4.4 Tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp: a Các phép biến đổi sơ cấp: Các phép biến đổi sau đây đối với ma trận đợc gọi là các phép biến đổi sơ cấp: 1 Nhân các phần tử của hàng
Trang 1Phần I Toán cao cấp Chơng i
Ma trận - Định thức 1.1 Ma trận
1.1.1 Các khái niệm cơ bản về ma trận
a) Khái niệm ma trận
Định nghĩa: Một bảng gồm m n số xếp thành m hàng và n cột đợc gọi là một matrận cấp m n và đợc ký hiệu nh sau:
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
2 22
21
1 12
Trong ma trận vuông cấp n:
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
2 22
21
1 12
11
các phần tử a11,a22, ,a nn gọi là các phần tử chéo Đờng thẳng đi qua các phần tử
chéo gọi là đờng chéo chính của ma trận, đờng chéo còn lại gọi là đờng chéo phụ Matrận vuông có tất cả các phần tử nằm về một phía của đờng chéo chính bằng khônggọi là ma trận tam giác Có hai loại ma trận tam giác:
a
a a
a a
1 12
a
a a a
22 21
11
0
0 0
Ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đờng chéo chính bằng không
đ-ợc gọi là ma trận chéo Ma trận chéo cấp n có dạng:
Trang 2a a
0 0
0 0
22 11
Trờng hợp đặc biệt, khi a11 a22 a nn1 ma trận chéo đợc gọi là ma trận đơn
0
0 1
0
0 0
4 3 2 1
A
là một ma trận cấp 2 4 với các phần tử:
8 ,
7 ,
6 ,
5
4 ,
3 ,
2 ,
1
24 23
22 21
14 13
12 11
a a
a a
a a
là ma trận cấp 1 3 (còn gọi là ma trận hàng) với các phần tử:
3 ,
2 ,
4
C
là ma trận cấp 3 1(còn gọi là ma trận cột) với các phần tử:
6 ,
5 ,
11 c c
Trang 3b a
4 3
2 1
có nghĩa là a 1 ,b 2 ,c 3 ,d 4
1.1.2 Các phép toán đối với ma trận
a) Phép cộng ma trận
Định nghĩa: Cho hai ma trận A[a ij]mn , B[b ij]mn Tổng của hai ma trận A và
B là một ma trận cấp m n, ký hiệu A B và đợc xác định nh sau:
n m ij
ij b a B
2
1 4 4 3
2 1
Tính chất: Phép cộng ma trận có các tính chất sau:
A A A
C B A C B A
A B B A
) (
) (
0 )
( )
, k là số thực bất kỳ Tích của ma trận A với
số klà một ma trận cấp m n, ký hiệu kA và đợc xác định nh sau:
Trang 4n m ij ka
1
4 3 2
Tính chất: Phép nhân ma trận với một số có các tính chất sau:
0
0
1
) ( ) (
) (
) (
A kh hA
k
hA kA A
h k
kB kA B
A k
in j
i j i
c
1 2
2 1
Cách tính c ij có thể hình dung bằng sơ đồ sau:
nj
j j
in i
i
b
b b
a a
a
2 1
2 1
và có thể nói tắt: c ijbằng hàng i của A nhân với cột j của B
Trang 58 5 4
1
0 3 1 0
2 1
18 9
18 10 4
1
2 3
2 1 2 1 4
3 2 1
11 2
3 4 1
8 2
12 3 4 1 2 3
6 3 1 0
2 1 4 1
0 3
3
2 1 0 2
1 2 3
kC B C kB BC
k
C AB BC
A
CA BA A C B
AC AB C
B A
()(
)()(
)(
)(
§Æc biÖt, trong tËp c¸c ma trËn vu«ng cïng cÊp ta cã: AI IAA
Nh vËy A t a ji n m
Trang 60 1
3 2
4 1 2
t A
1.1 4 Chuyển vị của tích hai ma trận
t B A
AB ) (
Chứng minh Với hai ma trận: A a ij m n B b ij n p
c ij m p C
t a A
trong đó a ij t a ji
t p n ij
t b B
trong đó b ij t b ji
t p n ij
t c C
t kj
t ik
t
t A C AB
Định lý đợc chứng minh
Trang 71 2 ,
4 1
2 1
B A
14 8
1 1
3 2 ,
4 2
1 1
5 3
14 8 ) ( , 5 14
3 8
t t
t t
t
A B
B A
AB AB
n n
in ij
i i
n j
n j
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
2 1
2 2
22 21
1 1
12 11
Ta chú ý đến phần tử a ij, bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j ta thu đợc ma trận cấp n 1
Ta ký hiệu nó là M ij và gọi nó là ma trận con ứng với phần tử a ij
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a A
12 11 23
33 31
13 11 22
33 32
13 12 21
32 31
22 21 13
33 31
23 21 12
33 32
23 22 11
, ,
, ,
a a
a a M
a a
a a M
a a
a a M
a a
a a M
a a
a a M
a a
a a M
12 11 33
23 21
13 11 32
23 22
13 12
a a
a a M
a a
a a M
a a
a a M
Trang 8Định nghĩa: Định thức của ma trận A, ký hiệu là det( A), đợc định nghĩa nh sau:Nếu A là ma trận cấp 1:
a11
A thì det(A ) a11.Nếu A là ma trận cấp 2:
12 11
a a
a a A
thì det(A) a11det(M11) a12det(M12) a11a22 a12a21
Một cách tổng quát, nếu A là ma trận cấp n:
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
2 22
21
1 12
23 22 21
13 12 11 22
21
12
11 ,
a a a
a a a
a a a a
a
a a
Định thức của ma trận cấp n gọi là định thức cấp n .
