Giáo trình toán cao cấp và xác suất thống kê chương 1 đại cương về xác suất

ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược) Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT §1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.1. Quy tắc cộng Bài toán 1. Công việc: đi từ A đến B và có 3 loại phương tiện  Đi bằng xe: có 5 chuyến hàng ngày (7h, 9h, …)  Đi bằng tàu: có 3 chuyến hàng ngày  Đi bằng máy bay: có 2 chuyến hàng ngày Có bao nhiêu cách đi từ A đến B hàng ngày? Giả sử công việc H được chia làm k trường hợp để thực hiện, trong đó  TH1: có n1 cách hoàn thành công việc H  TH2: có n2 cách hoàn thành công việc H  …..  THk: có nk cách hoàn thành công việc H Vậy tổng số cách hoàn thành công việc H là: n1+n2+…+nk cách. 1.2. Quy tắc nhân Bài toán 2. Đi từ A đến B phải qua điểm trung gian là C, biết rằng có 2 cách đi từ A đến C và có 3 cách đi từ C đến B. Có bao nhiêu cách đi từ A đến B? Giả sử công việc H được chia làm k giai đoạn để thực hiện, trong đó  GĐ1: có n1 cách thực hiện  GĐ2: có n2 cách thực hiện  …..  GĐk: có nk cách thực hiện Vậy tổng số cách hoàn thành công việc H là: n1.n2…nk cách. Ví dụ 1. Có 6 quyển sách toán, 5 quyển lý, 4 quyển hóa. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn trong các trường hợp sau a) Một quyển sách. b) Một bộ gồm 3 quyển toán ,lý, hóa. Ví dụ 2. Một người có 5 cái áo, 3 cái quần và 2 đôi giày. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn một bộ đồ để đi dự tiệc (biết rằng một bộ đồ phải bao gồm: áo, quần và giày) Ví du 3. Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Hỏi có bao nhiêu số ngàn được lập từ tập A trong các trường hợp sau: a) Số ngàn có các chữ số khác nhau b) Số ngàn có các chữ số khác nhau và là số chẵn c) Số ngàn có các chữ số khác nhau và là số lẻ Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng 1 ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược) 1.3. Hoán vị Bài toán 3. Có bao nhiêu bộ thứ tự của 3 phần tử A, B, C? Một hoán vị của n phần tử là một cách xếp thứ tự của n phần tử đó. Số hoán vị của n phần tử kí hiệu là Pn  n!. Chú ý. n! = n(n-1)(n-2)…1.0! (quy ước 0! = 1) Ví dụ 4. Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên trong đó có M, N vào một bàn dài có 5 chổ. Có bao nhiêu cách xếp trong các trường hợp sau: a) Ngồi tùy ý b) M ngồi ở đầu bàn c) M và N ngồi cạnh nhau d) M và N ngồi ở hai đầu bàn e) M và N không ngồi cạnh nhau Ví dụ 5. Có 5 quyển sách toán và 4 quyển sách tin học khác nhau cần xếp vào kệ sách có 9 chổ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong các trường hợp sau a) Xếp tùy ý b) Xếp sách toán kề nhau và tin học tùy ý c) Xếp sách toán kề nhau và tin học kề nhau d) Xếp xen kẻ 1.4. Chỉnh hợp – Tổ hợp Bài toán 4. Trong mặt phẳng cho 3 điểm không thẳng hàng A, B, C. a) Có bao nhiêu đường thẳng được tạo thành? b) Có bao nhiêu vector được tạo thành? Một tổ hợp chập k của n là một cách lấy ra k phần tử khác nhau từ n phần tử cho trước và không kể đến thứ tự của k phần tử đó n! Số tổ hợp chập k của n phần tử là Cnk  k !(n  k )! Một chỉnh hợp chập k của n là một cách lấy ra k phần tử khác nhau từ n phần tử cho trước và có kể đến thứ tự của k phần tử đó n! Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là Ank  (n  k )! ? Khi nào số tổ hợp bằng số chỉnh hợp? Ví dụ 6. Trong một buổi tiệc cứ hai người thì bắt tay nhau và người ta đếm được có 120 cái bắt tay. Hỏi buổi tiệc có bao nhiêu người tham dự? Ví dụ 7. Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 nữ. Chọn ngẫu nhiên từ lớp đó ra 4 sinh viên để lập một ban cán sự lớp gồm lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó văn nghệ và thủ quỷ. Có bao nhiêu cách chọn trong các trường hợp sau: Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng 2 ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược) a) b) c) d) Chọn tùy ý không phân biệt nam, nữ. Lớp trưởng phải là nữ. Có đúng một nữ. Có ít nhất một nữ. Ví dụ 8. Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 nữ. Chọn ngẫu nhiên từ lớp đó ra 5 sinh viên. Có bao nhiêu cách chọn trong các trường hợp sau a) Có 5 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn. b) Có 3 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn. c) Có ít nhất 4 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn. d) Có nhiều nhất 2 sinh viên nữ trong 5 sinh viên được chọn. Ví dụ 9. Một hộp có 5 bi xanh, 7 bi đỏ và 8 bi vàng. Lấy từ hộp ra 9 bi. Hỏi có bao nhiêu cách lấy trong các trường hợp sau a) Có màu tùy ý b) Có 2 bi xanh, 3 bi đỏ và 4 bi vàng c) Có 2 bi xanh d) Có nhiều nhất 2 bi xanh Ví dụ 10. Có hai hộp thuốc, hộp 1 có 3 lọ hỏng, 4 lọ tốt; hộp 2 có 4 lọ hỏng, 5 lọ tốt. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 lọ. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 2 lọ thuốc trong các trường hợp sau a) Lấy tùy ý b) Có 1 lọ hỏng c) Có nhiều nhất 1 lọ hỏng d) Có ít nhất 1 lọ hỏng Ví dụ 11. Có hai hộp bi. Hộp 1 có 6 bi xanh, 4 bi đỏ, hộp 2 có 7 bi xanh, 8 bi đỏ. Lấy từ hộp 1 ra 2 bi, lấy từ hộp 2 ra 3 bi. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong các trường hợp sau a) Có màu tùy ý b) Có 1 bi xanh c) Có nhiều nhất 1 bi xanh §2. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 2.1. Phép thử và biến cố Ví dụ 1. Tung một đồng xu, có 2 kết quả có thể xảy ra là: Sấp hoặc ngửa Tung đồng xu được gọi là phép thử Đồng xu xuất hiện mặt sấp hay ngửa được gọi là biến cố của phép thử “tung đồng xu”. Ví dụ 2. Tung một hột xí ngầu, có 6 kết quả có thể xảy ra là: 1 nút, …, 6 nút. Ví dụ 3. Quan sát giới tính một ca sinh ta được: Nam hoặc Nữ Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng 3 ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược) 1. Định nghĩa. Thực hiện một công việc được gọi là phép thử. Các kết quả có thể xảy ra của công việc đó được gọi là biến cố. Người ta thường dùng các chữ cái in hoa để đặt tên cho các biến cố, đôi khi có chỉ số chẳng hạn: A, B, C, Di ,… Ví dụ 4. Gọi A “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”; Gọi Ai “Hột xí ngầu xuất hiện mặt i nút”, i=1,…,6 ta được các biến cố: A1, A2,…, A6 2. Biến cố chắc chắn, kí hiệu Ω, là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực hiện phép thử. Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm không quá 6” là biến cố chắc chắn. 3. Biến cố không thể, kí hiệu Φ, là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử. Ví dụ 5. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 6” là biến cố không thể. 4. Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không xảy ra khi thực hiện phép thử. Ta thường dùng các kí tự A, A1, A2, B, C,… để chỉ các biến cố ngẫu nhiên. Ví dụ 6. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt 1 chấm” là một biến cố ngẫu nhiên. 2.2. Quan hệ giữa các biến cố 1. Biến cố đối lập Bài Toán 1. Tung đồng xu. Gọi A “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”; Gọi B “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa” ? Quan hệ giữa A và B ? Nhận xét. Nếu A xảy ra thì B không xảy ra và ngược lại, vậy A, B có quan hệ đối lập. Định nghĩa. Hai biến cố A và B được gọi là đối lập nếu A xảy ra thì B không xảy ra và ngược lại. Kí hiệu: B  A . Ví dụ 7. Một hộp thuốc có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng. Lấy từ hộp thuốc ra 3 lọ. Gọi A “Ba lọ lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng” Gọi B “Ba lọ lấy ra có nhiều nhất 2 lọ hỏng” Hãy tìm biến cố đối lập của A, B? 2. Biến cố xung khắc Bài Toán 2. Tung hột xí ngầu. Gọi Ai “Hột xí ngầu xuất hiện mặt i nút”, i=1,2,3,4,5,6; ? Quan hệ giữa A1 và A2 ? Nhận xét. Nếu A1 xảy ra thì A2 không xảy ra và nếu A2 xảy ra thì A1 không xảy ra. Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng 4 ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược) Nhưng nếu A1 không xảy ra thì sao?(chưa chắc A2 xảy ra mà có thể là A3, A4, A5, A6 ) Định nghĩa. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A xảy ra thì B không xảy ra và nếu B xảy ra thì A không xảy ra. Ví dụ 8. Một lô thuốc có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng. Lấy từ lô ra 3 lọ. Gọi Ai “Ba lọ lấy ra có i lọ hỏng”, i = 0,1,2,3 Thì A0, A1, A2, A3, là các biến cố xung khắc. 2.3 Phép toán của các biến cố 1. Phép cộng biến cố Bài Toán 1. Lấy ngẫu nhiên từ hộp thuốc có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng ra 3 lọ. Gọi A “Ba lọ thuốc lấy ra có cùng loại” Gọi A1 “Ba lọ thuốc lấy ra là 3 lọ hỏng” Gọi A2 “Ba lọ thuốc lấy ra là 3 lọ tốt” ?Biểu diễn A qua A1, A2. Định nghĩa. Tổng của hai biến cố là một biến cố xảy ra khi có ít nhất 1 trong 2 biến cố đó xảy ra. A B A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 2. Phép nhân biến cố Bài toán 2. Có hai hộp thuốc, hộp 1: 6 lọ tốt, 4 lọ hỏng; hộp 2: 7 lọ tốt, 3 lọ hỏng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ. Gọi Ai “Lọ thuốc lấy ra từ hộp i là lọ hỏng” (i=1,2) ? Dùng A1, A2 biểu diễn các biến cố sau a) A “Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng” b) B “Hai lọ thuốc lấy ra có một lọ hỏng” Định nghĩa. Tích của hai biến cố là một biến cố xảy ra khi cả hai biến cố đó đồng thời xảy ra A B A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Ví dụ 9. Có 2 hộp thuốc, mỗi hộp có 10 lọ trong đó hộp thứ i có i + 2 lọ hỏng còn lại là lọ tốt. Lấy từ mỗi hộp ra 1 lọ thuốc. Gọi Ai “Lọ thuốc lấy ra từ hộp i là lọ hỏng”, i = 1,2. Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng 5 ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược) Hãy dùng A1, A2 để biểu diễn các biến cố sau a) Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng b) Hai lọ thuốc lấy ra có 1 lọ hỏng c) Hai lọ thuốc lấy ra có cùng loại d) Hai lọ thuốc lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng e) Hai lọ thuốc lấy ra có nhiều nhất 1 lọ hỏng Ví dụ 10. Ba bác sĩ khám bệnh độc lập nhau. Khả năng chuẩn đoán sai của các bác sĩ tương ứng là 5%, 10% và 15%. Ba người đã khám cho một bệnh nhân. Gọi Ai ‘‘ Bác sĩ thứ i chuẩn đoán đúng’’, i=1,2,3. Hãy dùng A1, A2, A3 để biểu diễn các biến cố sau a) Cả ba bác sĩ chuẩn đoán đúng b) Có 1 bác sĩ chuẩn đoán đúng c) Có 2 bác sĩ chuẩn đoán đúng d) Có ít nhất 1 bác sĩ chuẩn đoán đúng e) Có nhiều nhất 2 bác sĩ chuẩn đoán đúng f) Chỉ có bác sĩ thứ hai chuẩn đoán đúng 2.4. Định nghĩa xác suất Định nghĩa Ví dụ 11. Tung một đồng xu, gọi A “Đồng xu xuất hiện mặt sấp” ?Khả năng đồng xu xuất hiện mặt sấp khi tung là bao nhiêu và tại sao? (khả năng A xảy ra?) Ví dụ 12. Tung một hột xí ngầu, gọi B “Hột xí ngầu xuất hiện mặt có nút lẻ” ? Khả năng hột xí ngầu xuất hiện mặt có nút lẻ là bao nhiêu và tại sao? (khả năng B xảy ra) Xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A) là một số đặc trưng cho khả năng xảy ra của A khi thực hiện phép thử và được xác định như sau m P( A)  n Trong đó m: Số kết quả thuận lợi cho biến cố A (số kết quả để biến cố A xảy ra khi thực hiện phép thử); n: Tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử Ví dụ 13. Một hộp thuốc có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra ba lọ. Tính các xác suất sau: a) Ba lọ thuốc lấy ra là 3 lọ tốt b) Ba lọ thuốc lấy ra có 1 lọ tốt c) Ba lọ thuốc lấy ra có nhiều nhất 2 lọ tốt d) Ba lọ thuốc lấy ra có ít nhất 1 lọ tốt Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng 6 ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược) Ví dụ 14. Một lô hàng chứa 15 sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 3 sản phẩm. Tính xác suất để trong 3 sản phẩm chọn ra có: a) Nhiều nhất 2 sản phẩm xấu b) Ít nhất 1 sản phẩm xấu. Ví dụ 15. Một lớp có 30 nam, 20 nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 sinh viên từ lớp đó. Tính xác suất để: a) Có 5 sinh viên nữ trong 5 sv được chọn b) Có 3 sv nữ trong 5 sv được chọn c) Có ít nhất 4 sv nữ trong 5 sv được chọn d) Có nhiều nhất 2 