CHƯƠNG 4 TRỊ RIÊNG, VECTƠ RIÊNG - BÀI GIẢNG TOÁN A2

CHƯƠNG 4 CHƯƠNG 4 1. Trò riêng, vectơ riêng :  Bài toán tìm trò riêng, vectơ riêng TRỊ RIÊNG, VECTƠ RIÊNG  Ta nghiên cứu bài toán tìm nghiệm của hệ hai phương trình vi phân tuyến tính :        −= −= wv dt dw wv dt dv 32 54 (4.1) thỏa điều kiện đầu       − − =       =       = 32 54 , 5 8 ; )( )( )( 0 Au tw tv tu (4.2) v = 8, w = 5 khi t = 0 Đặt : (4.3) Bài toán (4.1), (4.2) có thể viết lại dưới dạng ma trận : Au dt du = (4.5) u = u 0 khi t = 0 (4.4) Nghiệm được tìm dưới dạng : (4.6) u (t) = e λt x       = z y x (4.8) Ax = λx (4.7) Trong đó : Thế (4.6) vào (4.4) ta thu được : hoặc (4.9) (A - λI) x = 0 Thậy vậy, ứng với mỗi trò số λ, vectơ x = 0 luôn thỏa phương trình Ax = λx. Nhưng vectơ x = 0 không thú vò trong việc xây dựng nghiệm u (t) = e λt x . . Vì vậy ta cần xác đònh những trò số λ mà ứng với chúng cectơ riêng x khác không. Điều này chỉ có thể khi hạng của ma trận A - λI nhỏ hơn cấp của nó, tức là ma trận này phải là ma trận suy biến.       −− −− =− λ λ λ 32 54 IA Rõ ràng là vectơ x không thuộc không gian không của ma trận.  Đònh nghóa trò riêng, vectơ riêng. Cho A là ma trận vuông cấp n. Vô hướng λ được gọi là trò riêng của ma trận A nếu tồn tại vectơ khác không v thỏa mãn phương trình : Av = λv (4.10) Vectơ khác không v được gọi là vectơ riêng của ma trận. Trò riêng, vectơ riêng còn được gọi là trò đặc trưng, vectơ đặc trưng. Cần nhấn mạnh rằng, vectơ riêng phải khác không. Cho v là vectơ không làm cho đònh nghóa trở thành vô nghóa, vì A0 = λ0 đúng với mọi giá trò thực λ. Ngược lại, trò riêng có thể bằng không. Đònh lý 1 : Cho A là ma trận vuông cấp n. i. Trò riêng của ma trận A là vô hướng λ nghiệm đúng phương trình det (A - λI) = 0 (4.11) ii. Vectơ riêng của ma trận A tương ứng với trò riêng λ là nghiệm không tầm thường của hệ phương trình thuần nhất. (A - λI) v = 0 (4.12) Phương trình (4.11) được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A. Vế trái của phương trình Bây giờ ta quay về bài toán tìm trò riêng, vectơ riêng đặt ra ở đầu chương. Phương trình (4.11) có dạng : (4.11) được gọi là đa thức đặc trưng. Trò riêng là nghiệm của đa thức đặc trưng của ma trận A. Vì đa thức đặc trưng của ma trận A là đa thức bậc n, ma trận A có thể có nhiều nhất n trò riêng phân biệt. 10)3)(4( 32 54 det +−−−=       −− −− λλ λ λ 0)2)(1(2 2 =−+=−−= λλλλ Ma trận A trong trường hợp cụ thể đang xét có hai trò riêng phân biệt là λ 1 = -1 và λ 2 = 2. Ta tìm vectơ riêng tương ứng với mỗi trò riêng bằng cách giải hệ phương trình thuần nhất (4.12).       =             − − =−−= 0 0 22 55 )(,1 11 z y xIA λλ Nghiệm không tầm thường là vectơ       = 1 1 11 ax a 1 là vô hướng bất kỳ khác không.       =             − − =−= 0 0 52 52 )(,2 22 z y xIA λλ Thế các vectơ riêng x 1 , x 2 vào (4.6) ta thu được hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình vi phân (4.4) (cho a 1 = a 2 = 1). Nghiệm khác không là vectơ       = 2 5 22 ax a 2 là vô hướng bất kỳ khác không.       == − 1 1 )( 11 1 t t exetu λ       == 2 5 )( 2 22 2 t t exetu λ (4.13) Phương trình (4.4) tuyến tính nên theo quy tắc công nghiệm, tổ hợp tuyến tính của hai nghiệm độc lập tuyến tính (4.13) cũng là nghiệm của (4.4). .)( 2211 21 xeCxeCtu tt λλ += (4.14) Hai hằng số C 1 và C 2 được xác đònh bằng điều kiện ban đầu khi t = 0. C 1 x 1 + C 2 x 2 = u 0 . (4.15) Hoặc       =             5 8 21 51 2 1 C C (4.15’) [...]... với mỗi trò riêng λi Thí dụ : Tìm không gian đặc trưng của ma trận : 1 A= 4 2  3 Trước tiên cần tìm trò riêng và vectơ riêng Phương trình đặc trưng : 1− λ A − λI = 4 Hoặc : 2 2 = λ − 4 − 5 = 0 3−λ (λ + 1)(λ − 5) = 0 Ma trận A có hai trò riêng λI = -1 , λ2 = 5 Tìm vectơ riêng 1 + 1 λ1 = −1 A − λ1 I =  4 2 = 4 1 ( A − λ1 I )v =  0   3 + 1 2 2 1  ~ 0 4  1  0 x2 = -x1, x1 là... mỗi trò riêng λ, tìm các vectơ riêng tương ứng với λ, bằng cách giải hệ phương trình thuần nhất ( A - λ,I ) v = 0 Dùng các phép toán sơ cấp để rút gọn ma trận vuông cấp n A - λ, I, ma trận rút gọn chứa ít nhất một hằng toàn số không Thí dụ : 1 Tìm trò riêng, vectơ riêng của ma trận 1 0 A= 4  −2 −1 4 0   0  −1  Bước 1 : Lập phương trình đặc trưng 1− λ A − λI = 0 4 −2 0 −1 − λ 0 =0 4 −1 −...   2    y3  0      Vectơ riêng v2 ứng với trò riêng : 1  λ2 = 1 : v2 = β 1 ;   0    y1 y2 = β ≠ 0 là biến tự do Với trò riêng kép λ2 = 1 cũng thu được một vectơ riêng độc lập tuyến tính cho β=1 1  1  v2 =   0    Ta nhận thấy tương ứng với một trò riêng kép (bội 2) ma trận A chỉ có một vectơ riêng độc lập tuyến tính 3 Tìm trò riêng, vectơ riêng của ma trận 2 0 A= 0... ≥ 4, thì việc tính toán trò riêng, vectơ riêng gặp rất nhiều khó khăn Hiện nay người ta sử dụng các phương pháp tính gần đúng để tìm trò riêng, vectơ riêng Có một số dạng ma trận, chẳng hạn ma trận tam giác, việc tính toán các trò riêng rất đơn giản Đònh lý 2 : Nếu A là ma trận tam giác cấp n, thì các trò riêng của nó là các phần tử trên đường chéo chính Thí dụ : Tìm trò riêng của ma trận tam giác... chung, trò riêng và vectơ riêng đóng vai trò cực kỳ quan trọng trong tất cả các bài toán của hệ động lực  Các bước giải bài toán tìm trò riêng, vectơ riêng Cho ma trận vuông cấp n A Bước 1 : Lập phương trình đặc trưng [ A - λI ] = 0 Phương trình đặc trưng là phương trình đa thức cấp n đối với biến λ Bước 2 : Giải phương trình đặc trưng tìm các nghiệm thức Các nghiệm này là các trò riêng của ma trận...Giải (4. 