Ví dụ:
240 )
35 32 ( 3 ) 42 36 ( 2 ) 48 45
(
1
8 7
5 4 3 9 7
6 4 2 9 8
6 5 1 9 8 7
6 5 4
3 2 1
2 2 3 4 1 4
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a A
Theo định nghĩa ta có:
)det(
)det(
)det(
)
det(A a11 M11 a12 M12 a13 M13
22 21 23
21 23
a a
a a a
a
Trang 911 23 32 33 21 12 13 22 31 13 32 21 31 23 12 33 22
8(9.2)
4(3.5.73)
8)(
4(7.6.29.5.19
8
7
65
2
31
;243
21
Hệ quả: Một tính chất đã đúng khi phát biểu theo hàng của định thức thì nó vẫn còn
đúng khi phát biểu ta thay hàng bằng cột
Tính chất 2 Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) của một định thức ta đợc một định thức
mới bằng định thức cũ đổi dấu
Ví dụ:
221
43
;243
21
Tính chất 3. Một định thức có hai hàng (hay hai cột) nh nhau thì bằng không.
Tính chất 4 Dựa vào định nghĩa (2.1) và áp dụng tính chất 2 ta suy ra
det( ) det( ) det( ))
1 ( ) det(A i1 a i1 M i1 a i2 M i2 a in M in (2.2)
Công thức (2.2) gọi là khai triển của định thức theo hàng i
Ta có công thức khai triển định thức theo cột j
) 1 ( ) det(A 1j a1j M1j a2j M2j a nj M nj (2.3)
Ví dụ: Xét
Trang 109 8 7
6 5 4
3 2 1
2 1 9 6 4
3 1 ) 8 ( 6 5
3 2 7
4
3 1 ) 8 ( 9 7
3 1 5 9 7
6 4 2 )
Hệ quả: Từ tính chất 6 ta suy ra nhận xét sau: khi các phần tử của một hàng (hay một
cột) có thừa số chung, ta có thể đa thừa số chung đó ra ngoài dấu định thức.
Ví dụ:
4 ) 3 4 ( 4 2 1
3 2 4 8 4
3 2
Tính chất 7 Một định thức có hai hàng (hay hai cột) tỉ lệ thì bằng không.
Thật vậy, đa hệ số tỉ lệ ra ngoài dấu định thức thì đợc một định thức có hai hàng (hayhai cột) nh nhau nên nó bằng không
Tính chất 8 Khi tất cả các phần tử của một hàng (hay một cột) có dạng tổng của hai
số hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng của hai định thức, chẳng hạn nh:
22 21
12 11 22
21
12 11 22
21
12 12 11 11
22 21
12 11 22
21
12 11 22
22 21
12 12 11
a a
a a a
a
a a a
a
a a a a
a a
a a a
a
a a a
a a
a a a
Tính chất 9 Cộng vào các phần tử của một hàng (hoặc cột) các phần tử tơng ứng của
một hàng (cột) khác sau khi đã nhân với cùng một số thì định thức không thay đổi
Ví dụ:
Trang 115 1 6
1 3 0
3 1 2 5
1 6
3 ) 2 ( 7 1 ) 2 ( 5 2 ) 2 ( 4
3 1
2 5
1 6
7 5 4
3 1 2
n
n
a a a a
a a
a a
22
1 12
n
a a
a a
a a
a a
1
22 21
11
0
0 0
Để chứng minh ta dựa vào khai triển (2.2) và (2.3)
Ví dụ:
35 7 5 1 7 0 0
4 5 0
3 2 1
1.3 phơng pháp tính định thức
1.3.1 Phơng pháp khai triển
Phơng pháp khai triển là phơng pháp sử dụng các công thức (2.2) và (2.3)
Bây giờ ta đa vào khái niệm phần bù đại số, khi đó các công thức này đợc viết đơngiản hơn
a) Khái niệm phần bù đại số
Cho ma trận vuông cấp n:
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
2 22
21
1 12
11
Ta gọi ma trận M suy ra từ ij A bằng cách bỏ đi hàng i cột j là ma trận con ứng với
