Giáo trình, toán học cao cấp, chương 3, tích phân đường , tích phân mặt
Chương TÍCH PHÂN ĐƯỜNG- TÍCH PHÂN MẶT §1- TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT ∫ f (x, y)dl ∫ f (x, y, z)dl Tích phân đường loại tích phân có dạng : C C Hàm f(x,y) , f(x,y,z) gọi hàm dấu tích phân, C gọi đường cong lấy tích phân ( đường cong Oxy Oxyz) ; dl gọi vi phân cung 1.1- Các tính chất : Tích phân đường loại không phụ thuộc hướng cung lấy tích phân, tức ∩ C = AB : ∫ f(x,y,z)dl = ∫ f(x,y,z)dl ∩ ∩ AB BA ∩ Nếu f,g hàm khả tích C = AB a, b số ∫ [ af (x, y, z) + bg(x, y, z)]dl = a.C f (x, y, z)dl + b.C g(x, y, z)dl ∫ ∫ C Nếu đường cong C chia làm hai phần C1 , C không dẫm lên ∫ f (x, y, z)dl = C∫ f (x, y, z)dl C + ∫ f (x, y, z)dl C2 Nếu f(x,y,z) ≤ g(x,y,z) với (x,y,z) thuộc đường cong C ∫ f (x, y, z)dl ∫ g(x, y, z)dl C C Nếu hàm f (x, y, z) khả tích C ∫ f (x, y, z)dl C ≤ ∫ f (x, y, z) dl C Định lý giá trị trung bình : Nếu f(x,y,z) liên tục cung trơn C , C có độ dài L Khi tồn điểm (x0,y0,z0) thuộc C cho : ∫ f (x, y, z)dl = f(x0,y0,x0)L Khi đại lượng ∫ f (x, y, z)dl gọi giá L C C trị trung bình hàm f(x,y,z) cung C 1.2- Cách tính tích phân đường loại : ⎧ x = x(t) t ⎪ 1.2.1 Trong khoâng gian: Nếu (C) ⎨ y = y(t) với a→ b ⎪ z = z(t) ⎩ b ' ' ' ∫ f (x, y, z)dl = ∫ f(x(t),y(t),z(t)) (x (t)) + (y (t)) + (z (t)) dt C a 1.2.2 Trong mặt phẳng : t ⎧ x = x(t ) TH1: Neáu (C) : ⎨ , a → b ⎩ y = y (t ) ∫ b f ( x, y)dl = ∫ f ( x(t ), y (t )) ( x ' (t )) + ( y ' (t )) dt a C ⎧ y = y ( x) ⎪ TH2:Neáu (C) : ⎨ : x ⎪ a →b ⎩ ∫ ∫ f ( x, y)dl = a f ( x, y( x)) C ⎧ x = x( y ) ⎪ TH3: Nếu (C) ⎨ : y ⎪ a →b ⎩ ∫ C b f ( x, y)dl = b ∫ f ( x( y), y) a + ( y ' ( x)) dx + ( x' ( y )) dy TH4: Nếu đường cong C mặt phẳng tọa độ cực r = r( ϕ ), α ≤ ϕ ≤ β : ∫ C f (x, y)dl = β ∫ f (r(φ )cosφ,r(φ )sinφ ) α (r(φ ))2 + (r ' (φ ))2 dφ 1.3- Các ứng dụng tích phân đường loại 1: Khốâi lượng cung : M= ∫ ρ ( x, y, z)dl ρ ( x, y, z) hàm mật độ khối lượng C Nếu ρ ( x, y, z ) = M = L độ dài C Trọng tâm cung : Trọng tâm G(xo , yo, zo) x0 = 1 ∫ x.ρ (x, y, z)dl ; y = ∫ y.ρ (x, y, z)dl ; z = ∫ z.ρ (x, y, z)dl M C M C M C với M khối lượng cung Momen quán tính : Momen quán tính cung C tính công thức : ( ) ( ) ( ) I x = ∫ y + z ρ ( x, y, z )dl ; I y = ∫ x + z ρ ( x, y, z )dl ; I z = ∫ x + y ρ ( x, y, z )dl C C C ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Bài Tập Bài 1: Tính tích phân đường loại 1: 1) I= ∫ (x − y )d với OB đoạn thẳng nối từ O(0;0) đến