15’) ta thu được C1 = 3 và C2 = 1 Vậy nghiệm của phương trình vi phân (4. 4) là : 1 2 t 5  u (t ) = 3C   + e   1  2 −1 (4. 16) Tách ra hai thành phần riêng biệt từ (4. 16) ta thu được nghiệm của hệ phương trình vi phân xuất phát (4. 1) : −1 2t u (t ) = 3C w(t ) = 3C + 5e −1 + 2e 2t (4. 17) Qua thí dụ trên ta thấy rằng : trò riêng và vectơ riêng là chìa khóa để tìm... trò riêng phân biệt : λ1 = 2, λ2 = 1, λ3 = -3 b p dụng đònh lý 2, ta lấy ba phần tử trên đường chéo chính của ma trận đã làm cho ba trò riêng : λ1 = 2, λ2 = 1, λ3 = -3 2 Không gian đặc trưng :  Đònh nghóa : Cho A là ma trận vuông cấp n, tương ứng với mỗi trò riêng λi ta tìm được vectơ riêng v khi đó cv, c ∈ R và c ≠ 0, cũng là trò riêng vì : A(cv) = c(Av) = c(λiv) = λi(cv) Nếu v1 và v2 là 2 vectơ riêng. .. với 3 ẩn cơ sở y1, y2, y3 (các thành phần của vectơ v2) chỉ có một phương trình y1 - y2 = 0, vì vậy có hai biến tự do : y1 = a, y3 = β, a, β ≠ 0 1  1  (cho a = 1) v2 =   0    và 0  0 (cho β = 1) v3 =   1    Mọi vectơ riêng khác tương ứng với trò riêng kép λ2 = -1 biểu thò bằng tổ hợp tuyến tính của v 2 và v3 2 Tìm trò riêng, vectơ riêng của ma trận −1 2 1 A= 0  0 0 0   0... hai vectơ độc lập tuyến tính 1  0  v1 =   0    0  0  v2 =   1    Vectơ riêng bất kỳ của A là tổ hợp tuyến tính của v 1, và v2, v = C1v1 + C2v2 Từ các thí dụ 1, 2, và 3 ta có thể rút ra một nhận xét tổng quát là khi ma trận có một trò riêng bội hai, bội ba tương ứng có thể có vô số vectơ riêng độc lập tuyến tính hoặc nhỏ hơn bậc bội Khi ma trận vuông cấp n ≥ 4, thì việc tính toán. .. A(cv) = c(Av) = c(λiv) = λi(cv) Nếu v1 và v2 là 2 vectơ riêng tương ứng với một trò riêng λi, thì tổng của chúng cũng là một vectơ riêng tương ứng với một trò riêng λi Thật vậy, A(v1 + v2 ) = Av1 + Av2 = λiv1 + λiv2 = λi(v1 + v2 ) Nói cách khác, tập hợp các vectơ riêng tương ứng với một trò riêng cho trước λi, cùng với vectơ không lập thành không gian con Ei của Rn Không gian con đặc biệt Ei của Rn được . CHƯƠNG 4 CHƯƠNG 4 1. Trò riêng, vectơ riêng :  Bài toán tìm trò riêng, vectơ riêng TRỊ RIÊNG, VECTƠ RIÊNG  Ta nghiên cứu bài toán tìm nghiệm của hệ hai phương. nhiên liệu. Nói chung, trò riêng và vectơ riêng đóng vai trò cực kỳ quan trọng trong tất cả các bài toán của hệ động lực.  Các bước giải bài toán tìm trò riêng, vectơ riêng Cho ma trận vuông. phương trình Bây giờ ta quay về bài toán tìm trò riêng, vectơ riêng đặt ra ở đầu chương. Phương trình (4. 11) có dạng : (4. 11) được gọi là đa thức đặc trưng. Trò riêng là nghiệm của đa thức đặc