Giáo trình toán học cao cấp chương 3 tích phân đường - tích phân mặt

Giáo trình, toán học cao cấp, chương 3, tích phân đường , tích phân mặt

Chương 3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG- TÍCH PHÂN MẶT

§1- TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT

Tích phân đường loại một là tích phân có dạng : f (x, y)dl

C

∫ hoặc f (x, y,z)dl

C

∫

Hàm f(x,y) , f(x,y,z) gọi là hàm dưới dấu tích phân, C gọi là đường cong lấy tích phân ( đường cong trong Oxy hoặc trong Oxyz) ; dl gọi là vi phân cung

1.1- Các tính chất :

 Tích phân đường loại 1 không phụ thuộc hướng của cung lấy tích phân, tức là nếu

C =AB∩ thì : f(x,y,z)dl

AB∩

∫ = f(x,y,z)dl

BA∩

∫

 Nếu f,g là các hàm khả tích trên C = AB∩ và a, b là các hằng số thì

af (x, y,z) + bg(x, y,z)[ ]

C

∫ + b g(x, y,z)dl

C∫

 Nếu đường cong C chia làm hai phần C1, C2 không dẫm lên nhau thì

f (x, y,z)dl

C∫ = f (x, y,z)dl

C1∫ + f (x, y,z)dl

C2∫

 Nếu f(x,y,z) ≤ g(x,y,z) với mọi (x,y,z) thuộc đường cong C thì

f (x, y,z)dl

C

C∫

 Nếu hàm f (x, y,z) cũng khả tích trên C thì ∫

C

dl ) z , y , x ( ≤ f (x, y,z)

C

 Định lý về giá trị trung bình :

Nếu f(x,y,z) liên tục trên cung trơn C , C có độ dài là L Khi đó tồn tại điểm (x0,y0,z0)

thuộc C sao cho : f (x, y,z)dl

C

∫ = f(x0,y0,x0)L Khi đó đại lượng

L

1

f (x, y, z)dl

C

∫ gọi là giá trị trung bình của hàm f(x,y,z) trên cung C

1.2- Cách tính tích phân đường loại 1 :

1.2.1 Trong không gian: Nếu (C)

x = x(t)

y = y(t)

z = z(t)

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪ với a→

t

b thì

f (x, y, z)dl

C∫ = f(x(t),y(t),z(t)) (x'(t))2 + (y'(t))2 + (z'(t))2

a b

1.2.2 Trong mặt phẳng :

TH1: Nếu (C) : a t b

t y y

t x x

→

⎩

⎨

⎧

=

= , ) (

) (

thì ∫

C

dl y x

a∫ ( ( ), ( )) ( '( ))2 +( '( ))2

 TH2:Nếu (C) :

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

→

=

b

x a

x y

thì : ∫

C

dl y x

b

a∫ f(x,y(x)) 1+(y'(x))2

 TH3: Nếu (C)

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

→

=

b

y a

y x

thì : ∫

C

dl y x

b

a∫ f(x(y),y) 1+(x'(y))2

 TH4: Nếu đường cong C trong mặt phẳng bởi tọa độ cực r = r(ϕ ), α ≤ ϕ ≤ β thì :

f (x, y)dl

C∫ = f (r(φ)cosφ,r(φ)sinφ) (r(φ))2+ (r'(φ))2

α

β

1.3- Các ứng dụng của tích phân đường loại 1:

 Khốâi lượng cung :

M = ∫

C

dl z y

x, , ) (

ρ trong đó ρ(x,y,z)là hàm mật độ khối lượng

Nếu ρ(x,y,z) = 1 thì M = L là độ dài của C

 Trọng tâm của cung : Trọng tâm G(xo , yo, zo) lần lượt là

= ∫

C

dl ) z , y , x ( x

M

C

dl ) z , y , x ( y M

C

dl ) z , y , x ( z M

với M là khối lượng cung

 Momen quán tính : Momen quán tính của cung C được tính bởi công thức :