B(4;3) OB 2) I = ∫ xyd với L biên hình chữ nhật ABCD, A(0;0), B(4;0), C(4;2), D(0;2) L 3) L 4) ( ) I = ∫ x + y d với L biên hình tam giác OAB, O(0;0), A(1;1), B(-1;1) ( ) I = ∫ x / + y / d với L đường axtroâit L x + y = a (a>0) 5) x2 y2 I = ∫ xyd với L cung đường Elip + = nằm góc phần tư thứ a b L 6) I = ∫ y d với L đường cacđiôit r=a(1+cosϕ), (a>0) L 7) I = ∫ ye − x d với L đường x=ln(1+t2), y=2arctgt–t+3, 0≤t≤1 L 8) ⎧x = a cos t ⎪ I = ∫ y d với L đường xoắn ốc ⎨y = a sin t , (0 ≤ t ≤ 2π) L ⎪z = bt ⎩ 9) ⎧x = t ⎪ 3t ⎪ I = ∫ (x + y )d L đường cong ⎨y = , (0 ≤ t ≤ 1) L ⎪ ⎪z = t ⎩ Bài 2: a) Tìm khối lượng daây : y = ρ(x,y)=1/y a x/a e + e −x / a ( ) từ x = đến x = a biết khối lượng riêng b) Tìm trọng tâm đường đinh ốc đồng chất có khối lượng riêng ρ(x,y,z)=1 ; phương ⎧x = a cos t ⎪ trình đường đinh ốc ⎨y = a sin t , (0≤t≤2π) ⎪z = kt ⎩ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… §2- TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI 2.1 Định nghóa: Cho hai hàm số P(x, y), Q(x, y) xác định cung AB Chia tùy ý cung AB thành n cung nhỏ không dẫm lẫn điểm chia A ≡ A0, A1, A2, …., An ≡ B Gọi hình chiếu → vectơ A A lên trục ox, oy Δxi, Δyi đặt d = max{Δxi, Δyi /i= 1, 2, …, n)} i −1 i Treâøn cung Ai –1Ai lấy tùy ý điểm Mi(xi, yi) lập tổng tích phân In = n ∑ ⎡ P(xi , yi )Δxi + Q(xi , yi )Δyi ⎤ ⎣ ⎦ i =1 Cho n → ∞ cho d → Khi In dần đến giá trị hữu hạn I không phụ thuộc cách chia cung AB cách lấy điểm Mi(xi, yi) giá trị I gọi tích phân đường loại hàm P(x, y), Q(x, y) cung AB Ký hieäu ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy AB n [ lim ∑ P(x i , y i )Δx i + Q(x i , y i )Δy i n→∞ (d → 0) i = ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = AB ] 2.2- Điều kiện tồn tại: Nếu cung AB trơn hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục cung AB tồn tích phân đường loại hai ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy AB 2.3-Chú ý ký hiệu: Nếu C đường cong phẳng tích phân đường loại hai P(x, y), Q(x, y) C ký hiệu ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy C Nếu C đường cong không gian tích phân đường loại hai hàm P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) C ký hiệu : ∫ P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(z, y, z)dz C Nếu đường lấy tích phân đường kín C , ta quy ước chiều dương C chiều mà người dọc theo C theo chiều thấy miền giới hạn C gần phía bên trái 2.4- Tính chất: Khi đổi chiều lấy tích phân tích phân đường loại đổi