phần tử a Ta gọi ij ( 1)i jdet( ij)
i k khi A C
a C
a C
0
) det(
2 2 1
(2.4)
Kết hợp công thức (2.3) với tính chất 3 ta có:
Trang 12j k khi A C
a C
2 2
+ Khai triển theo hàng i: det(A)a i1C i1 a i2C i2 a in C in (2.6)
+ Khai triển theo cột j: det(A)a1j C1j a2j C2j a nj C nj (2.7)
Ví dụ: Tính định thức sau:
|A| =
1011
0020
1312
2411
132
241)1.(
b) Phơng pháp biến đổi về dạng tam giác
Để tính một định thức ta có thể áp dụng một số tính chất của nó để đa định thức
về dạng tam giác
Ví dụ: Hãy tính
1 6 2
9 6 3
5 1 0
5 1 0
9 6
5 1 0
3 2 1 3
=
5 10 0
5 1 0
3 2 1 3
Trang 13=
55 0
0
5 1 0
3 2 1 3
165 ) 55 (
1 1
) det(
) det(AB A B
3 1 1
2
1 3
B A
17 2
AB
Ta thÊy: det(A) 1 , det(B) 23 , det(AB) 23
VËy râ rµng: det(AB ) det(A) det(B)
Trang 141 4 Ma trận nghịch đảo
1.4.1 Khái niệm ma trận nghịch đảo
Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n Nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho:
I BA
2 1
1 2 1
0 1 2
1 2 3
1 2 4 3
2 1
0 1 4 3
2 1 2 1 2 3
1 2
1 4.2 Tớnh duy nhất của ma trận nghịch đảo
Định lý: Ma trận nghịch đảo A1 của A nếu có thì chỉ có một mà thôi.
Thật vậy,giả sử B và C đều là ma trận nghịch đảo của A, tức là:
I BA
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
2 22
21
1 12
11
Trang 15Định lí: Nếu det(A) 0 thì ma trận A có ma trận nghịch đảo A 1 tính bởi công thức sau:
n
n
n t
C C
C
C C
C
C C
C
A
C A A
2 22
12
1 21
11 1
) det(
1 )
0 0
0 )
det(
0
0 0
) det(
C A
AC A
t t
00
10
0
01)
det(
1)
3 5 2
3 2 1
A
Ta có: det(A) 1 0
1 3
9
2 5
16
5 13
40
33 32
31
23 22
21
13 12
C
C C
C
C C
3 5 13
9 16 40
1 3 9
2 5 16
5 13 40
t C C
Trang 163 5 13
9 16 40 1
1
1 C t A
b a A
b d bc ad
c d C
C
C C C
22 21
12 11
b d
C t
1 4.4 Tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp:
a) Các phép biến đổi sơ cấp:
Các phép biến đổi sau đây đối với ma trận đợc gọi là các phép biến đổi sơ cấp:
1) Nhân các phần tử của hàng (hoặc cột) với số khác không
2) Đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột)
3) Cộng vào các phần tử của một hàng (hoặc cột) các phần tử tơng ứng của mộthàng (cột) khác sau khi đã nhân với cùng một số
b) Tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp
Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A (cấp n) ta ghép ma trận đơn vị I
cấp n bên cạnh ma trận A, khi đó ta đợc ma trận cấp n ( n2 ):
C [A I ]
Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng để đa ma trận C về dạng:
][I B
Khi đó ma trận B chính là ma trận nghịch đảo của ma trận A
3 5 2
3 2 1
A
Trang 172 2 1
2L L L
3 3 1
1 2 3
0 1 -3
0 0 1
1 0 0 -2 1 0
3L L L
2 2 3
3 5 13
9 16 40 1
A
Phơng pháp nói trên còn gọi là phơng pháp Gauss- Jordan.