(y z ) x y z dl

I

C

x =∫ 2 + 2 ρ( , , ) ; I (x z ) x y z dl

C

y =∫ 2 + 2 ρ( , , ) ; I (x y ) x y z dl

C

z =∫ 2 + 2 ρ( , , )

………

Bài Tập

Bài 1: Tính các tích phân đường loại 1:

1) = ∫ ( − )

OB

d y x

I  với OB là đoạn thẳng nối từ O(0;0) đến B(4;3)

2) =∫

L

xyd

I  với L là biên của hình chữ nhật ABCD, A(0;0), B(4;0), C(4;2), D(0;2)

3) =∫ ( + )

L

d y x

I 2 2  với L là biên của hình tam giác OAB, O(0;0), A(1;1), B(-1;1)

L

/

x

I 4 3 4 3  với L là đường axtrôit 3 x2 +3 y2 =3 a2 (a>0)

5) =∫

L

xyd

I  với L là cung đường Elip 2 1

2 2

2

= + b

y a

x nằm trong góc phần tư thứ nhất

6) =∫

L

d

y

I  với L là đường cacđiôit r=a(1+cosϕ), (a>0)

7) =∫ −

L

xd ye

I  với L là đường x=ln(1+t2), y=2arctgt–t+3, 0≤t≤1

8) =∫

L

d

y

I  với L là đường xoắn ốc ( ≤ ≤ π)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

=

2

0 t , bt z

t sin a y

t cos a x

9) =∫ ( + )

L

d y x

I trong đó L là đường cong (0 1)

2 3

3

2

≤

≤

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

=

t , t z

t y

t x

Bài 2:

a) Tìm khối lượng của dây : y= a(ex / a +e− x / a)

2 từ x = 0 đến x = a biết khối lượng riêng ρ(x,y)=1/y

b) Tìm trọng tâm của đường đinh ốc đồng chất có khối lượng riêng ρ(x,y,z)=1 ; phương

trình đường đinh ốc là

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

= kt z

t sin a y

t cos a x

, (0≤t≤2π)

………

§2- TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI

2.1 Định nghĩa:

Cho hai hàm số P(x, y), Q(x, y) xác định trên cung AB Chia tùy ý cung AB thành n cung nhỏ không dẫm lẫn nhau bởi các điểm chia A ≡ A0, A1, A2, …., An ≡ B Gọi hình chiếu của vectơ →

− A i

A

i 1 lên trục ox, oy lần lượt là Δxi, Δyi và đặt d = max{Δxi, Δyi /i= 1, 2, …, n)} Trêøn cung Ai –1Ai lấy tùy ý điểm Mi(xi, yi) và lập tổng tích phân

In = P(x

i , y i)Δxi + Q(x i , y

i)Δyi

⎡

i= 1

n

∑

Cho n → ∞ sao cho d → 0 Khi đó nếu In dần đến một giá trị hữu hạn I không phụ thuộc

cách chia cung AB và cách lấy các điểm Mi(xi, yi) thì giá trị I gọi là tích phân đường

loại 2 của các hàm P(x, y), Q(x, y) trên cung AB Ký hiệu ∫ +

AB

dy y x Q dx y x

∫ +

AB

y)dy Q(x, y)dx

=

Δ +

Δ

→∞

→

n 1

y ) i y , Q(x i x ) i y , P(x 0)

(dn lim

2.2- Điều kiện tồn tại:

Nếu cung AB trơn và các hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục trên cung AB thì tồn tại tích phân đường loại hai ∫ +

AB

dy y x Q dx y x

2.3-Chú ý về ký hiệu:

 Nếu C là đường cong phẳng thì tích phân đường loại hai của P(x, y), Q(x, y) trên C ký hiệu là ∫ +

C

dy y x Q dx y x

 Nếu C là đường cong không gian thì tích phân đường loại hai của các hàm P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) trên C được ký hiệu là : R(z,y,z)dz

C

z)dy y, Q(x, z)dx

y,

 Nếu đường lấy tích phân là đường kín C , ta quy ước chiều dương trên C là chiều mà một người đi dọc theo C theo chiều ấy sẽ thấy miền giới hạn bởi C gần mình nhất về phía bên trái