sv nữ trong 5 sv được chọn e) Có ít nhất 1sv nữ trong 5sv được chọn f) Có nhiều nhất 4sv nữ trong 5sv được chọn Ví dụ 16. Một túi bài thi có 5 bài loại G, 8 bài loại K và 7 bài loại TB. Rút ngẫu nhiên 3 bài thi từ túi bài đó. Tính xác suất để: a) 3 bài thi có 2 bài đạt loại G b) 3 bài thi thuộc 3 loại khác nhau c) 3 bài thi thuộc cùng một loại d) 3 bài thi có ít nhất 1 bài loại giỏi e) 3 bài thi có nhiều nhất 2 bài loại giỏi 2.5. Xác suất có điều kiện Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của A đối với B, kí hiệu P(A/B) và được xác định như sau  A  P( A.B) P   P( B) B  P(AB) là xác suất để cả A và B cùng xảy ra.  P(B) là xác suất để B xảy ra. Ví dụ 17. Có 3 sinh viên X, Y, Z cùng thi xác suất thống kê và có hai sinh viên thi đậu. Tính xác suất để sinh viên X thi đậu biết rằng sinh viên Y đã thi đậu. Giải Gọi A là sinh viên X thi đậu Gọi B là sinh viên Y thi đậu Xác suất để sinh viên X thi đậu biết rằng sinh viên Y thi đậu chính là xác suất có điều kiện của A đối với B.  A P( AB) 1 2 Ta có: P    , với P( AB)  ; P( B)  . 3 3  B  P( B) Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng 7 ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)  A 1 Vậy P     0,5 . B 2 §3.CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3.1. Công thức cộng xác suất 1. Công thức cộng xác suất thứ nhất Với A và B là hai biến cố xung khắc, ta có : P(A+B) = P(A) + P(B) Mở rộng: Với A1, A2, …, An là n biến cố xung khắc từng đôi, ta có: P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An) Hệ quả. Với A là một biến cố bất kỳ, ta có: P( A ) = 1 − P(A) Ví dụ 1. Một lô hàng có 20 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm loại A, còn lại là loại B. Lấy từ lô hàng ra 5 sản phẩm. a) Tính xác suất để 5 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 sản phẩm loại A. b) Tính xác suất để 5 sản phẩm lấy ra có nhiều nhất 4 sản phẩm loại A. Giải a) Gọi A là 5 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 sản phẩm loại A. Suy ra A là 5 sản phẩm lấy ra là 5 sản phẩm loại B. P ( A)  C145 5 C20 Mà P( A)  1  P( A) nên P( A)  1  C145 5 C20 b) Gọi B là 5 sản phẩm lấy ra có nhiều nhất 4 sản phẩm loại A. Suy ra B là 5 sản phẩm lấy ra là 5 sản phẩm loại A. C65 P( B )  5 C20 C65 Mà P( B)  1  P( B ) nên P( A)  1  5 C20 2. Công thức cộng xác suất thứ hai Với A và B là hai biến cố bất kỳ, ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) Ví dụ 2. Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 50 sinh viên giỏi Toán, 60 sinh viên giỏi ngoại ngữ và 20 sinh viên giỏi cả hai môn Toán và ngoại ngữ. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp. Tính các xác suất sau a) Sinh viên đó chỉ giỏi môn toán b) Sinh viên đó chỉ giỏi ngoại ngữ Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng 8 ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược) c) Sinh viên đó giỏi ít nhất một trong hai môn Giải a) Gọi A là "Sinh viên chỉ giỏi môn toán" Số sinh viên chỉ giỏi Toán là: 50  20  30 . 30 Vậy P( A)   0,3 100 b) Gọi B là "Sinh viên chỉ giỏi môn ngoại ngữ" Số sinh viên chỉ giỏi Ngoại ngữ là: 60  20  40 . 40 Vậy P( B)   0, 4 100 c) Cách 1 Gọi C là “sinh viên được chọn giỏi môn Toán” Gọi D là “sinh viên được chọn giỏi môn ngoại ngữ” Khi đó - CD là biến cố sinh viên được chọn giỏi cả hai môn Toán và ngoại ngữ. - C + D là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc ngoại ngữ. Vì C, D không xung khắc nên P(C + D) = P(C) + P(D) − P(CD) P(C  D)  50 60 20    0,9 100 100 100 Cách 2 Gọi E là “Sinh viên giỏi ít nhất một trong hai môn” Khi đó E  A  B  AB , vì A, B, AB xung khắc nên theo công thức cộng thư nhất P( E)  P( A)  P( B)  P( AB)  0,3  0, 4  0, 2  0,9 3.2. Công thức nhân xác suất 1. Biến cố độc lập. Nếu P(A/B) = P(A) hay P(B/A) = P(B), nghĩa là sự xuất hiện của biến cố B không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố A hoặc ngược lại, thì ta nói A độc lập với B. 2. Công thức nhân xác suất thứ nhất Nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì B cũng độc lập với A và ta có P(AB) = P(A) P(B) Mở rộng. Với A1, A2, …, An là n biến cố độc lập từng đôi, nghĩa là với mọi 1 ≤ i ≠ j ≤ n , Ai và Aj độc lập, ta có: P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2)… P(An). Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng 9 ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược) Ví dụ 3. Có 2 hộp thuốc, mỗi hộp có 10 lọ trong đó hộp thứ i có i + 2 lọ hỏng còn lại là lọ tốt. Lấy từ mỗi hộp ra 1 lọ thuốc. Tính các xác suất sau : a) Hai lọ thuốc lấy ra là hai lọ hỏng b) Hai lọ thuốc lấy ra có 1 lọ hỏng c) Hai lọ thuốc lấy ra có cùng loại d) Hai lọ thuốc lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng e) Hai lọ thuốc lấy ra có nhiều nhất 1 lọ hỏng f) Lọ thuốc lấy từ hộp 2 là hỏng, biết rằng hai lọ thuốc lấy ra có một lọ hỏng g) Lọ thuốc lấy từ hộp 1 là tốt, biết rằng hai lọ thuốc lấy ra có một lọ tốt Ví dụ 4. Ba bác sĩ khám bệnh độc lập nhau. Khả năng chuẩn đoán sai của các bác sĩ tương ứng là 5%, 10% và 15%. Ba người đã khám cho một bệnh nhân. Tính xác suất : a) Cả ba bác sĩ chuẩn đoán đúng b) Có 1 bác sĩ chuẩn đoán đúng c) Có 2 bác sĩ chuẩn đoán đúng d) Có ít nhất 1 bác sĩ chuẩn đoán đúng e) Có nhiều nhất 2 bác sĩ chuẩn đoán đúng f) Bác sĩ thứ hai chuẩn đoán sai, biết rằng có một bác sĩ chuẩn đoán đúng g) Bác sĩ thứ nhất chuẩn đoán đúng, biết rằng có hai bác sĩ chuẩn đoán đúng Ví dụ 5. Có ba hộp thuốc, mỗi hộp có 20 lọ. Trong đó hộp thứ i có i lọ hỏng, 20 – i lọ tốt (i = 1, 2, 3). Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ. Tính các xác suất sau: a) Ba lọ thuốc lấy ra là 3 lọ hỏng b) Ba lọ thuốc lấy ra có một lọ hỏng c) Ba lọ thuốc lấy ra có ít nhất 1 lọ hỏng d) Ba lọ thuốc lấy ra có nhiều nhất 2 lọ hỏng e) Ba lọ thuốc lấy ra có cùng loại f) Lọ thuốc lấy từ hộp 2 là hỏng, biết rằng 3 lọ thuốc lấy ra có 1 lọ hỏng g) Lọ thuốc lấy từ hộp 1 là tốt, biết rằng 3 lọ thuốc lấy ra có 1 lọ hỏng 3. Công thức nhân xác suất thứ hai Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B)P(A/B) Mở rộng. Với A1, A2, …, An là n biến cố bất kỳ, ta có: P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2/A1)… P(An/A1 A2 …An−1). Chẳng hạn: P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB). Ví dụ 6. Trong một hộp thuốc cấp cứu có 100 ống thuốc tiêm, trong đó có 10 ống atropin. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 ống thuốc. Tính xác suất sao cho lấy được a) Ba ống Atropin b) Hai ống Atropin §4. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC BAYES Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng 10 ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược) 4.1. Hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi Các biến cố A1, A2,…, An được gọi là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi nếu hai tính chất sau được thỏa:  A1 + A2 +… + An = Ω;   1 ≤ i ≠ j ≤ n, AiAj = Φ, nghĩa là các biến cố A1, A2,…, An xung khắc từng đôi và nhất thiết phải có một và chỉ một biến cố Aj nào đó xảy ra khi thực hiện một phép thử bất kỳ. Nhận xét. Với A1, A2,…, An là một hệ đầy đủ và xung khắc từng đôi ta có P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 1. Ví dụ 1. Có 3 hộp thuốc, mỗi hộp có 20 lọ, trong đó hộp thứ i có i + 2 lọ hỏng, còn lại là lọ tốt. Chọn ngẫu nhiên một hộp. Gọi Ai ‘‘Chọn được hộp thứ i’’, i = 1,2,3 Khi đó {A1, A2, A3} là hệ biến cố đầy đủ. 4.2. Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes Cho A1, A2,…, An là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi. Khi đó, với A là một biến cố có khả năng xảy ra phụ thuộc vào hệ {A1 ,A2 , ,An } , ta có:  A  A  A a. P( A)  P(A1 ) P    P(A 2 ) P     P(A n ) P    A1   A2   An   A P(A k ) P   A   Ak  , với k = 1, 2, 3, ... , n b. P  k   P( A)  A Công thức tính P(A) được gọi là công thức xác suất đầy đủ, công thức tính A  P  k  được gọi là công thức Bayes.  