dấu : ∫ P dx + Q dy = - AB ∫ P dx + Q dy BA Nếu đường cong C chia thành hai phần C1, C2 không dẫm lên ∫ P dx + Q dy = ∫ C ∫ P dx + Q dy + C C P dx + Q dy ∫ α P dx + β Q dy = α ∫ P dx + β ∫ Q dy C C C 2.5- Caùch tính tích phân đường loại 2: ⎧ x = x(t ) t ⎪ TH1: Neáu (C) ⎨ y = y (t ) với a → b ⎪ z = z (t ) ⎩ b ∫ Pdx + Qdy + Rdz = a [P(x(t), y(t), z(t))x (t) + Q(x(t), y(t), z(t))y (t) + R(x(t), y(t), z(t))z (t)]dt ∫ , C , , ⎧ x = x(t ) ⎪ TH2: Neáu (C) : ⎨ ⎪ y = y (t ) ⎩ b t a →b ⎡ , ⎤ ∫ Pdx + Qdy = ∫ ⎢P(x(t ), y(t ))x (t ) + Q(x(t ), y(t ))y (t )⎥dt ⎣ ⎦ c , a b ⎧ y = y ( x) ⎪ TH3: Nếu (C) : ⎨ ∫ Pdx + Qdy = ∫ P(x, y ( x) ) + Q(x, y ( x) )y , ( x) dx x ⎪ a →b ⎩ a c [ ] b ⎧ x = x( y ) ⎪ TH4: Neáu (C) ⎨ ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫ [P(x( y), y )x' ( y ) + Q(x( y ), y )]dy y ⎪ a →b ⎩ a c 2.6 - Công thức Green: Nếu ⎧⋅ D miền đóng, bị chặn mặt phẳng 0xy, có biên đường cong (C) trơn khúc ⎨ ⎩ ⋅ Các hàm P(x, y) , Q(x, y) có đạo hàm riêng cấp liên tục miền mở chứa D Khi ta có công thức Green: ⎛ ∂Q ∂P ⎞ P dx + Q dy = ∫∫ ⎜ ∂x − ∂y ⎟ dxdy ∫ ⎝ ⎠ C D tích phân đường vế trái lấy theo chiều dương C 2.7- Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân: 2.7.1- Trong mặt phẳng: Giả sử hàm P(x, y), Q(x, y) có đạo hàm riêng cấp liên tục miền mở đơn liên D Khi mệnh đề sau tương tương: ∫ P dx + Q dy không phụ thuộc vào dạng đường cong trơn khúc nối A với B AB mà phụ thuộc điểm đầu A, điểm cuối B P dx + Q dy = 0, ∫ ∀ đường kín C trơn khúc nằm D C ∂Q ∂P = , ∂x ∂y ∀(x, y) ∈D Toàn hàm U(x,y) cho dU = P(x, y) dx+ Q(x, y) dy , ∀(x, y) ∈ D 2.7.2- Trong không gian: Giả sử hàm P(x, y,z), Q(x, y, z), R(x, y, z) có đạo hàm riêng cấp liên tục miền mở đơn liên D không gian 0xyz Khi mệnh đề sau tương đương: ∫ P dx + Q dy + R dz không phụ thuôc vào dạng đường trơn khúc D nối A với B AB mà phụ thuộc điểm đầu A, điểm cuối B P dx + Q dy + R dz = 0, ∫ ∀ đường kín C trơn tùng khúc D C ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P = = , , , ∀ (x, y, z) ∈ D = ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Tồn hàm u(x, y, z) cho du = Pdx +Qdy + Rdz , ∀ (x, y, z) ∈ D Hệ 1: Nếu Pdx + Qdy vi phân toàn phần hàm u(x,y) ∫ Pdx + Qdy = u(B) – u(A) , ∀A, B nằn D AB Hệ 2: Nếu D = R2 Pdx + Qdy vi phân toàn phần hàm u(x, y) cho công thức: U(x, y) = y ∫ x P( x, y )dx + 0 y x x P( x, y )dy + C hay U(x, y) = ∫ Q( x , y )dy + ∫ P( x, y )dx + C ∫ y y x 2.8- Ứng dụng tích phân đường loại 2: → → → → Tính công : Công