2.4- Tính chất:

 Khi đổi chiều lấy tích phân thì tích phân đường loại 2 đổi dấu :

P dx + Qdy

AB∫ = - P dx + Qdy

 Nếu đường cong C được chia thành hai phần C1, C2 không dẫm lên nhau thì

P dx + Qdy

C∫ = P dx + Qdy

C

1

C

2

 αPdx + βQdy

C∫ + β Qdy

C∫

2.5- Cách tính tích phân đường loại 2:

 TH1: Nếu (C)

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

=

) (

) (

) (

t z z

t y y

t x x

với a→ thì t b

C

Rdz Qdy

Pdx =b∫ [P(x(t),y(t),z(t))x,(t)

a +Q(x(t),y(t),z(t))y,(t)+R(x(t),y(t),z(t))z,(t)]dt

 TH2: Nếu (C) : a t b

t y y

t x x

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

→

=

= ) (

) (

thì

∫ +

c

Qdy

b a

t y t y t x Q t x t y t x P

∫⎢⎣⎡ ( ), ( ) ,( )+ ( ), ( ) ,( )⎥⎦⎤

 TH3: Nếu (C) :

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

→

=

b

x a

x y

thì ∫ +

c

Qdy

b a

x y x y x Q x y x P

∫ , ( ) + , ( ) ,( )

 TH4: Nếu (C)

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

→

=

b

y a

y x

thì ∫ +

c

dy y x Q dx y x

b a

y y x Q y x y y x P

∫ ( ), '( )+ ( ),

2.6 - Công thức Green: Nếu

⎩

⎨

⎧

⋅

⋅

D chứa mở miền trong tục liên cấp riêng hàm đạo có y) Q(x, , y) P(x,

hàm

Các

khúc từng trơn (C) cong đường là biên có 0xy, g mặt phẳn trong

chặn bị đóng,

miền

là

Khi đó ta có công thức Green: P dx + Qdy

∂x − ∂

P

∂y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

D

trong đó tích phân đường ở vế trái lấy theo chiều dương của C

2.7- Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân: 2.7.1- Trong mặt phẳng: Giả sử các hàm P(x, y), Q(x, y) có đạo hàm riêng cấp 1

liên tục trong miền mở đơn liên D Khi đó 4 mệnh đề sau tương tương:

 P dx + Qdy

AB∫ không phụ thuộc vào dạng của đường cong trơn từng khúc nối A với B mà chỉ phụ thuộc điểm đầu A, điểm cuối B

 P dx + Qdy

C∫ = 0, ∀ đường kín C trơn từng khúc nằm trong D

 ∂Q

∂x = ∂

P

∂y, ∀(x, y) ∈D

 Tồn tại hàm U(x,y) sao cho dU = P(x, y) dx+ Q(x, y) dy , ∀(x, y) ∈ D

2.7.2- Trong không gian:

Giả sử các hàm P(x, y,z), Q(x, y, z), R(x, y, z) có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trong miền mở đơn liên D trong không gian 0xyz Khi đó 4 mệnh đề sau đây tương đương:

 P dx + Qdy + Rdz

AB∫ không phụ thuôc vào dạng đường trơn khúc trong D nối A với B mà chỉ phụ thuộc điểm đầu A, điểm cuối B

 P dx + Qdy + Rdz = 0, ∀

C∫ đường kín C trơn tùng khúc trong D

 ∂R

∂y = ∂

Q

∂z ,

∂P

∂z = ∂

R

∂x , ∂Q ∂x = ∂

P

∂y , ∀ (x, y, z) ∈ D

 Tồn tại hàm u(x, y, z) sao cho du = Pdx +Qdy + Rdz , ∀ (x, y, z) ∈ D

 Hệ quả 1: Nếu Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) thì

∫ +

AB

Qdy Pdx = u(B) – u(A) , ∀A, B nằn trong D

 Hệ quả 2:

Nếu D = R2 thì Pdx + Qdy là vi phân toàn phần hàm u(x, y) cho bởi công thức:

x

x

y

dx y x P

,

y y

x

dy y x Q

(

2.8- Ứng dụng của tích phân đường loại 2:

 Tính công : Công của trường lực →

F (x, y, x) = P→

i + Q→

j +R→

k sinh ra dọc theo

đường cong C là W được tính theo công thức:

W = ∫ + +

C

Rdz Qdy Pdx

 Tính diện tích: Diện tích hình phẳng đơn liên D được tính theo công thức :

S(D) = 1

2 x dy − ydx = x dy = −ydx

C∫

C∫

C∫ với C là biên của D và lấy theo chiều dương

………

Bài Tập

Bài 3: Tính các tích phân đường loại 2 :

1) = ∫

L

xydx

I với L là cung parabol y2=x, từ A(1;-1) đến B(1;1)

2) I (xy )dx x ydy

L

= 1 2 với L là cung nối A(1;0), B(0;2)

a) theo đường thẳng AB

b) theo cung parabol y2 = 4(1-x)

3) =∫ −( + )

L

dy y x xdx

I 2 2 trong đó L là chu vi của tam giác ABC theo chiều ngược chiều kim đồng hồ với A(-1,0); B(0,2); C(2,0)

4) I=∫ +−

Lx x y y

dx y dy

x

3 2

3 2

2 2

với L là cung axtrôit có phương trình x=Rcos3t và y=Rsin3t

5) =∫ +

C

dy y dx

x

I 2 2 với C là nửa đường tròn x2+y2=4, chiều từ A(-2;0) đến B(2;0) 6) I=∫ +−

ydx xdy

2

2 với L là cung nối từ A(-a;0) đến B(a,0), (a>0)

=(;)

)

;

ydy dx y x

1

2

L

ydx x dy

xy

I 2 2 trong đó L :x2+y2=R2

9) =∫ +−

ydx xdy

10) = ∫ ++

L x y

dy dx

I với L là đường nối theo chiều từ A(1;0)→B(0;1)→C(-1;0)

11) =∫ ( + + ) +( + − )

C

dy y x xy dx x xy

2 2

2

= + b

y a

x lấy theo chiều dương

12) ∫ ( + ) −( − )

L

dy y x dx y

x 2 2 với L là biên của miền D giới hạn bởi 2 đường y=x và y=x2

=

dy y x dx y x

I 2 2 trong đó C là đường tròn x2+y2=R2 theo chiều ngược chiều kim đồng hồ

14) =∫ + −

C

yzdz ydy

xydx

I trong đó C là đường cong cho bởi phương trình tham số :

2 (0≤ ≤1)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

=

t t

z

t

y

t

x

( )

( )

=

3

1

0

0

2

2

,

,

yzdz dy

z x xydx

I

16)

( )

4

3

1

1

3 2

,

,

dz z dy y xdx

( )

( )

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

− +

−

=

1

2

1

1

2

2

,

,

xydz dy

xz y

x dx yz y ln x I

Bài 4: Hãy chứng tỏ biểu thức trong dấu tích phân đường sau là biểu thức vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó Tìm hàm u(x,y) đó và tính tích phân đã cho

a)

( )

( )

∫

−

+

=

3

2

;

;

ydx xdy

I

( )

( )

= 1

0

1

;

;

dy y x dx y x

Bài 5: Cho p(x,y)= ( )

2 2 2

y x )

y , x ( Q

; y x

y x ) y , x ( P

+

−

−

= +

+

là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) hay không ?