A Ví dụ 2. Có 2 hộp thuốc, mỗi hộp có 10 lọ, trong đó hộp thứ i có i + 2 lọ hỏng, còn lại là lọ tốt. Chọn ngẫu nhiên một hộp, rồi từ hộp đó lấy ra 2 lọ thuốc. Tính xác suất để a) Hai lọ thuốc lấy ra là 2 lọ tốt b) Hai lọ thuốc lấy ra có 1 lọ tốt c) Chọn được hộp 1, biết rằng 2 lọ thuốc lấy ra là 2 lọ tốt d) Chọn được hộp 2, biết rằng 2 lọ thuốc lấy ra có 1 lọ tốt Ví dụ 3. Có 3 hộp thuốc, mỗi hộp có 20 lọ, trong đó hộp thứ i có i + 2 lọ hỏng, còn lại là lọ tốt. Chọn ngẫu nhiên một hộp, rồi từ hộp đó lấy ra 3 lọ thuốc. Tính xác suất để a) Ba lọ thuốc lấy ra là 3 lọ tốt Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng 11 ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược) b) c) d) e) Ba lọ thuốc lấy ra có 1 lọ tốt Ba lọ thuốc lấy ra có 2 lọ tốt Chọn được hộp 1, biết rằng 3 lọ thuốc lấy ra có 2 lọ tốt Chọn được hộp 3, biết rằng 3 lọ thuốc lấy ra có 1 lọ tốt Ví dụ 4. Một người đến khám vì sốt. Theo kinh nghiệm của bác sĩ thì có các khả năng sau: bị cúm là 40%, sốt rét 30%, thương hàn 10%, hoặc bệnh khác. Cho người này làm xét nghiệm máu thấy bạch cầu tăng. Theo tổng hợp của phòng xét nghiệm thì tỷ lệ bạch cầu tăng trong các bệnh trên theo thứ tự là: 50%, 40%, 10% và 80%. a) Tính xác suất người này bị bạch cầu tăng. b) Giả sử người này bị bạch cầu tăng. Khả năng người này mắc bệnh nào nhiều nhất trong 4 loại bệnh trên. BÀI TẬP 1. Tỷ lệ mắc bệnh X ở lô chuột thứ I là 10% và ở lô chuột thứ II là 7%. a) Lấy ngẫu nhiên 3 chuột ở lô I. Tính xác suất có ít nhất 1 chuột mắc bệnh X. Phải lấy ít nhất bao nhiêu chuột ở lô I để xác suất có ít nhất một chuột mắc bệnh X lớn hơn 0,9? b) Lấy ngẫu nhiên ra mỗi lô một con chuột. Tính xác suất để có 1 chuột mắc bệnh X và một chuột không mắc bệnh X? Giả sử hai chuột lấy ra có 1 chuột mắc bệnh X, tính xác suất để chuột mắc bệnh X được lấy từ lô thứ II? c) Chọn ngẫu nhiên 1 lô, rồi từ lô đó lấy ngẫu nhiên ra 2 chuột. Tính xác suất để có một chuột mắc bệnh X và một chuột không mắc bệnh X? Giả sử hai chuột lấy ra có một chuột mắc bệnh X, tính xác suất để chọn được lô thứ I? 2. Tỷ lệ thuốc hỏng ở lô A là 10%; lô B là 8%; lô C là 15%. Giả sử các lô có rất nhiều lọ. a) Lấy 3 lọ ở lô A. Tính xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng. Lấy tối thiểu mấy lọ (ở lô A) để xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng lớn hơn hoặc bằng 0,95. b) Chọn 1 trong 3 lô rồi lấy từ đó ra 3 lọ. Tính xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng. c) Lấy ở mỗi lô 1 lọ. Tính xác suất để có 2 lọ hỏng trong 3 lọ lấy ra? Giả sử 3 lọ lấy ra có 1 lọ tốt, tính xác suất để lọ tốt được lấy từ lô thứ 3? d) Cửa hàng nhận 500 lọ ở lô A, 300 lọ ở lô B, 200 lọ ở lô C. Ta mua ở cửa hàng 1 lọ về dùng. Tính xác suất được lọ tốt. 3. Có 3 hộp thuốc, mỗi hộp có 15 lọ thuốc, trong đó hộp thứ i có i + 2 lọ hỏng, còn lại là lọ tốt. a) Chọn ngẫu nhiên 1 trong 3 hộp, rồi lấy từ đó ra 3 lọ. Tính xác suất chọn được 3 lọ tốt? Được 2 lọ tốt và 1 lọ hỏng? Giả sử 3 lọ lấy ra có một lọ tốt, tính xác suất để chọn được hộp thứ 3? Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng 12 ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược) b) Lấy ở mỗi hộp 1 lọ. Tính xác suất để có 1 lọ hỏng trong 3 lọ lấy ra? Giả sử 3 lọ lấy ra có 2 lọ tốt, tính xác suất để lọ hỏng được lấy từ hộp thứ 1? 4. Ba lô thuốc A, B, C gồm rất nhiều lọ, tỷ lệ hỏng ở mỗi lô lần lượt là 10%, 8%, 5%. a) Lấy mỗi lô 1 lọ. Tính xác suất được 2 lọ tốt và 1 lọ hỏng? Giả sử 3 lọ lấy ra có 1 lọ hỏng, tính xác suất để lọ hỏng được lấy từ lô thứ hai? b) Chọn 1 trong 3 lô rồi lấy từ đó ra 3 lọ. Tính xác suất được 2 lọ tốt và 1 lọ hỏng? Giả sử 3 lọ lấy ra có một lọ hỏng, tính xác suất để chọn được lô C? c) Lấy 5 lọ từ lô B. Tính xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng. Lấy tối thiểu mấy lọ ở lô B để xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng lớn hơn hoặc bằng 0,9? 5. Tỷ lệ thuốc hỏng trong các lô thuốc A, B lần lượt là 10% và 7%. Giả sử các lô thuốc này có rất nhiều lọ a) Lấy ngẫu nhiên 3 lọ ở lô thuốc A. Tính xác suất có ít nhất 1 lọ thuốc hỏng. Lấy tối thiểu mấy lọ ở lô A để xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng lớn hơn hoặc bằng 0,9? b) Lấy ngẫu nhiên ở mỗi lô 1 lọ. Tính xác suất được 1 lọ tốt và 1 lọ hỏng? Giả sử hai lọ lấy ra có 1 lọ hỏng, tính xác suất để lọ hỏng được lấy từ lô thứ hai? c) Chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 lô rồi lấy từ đó ra 2 lọ. Tính xác suất được 1 lọ tốt và 1 lọ hỏng? Giả sử hai lọ lấy ra có 1 lọ tốt, tính xác suất để chọn được lô A? 6. Cho biết tỷ lệ bệnh sốt rét tại một địa phương là 8%. a) Khám ngẫu nhiên 3 người, tính xác suất để có ít nhất một người mắc bệnh sốt rét? b) Khám tối thiểu mấy người để xác suất có ít nhất 1 người mắc bệnh lớn hơn hoặc bằng 0,9? c) Dùng 3 loại thuốc A, B, C để điều trị. Tỷ lệ khỏi bệnh khi dùng từng loại thuốc để điều trị lần lượt là 85%, 90%, 95%. Nếu dùng cả 3 loại thuốc phối hợp điều trị thì tỷ lệ khỏi bệnh là bao nhiêu? (bỏ qua sự tương tác giữa các loại thuốc) 7. Hộp A có 10 lọ thuốc: 8 tốt, 2 hỏng; hộp B có 15 lọ thuốc: 11 tốt, 4 hỏng; hộp C có 20 lọ thuốc: 15 tốt, 5 hỏng. a) Chọn ngẫu nhiên 1 hộp, rồi lấy ra một lọ. Tính xác suất được lọ tốt? Giả sử lấy được lọ hỏng, tính xác suất chọn được hộp C? b) Lấy ngẫu nhiên ở mỗi hộp 1 lọ. Tính xác suất được 1 lọ hỏng và 2 lọ tốt? Giả sử 3 lọ lấy ra có 1 lọ tốt, tính xác suất để lọ tốt được lấy từ lô A? 8. Giả sử tỷ lệ viên thuốc bị sứt mẻ của máy dập A là 10%. a) Lấy ngẫu nhiên 5 viên từ máy dập A. Tính xác suất có ít nhất 1 viên bị sứt mẻ? b) Quan sát tối thiểu mấy viên để xác suất có ít nhất 1 viên bị sứt mẻ lớn hơn hoặc bằng 0,95? 9. Hộp A có: 15 tốt, 5 hỏng; hộp B có: 17 tốt, 3 hỏng; hộp C có: 10 tốt, 10 hỏng. Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng 13 ThS. Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược) a) Chọn ngẫu nhiên 1 hộp, rồi lấy ra ba lọ. Tính xác suất được 2 lọ tốt và 1 lọ hỏng? Giả sử 3 lọ lấy ra có 1 lọ hỏng, tính xác suất để chọn được hộp B? b) Lấy ngẫu nhiên ở mỗi hộp 1 lọ. Tính xác suất được 1 lọ hỏng và 2 lọ tốt? Giả sử 3 lọ lấy ra có 1 lọ tốt, tính xác suất để lấy từ lô A ra lọ hỏng? c) Trộn chung 3 hộp rồi lấy từ đó ra 3 lọ. Tính xác suất được 2 lọ tốt và 1 lọ hỏng? 10. Có tài liệu cho biết tỷ lệ K phổi là 7%. a) Khám ngẫu nhiên 5 người. Tính xác suất có ít nhất 1 trường hợp K phổi. Khám tối thiểu mấy người để xác suất có ít nhất 1 người K phổi lớn hơn hoặc bằng 0,8? b) Khả năng kháng thuốc của vi trùng đối với từng loại thuốc A, B, C lần lượt là 10%, 15%, 12%. Nếu dùng cả ba loại thuốc để diệt vi trùng. Hãy tính xác suất vi trùng bị diệt? (bỏ qua sự tương tác của các loại thuốc). Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng 14 [...]... nhất 1 lọ thuốc hỏng Lấy tối thiểu mấy lọ ở lô A để xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng lớn hơn hoặc bằng 0,9? b) Lấy ngẫu nhiên ở mỗi lô 1 lọ Tính xác suất được 1 lọ tốt và 1 lọ hỏng? Giả sử hai lọ lấy ra có 1 lọ hỏng, tính xác suất để lọ hỏng được lấy từ lô thứ hai? c) Chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 lô rồi lấy từ đó ra 2 lọ Tính xác suất được 1 lọ tốt và 1 lọ hỏng? Giả sử hai lọ lấy ra có 1 lọ tốt, tính xác suất. .. từ máy dập A Tính xác suất có ít nhất 1 viên bị sứt mẻ? b) Quan sát tối thiểu mấy viên để xác suất có ít nhất 1 viên bị sứt mẻ lớn hơn hoặc bằng 0,95? 9 Hộp A có: 15 tốt, 5 hỏng; hộp B có: 17 tốt, 3 hỏng; hộp C có: 10 tốt, 10 hỏng Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng 13 ThS Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược) a) Chọn ngẫu nhiên 1 hộp, rồi lấy ra ba lọ Tính xác suất được 2 lọ tốt và 1 lọ hỏng? Giả sử... 3 lọ lấy ra có 1 lọ hỏng, tính xác suất để chọn được hộp B? b) Lấy ngẫu nhiên ở mỗi hộp 1 lọ Tính xác suất được 1 lọ hỏng và 2 lọ tốt? Giả sử 3 lọ lấy ra có 1 lọ tốt, tính xác suất để lấy từ lô A ra lọ hỏng? c) Trộn chung 3 hộp rồi lấy từ đó ra 3 lọ Tính xác suất được 2 lọ tốt và 1 lọ hỏng? 10 Có tài liệu cho biết tỷ lệ K phổi là 7% a) Khám ngẫu nhiên 5 người Tính xác suất có ít nhất 1 trường hợp K... lô A là 10 %; lô B là 8%; lô C là 15 % Giả sử các lô có rất nhiều lọ a) Lấy 3 lọ ở lô A Tính xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng Lấy tối thiểu mấy lọ (ở lô A) để xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng lớn hơn hoặc bằng 0,95 b) Chọn 1 trong 3 lô rồi lấy từ đó ra 3 lọ Tính xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng c) Lấy ở mỗi lô 1 lọ Tính xác suất để có 2 lọ hỏng trong 3 lọ lấy ra? Giả sử 3 lọ lấy ra có 1 lọ tốt, tính xác suất để... có 15 lọ thuốc: 11 tốt, 4 hỏng; hộp C có 20 lọ thuốc: 15 tốt, 5 hỏng a) Chọn ngẫu nhiên 1 hộp, rồi lấy ra một lọ Tính xác suất được lọ tốt? Giả sử lấy được lọ hỏng, tính xác suất chọn được hộp C? b) Lấy ngẫu nhiên ở mỗi hộp 1 lọ Tính xác suất được 1 lọ hỏng và 2 lọ tốt? Giả sử 3 lọ lấy ra có 1 lọ tốt, tính xác suất để lọ tốt được lấy từ lô A? 8 Giả sử tỷ lệ viên thuốc bị sứt mẻ của máy dập A là 10 %... b) Lấy ở mỗi hộp 1 lọ Tính xác suất để có 1 lọ hỏng trong 3 lọ lấy ra? Giả sử 3 lọ lấy ra có 2 lọ tốt, tính xác suất để lọ hỏng được lấy từ hộp thứ 1? 4 Ba lô thuốc A, B, C gồm rất nhiều lọ, tỷ lệ hỏng ở mỗi lô lần lượt là 10 %, 8%, 5% a) Lấy mỗi lô 1 lọ Tính xác suất được 2 lọ tốt và 1 lọ hỏng? Giả sử 3 lọ lấy ra có 1 lọ hỏng, tính xác suất để lọ hỏng được lấy từ lô thứ hai? b) Chọn 1 trong 3 lô rồi... ở cửa hàng 1 lọ về dùng Tính xác suất được lọ tốt 3 Có 3 hộp thuốc, mỗi hộp có 15 lọ thuốc, trong đó hộp thứ i có i + 2 lọ hỏng, còn lại là lọ tốt a) Chọn ngẫu nhiên 1 trong 3 hộp, rồi lấy từ đó ra 3 lọ Tính xác suất chọn được 3 lọ tốt? Được 2 lọ tốt và 1 lọ hỏng? Giả sử 3 lọ lấy ra có một lọ tốt, tính xác suất để chọn được hộp thứ 3? Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng 12 ThS Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK... Tính xác suất được 2 lọ tốt và 1 lọ hỏng? Giả sử 3 lọ lấy ra có một lọ hỏng, tính xác suất để chọn được lô C? c) Lấy 5 lọ từ lô B Tính xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng Lấy tối thiểu mấy lọ ở lô B để xác suất có ít nhất 1 lọ hỏng lớn hơn hoặc bằng 0,9? 5 Tỷ lệ thuốc hỏng trong các lô thuốc A, B lần lượt là 10 % và 7% Giả sử các lô thuốc này có rất nhiều lọ a) Lấy ngẫu nhiên 3 lọ ở lô thuốc A Tính xác suất. .. một con chuột Tính xác suất để có 1 chuột mắc bệnh X và một chuột không mắc bệnh X? Giả sử hai chuột lấy ra có 1 chuột mắc bệnh X, tính xác suất để chuột mắc bệnh X được lấy từ lô thứ II? c) Chọn ngẫu nhiên 1 lô, rồi từ lô đó lấy ngẫu nhiên ra 2 chuột Tính xác suất để có một chuột mắc bệnh X và một chuột không mắc bệnh X? Giả sử hai chuột lấy ra có một chuột mắc bệnh X, tính xác suất để chọn được lô... thứ tự là: 50%, 40%, 10 % và 80% a) Tính xác suất người này bị bạch cầu tăng b) Giả sử người này bị bạch cầu tăng Khả năng người này mắc bệnh nào nhiều nhất trong 4 loại bệnh trên BÀI TẬP 1 Tỷ lệ mắc bệnh X ở lô chuột thứ I là 10 % và ở lô chuột thứ II là 7% a) Lấy ngẫu nhiên 3 chuột ở lô I Tính xác suất có ít nhất 1 chuột mắc bệnh X Phải lấy ít nhất bao nhiêu chuột ở lô I để xác suất có ít nhất một chuột ... thiểu viên để xác suất có viên bị sứt mẻ lớn 0,95? Hộp A có: 15 tốt, hỏng; hộp B có: 17 tốt, hỏng; hộp C có: 10 tốt, 10 hỏng Bộ môn Toán – ĐH Lạc Hồng 13 ThS Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK... P( B) B  P(AB) xác suất để A B xảy  P(B) xác suất để B xảy Ví dụ 17 Có sinh viên X, Y, Z thi xác suất thống kê có hai sinh viên thi đậu Tính xác suất để sinh viên X thi đậu biết sinh viên Y... Lạc Hồng ThS Trần Văn Hoan - Giáo trình TCC&XSTK (ngành Dược)  A Vậy P     0,5 B §3.CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3 .1 Công thức cộng xác suất Công thức cộng xác suất thứ Với A B hai biến