trường lực F (x, y, x) = P i + Q j +R k sinh dọc theo đường cong C W tính theo công thức: W= ∫ Pdx + Qdy + Rdz C Tính diện tích: Diện tích hình phẳng đơn liên D tính theo công thức : S(D) = ∫ x dy − y dx = x dy = −y dx với C biên D lấy theo chiều dương ∫ ∫ 2 C C C ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Bài Tập Bài 3: Tính tích phân đường loại : 1) I = ∫ xydx với L cung parabol y2=x, từ A(1;-1) đến B(1;1) L 2) I = ∫ (xy − 1)dx + x ydy với L cung nối A(1;0), B(0;2) L a) theo đường thẳng AB b) theo cung parabol y2 = 4(1-x) 3) I = ∫ 2xdx − (x + 2y )dy L chu vi tam giác ABC theo chiều ngược chiều L kim đồng hồ với A(-1,0); B(0,2); C(2,0) x dy − y dx 4) I= ∫ với L cung axtrôit có phương trình x=Rcos3t y=Rsin3t 2 L x x +y y 5) I = ∫ x dx + y dy với C nửa đường tròn x2+y2=4, chiều từ A(-2;0) đến B(2;0) C xdy − ydx với L cung nối từ A(-a;0) đến B(a,0), (a>0) 2 L x +y 6) I= ∫ 7) I = (x + 2y )dx + ydy (x + y )2 (1;1) ( 3;1) ∫ 8) I = ∫ xy dy − x ydx L :x2+y2=R2 L xdy − ydx ; L: x + y = a 2 L x +y dx + dy 10) I = ∫ với L đường nối theo chiều từ A(1;0)→B(0;1)→C(-1;0) x+y L 9) I = ∫ 11) I = ∫ (xy + x + 1)dx + (xy + x − y )dy , C: C 12) ∫ (x + y ) dx − (x − y ) dy L với L biên miền D giới hạn đường y=x y=x2 (x + y )dx − (x − y )dy 13) I = ∫ x2 y2 + = lấy theo chiều dương a2 b2 C đường tròn x2+y2=R2 theo chiều ngược chiều x +y kim đồng hồ 14) I = ∫ xydx + ydy − yzdz C đường cong cho phương trình tham số : C C ⎧x = t ⎪ ⎨y = t ⎪z = t ⎩ 15) I = 16) (0 ≤ t ≤ 1) (1, 2,3 ) ∫ ( ( ) 2xydx + x − z dy − 2yzdz 0,0,0 ) (2,3, −4 ) ∫ ) xdx + y ( dy − z dz 1,1,1 17) I = (2,1,1) ⎛ (1, 2,1) ⎝ x ∫ (2x ln y − yz)dx + ⎜ y ⎜ ⎞ − xz ⎟dy − xydz ⎟ ⎠ Baøi 4: Hãy chứng tỏ biểu thức dấu tích phân đường sau biểu thức vi phân toàn phần hàm u(x,y) Tìm hàm u(x,y) tính tích phân cho a) I = b) I = ( 2; ) ∫ xdy + ydx (−1; ) (1;1) ∫ ()x + y )dx + (x + y + 1)dy ( 0; (x − y ) Biểu thức Pdx+Qdy có phải x+y ; Q( x , y ) = − 2 x +y x + y2 vi phân toàn phần hàm u(x,y) hay không ? Tính : I1 = ∫ Pdx + Qdy; I = ∫ Pdx + Qdy với A(1;0), B(-1;0), C(0;1), D(0;-1) Bài 5: Cho p(x,y)= P(x, y) = ABC Bài 6: ADB Xác định m để (x − y )dx + (x + y )dy (x Tìm u(x,y) +y ) m vi phân toàn phần hàm u(x,y) Bài 7: Tính tích phân đường sau 1) ( ) ( ) I = ∫ x + y dx + x − y dy với L chu vi tam giác OAB lấy theo chiều ngược L chiều kim đồng hồ với O(0;0), A(1;0), B(0;1) 2) I = ∫ − x ydx + x + y dy với L : x2+y2=R2 L 3) ( ) ( ) I = ∫ x ydx + x dy C chu tuyến