9

a) Tung một đồng xu, gọi A: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”

b) Tung một hột xúc xắc, gọi B: “Hột xúc xắc xuất hiện mặt có nút lẻ”

Khả năng A, B xảy ra khi thực hiện hai phép thử trên là bao nhiêu và tại sao?

Xét một phép thử ngẫu nhiên gồm có n biến cố sơ cấp A , A ,1 2 , A (n kết quả có nthể có của phép thử)

Giả sử các biến cố A (i 1; 2;i  ; n) đồng khả năng lập thành một nhóm đầy đủ các biến cố và biến cố A là biến cố bằng tổng của m biến cố sơ cấp A nào đó (m biến cố ithuận lợi cho biến cố A) Khi đó ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa Xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A) là một số được xác định như

16

m: Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A

Theo định nghĩa trên thì: 0  P(A)  1, P() = 0, P() = 1 Ngoài ra, nếu A và B là hai biến cố tương đương thì P(A) = P(B)

Nhận xét Để tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển, ta có thể thực hiện

theo các bước sau:

1 Xác định và đặt tên cho biến cố cần tính xác suất

2 Xác định phép thử của biến cố và tính số biến cố sơ cấp của phép thử

3 Tính số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố cần tính xác suất

4 Dùng công thức xác định xác suất trong định nghĩa để tính xác suất

Khi tính số biến cố sơ cấp của phép thử và số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố cần tính xác suất, ta có thể sử dụng các phương pháp: Suy luận trực tiếp, vẽ sơ đồ, sử dụng các quy tắc và công thức của giải tích tổ hợp

Ví dụ 3.17 Một hộp thuốc có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra ba

C Cm

Ví dụ 3.18 Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta đã gửi đến

bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu Tính các xác suất sau:

a) 3 hộp sữa được chọn có cùng loại

b) 3 hộp sữa được chọn thuộc 3 loại khác nhau

c) 3 hộp sữa được chọn có 2 hộp sữa dâu

d) 3 hộp sữa được chọn có ít nhất 1 hộp sữa dâu

e) 3 hộp sữa được chọn có nhiều nhất 2 hộp sữa dâu

Phân tích tương tự để giải các câu còn lại

Định nghĩa cổ điển về xác suất có ưu điểm cơ bản là để tìm xác suất của một biến cố

ta chỉ cần thực hiện phép thử một cách giả định Ngoài ra, có thể tìm được chính xác giá trị xác suất của một biến cố

18

Tuy nhiên, định nghĩa cổ điển về xác suất có hạn chế là nó đòi hỏi phải biết được số kết quả đồng khả năng thuận lợi cho biến cố cần tìm và số kết quả đồng khả năng của phép thử, đồng thời số kết quả đồng khả năng thì phải hữu hạn

Câu hỏi đặt ra là, trong thực tế có nhiều phép thử mà số kết quả có là vô hạn hoặc không biết được hoặc không biết số kết quả thuận lợi cho biến cố cần tìm Trong những trường hợp này thì xác suất được tính như thế nào?

3.3.1.2 Định nghĩa thống kê

Xét A là một biến cố của một phép thử Thực hiện phép thử n lần trong những điều

kiện như nhau và giả sử có m lần biến cố A xảy ra Người ta gọi tỉ số m

n là tần suất của

biến cố A Khi số lần thử n của phép thử tăng lên thì người ta thấy tần suất của biến cố

A ngày càng gần với một số xác định gần bằng với tần suất của A Người ta đồng nhất tần suất của biến cố A với số xác định đó và gọi là xác suất của A

Định nghĩa Xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A), là tần suất của biến cố A khi

số lần thử của phép thử tăng dần lên

Ví dụ 3.19 Tung một đồng xu cân đối và đồng chất, gọi A là biến cố được mặt sấp

Một số nhà toán học đã thực hiện nhiều lần tung và thu được kết quả như sau

Người thí nghiệm Số lần tung Số lần sấp Tần suất

3.3.2 Xác suất có điều kiện

Khi tính xác suất của biến cố A bằng định nghĩa cổ điển, ta phải tính số kết quả sơ cấp của phép thử và số kết sơ cấp quả thuận lợi cho A Trong thực tế, ta có thể phải tính xác suất của biến cố A trong điều kiện đã biết biến cố B nào đó đã xảy ra Khi tính xác suất trong trường hợp này, số kết quả của phép thử và số kết quả thuận lợi cho A có thể thay đổi Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện

19

Bài toán 10 Có 3 sinh viên X, Y, Z cùng thi xác suất thống kê và có hai sinh viên thi

đậu

Tính xác suất để sinh viên X thi đậu biết rằng sinh viên Y đã thi đậu

Gọi A: "Sinh viên X thi đậu"; B: "Sinh viên Y thi đậu" Như vậy, yêu cầu đề bài là

tính xác suất để biến cố A xảy ra biết rằng biến cố B đã xảy ra Đó chính là xác suất có

điều kiện

Định nghĩa Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra được

gọi là xác suất có điều kiện của A đối với B

Công thức Xác suất có điều kiện của A đối với B Kí hiệu P A

Trong đó: P(AB) là xác suất để cả A và B cùng xảy ra;

P(B) là xác suất để B xảy ra

Ví dụ 3.20 Tại một địa phương trong dân số, tỷ lệ bệnh sốt rét là 20%, tỷ lệ lách to

là 30%, trong số người bị sốt rét thì tỷ lệ lách to là 80% Một người đến ngẫu nhiên từ dân số đó, người này có lách to, tính khả năng người này bị sốt rét

Giải

Gọi A: “Người bệnh bị sốt rét”; B: “Người bệnh có lách to”

Yêu cầu đề bài là tính A P(A.B)

20

a) Lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại từ hộp mỗi lần ra 1 lọ thuốc Gọi A1: "Lọ thuốc

lấy ra lần thứ nhất là lọ tốt" ; A2: "Lọ thuốc lấy ra lần thứ hai là lọ tốt" Tính 2

1

APA

b) Lấy ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại từ hộp mỗi lần ra 1 lọ thuốc Gọi B1: "Lọ

thuốc lấy ra lần thứ nhất là lọ tốt"; B2: "Lọ thuốc lấy ra lần thứ hai là lọ tốt" Tính 2

1

BPB

Định nghĩa Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu A xảy ra hay không xảy ra

không làm thay đổi xác suất của B, hay ngược lại

Định lý Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi

Nhận xét Khi xét sự độc lập của các biến cố, ta chú ý các trường hợp:

1 Nếu A và B là hai biến cố của hai phép thử được thực hiện theo kiểu lần lượt không hoàn lại từ một tập hợp thì A và B không độc lập

2 Nếu A và B là hai biến cố của hai phép thử được thực hiện theo kiểu lần lượt có hoàn lại từ một tập hợp thì A và B độc lập

3 Nếu A và B là hai biến cố của hai phép thử được thực hiện từ hai tập hợp khác nhau thì A và B độc lập

21

Nếu C A B thì P(C)P(A) P(B) ?

3.4.1.1 Công thức cộng xác suất thứ nhất

Với A và B là hai biến cố xung khắc, ta có: P(A B) P(A) P(B)

Mở rộng Với A1, A2, …, An là n biến cố xung khắc từng đôi, ta có:

P(A A  A )P(A ) P(A )  P(A )

Hệ quả Với A là một biến cố bất kỳ, ta có: P(A) 1 P(A)

Ví dụ 3.22 Một chuồng gà có 10 con trong đó có 4 con gà trống Chọn ngẫu nhiên 3

con gà trong chuồng Tính xác suất để trong 3 con gà được chọn có nhiều nhất 2 con gà trống

Giải

Gọi Ai: “3 con gà được chọn có i con gà trống”, i0;1; 2

Gọi A: “3 con gà được chọn có nhiều nhất 2 con gà trống”

Cách 1 Suy ra: AA0A1A2 và A , A , A từng đôi xung khắc, nên: 0 1 2

Cách 2 Suy ra A: “3 con gà được chọn là 3 con gà trống”

Ta có P(A) 1 P(A) nên

3 4 3 10

P(A) 1

3.4.1.2 Công thức cộng xác suất thứ hai

Với A và B là hai biến cố bất kỳ, ta có: P(AB)P(A)P(B) P(AB)

Ví dụ 3.23 Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 50 sinh viên giỏi Toán, 60 sinh

viên giỏi ngoại ngữ và 20 sinh viên giỏi cả hai môn Toán và ngoại ngữ Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp Tính các xác suất sau :

a) Sinh viên đó chỉ giỏi môn toán

b) Sinh viên đó chỉ giỏi ngoại ngữ

c) Sinh viên đó giỏi ít nhất một trong hai môn

Giải

a) Gọi A: "Sinh viên chỉ giỏi môn toán"

Số sinh viên chỉ giỏi Ngoại ngữ là: 60 20 40

Vậy, P(B) 40 0, 4

100

Cách 1

Gọi C: “sinh viên được chọn giỏi môn Toán”;