ADB ABC

Qdy Pdx I

; Qdy Pdx

I1 2 với A(1;0), B(-1;0), C(0;1), D(0;-1)

Bài 6: Xác định m để ( ) ( )

y x

dy y x dx y x

2

2 +

+ +

− là vi phân toàn phần của một hàm u(x,y)

nào đó Tìm u(x,y)

Bài 7: Tính các tích phân đường sau

1) =∫ ( + ) (+ − )

L

dy y x dx y x

I 2 2 2 2 với L là chu vi tam giác OAB lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ với O(0;0), A(1;0), B(0;1)

2) =∫ ( − ) + ( + )

L

dy y x ydx x

I 1 2 1 2 với L : x2+y2=R2

3) =∫ +

C

dy x ydx

x

I 2 2 trong đó C là chu tuyến dương của miền giới hạn bởi các đường

y x và

x

4) =∫ ( + ) +( + )

C

dy x y dx x y

I 6 2 trong đó C là đường tròn (x−2) (2 + y−3)2 =4

5) =∫ ( + + ) +( + − )

C

dy y x xy dx y x xy

2 2

2

= + b

y a

x lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ

Bài 8: Dùng tích phân đường để tính diện tích hình phẳng D được giới hạn bởi đường axtrôit x=acos3t, y=asin3t, 0≤t≤2π

………

§3- TÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT

3.1-Điều kiện tồn tại :

Nếu mặt S trơn ( tức là S liên tục và có vectơ pháp tuyến biến thiên liên tục ) và hàm f(x,y,z) liên tục trên mặt S thì tồn tại tích phân mặt loại 1 : f (x, y, z)dS

S

3.2 -Tính chất :

Tích phân mặt loại 1 có các tính chất giống như các tính chất của tích phân kép

3.3- Cách tính : Giả sử hàm f(x,y,z) liên tục trên mặt S

 Trường hợp 1: Mặt S có phương trình z = z(x,y) , có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy

là miền Dxy và hàm z(x,y) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trên Dxy Khi đó

f(x,y,z) dS

S

∂x

⎛

⎝⎜ ⎞⎠⎟

2

+ ∂z

∂y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

dxdy

 Trường hợp 2 : Mặt S có phương trình x = x(y,z) , có hình chiếu xuống mặt phẳng

Oyz là miền Dyz hàm x(y,z) liên tục trên Dyz Khi đó

 Trường hợp 3 : Tương tự

3.4- Ứng dụng :

 Tính diện tích : Diện tích mặt cong S được tính bởi công thức:

 Tính khối lượng : Nếu mặt S có khối lượng riêng tại điểm (x,y,z) là ρ(x,y,z) thì khối lượng mặt S được tính theo công thức :

 Tọa độ trọng tâm : Nếu mặt S có khối lượng riêng tại (x,y,z) là ρ(x,y,z)thì tọa độ trọng tâm G của S được tính bởi công thức :

= ∫∫

S

M

S

M

S

M

………

Bài Tập

Bài 9 : Tính các tích phân mặt loại 1

1) =∫∫ ( + )

S

dS y x

I 2 2 với S là phần mặt nón z2 = x2+y2 nằm giữa z=0, và z=1

2) =∫∫ ( + + )

S

dS z y x

I với S là biên của hình lập phương{0≤x,y,z≤1}

⎠

⎞

⎜

⎝

=

S

dS

y x z

I

3

4

2 với S là phần của mặt phẳng 1

4 3

2+ y+ z =

x nằm trong góc phần tám thứ nhất

4) =∫∫ ( + + )

S

dS xy xz yz

I với S là phần của mặt nón z= x2 +y2 nằm trong mặt trụ

x2+y2-2ax=0, (a>0)

5) =∫∫

S

ydS

I với S là phần của mặt z= x+y2, 0≤x≤1, 0≤y≤2

6) =∫∫ ( + )

S

dS y z z

x

I 2 2 2 2 với S là mặt cầu x2 +y2 +z2 =a2, (a > 0)

7) =∫∫

S

zdS

I với S là biên của vật thể giới hạn bởi các mặt z=0, z = x+1, x2+y2 = 1

y

x z

x 1 z y, z), x(y, f dS z) y, f(x,

2 2

yz D

∂ +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂ +

= ∫∫

∫∫

∫∫

=

S

1dS S

∫∫

=

S

dS z y x

8) =∫∫ ( + )