dương miền giới hạn đường C y = x vaø x = y 4) I = ∫ (6y + x )dx + (y + 2x )dy C đường tròn (x − 2) + (y − 3) = 2 C 5) I = ∫ (xy + x + y )dx + (xy + x − y )dy C đường êlip C x2 y2 + = lấy theo a2 b2 chiều ngược chiều kim đồng hồ Bài 8: Dùng tích phân đường để tính diện tích hình phẳng D giới hạn đường axtrôit x=acos3t, y=asin3t, 0≤t≤2π ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… §3- TÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT 3.1-Điều kiện tồn : Nếu mặt S trơn ( tức S liên tục có vectơ pháp tuyến biến thiên liên tục ) hàm f(x,y,z) liên tục mặt S tồn tích phân mặt loại : ∫∫ f (x, y, z)dS S 3.2 -Tính chất : Tích phân mặt loại có tính chất giống tính chất tích phân kép 3.3- Cách tính : Giả sử hàm f(x,y,z) liên tục mặt S Trường hợp 1: Mặt S có phương trình z = z(x,y) , có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy miền Dxy hàm z(x,y) liên tục có đạo hàm riêng liên tục Dxy Khi ⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ ∫∫ f(x,y,z) dS = ∫∫ f ( x,y,z(x,y)) 1+ ⎜ ∂x ⎟ + ⎜ ∂y ⎟ dxdy ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ S Dxy Trường hợp : Mặt S có phương trình x = x(y,z) , có hình chiếu xuống mặt phẳng Oyz miền Dyz hàm x(y,z) liên tục Dyz Khi 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂x ⎞ f(x, y, z) dS = ∫∫ f (x(y, z), y, z ) + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dydz ∫∫ ⎜ ⎟ ⎝ ∂z ⎠ ⎝ ∂y ⎠ D yz S Trường hợp : Tương tự 3.4- Ứng dụng : Tính diện tích : Diện tích mặt cong S tính công thức: S = ∫∫1dS S Tính khối lượng : Nếu mặt S có khối lượng riêng điểm (x,y,z) ρ (x, y, z) khối lượng mặt S tính theo công thức : M = ∫∫ ρ ( x, y, z )dS S Tọa độ trọng tâm : Nếu mặt S có khối lượng riêng (x,y,z) ρ (x, y, z) tọa độ trọng tâm G S tính công thức : xG = M ∫∫ xρ ( x, y, z)dS , S yG = M ∫∫ yρ ( x, y, z)dS , zG = M ∫∫ zρ ( x, y, z)dS S S ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Bài Tập Bài : Tính tích phân mặt loaïi 1) S 2) ( ) I = ∫∫ x + y dS với S phần mặt nón z2 = x2+y2 nằm z=0, z=1 I = ∫∫ (x + y + z )dS với S biên hình lập phương{0≤x,y,z≤1} S 3) 4) x y z 4y ⎞ ⎛ I = ∫∫ ⎜ z + 2x + ⎟dS với S phần mặt phẳng + + = nằm góc ⎠ S ⎝ phần tám thứ I = ∫∫ (yz + xz + xy )dS với S phần mặt nón z = x + y nằm mặt trụ S x2+y2-2ax=0, (a>0) 5) I = ∫∫ ydS với S phần maët z= x+y2, 0≤x≤1, 0≤y≤2 S 6) ( ) I = ∫∫ x z + z y dS với S mặt cầu x + y + z = a , (a > 0) S 7) I = ∫∫ zdS với S biên vật thể giới hạn mặt z=0, z = x+1, x2+y2 = S ( ) 