1.4.5 Ma trận nghịch đảo của tích hai ma trận
Định lí: Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp Giả sử A và B là hai ma trậnkhả đảo khi đó ABcũng khả đảo và
1 1 1 )
B A AB
Chứng minh Ta có
I IB B B A A B AB A B
I AIA A
BB A A B AB
1 1
1
1 1
1 1
1
) ( )
(
) ( )
(
Vậy AB khả đảo và B 1 A 1là ma trận nghịch đảo của AB
Định lí: Nếu A là ma trận khả đảo và có nghịch đảo A 1thì:
Trang 181 4.6 ứng dụng của ma trận nghịch đảo
Trong tập các ma trận A vuông cấp n ma trận B thỏa món điều kiện của phộp nhõn
bờn trỏi và nhõn bờn phải với ma trận A -1 , ta xét các phơng trình:
Nh vậy, khi ma trận A có ma trận nghịch đảo thì mỗi phơng trình (2.8) và (2.9)
có một nghiệm duy nhất đợc xác định theo các công thức (2.10) và (2.11)
Ví dụ: Cho hai ma trận:
21
65
242
4310
8
86
2
18
7
6513
24
216
4
42
2
11
3
2487
652
1
Y
Chú ý:
Nếu ma trận A không có nghịch đảo ta có thể giải các phơng trình (2.8) và (2.9)
bằng cách quy về hệ phơng trình tuyến tính với các ẩn số là các phần tử của ma trậnphải tìm mà ta sẽ nghiên cứu ở chơng sau
a
a a
a A
21
1 12
11
Trang 19Gọi p là số nguyên dơng minm, n
Định nghĩa 5.1 Ma trận vuông cấp p suy ra từ A bằng cách bỏ đi m p hàng vàp
n cột gọi là ma trận con cấp p của A Định thức của ma trận con đó gọi là định
thức con cấp p của A.
4 1 1 2
2 4 3 1
A
Ta có min3 , 4 3, vậy p 1 , 2 , 3
Các định thức con cấp 3 của A là:
0 2 2 1
4 1 2
2 3 1
; 0 2 1 2
4 1 1
2 4 3
; 0 2 1 1
4 1 2
2 4 1
; 0 1 2 1
1 1 2
4 3 1
Trang 20Các định thức con cấp hai là
5 2 1
3 1
; 7 1 2
3 1
1.5.2 Tìm hạng của ma trận bằng biến đổi sơ cấp
a) Ma trận bậc thang: Đó là những ma trận có hai tính chất sau
1) Các hàng khác không (là hàng có ít nhất 1 phần tử khác không) luôn ở trên cáchàng không (là hàng có tất cả các phần tử bằng không), nếu nh trong ma trận đó cóhàng không
2) Trên hai hàng khác không thì phần tử khác không đầu tiên ở hàng dới bao giờcũng ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên
5 4 0
3 2 1 ,
0 0 0 0
6 5 0 0
4 3 2 1 ,
7 0 0 0
6 5 0 0
4 3 2 1
C B
Chú ý: Hạng của ma trận dạng bậc thang bằng số hàng khác không của nó.
b) Tìm hạng của ma trận bằng biến đổi sơ cấp
Do các phép biến đổi sơ cấp về hàng không làm thay đổi tính khác không hay bằngkhông của các định thức con của ma trận, nên không thay đổi hạng của ma trận Vìvậy ta có thể áp dụng chúng để đa một ma trận về dạng bậc thang rồi áp dụng chú ýtrên để suy ra hạng của ma trận
Ví dụ: Cho ma trận
Trang 214 1 1 2
2 4 3 1
0 7 7 0
2 4 3 1 0
5 5 0
0 7 7 0
2 4 3 1 2
1
2
1
4 1
1
2
2 4
m
n n
n n
b x a x
a x a
b x a x
a x a
b x a x
a x a
2 2 1 1
2 2
2 22 1 21
1 1
2 12 1 11
Trang 22
trong đó a ijvà b là các hằng số cho trớc: i a ij là hệ số của ẩn x j ở phơng trình thứ i, b i
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
2 22
21
1 12
m
n n
b a a
a
b a a
a
b a a
a A
2 1
2 2 22
21
1 1 12
11
b b
x x
2.1.2 Nghiệm của hệ phơng trình tuyến tính
Định nghĩa: Nghiệm của hệ phơng trình tuyến tính (3.1) là một bộ n số có thứ tự (
Định nghĩa: Hai hệ phơng trình tuyến tính với các ẩn số nh nhau đợc gọi là tơng
đ-ơng nếu chúng có cùng tập nghiệm, tức là mỗi nghiệm của hệ này đồng thời lànghiệm của hệ kia và ngợc lại (hoặc cả hai hệ đều vô nghiệm)
2.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp
Định nghĩa: Các phép biến đổi sau đây đối với một hệ phơng trình tuyến tính đợc gọi
là các phép biến đổi sơ cấp:
Trang 232 Nhân hai vế của một phơng trình của hệ với một số khác không.
