Chương 5: TRỊ RIÊNG - VECTƠ RIÊNG 1. Trị riêng của phép biến đổi tuyến tính: Cho f là phép biến đổi tuyến tính trong n R . Số thực λ được gọi là giá trị riêng của f nếu có vectơ x ≠ 0 , x ∈ n R sao cho f(x)= λ x (1) Vectơ x thoả mãn (1) được gọi là vecto riêng của f ứng với trị riêng λ . 2. Trị riêng của ma trận : Cho A là ma trận vuông cấp n . số λ là được gọi là giá trị riêng của A nếu tồn tại vectơ X ≠ 0 sao cho AX= λ X . Lúc này A gọi là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ . Định lí 1: Cho A là ma trận vuông cấp n. - Số thực λ được gọi là giá trị riêng của A nếu thỏa mãn phương trình: det (A- λ I)=0 (3) - Vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ là nghiệm của hệ phương trình thuần nhất: (A- λ I)X=0 (4) + Phương trình (3) gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A +Vế trái của A gọi là đa thức đặc trưng của A Định lí 2:Các vectơ riêng của A ứng với các giá trị riêng khác nhau của A thì độc lập tuyến tính. Định lí 3: Nếu A là ma trận tam giác cấp n, thì giá trị riêng của A là các phần tử trên đường chéo chính. 3. Chéo hóa ma trận vuông cấp n: -Định nghĩa 2:( ma trận đồng dạng) Hai ma trận vuông cấp n A,B được gọi đồng dạng nếu tồn tại ma trận vuông P cấp n (det P ≠ 0) sao cho: B= 1 P − AP Khi đó ta kí hiệu A : B Định lí 4: Các ma trận đồng dạng có các trị riêng giống nhau. Định li 5:Ma trận vuông A cấp n đồng dạng với ma trận chéo nếu và chỉ nếu A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính Trong trường hợp này nếu đặt P= 1 2 n X X X Thì 1 P − AP= 1 2 0 0 0 0 0 0 0 n λ λ λ Trong đó 1 λ , 2 λ , , n λ là các giá trị riêng của A (không nhất thiết phải khác biệt) tương ứng với các vecto riêng 1 X , 2 X , , n X . Định nghĩa 3: Ma trận vuông cấp n đồng dạng với ma trận chéo được gọi là ma trận có thể chéo hóa . Định li 6: Nếu ma trận vuông cấp n có n trị riêng khác biệt thì có thể chéo hóa được . Các bước thực hiện việc chéo hóa ma trận vuông cấp n: Bước 1: Giải phương trình đặc trưng det (A- λ I)=0 tìm các giá trị riêng 1 λ , 2 λ , , n λ Bước 2: Tìm n vectơ riêng độc lập tuyến tính 1 X , 2 X , , n X của A tương ứng với các trị riêng 1 λ , 2 λ , , n λ . Nếu không tồn tại n vectơ riêng độc lập tuyến tính thì A không thể chéo hóa được . Bước 3: Lập ma trận vuông P= 1 2 n X X X . Bước 4: Ma trận chéo D= 1 P − AP có các trị riêng 1 λ , 2 λ , , n λ trên đường chéo chính . Thứ tự của các vectơ riêng trong ma trận P xác định thứ tự của các trị riêng trên đường chéo chính của D. 4. Chéo hóa ma trận đối xứng bằng ma trận trực giao: a. Ma trận đối xứng: Ma trận vuông A gọi là đối xứng nếu A= T A (có các phần tử giống nhau đối xứng nhau qua đường chéo chính). b. Ma trận trực giao: Ma trận vuông A gọi là trực giao nếu A không suy biến và T A = 1 A − Tính chất của ma trận trực giao: - A = 1± -Tổng bình phương của các phần tử trên mỗi dòng (cột)bằng 1 -Tổng các tích của các phần tử trên một dòng (cột) nhân với các phần tử tương ứng trên một dòng(cột) khác băng 0, tức là: ij 1 0 k kj i a a = = ∑ i,k =1,2, ,n, i ≠ k Định lí :Với mỗi ma trận đối xứng A luôn tồn tại ma trận trực giao sao cho 1 P − AP là ma trận chéo . Chương 5: TRỊ RIÊNG - VECTƠ RIÊNG 1. Trị riêng của phép biến đổi tuyến tính: Cho f là phép biến đổi tuyến tính trong n R . Số thực λ được gọi là giá trị riêng của f nếu. vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ . Định lí 1: Cho A là ma trận vuông cấp n. - Số thực λ được gọi là giá trị riêng của A nếu thỏa mãn phương trình: det (A- λ I)=0 (3) - Vectơ riêng. x thoả mãn (1) được gọi là vecto riêng của f ứng với trị riêng λ . 2. Trị riêng của ma trận : Cho A là ma trận vuông cấp n . số λ là được gọi là giá trị riêng của A nếu tồn tại vectơ X ≠ 0