8) I = ∫∫ y + z dS với S phần mặt paraboloit x= 4-y2-z2 nằm mặt phẳng S x=0 Bài 10: Tính khối lượng nửa mặt cầu x2 + y2 +z2 = a2 (z ≥ 0) mà mật độ z a ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… điểm ρ (x, y, z) = §4- TÍCH PHÂN MẶT LOẠI HAI 4.1- Điều kiện tồn : Nếu mặt S trơn khúc hàm P , Q , R liên tục S tồn tích phân mặt loại ∫∫ P dy dz + Q dx dz + R dx dy S Tích phân mặt kín ký hiệu laø : P dy dz + Q dx dz + R dx dy ∫S∫ 4.2.Liên hệ với tích phân mặt loại 1: ∫∫ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = ∫∫ (P cos α + Q cos β + R cos γ )dS S Với cosα, cosβ, cosγ, S cosin phương vectơ pháp đơn vị mặt định hướng S 4.3 Tính chất : Nếu đổi hứớng mặt lấy tích phân tích phân mặt loại hai đổi dấu Tức ∫∫ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = - ∫∫ (Pdydz + Qdxdz + Rdxdy Với S S - S hai mặt định S− hướng ngược (của mặt) - Nếu S mặt trụ song song 0z : ∫∫ R( x, y, z)dxdy = S - Nếu S mặt trụ song song 0y : ∫∫ Q(x, y, z)dxdz = S - Nếu S mặt trụ song song 0x : ∫∫ P(x, y, z)dydz = S -Các tính chất lại tương tự tích phân kép 4.4 Cách tính: Đưa tích phân kép Xét tích phân ∫∫ R(x, y, z)dxdy : Giả sử mặt S có phương trình z = f(x,y), D xy S → chiếu S lên mặt phẳng 0xy, n vectơ pháp đơn vị S Ta có công thức hình → ⎧ R(x, y, f (x, y))dxdy n tạo với 0z góc nhọn ⎪ ∫∫ ⎪D ⎪ xy ∫∫ R(x, y, z)dxdy = ⎨ → ⎪ − R(x, y, f (x, y))dxdy n tạo với 0z góc tù S ⎪ ∫∫ ⎪ Dxy ⎩ Tương tự: Mặt S có phương trình x = f(y,z) → ⎧ P(f (y, z), y, z)dydz neáu n tạo với 0x góc nhọn ⎪ ∫∫ ⎪D ⎪ = ⎨ yz ∫∫ P( x, y, z)dydz ⎪ → S − ∫∫ P(f (y, z), y, z)dydz neáu n tạo với 0x góc tù ⎪ ⎪ Dyz ⎩ 4.5 Công thức Stokes: Giả sử mặt định hướng S trơn khúc với biên chu tuyến C Các hàm P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) liên tục có đạo hàm tiêng liên tục miền mở chứa S Khi ta có công thức Stokes ⎛ ∂R ∂Q ⎞ ⎛ ∂P ∂R ⎞ ⎛ ∂Q ∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫ ⎜ ∂y − ∂z ⎟dydz + ⎜ ∂z − ∂x ⎟dxdz + ⎜ ∂x ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ C S − ∂P ⎞ ⎟dxdy ∂y ⎟ ⎠ chiều tích phân C lấy theo chiều dương tương ứng mặt S 4.6 Công thức Gauss – Ostrogratski: Giả sử V miền giới hạn mặt kín S trơn khúc Các hàm P, Q, R liên tục có đạo hàm riêng liên tục miền mở chứa V Khi ta có công thức Gauss – Ostrogratski ⎛ ∂P ∂Q ∫∫ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = ∫∫∫ ⎜ ∂x + ∂y ⎜ ⎝ S V + ∂R ⎞ ⎟dxdydz ∂z ⎟ ⎠ tích phân mặt vế trái lấy theo phía ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Bài