3 Cộng vào hai vế của một phơng trình hai vế tơng ứng của một phơng trình khác saukhi đã nhân với một số bất kỳ
Định lý: Các phép biến đổi sơ cấp biến một hệ phơng trình tuyến tính thành một hệ
phơng trình tuyến tính tơng đơng với nó
Việc chứng minh định lý này dành cho bạn đọc
2.1.5 Hệ phơng trình tam giác và hệ phơng trình hình thang
n n
n n
b x a
b x a x
a
b x a x
a x a
.
2 2
2 22
1 1
2 12 1 11
(3.3)
Trong đó tất cả các hệ số a11,a22, ,a nn đều khác không Đây là hệ phơng trình có số
phơng trình bằng số ẩn và theo thứ tự từ trên xuống các ẩn số mất dần Phơng trìnhcuối cho ngay x n, phơng trình liền trên cho x n1, , phơng trình đầu cho x1 Hệ (3.3)
có nghiệm duy nhất
mm
n n m
m
n n m
m
b x a x
a
b x a x
a x
a
b x a x
a x
a x a
2 2
2 2
22
1 1
1 2
12 1 11
(3.4)
trong đó a ii 0(i1,m) và m n Hệ phơng trình hình thang cũng có đặc điểm
giống hệ tam giác là theo thứ tự từ trên xuống các ẩn số mất dần, nhng hệ phơng trìnhhình thang có số phơng trình ít hơn số ẩn vì vậy phơng trình cuối của hệ có nhiều ẩnsố.Trong hệ (3.4) các ẩn x1, x2, ,x mđợc gọi là các ẩn chính, các ẩn còn lại gọi là ẩn
tự do Gán cho ẩn tự do các giá trị tuỳ ý và chuyển các số hạng chứa chúng sang vếphải ta đợc hệ tam giác đối với các ẩn chính, giải hệ tam giác này ta thu đợc nghiệmcủa hệ (3.4) phụ thuộc n mẩn tự do
2.2 Hệ Cramer
2.2.1 Định nghĩa: Hệ Cramer là hệ phơng trình tuyến tính có số phơng trình bằng số
ẩn và ma trận hệ số của hệ không suy biến
Vậy hệ Cramer có dạng:
Trang 24n n
n n
b x a x
a x a
b x a x
a x a
b x a x
a x a
2 2 1 1
2 2
2 22 1 21
1 1
2 12 1 11
.
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
2 22
21
1 12
) det(
A
) det(
1 1
n
n n
b
b b
C C
C
C C
C
C C
C
A B
2 1
2 22
12
1 21
11 1
)det(
1
NghÜa lµ ta cã:
) det(
) det(
) det(
2 2 1 1
A
A A
b C b
C b C
x j j j nj n j
Trang 25Y X A A
NghÜa lµ cã X Y VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
3 2
6
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x
x x x
x x x
Trang 26211
112
111
B A
3 1 2
6 1 1 ,
2 5 1
1 3 2
1 6 1 ,
2 1 5
1 1 3
1 1 6
3 2
A
Ta tính đợc
17 ) det(
, 10 )
det(
, 9 ) det(
, 0 3 )
Vậy nghiệm của hệ đã cho là:
3
17 ,
3
10 ,
3 3
9
3 2
1 x x
2.3 Hệ phơng trình tuyến tính tổng quát
2.3.1 Điều kiện có nghiệm
Định lý Kronecker - Capelli: Hệ phơng trình tuyến tính AX B có nghiệm khi vàchỉ khi (A) (A)
Thật vậy bằng các biến đổi sơ cấp về hàng và bằng cách đánh số lại các ẩn ta đa matrận A về dạng bậc thang
r rn rr
rr
n r
r
n r
r
b b
b a a
a
b a a
a a
b a a
a a a
2 2 21
1 1 1
1 1 12 11
trong đó r minm,n ,từ đó suy ra định lý
Chú ý: Từ định lý Kronecker - Capelli ta suy ra:
Nếu (A) (A) thì hệ vô nghiệm
Nếu (A) (A) n thì hệ có nghiệm duy nhất
Nếu (A)(A)rn thì hệ có vô số nghiệm
Giả sử (A) (A) r Ta giải hệ nh sau:
Vì (A) (A) r nên tồn tại định thức con khác không cấp r của A, ta gọi nó là
Trang 27gọi là các phơng trình cơ sở, và là hệ số của r ẩn, gọi là r ẩn cơ sở Các ẩn còn lạigọi là ẩn tự do Cả hệ tơng đơng với hệ mới gồm r phơng trình cơ sở, gọi là hệ cơ sở.Trong hệ cơ sở ta chuyển các ẩn tự do sang vế phải, ta đợc một hệ con có r phơng