D: “sinh viên được chọn giỏi môn ngoại ngữ”

Khi đó:

- CD là biến cố sinh viên được chọn giỏi cả hai môn Toán và ngoại ngữ

- C + D là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc ngoại ngữ Vì C, D không xung khắc nên:

Gọi E: “Sinh viên giỏi ít nhất một trong hai môn”

Khi đó E  A B AB, vì A, B, AB xung khắc nên theo công thức cộng thứ nhất P(E)P(A)P(B)P(AB)0,3 0, 4 0, 2  0,9

3.4.2 Công thức nhân xác suất

Nếu CA.B thì P(C)P(A).P(B)?

3.4.2.1 Công thức nhân xác suất thứ nhất

Nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì B cũng độc lập với A và ta có:

P(AB)P(A)P(B)

Mở rộng Với A1, A2, …, An là n biến cố độc lập từng đôi, nghĩa là với mọi

1 ≤ i ≠ j ≤ n , Ai và Aj độc lập, ta có: P(A A1 2 A )n P(A )P(A )1 2 P(A )n

23

Ví dụ 3.24 Có 2 hộp thuốc, mỗi hộp có 10 lọ trong đó hộp thứ i có i + 2 lọ hỏng còn

lại là lọ tốt Lấy từ mỗi hộp ra 1 lọ thuốc Tính các xác suất sau:

a) Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng

b) Hai lọ thuốc lấy ra có 1 lọ hỏng

c) Hai lọ thuốc lấy ra có cùng loại

d) Hai lọ thuốc lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng

e) Hai lọ thuốc lấy ra có nhiều nhất 1 lọ hỏng

f) Lọ thuốc lấy từ hộp 2 là hỏng, biết rằng hai lọ thuốc lấy ra có một lọ hỏng

g) Lọ thuốc lấy từ hộp 1 là tốt, biết rằng hai lọ thuốc lấy ra có một lọ tốt

Giải

Gọi Ai: "Lọ thuốc lấy ra từ hộp i là lọ hỏng", i=1;2

P(A )0,3; P(A )0,7, P(A )2 0, 4; P(A )2 0,6

a) Gọi A: " Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng"

Suy ra AA A1 2

Do đó P(A)P(A )P(A )1 2 0,3.0, 40,12

b) Gọi B: " Hai lọ thuốc lấy ra có 1 lọ hỏng"

Suy ra BA A1 2 A A1 2

Do đó P(A)P(A )P(A )1 2 P(A )P(A )1 2 0, 3.0, 60, 7.0, 40, 46

c) Gọi C: " Hai lọ thuốc lấy ra có cùng loại"

Suy ra CA A1 2 A A1 2

Do đó CP(A )P(A )1 2 P(A )P(A )1 2 0,3.0, 4 0,7.0,6 0,54

d) Gọi D: " Hai lọ thuốc lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng"

Suy ra D : “Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ tốt”

Do đó DA A1 2 P(D)P(A )P(A )1 2 0,7.0,60, 42

Vậy, P(D) 1 P(D) 1 0, 42    0,58

e) Gọi E: " Hai lọ thuốc lấy ra có nhiều nhất 1 lọ hỏng"

Suy ra E : “Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng

24

Do đó EA A1 2 P(E)P(A )P(A )1 2 0,3.0, 40,12

Vậy, P(E) 1 P(E) 1 0,12    0,88

f) + Hai lọ thuốc lấy ra có một lọ hỏng: B;

Ví dụ 3.25 Tỷ lệ mắc bệnh X ở lô chuột thứ I là 10% và ở lô chuột thứ II là 7% Lấy

ngẫu nhiên ra mỗi lô một con chuột Tính các xác suất sau:

a) Hai chuột lấy ra là hai chuột mắc bệnh X

b) Hai chuột lấy ra có một chuột mắc bệnh X

c) Hai chuột lấy ra có ít nhất một chuột mắc bệnh X

d) Chuột mắc bệnh X được lấy từ lô thứ I, biết rằng hai chuột lấy ra có 1 chuột mắc bệnh X

Hướng dẫn

Gọi Ai: “Chuột lấy ra từ lô thứ i là chuột mắc bệnh X”, i=1;2

1

P(A )0,1; P(A )2 0,07; P(A )1 0,9; P(A )2 0,93

Ý a), b) giải tương tự ví dụ trên

c) Gọi A: “Hai chuột lấy ra có ít nhất 1 chuột mắc bệnh X”