Tập Bài 11 : Tính tích phân mặt loại 1) x2 y2 z2 I = ∫∫ zdxdy với S mặt mặt : + + = a b c S 2) I = ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy với S phía mặt : S x + y + z = a2 , z ≥ 3) I = ∫∫ (y − z )dydz + (z − x )dzdx + (x − y )dxdy với S phía mặt nón : S x + y = z ,0 ≤ z ≤ h 4) I = ∫∫ z dydz + xdxdz − 3zdxdy với S mặt phía phần mặt trụ : S 5) z= 4-y2, giới hạn x=0, x=1, z=0 I = ∫∫ xzdydz + yzdxdz + dxdy với S phía chỏm cầu : S x + y + z ≤ 25; ≤ z ≤ 6) I = ∫∫ x dydz + y dxdz + z dxdy với S mặt mặt nón : S x y2 z2 + = ;0 ≤ z ≤ a2 a b 8) I = ∫∫ (x − y + z)dydz + (y − z + x)dxdz + (z + y − x)dxdy với S mặt mặt : 7) S x − y + z + y −z + x + z − x + y =1 Bài 12 : Tính tích phân mặt loại (có thể dùng công thức Gauss – Ostrogratski ) 1) 2) x2 y2 z2 + + =1 a2 b2 c2 S I = ∫∫ (y − x )dydz + (z − y )dxdz + (x − z )dxdy S mặt phía hình I = ∫∫ z dxdy với S mặt elipxôit S ⎧− ≤ x ≤ ⎪ lập phương V : ⎨− ≤ y ≤ ⎪− ≤ z ≤ ⎩ Bài 13 : Tính tích phân đường 1) I = ∫ 2ydx − xdy + xdz với L giao tuyến x + y = vaø z = y+1 L 2) I = ∫ 2ydx + zdy + 3ydz với L giao tuyến x + y + z = 6z với z = - x L 3) I = ∫ yzdx + xzdy + xydz với L giao tuyến x2+y2 = với z = y2 L 4) I = ∫ (y − z )dx + (z − x )dy + (x − y )dz với L giao tuyến x2+y2 = a2 với L 5) x z + = 1; a h I = ∫ (y − z )dx + (z − x )dy + (x − y )dz với L giao tuyến hình lập phương: L 0≤ x ≤a, ≤ y ≤ a ; ≤ z ≤ a với mặt phẳng x+y+z = Bài 14: Tính tích phân mặt loại 1) I = 3a dydz dxdz dxdy x y2 z2 , với S mặt mặt : + + + + = ∫∫ x y z a b2 c2 S 2) I = ∫∫ x dydz + y dxdz + z dxdy , với S mặt mặt : S (x – a)2 + (y – b)2+ (z – c)2 = R2 3) I = ∫∫ x dydz + y dxdz + z dxdy , S mặt phía nửa mặt cầu S x + y2 + z2 = R2 , z ≥ 4) = I = ∫∫ x y zdxdy ; với S mặt nửa mặt cầu x2 + y2 + z2 = R2 , z ≤ S ... D tích phân đường vế trái lấy theo chiều dương C 2. 7- Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân: 2.7. 1- Trong mặt phẳng: Giả sử hàm P(x, y), Q(x, y) có đạo hàm riêng cấp. .. (x, y, z)dS S 3. 2 -Tính chất : Tích phân mặt loại có tính chất giống tính chất tích phân kép 3. 3- Cách tính : Giả sử hàm f(x,y,z) liên tục mặt S Trường hợp 1: Mặt S có phương trình z = z(x,y)... ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ? ? 3- TÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT 3. 1-? ?iều kiện tồn : Nếu mặt S trơn ( tức S liên tục có vectơ pháp tuyến biến thiên liên tục ) hàm f(x,y,z) liên tục mặt S tồn tích phân mặt loại : ∫∫ f