trình đối với r ẩn cơ sở Giải hệ con đó đối với các ẩn cơ sở ta đợc nghiệm của hệ phụthuộc vế phải và các ẩn tự do Khi r n thì không có ẩn tự do và hệ trở thành hệ
x
ax x x
ax x x
3 2 1
3 2 1
3 2 1
3 2
2 3
3 2
a A
a
a A
3 1 2
2 1
3
3 2
1 ,
3 1 2
1 3
2 1
Ta có
21 2 ) det(A a
1) Điều kiện cần và đủ để hệ đã cho có nghiệm duy nhất là det(A) 0 Vậy đáp số củacâu hỏi 1) là a 21 2, còn b bất kỳ
2) Từ kết luận trên ta suy ra: muốn hệ có vô số nghiệm thì trớc hết phải có a 21 2.Khi đó det(A) 0 nên (A) 3 Vì A có định thức con cấp hai
0 7 1 3
2 1
Trang 280 0
1 6 1 0
6 21 4 2 6
18 3 0
1 6 1 0
6 21 4 2
6 18 3 0
14 84 14 0
6 21 4 2 3
1 2
4 21 2 6
6 21 4 2 3
1
2
2 2 21 1
3
3 2 21 2
1
3 3 2 2
2
141
3 3
1 2
2
b b
b b
b A
L L L L
L
L L
L L L
L L
L L L
Qua bảng cuối cùng này ta thấy: (A) 2 nếu b 3và (A) 3 nếu b 3
Vậy (A) (A) 2 khi a 21 2 , b 3
) ( ) (A A
21 3
3 2
21 2
3 2
1
3 2
1
x x
x
x x
a thì hệ có nghiệm duy nhất
3 ,
2
2.3.2 Giải hệ phơng trình tuyến tính bằng biến đổi sơ cấp
Xét hệ phơng trình tuyến tính tổng quát (3.1) Từ hệ này ta thành lập ma trận mở rộng:
m
n n
b a a
a
b a a
a
b a a
a A
2 1
2 2 22
21
1 1 12
11
Lúc này ta có thể coi việc thực hiện các phép biến đổi sơ cấp đối với hệ ph ơng trìnhtuyến tính chính là thực hiện các phép biến đổi sơ cấp đối với các hàng của ma trận A
Trang 29Trong quá trình biến đổi, nếu trên ma trận mở rộng có một hàng nào đó gồmtoàn số 0 thì ta có thể bỏ hàng đó đi (tơng ứng với việc loại khỏi hệ một phơng trình
có tất cả các hệ số ở vế trái bằng 0 và số hạng tự do ở vế phải cũng bằng 0) Còn nếutrên ma trận mở rộng có một hàng nào đó có phần tử cuối cùng khác không và cácphần tử còn lại trên hàng đó đều bằng không thì có thể kết luận hệ phơng trình đã chovô nghiệm (khi đó hệ chứa một phơng trình có tất cả các hệ số ở vế trái bằng 0 và sốhạng tự do ở vế phải khác 0)
4 2
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x
x x x
x x x
0 1 1 2
4 1 2 1
Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp đối với các hàng của ma trận này ta có
3 2 1 0
4 1 2 1 8
3 5 0
3 2 1 0
4 1 2 1 3
2 1 0
8 3 5 0
4 1 2 1 1
1
1
1
0 1
1
2
4 1
3 2
4 2
3
3 2
3 2 1
x
x x
x x x
Giải hệ này ta đợc:
1 ,
1 ,
1 x x
Đó cũng là nghiệm của hệ đã cho
Phơng pháp vừa trình bày còn gọi là phơng pháp Gauss
2.4 Hệ PHƯƠNG TRèNH thuần nhất
2.4.1 Điều kiện tồn tại nghiệm không tầm thờng
00
2 2 1
1
2 2
22 1 21
1 2
12 1 11
n mn m
m
n n
n n
x a x
a x a
x a x
a x a
x a x
a x a
Trang 30, 0 ,
0 2
1 x x n
Nghiệm không của hệ thuần nhất gọi là nghiệm tầm thờng của nó
Số nghiệm của hệ thuần nhất n ẩn đợc các định thông qua hạng của ma trận hệ số củanó:
+) Nếu (A ) n thì hệ thuần nhất có duy nhất nghiệm tầm thờng
+) Nếu (A ) n thì hệ thuần nhất có vô số nghiệm
Điều kiện có nghiệm không tầm thờng đồng nhất với điêù kiện hệ phơng trình tuyếntính thuần nhất có vô số nghiệm
Định lý: Hệ thuần nhất (3.10) có nghiệm không tầm thờng khi và chỉ khi hạng của
ma trận hệ số của nó nhỏ hơn số ẩn
Từ định lý ta suy ra một số hệ quả sau:
Hệ quả 1: Một hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất với số phơng trình bằng số ẩn có