S

dS z y

I 2 2 với S là phần của mặt paraboloit x= 4-y2-z2 nằm ở trên mặt phẳng x=0

Bài 10: Tính khối lượng của nửa mặt cầu x2 + y2 +z2 = a2 (z ≥ 0) mà mật độ tại mỗi điểm là

a

z z) y, (x,

………

§4- TÍCH PHÂN MẶT LOẠI HAI

4.1- Điều kiện tồn tại :

Nếu mặt S trơn từng khúc và các hàm P , Q , R liên tục trên S thì tồn tại tích phân mặt

loại 2 P dydz + Qdxdz + Rdxdy

S

Tích phân trên mặt kín được ký hiệu là : P dy dz + Qdx dz + Rdx dy

S

 ∫∫

4.2.Liên hệ với tích phân mặt loại 1:

S

Rdxdy Qdxdz

S

dS ) cos R cos Q cos P ( α β γ Với cosα, cosβ, cosγ, là các cosin chỉ phương của vectơ pháp đơn vị của mặt định hướng S

4.3 Tính chất :

 Nếu đổi hứớng của mặt lấy tích phân thì tích phân mặt loại hai đổi dấu Tức là

S

Rdxdy Qdxdz

−

+ +

S

Rdxdy Qdxdz

Pdydz ( Với S- và S là hai mặt định hướng ngược nhau (của cùng một mặt)

 - Nếu S là mặt trụ song song 0z thì : ∫∫S R(x,y,z)dxdy=0

- Nếu S là mặt trụ song song 0y thì : ∫∫ =0

S

dxdz ) z , y , x ( Q

 - Nếu S là mặt trụ song song 0x thì : ∫∫ =0

S

dydz ) z , y , x ( P

-Các tính chất còn lại tương tự tích phân kép

4.4 Cách tính: Đưa về tích phân kép

 Xét tích phân ∫∫

S

dxdy ) z , y , x (

R : Giả sử mặt S có phương trình là z = f(x,y), Dxy là hình

chiếu của S lên mặt phẳng 0xy, →n là vectơ pháp đơn vị của S Ta có công thức

∫∫

S

dxdy ) z , y ,

x

(

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

→

∫∫

∫∫

tù góc một 0z với tạo n nếu dxdy )) y , x ( , y , x ( R

nhọn góc một 0z với tạo n nếu dxdy )) y , x ( , y , x ( R

xy D

xy D

 Tương tự: Mặt S có phương trình x = f(y,z)

∫∫S P(x,y,z)dydz=

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

→

∫∫

∫∫

tù góc một 0x với tạo n nếu dydz ) z , y ), z , y ( ( P

nhọn góc một 0x với tạo n nếu dydz ) z , y ), z , y ( ( P

yz D

yz D

4.5 Công thức Stokes:

Giả sử mặt định hướng S trơn từng khúc với biên là chu tuyến C Các hàm P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) liên tục và có các đạo hàm tiêng liên tục trong miền mở chứa S Khi đó ta có công thức Stokes

∫ + +

P x

Q dxdz

x

R z

P dydz

Q y

R

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

−

∂

∂ +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

∂

∂ +

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

−

∂

∂

trong đó chiều tích phân trên C được lấy theo chiều dương tương ứng của mặt S

4.6 Công thức Gauss – Ostrogratski:

Giả sử V là miền giới hạn bởi mặt kín S trơn từng khúc Các hàm P, Q, R liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền mở chứa V Khi đó ta có công thức Gauss – Ostrogratski

∫∫ + +

S

Rdxdy Qdxdz

∂

∂ +

∂

∂

V

dxdydz z

R y

Q x

trong đó tích phân mặt ở vế trái lấy theo phía ngoài

………

Bài Tập

Bài 11 : Tính các tích phân mặt loại 2

1) =∫∫

S

zdxdy

I với S là mặt ngoài của mặt : 2 1

2 2

2 2

2

= + +

c

z b

y a x

2) I x dydz y dzdx z dxdy

S

2 2

=∫∫ với S là phía ngoài của mặt :