Ví dụ 3.26 Tỷ lệ thuốc hỏng ở lô A là 10%; lô B là 8%; lô C là 15% Giả sử các lô

có rất nhiều lọ Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô ra một lọ Tính các xác suất sau:

a) Ba lọ lấy ra là 3 lọ hỏng

b) Ba lọ lấy ra có 1 lọ hỏng

c) Ba lọ lấy ra có 2 lọ hỏng

25

d) Ba lọ lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng

e) Ba lọ lấy ra có nhiều nhất 2 lọ hỏng

f) Ba lọ lấy ra chỉ có lọ thuốc lấy từ lô 2 là lọ hỏng

g) Lọ thuốc lấy ra từ lô 2 là hỏng, biết rằng ba lọ lấy ra có 1 lọ hỏng

h) Lọ thuốc lấy ra từ lô 1 là tốt, biết rằng ba lọ lấy ra có 1 lọ hỏng

3.4.2.2 Công thức nhân xác suất thứ hai

Ví dụ 3.27 Trong một kỳ thi, bạn phải thi hai môn Giả sử bạn có hy vọng 70% đạt

môn thứ nhất Nếu đạt môn thứ nhất thì hy vọng 60% bạn đạt môn thứ hai Nếu không đạt môn thứ nhất thì hy vọng đạt môn thứ hai chỉ còn 40% Hãy tính xác suất để bạn: a) Đạt yêu cầu cả hai môn thi

b) Không đạt yêu cầu cả hai môn thi

Ví dụ 3.28 Một lô thuốc tiêm cùng loại có 100 hộp thuốc, trong đó có 10 hộp có

nhãn bị mờ Kiểm tra liên tiếp không hoàn lại 6 hộp thuốc, nếu có ít nhất 1 hộp thuốc có nhãn bị mờ thì không nhận lô thuốc Tính xác suất để lô thuốc đó được nhận

Giải

Gọi Ai: “Lần kiểm tra thứ i được hộp thuốc có nhãn mờ”, i 1; ;6

Gọi A: “Lô thuốc đó được nhận”

Theo công thức nhân thư hai ta có:

3.4.3 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

3.4.3.1 Hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi

Các biến cố A1, A2,…, An được gọi là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi

nếu hai tính chất sau được thỏa:

P(A ) P(A )  P(A ) 1

Ví dụ 3.29 Có 3 hộp thuốc, mỗi hộp có 20 lọ, trong đó hộp thứ i có i + 2 lọ hỏng,

còn lại là lọ tốt Chọn ngẫu nhiên một hộp

Gọi Ai: ‘‘Chọn được hộp thứ i’’, i = 1;2;3

27

Khi đó {A1, A2, A3} là hệ biến cố đầy đủ và xung khắc

3.4.3.2 Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes

Cho A1, A2,…, An là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi Khi đó, với

A là một biến cố có khả năng xảy ra phụ thuộc vào hệ {A ,A ,1 2 ,A }, ta có: n

AP(A )P

AA

được gọi là công thức Bayes

Ví dụ 3.30 Có 2 hộp thuốc, mỗi hộp có 10 lọ, trong đó hộp thứ i có i + 2 lọ hỏng,

còn lại là lọ tốt Chọn ngẫu nhiên một hộp, rồi từ hộp đó lấy ra 2 lọ thuốc Tính xác suất để:

a) Hai lọ thuốc lấy ra là 2 lọ tốt

b) Hai lọ thuốc lấy ra có 1 lọ tốt

c) Chọn được hộp 1, biết rằng 2 lọ thuốc lấy ra là 2 lọ tốt

d) Chọn được hộp 2, biết rằng 2 lọ thuốc lấy ra có 1 lọ tốt

Giải

Gọi Ai: “Chọn được hộp thứ i”, i 1; 2

Suy ra P(A )1 1 P(A )2

2

  và {A , A } là hệ biến cố đầy đủ 1 2a) Gọi A: “Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ tốt”

28

c)

2 7

Ví dụ 3.31 Tỷ lệ thuốc hỏng ở lô A là 10%; lô B là 8%; lô C là 15% Giả sử các lô

có rất nhiều lọ Chọn 1 trong 3 lô rồi lấy từ đó ra 3 lọ Tính các xác suất sau:

Ví dụ 3.32 Một người đến khám vì sốt Theo kinh nghiệm của bác sĩ thì có các khả

năng sau: bị cúm là 40%, sốt rét 30%, thương hàn 10%, hoặc bệnh khác Cho người này làm xét nghiệm máu thấy bạch cầu tăng Theo tổng hợp của phòng xét nghiệm thì tỷ lệ bạch cầu tăng trong các bệnh trên theo thứ tự là: 50%, 40%, 10% và 80%

a) Tính xác suất người này bị bạch cầu tăng

AP(A )P

AP(A )P

AP(A )P

AP(A )P

30

Bài toán 12 Một máy sản xuất ra một loại sản phẩm Xác suất để một sản phẩm làm

ra không đạt chất lượng là 0,1 Trong mỗi đợt máy sản xuất ra 3 sản phẩm Tính xác suất a) Không có sản phẩm không đạt chất lượng trong 3 sản phẩm

b) Có 2 sản phẩm không đạt chất lượng trong 3 sản phẩm

Tổng quát: Trong mỗi đợt máy sản xuất ra 100 sản phẩm Tính xác suất có k

sản phẩm không đạt chất lượng trong 100 sản phẩm k0;1; ;100?

Phép thử Bernoulli: n phép thử độc lập với nhau được gọi là n phép thử Bernoulli

nếu trong mỗi phép thử chỉ có hai kết quả: hoặc biến cố A xảy ra, hoặc biến cố A không xảy ra và xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi phép thử đều bằng p (xác suất không xảy

ra biến cố A trong mỗi phép thử đều bằng q 1 p)

Ví dụ 3.33 Một máy sản xuất ra một loại sản phẩm Xác suất để một sản phẩm làm

ra không đạt chất lượng là 0,1 Trong mỗi đợt máy sản xuất ra 10 sản phẩm Tính xác suất:

Trong mỗi đợt máy sản xuất ra 10 sản phẩm, ta có n10, p0,1

a) Gọi B: “Có 3 sản phẩm không đạt chất lượng”

10

P(B)C (0,1) (0,9) 0,057396

b) Gọi C: “Có ít nhất 1 sản phẩm không đạt chất lượng”

Suy ra C : “Không có sản phẩm nào không đạt chất lượng”

10

P(C) 1 P(C) 1 C (0,1) (0,9) 0,651322

31

32

CÂU HỎI ÔN TẬP

1 Trình bày các định nghĩa và nêu công thức: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

2 Phát biểu quy tắc cộng và quy tắc nhân, cho ví dụ minh họa

3 Trình bày khái niệm về phép thử, biến cố, phân loại biến cố, quan hệ giữa các biến

cố, cho ví dụ minh họa

4 Trình bày các phép toán của biến cố (cộng, nhân) và cho ví dụ minh họa

5 Định nghĩa xác suất của biến cố (cổ điển và thống kê), nêu công thức tính trong hai trường hợp và cho ví dụ minh họa

6 Định nghĩa và công thức của xác suất có điều kiện, áp dụng nêu điều kiện để hai biến cố độc lập

7 Trình bày công thức cộng xác suất Phân biệt công thức cộng số 1 và số 2

8 Trình bày công thức nhân xác suất Phân biệt công thức nhân số 1 và số 2

9 Trình bày công thức xác suất đầy đủ, phân biệt với công thức cộng và công thức nhân xác suất

10 Trình bày công thức Bayes, phân biệt với công thức xác suất có điều kiện

11 Trình bày định nghĩa phép thử Bernuolli và công thức Bernuolli

33

BÀI TẬP

3.1 Có 5 quyển sách toán và 4 quyển sách tin học khác nhau cần xếp vào kệ sách có

9 chổ Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong các trường hợp sau:

a) Xếp tùy ý

b) Xếp sách toán kề nhau và tin học tùy ý

c) Xếp sách toán kề nhau và tin học kề nhau

d) Xếp xen kẻ

3.2 Một người bán hàng xếp 3 hộp thuốc Vitamin B1, 4 hộp Vitamin C, 2 hộp Vitamin

B6, 5 hộp Vitamin B12 vào một kệ theo từng loại thuốc Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

3.3 Một hội nghị y khoa có 35 bác sĩ tham dự Cần lập một nhóm bác sĩ để thực hành

một ca phẫu thuật minh họa cho một công trình nghiên cứu Hỏi có bao nhiêu các lập một nhóm gồm:

a) Một bác sĩ chính và một phụ tá

b) Một bác sĩ chính và hai phụ tá

3.4 Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 nữ Chọn ngẫu nhiên từ lớp đó ra 4 sinh

viên để lập một ban cán sự lớp gồm lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó văn nghệ và thủ quỷ Có bao nhiêu cách chọn trong các trường hợp sau:

a) Chọn tùy ý không phân biệt nam, nữ

b) Lớp trưởng phải là nữ

c) Có đúng một nữ

d) Có ít nhất một nữ

3.5 Một hộp có 5 bi xanh, 7 bi đỏ và 8 bi vàng Lấy từ hộp ra 9 bi Hỏi có bao nhiêu

cách lấy trong các trường hợp sau:

a) Có màu tùy ý

b) Có 2 bi xanh, 3 bi đỏ và 4 bi vàng

c) Có 2 bi xanh

d) Có nhiều nhất 2 bi xanh

3.6 Có hai hộp thuốc, hộp 1 có 3 lọ hỏng, 4 lọ tốt; hộp 2 có 4 lọ hỏng, 5 lọ tốt Lấy

ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 lọ Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 2 lọ thuốc trong các trường hợp sau:

3.7 Có hai hộp bi Hộp 1 có 6 bi xanh, 4 bi đỏ, hộp 2 có 7 bi xanh, 8 bi đỏ Lấy từ

hộp 1 ra 2 bi, lấy từ hộp 2 ra 3 bi Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong các trường hợp sau:

a) Có màu tùy ý

b) Có 1 bi xanh

c) Có nhiều nhất 1 bi xanh

3.8 Một túi bài thi có 5 bài loại giỏi, 8 bài loại khá và 7 bài loại trung bình Rút ngẫu

nhiên 3 bài thi từ túi bài đó Tính xác suất để:

a) 3 bài thi có 2 bài đạt loại giỏi

b) 3 bài thi thuộc 3 loại khác nhau

c) 3 bài thi thuộc cùng một loại

d) 3 bài thi có ít nhất 1 bài loại giỏi

e) 3 bài thi có nhiều nhất 2 bài loại giỏi

3.9 Trong một hộp thuôc tiêm có 10 ống Vitamin C và 5 ống Vitamin B1 Lấy đồng

thời 3 ống thuốc Tính xác suất để:

a) Cả 3 ống lấy ra là ống Vitamin C

b) Trong 3 ống lấy ra có 2 ống Vitamin C

c) Có ít nhất 1 ống Vitamin C được lấy ra

3.10 Ba bác sĩ khám bệnh độc lập nhau Khả năng chuẩn đoán sai của các bác sĩ

tương ứng là 5%, 10% và 15% Ba người đã khám cho một bệnh nhân Tính xác suất: a) Cả ba bác sĩ chuẩn đoán đúng

35

f) Bác sĩ thứ hai chuẩn đoán sai, biết rằng có một bác sĩ chuẩn đoán đúng

g) Bác sĩ thứ nhất chuẩn đoán đúng, biết rằng có hai bác sĩ chuẩn đoán đúng

3.11 Một bác sĩ điều trị cho 3 bệnh nhân A, B, C trong một ngày Xác suất để bệnh

nhân A, B, C cần đến sự chăm sóc của bác sĩ lần lượt là 0,9; 0,8 và 0,85 Hãy tính xác suất để trong 1 ngày:

a) Không có bệnh nhân nào cần đến sự chăm sóc của bác sĩ

b) Có ít nhất 1 bệnh nhân cần đến sự chăm sóc của bác sĩ

c) Có không quá một bệnh nhân cần đến sự chăm sóc của bác sĩ

d) Cả 3 bệnh nhân cần đến sự chăm sóc của bác sĩ

e) Chỉ có bệnh nhân A cần đến sự chăm sóc của bác sĩ

3.12 Có 3 hộp thuốc, mỗi hộp có 20 lọ, trong đó hộp thứ i có i + 2 lọ hỏng, còn lại là

lọ tốt Chọn ngẫu nhiên một hộp, rồi từ hộp đó lấy ra 3 lọ thuốc Tính xác suất để:

a) Ba lọ thuốc lấy ra là 3 lọ tốt

b) Ba lọ thuốc lấy ra có 1 lọ tốt

c) Ba lọ thuốc lấy ra có 2 lọ tốt

d) Chọn được hộp 1, biết rằng 3 lọ thuốc lấy ra có 2 lọ tốt

e) Chọn được hộp 3, biết rằng 3 lọ thuốc lấy ra có 1 lọ tốt

3.13 Trong điều trị bệnh lao có hiện tượng kháng thuốc Gọi A là hiện tượng “kháng

INH của vi khuẩn lao”, B là hiện tượng “kháng PAS của vi khuẩn lao”, C là hiện tượng

“kháng Streptomycin của vi khuẩn lao” Qua theo dõi, biết khă năng kháng INH, PAS

và Streptomycin của vi khuẩn lao lần lượt là 20%, 40% và 30% và việc kháng các loại thuốc khác nhau là độc lập với nhau Nếu phối hợp cả ba loại thuốc trên thì khả năng khỏi bệnh là bao nhiêu?

3.14 Tỷ lệ người nghiện thuốc lá ở một địa phương là 30% Biết rằng tỷ lệ viêm họng

trong số những người nghiện thuốc lá là 60% còn tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người không hút thuốc lá là 40%

a) Chọn ngẫu nhiên 1 người, biết người đó bị viêm họng Tính xác suất để người đó

là người nghiện thuốc lá

b) Nếu người đó không viêm họng Tính xác suất để đó là người nghiện thuốc lá

36

3.15 Trong một hộp thuốc tiêm có 10 ống thuốc, trong đó có 6 ống thuốc A và 4 ống

thuốc B có cùng kích thước Một ống bị vỡ không rõ là loại gì Từ hộp rút ngẫu nhiên

ra một ống Tính xác suất để ống rút ra là ống thuốc A

3.16 Một bà mẹ sinh 2 con (mỗi lần sinh một con) Giả sử xác suất sinh con trai là

0,51 Tính xác suất để trong hai người con được sinh đó:

a) Có đúng 1 con trai

b) Không có con trai

c) Có 2 con trai

3.17 Theo kết quả điều tra về bệnh lao, tỷ lệ người bị lao ở một địa phương là 0,001

Tính xác suất để khi khám 10 người ở địa phương đó thì:

a) Không có ai bị lao

b) Có ít nhất 1 người bị lao

c) Số người bị lao có khả năng nhất

3.18 Một máy dập thuốc viên có tỷ lệ viên đạt chất lượng là 99% Chọn ngẫu nhiên

ra 20 viên thuốc được máy đó sản xuất Tính xác suất để trong 20 viên được chọn có đúng 1 viên không đạt chất lượng

3.19 Tỷ lệ mắc bệnh X ở lô chuột thứ I là 10% và ở lô chuột thứ II là 7%

a) Lấy ngẫu nhiên 3 chuột ở lô I Tính xác suất có ít nhất 1 chuột mắc bệnh X Phải lấy ít nhất bao nhiêu chuột ở lô I để xác suất có ít nhất một chuột mắc bệnh X lớn hơn 0,9?

b) Lấy ngẫu nhiên ra mỗi lô một con chuột Tính xác suất để có 1 chuột mắc bệnh X

và một chuột không mắc bệnh X? Giả sử hai chuột lấy ra có 1 chuột mắc bệnh X, tính xác suất để chuột mắc bệnh X được lấy từ lô thứ II?

c) Chọn ngẫu nhiên 1 lô, rồi từ lô đó lấy ngẫu nhiên ra 2 chuột Tính xác suất để có một chuột mắc bệnh X và một chuột không mắc bệnh X? Giả sử hai chuột lấy ra có một chuột mắc bệnh X, tính xác suất để chọn được lô thứ I?

3.20 Tỷ lệ thuốc hỏng ở lô A là 10%; lô B là 8%; lô C là 15% Giả sử các lô có rất

nhiều lọ

a) Lấy 3 lọ ở lô A Tính xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng Lấy tối thiểu mấy lọ (ở lô A)

để xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng lớn hơn hoặc bằng 0,95

b) Chọn 1 trong 3 lô rồi lấy từ đó ra 3 lọ Tính xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng

37

c) Lấy ở mỗi lô 1 lọ Tính xác suất để có 2 lọ hỏng trong 3 lọ lấy ra? Giả sử 3 lọ lấy

ra có 1 lọ tốt, tính xác suất để lọ tốt được lấy từ lô thứ 3?

d) Cửa hàng nhận 500 lọ ở lô A, 300 lọ ở lô B, 200 lọ ở lô C Ta mua ở cửa hàng 1 lọ

b) Lấy ở mỗi hộp 1 lọ Tính xác suất để có 1 lọ hỏng trong 3 lọ lấy ra?

3.22 Ba lô thuốc A, B, C gồm rất nhiều lọ, tỷ lệ hỏng ở mỗi lô lần lượt là 10%, 8%,

5%

a) Lấy mỗi lô 1 lọ Tính xác suất được 2 lọ tốt và 1 lọ hỏng? Giả sử 3 lọ lấy ra có 1

lọ hỏng, tính xác suất để lọ hỏng được lấy từ lô thứ hai?

b) Chọn 1 trong 3 lô rồi lấy từ đó ra 3 lọ Tính xác suất được 2 lọ tốt và 1 lọ hỏng? Giả sử 3 lọ lấy ra có một lọ hỏng, tính xác suất để chọn được lô C?

c) Lấy 5 lọ từ lô B Tính xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng Lấy tối thiểu mấy lọ ở lô B để xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng lớn hơn hoặc bằng 0,9?

3.23 Tỷ lệ thuốc hỏng trong các lô thuốc A, B lần lượt là 10% và 7% Giả sử các lô

thuốc này có rất nhiều lọ

a) Lấy ngẫu nhiên 3 lọ ở lô thuốc A Tính xác suất có ít nhất 1 lọ thuốc hỏng Lấy tối thiểu mấy lọ ở lô A để xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng lớn hơn hoặc bằng 0,9?

b) Lấy ngẫu nhiên ở mỗi lô 1 lọ Tính xác suất được 1 lọ tốt và 1 lọ hỏng? Giả sử hai

lọ lấy ra có 1 lọ hỏng, tính xác suất để lọ hỏng được lấy từ lô thứ hai?

c) Chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 lô rồi lấy từ đó ra 2 lọ Tính xác suất được 1 lọ tốt và 1

lọ hỏng? Giả sử hai lọ lấy ra có 1 lọ tốt, tính xác suất để chọn được lô A?

3.24 Cho biết tỷ lệ bệnh sốt rét tại một địa phương là 8%

a) Khám ngẫu nhiên 3 người, tính xác suất để có ít nhất một người mắc bệnh sốt rét?

b) Khám tối thiểu mấy người để xác suất có ít nhất 1 người mắc bệnh lớn hơn hoặc bằng 0,9?

c) Dùng 3 loại thuốc A, B, C để điều trị Tỷ lệ khỏi bệnh khi dùng từng loại thuốc để điều trị lần lượt là 85%, 90%, 95% Nếu dùng cả 3 loại thuốc phối hợp điều trị thì tỷ lệ khỏi bệnh là bao nhiêu? (bỏ qua sự tương tác giữa các loại thuốc)

b) Lấy ngẫu nhiên ở mỗi hộp 1 lọ Tính xác suất được 1 lọ hỏng và 2 lọ tốt? Giả sử 3

lọ lấy ra có 1 lọ tốt, tính xác suất để lọ tốt được lấy từ lô A?

3.26 Giả sử tỷ lệ viên thuốc bị sứt mẻ của máy dập A là 10%

a) Lấy ngẫu nhiên 5 viên từ máy dập A Tính xác suất có ít nhất 1 viên bị sứt mẻ?

b) Quan sát tối thiểu mấy viên để xác suất có ít nhất 1 viên bị sứt mẻ lớn hơn hoặc bằng 0,95?

3.27 Hộp A có: 15 tốt, 5 hỏng; hộp B có: 17 tốt, 3 hỏng; hộp C có: 10 tốt, 10 hỏng

a) Chọn ngẫu nhiên 1 hộp, rồi lấy ra ba lọ Tính xác suất được 2 lọ tốt và 1 lọ hỏng? Giả sử 3 lọ lấy ra có 1 lọ hỏng, tính xác suất để chọn được hộp B?

b) Lấy ngẫu nhiên ở mỗi hộp 1 lọ Tính xác suất được 1 lọ hỏng và 2 lọ tốt? Giả sử 3

lọ lấy ra có 1 lọ tốt, tính xác suất để lấy từ lô A ra lọ hỏng?

c) Trộn chung 3 hộp rồi lấy từ đó ra 3 lọ Tính xác suất được 2 lọ tốt và 1 lọ hỏng?

3.28 Có tài liệu cho biết tỷ lệ K phổi là 7%

a) Khám ngẫu nhiên 5 người Tính xác suất có ít nhất 1 trường hợp K phổi Khám tối thiểu mấy người để xác suất có ít nhất 1 người K phổi lớn hơn hoặc bằng 0,8?

b) Khả năng kháng thuốc của vi trùng đối với từng loại thuốc A, B, C lần lượt là 10%, 15%, 12% Nếu dùng cả ba loại thuốc để diệt vi trùng Hãy tính xác suất vi trùng bị diệt? (bỏ qua sự tương tác của các loại thuốc)

C C

1 1 1

5 8 7 3 20

C1C