nghiệm không tầm thờng khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số bằng 0
Thật vậy khi m n thì ma trận hệ số của (3.10) là ma trận vuông cấp n Hạng của matrận vuông cấp n nhỏ hơn n khi và chỉ khi định thức của nó bằng 0
Hệ quả 2: Mọi hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất với số phơng trình ít hơn số ẩn
đều có nghiệm không tầm thờng
Thật vậy, hạng của ma trận hệ số của hệ không thể vợt quá số phơng trình trong hệ:
0 2
2 1
2 1
x
x
x x
có định thức 5 0
3 1
2 1
0 2 2 1
2 1
x x
x x
4 2
2 1
, nên có nghiệm không tầm thờng,
chẳng hạn x1 2 , x2 1
Thực ra hai phơng trình đó chỉ là một Cho x1 2 ta tìm đợc x2 1
2.4.2 Mối liên hệ với hệ phơng trình không thuần nhất
Xét hệ phơng trình tuyến tính không thuần nhất viết dới dạng ma trận:
B
và hệ thuần nhất tơng ứng:
Trang 31§Þnh lý: HiÖu hai nghiÖm bÊt kú cña hÖ (3.12) lµ mét nghiÖm cña hÖ (3.13) Tæng cña
mét nghiÖm bÊt kú cña hÖ (3.12) vµ mét nghiÖm bÊt kú cña hÖ (3.13) lµ mét nghiÖmcña (3.12)
ThËt vËy, gi¶ sö X1, X2lµ hai nghiÖm bÊt kú cña (3.12), Y lµ mét nghiÖm bÊt kú cña1
Trang 32Chơng III Khái niệm hàm số 3.1 Hàm một biến
- Tập hợp f(x) :xX đợc gọi là miền giá trị của hàm f
Vậy một hàm xác định trên X là một phép tơng ứng mỗi số thực x X với một
f hay y f (x)
Gọi x là biến độc lập, hay đối số (đối), y là biến phụ thuộc (ngời ta cũng gọi y là hàm)
Đối với hàm đã xác định thì các kí hiệu để chỉ các biến rõ ràng là không quantrọng Chẳng hạn ánh xạ: t t2 ; 2
Hàm x a cho ứng mỗi số x với cùng một số a gọi là hàm hằng
3.1.2 Đồ thị của hàm số: Xét hàm y f (x)xác định trong miền nào đó Chọn trongmặt phẳng hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, biểu diễn biến độc lập x trên trục hoành,biến phụ thuộc y trên trục tung
Ta gọi tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng có các tọa độ (x,f(x)) là đồ thị củahàm f (Hình vẽ)
y
Trang 333.1.3 Hàm đơn trị, hàm đa trị.
ứng với một giá trị của đối số, chỉ có một giá trị của hàm, hàm ấy gọi là hàm đơn trị.ứng với một giá trị của đối số, có nhiều trị của hàm thì ta có hàm đa trị
Chú ý: Ta chỉ xét hàm đơn trị, nên để cho gọn ta dùng chữ hàm để chỉ hàm đơn trị 3.2 Các hàm sơ cấp cơ bản
y 2
1
xác định khi x 0
x x
y
1
y=ax(a>1)
y=ax(a<1)
Trang 34Đồ thị của tất cả các hàm y = x đều đi qua điểm (1,1); Chúng đi qua gốc 0
nếu > 0 và không đi qua gốc 0 nếu < 0
3.2.2 Hàm mũ: y = ax (a > 0, a 1) (a gọi là cơ số)
- Miền xác định: x, hàm mũ ax luôn luôn dơng
Hàm mũ là hàm tăng nếu a >1, giảm nếu a < 1
- Đồ thị: Các hàm y = ax đều đi qua điểm (0,1)
3.2.3 Hàm lôgarit: y = logax (a > 0, a 1)
- Miền xác định x 0
- Hàm tăng khi a > 1, giảm khi a < 1, là hàm ngợc của hàm mũ y = ax
Đồ thị:
Đồ thị đối xứng với đồ thị hàm y = ax qua đờng phân giác thứ nhất
Đặc biệt: a = 10 ta có log10x = lgx (lôgarit thập phân)
Khi a = e 2,718 có logex = lnx (lôgarit Nepe)
Tính chất của hàm lôgarit:
B A
a( ) log log
B A
B
A
a a
x
y
0y=ax(a>1)
y=log
ax(a<1)
Trang 35Miền xác định
+ Hàm y = sinx, y = cosx xác định tại mọi x ; Có giá trị thuộc 1 , 1
+ Hàm y = tanx xác định tại mọi
2 ) 1 2
Trang 37là một hàm hai biến xác định trên G, G đợc gọi là miền xác định của hàm f.
Vậy một hàm hai biến f xác định trên G là một phép tơng ứng cho ứng mỗi cặp
Trang 38Trong đó x, y đợc gọi là các biến độc lập, Z gọi là biến phụ thuộc.
Để chỉ những hàm khác nhau ta dùng các chữ khác nhau
),
( y x f
Z ; Z ( y x, ) ; Z g ( y x, )
Ta qui ớc rằng nếu hàm đợc xác định bởi một biểu thức nào đó và nếu không nói gìthêm thì miền xác định là tập hợp tất cả các cặp số thực có thứ tự mà ứng với nó biểuthức đã cho có nghĩa
3.3.2 Các tập hợp phẳng, tập hợp mở, tập hợp đóng.
Ta gọi tập hợp phẳng là tập hợp các điểm cùng nằm trong một mặt phẳng Mộttập hợp phẳng đợc gọi là giới nội (hay bị chặn) nếu tồn tại một mặt tròn chứa nó Tagọi -lân cận của điểm M trong mặt phẳng là tập hợp tất cả những điểm P của mặtphẳng sao cho khoảng cách MP Hay nói cách khác, lân cận của điểm M Tậphợp E đợc gọi là mở (hở) nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong
Điểm N đợc gọi là điểm biên của tập hợp E nếu mọi lân cận của nó vừa chứanhững điểm thuộc E vừa chứa những điểm không thuộc E Điểm biên của một tập hợp
có thể thuộc tập hợp ấy, có thể không thuộc tập hợp ấy Tập hợp tất cả những điểmbiên của một tập hợp E đợc gọi là biên của E
Tập hợp E đợc gọi là đóng (kín) nếu nó chứa mọi điểm biên của nó
Ví dụ: Tập hợp tất cả những điểm M mà khoảng cách tới một điểm cố định M0 bé hơn
số dơng r (tức là phần trong của mặt tròn tâm M0 bán kính r) là một tập hợp mở Biêncủa tập hợp trên là đờng tròn tâm M0 bán kính r
Tập hợp tất cả những điểm M sao cho khoảng cách M0 M r là một tập hợp đóng
Trang 39
3.3.3 Hàm điểm Biểu diễn hình học của hàm hai biến.
Giả sử cho hàm hai biến f : (x,y) f ( y x, )
Vì mỗi cặp (x,y) đều đợc biểu diễn bởi một điểm M(x,y) trong mặt phẳng XOY, nên
ta cũng có thể xem hàm hai biến f(x,y) là hàm của điểm M(x,y)
)(
Biểu diễn hình học hàm hai biến:
Vẽ hệ trục tọa độ Đề các Oxyz; với mỗi điểm M(x,y) trong mặt phẳng Oxy choứng một điểm P trong không gian có các tọa độ là (x,y,z) trong đó z = f(x,y) Tập hợpcác điểm P nh thế khi M chạy trong miền G của mặt phẳng Oxy đợc gọi là đồ thị củahàm z = f(x,y) xác định trên G Đồ thị của hàm hai biến nhiều khi là một mặt congtrong không gian 3 chiều (h.vẽ trên)
Ví dụ 1: Hàm Z x2 y2 có đồ thị là 1 mặt parabôlôit tròn xoay
Ví dụ 2: Hàm Z 1 x2 y2 có đồ thị là nửa mặt cầu tâm tại gốc tọa độ, bán kính
đơn vị, nằm về phía Z 0
Ví dụ 3: Miền xác định của hàm Z x2 y2 là toàn bộ mặt phẳng Oxy
Ví dụ 4: Hàm Z 1 x2 y2 xác định với x,y sao cho 2 2 1
Trang 40Chơng IV Giới hạn và sự liên tục của hàm 4.1 định nghĩa và tính chất giới hạn hàm một biến
4.1.1 Định nghĩa giới hạn hàm một biến
4.1.1.1 Giới hạn của hàm khi x dần tới x0
Xét hàm y f (x) xác định ở lân cận trị hữu hạn x , không nhất thiết xác định0
tại x Ta gọi số L là giới hạn của hàm 0 y f (x) khi x dần đến x nếu:0
Chú ý: ở định nghĩa trên, ta không đòi hỏi x phải bằng x0 Cho nên các định nghĩa ấy
áp dụng đợc cho cả trờng hợp hàm không xác định tại x0
Ví dụ 2: Xét giới hạn của hàm
2(
)2)(
2(42
x x
x
2
4.1.1.2 Giới hạn của hàm khi x dần tới vô cực.
Xét hàm y f (x) tại mọi x có trị tuyệt đối lớn tùy ý Ta nói rằng L là giới hạncủa hàm y f (x) khi x dần tới vô cực nếu: