Giáo trình toán học cao cấp chương 4 chuỗi số

III/ CÁC TIÊU CHUẨN HỘI TỤ: A... Tiêu chuẩn D’alembert Xét sự hội tụ chuỗi... Nên giới hạn của chuỗi khác không.. Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy Xét sự hội tụ của chuỗi... Tính chất: a/ Có

CHƯƠNG 4: CHUỖI CHUỖI SỐ

I KHÁI NIỆM:

- Chuỗi số: Cho dãy số thực u u u u1 , 2 , , 3 4 ,  Biểu thức

1

n n

u





 = u1+u2+…+un+… gọi là chuỗi số Và u1, u2, … un,… : số hạng của chuỗi; un : goi là số hạng tổng quát

- Tổng riêng thứ n của chuỗi: Sn=

1

n k k

u



 = u1 +u2+…+un

- Tổng của chuỗi:







1

n

k

S S u ( nếu tồn tại giới hạn)

- Chuỗi hội tụ: S hữu hạn

- Chuỗi phân kì:  S hoặc không tồn tại giới hạn

II/ TÍNH CHẤT

1/

1

n n

u





 hội tụ khi và chỉ khi phần dư 

 

 1

n

n k

u hội tụ (k 1)

2/ Nếu chuỗi  

;

u A v B cùng hội tụ thì







 1

;

n n

cu c A





 1

( n n)

n

u v A B hội tụ với hằng số c  R

3/ Nếu chuỗi số

1

n n

u





 hội tụ thì lim n 0

  (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) Hệ quả (đảo): Nếu lim 0

n u hoặc không tồn tại thì chuỗi

1





 n n

u là phân kỳ

4/ Tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi (1) không thay đổi nếu ta bỏ đi (hoặc thêm vào) một

số hữu hạn các số hạng

III/ CÁC TIÊU CHUẨN HỘI TỤ:

A Chuỗi số dương:

Chuỗi số

1

n n

u





 được gọi là chuỗi số dương nếu các số hạng của nó là các số dương

Nhận xét: Nếu chuỗi

1

n n

u





 là chuỗi số dương thì dãy tổng riêng Sn là một dãy tăng nên nó sẽ có giới hạn nếu bị chặn trên

TCSS1: Cho hai chuỗi số dương

;

Giả sử  n0 sao cho  n  n0 thì un vn

 Nếu

1

n n

u





 phân kỳ thì

1

n n

v





 phân kỳ

 Nếu

1

n n

v





 hội tụ thì

1

n n

u





 hội tụ

TCSS2: Cho hai chuỗi số dương

;

  và giả sử lim n

n n

u K v

 

 K=0 :

1

n n

v





 hội tụ thì

1

n n

u





 hội tụ

 0< K <+ thì hai chuỗi cùng hội tụ hoặc phân kỳ

 K=+ u n



 hội tụ thì v n



 hội tụ

B Chuỗi có dấu bất kì:

1 Chuỗi đan dấu: là chuỗi có dạng

1

( 1)n n n

u







 với un>0 , n 1

Ví dụ: Các chuỗi

( 1) ( 1) ;

2

n n

n





  là các chuỗi đan dấu

Chuỗi thỏa điều kiện của định lý Leibnitz được gọi là chuỗi Leibnitz

2 Chuỗi có dấu bất kì:

Định lý: Nếu chuỗi số

1

n n

u





 hội tụ thì chuỗi

1

n n

u





 hội tụ

Định nghĩa: Nếu chuỗi số

1

n n

u





 hội tụ thì chuỗi

1

n n

u





 gọi là hội tụ tuyệt đối

Nếu chuỗi

1

n n

u





 hội tụ mà chuỗi

1

n n

u





 phân kỳ thì

1

n n

u





 được gọi là bán hội tụ

Đặc biệt: Nếu chỉ sử dụng tiêu chuẩn D’alembert hay tiêu chuẩn Cauchy mà biết chuỗi

1

n

n

u





 hội tụ (hay phân kỳ) thì chuỗi

1

n n

u





 cũng hội tụ (hay phân kỳ)

IV CHÚ Ý:

1

1

1

n

x



- Cho chuỗi





n1 thì 







1:

1:

chuỗi hội tụ chuỗi phân kì

TC D’ALEMBERT:Cho chuỗi số dương

1

n n

u





 và giả sử lim n 1

n n

u D u



 

 Nếu D<1 thì chuỗi hội tụ

 Nếu D>1 thì chuỗi phân kỳ

Chú ý: Nếu D=1 thì chưa kết luận được

TC CAUCHY: Cho chuỗi số dương

1

n

n

u





 và giả sử limn

n

 Nếu C<1 thì chuỗi là hội tụ

 Nếu C>1 thì chuỗi là phân kỳ

Chú ý: Nếu C=1 thì chưa kết luận được

TC TÍCH PHÂN: Cho hàm f liên tục, không âm, giảm trên miền [1;  )thì:

“Chuỗi





 1

( )

n

f n hội tụ (pk)  tích phân suy rộng

1f x dx( )

 hội tụ (pk)”

TC LEIBNITZ: Cho chuỗi đan dấu

1

( 1)n n

n

u









Nếu dãy {un }đơn điệu giảm (u1u2  u n  ) và

 

thì chuỗi đan dấu hội tu và tổng 0 S u1

- Cho chuỗi





 0

n n



1:

1:

q chuỗi hội tụ

q chuỗi phân kì

1

1

n

e

n khi  n (tăng về e) ;    

1

n

n e khi  n (tăng về e)

1

1

1

n

e

n



khi n  (giảm về e)

3 : 1 ln

   ; 1: ln( 1)

2 : 1 ln( 1)

  , lim n !

  

k n n

n

a a

   ; lim 0, 0

!

n

n

a

a n

   hay ln  k  n  !

n n a n khi n  

V MỘT SỐ VÍ DỤ:

Ví dụ 1 Chuỗi

1

3 4

n

n





 

 

 

 là hội tụ vì 3  1,1

4

q   

Chuỗi

1

( 1)n n







 phân kỳ vì q=-1

Chuỗi

1

5 3

n

n





 

 

 

 phân kỳ vì 5 1

3

q  

Ví dụ 2 Tính tổng của chuỗi

1

1





n n  nn nên (1 1) (1 1) (1 1 ) 1 1

n

S

lim n 1

n



1

1



Ví dụ 3 Xét sự hội tụ của chuỗi

1

1







n

   Vậy

1

1





 phân kỳ

Ví dụ 4 Xét sự hội tụ của chuỗi

1

1







Do ln(1 1) ln(n 1) ln( )n

n

    nên S n lnn1ln1 ln n1, lim n

   Vậy chuỗi

1

1







Ví dụ 5 (TCSS1): Xét sự hội tụ của chuỗi:

1

ln

n

n n





Ta cĩ lnn 1 ,  n 3 nên lnn 1 , n 3

n  n  

Mà

3

1





 phân kì nên

3

ln

n

n n





 theo tcss1, do đó

1

ln

n

n n





 phân kì

Ví dụ 5 (TCSS2): Xét sự hội tụ của chuỗi:

a/ Ta cĩ ln(1 1) 1, n 

1

1

n

n

n





 ,

mặt khác chuỗi

1

1

n n





 phân kỳ nên

1

1 ln(1 )







1

1 sin

n

n

n





n

2

n

mặt khác chuỗi

1

1

n n





1

1 sin

n

n n





c*/









1

(n 1)

n

n Ta cĩ   

1 ln

1 ln

n

d/







1

1

ln

n

n

n Vì 1 1lnn ; n 3

n n   ,

3

1

n n





 phân kỳ nên theo TCSS1

3

1

ln

n

n

n





 phân kỳ Kết luận:







1

1 ln

n

n

n phân kỳ

Ví dụ 6 (Tiêu chuẩn D’alembert) Xét sự hội tụ chuỗi

a/

1

1

1

4 (1n )n

n

n



1

1

1

n

n

n









nên chuỗi hội tụ

b/

2

1

3 ( !)

(2 )!

n

n

n

n





 Ta có

2

n

n

u n n





  nên chuỗi là hội tụ

c/

2

1

5 ( !)

(2 )!

n

n

n

n





 Ta cĩ

2

n

n

u n n





d/

1

1





 là chuỗi có tính chất lim 1 lim 1

1

n

n



 nên tiêu chuẩn D’alembert không có kết luận, nhưng ta đã biết đây là chuỗi điều hịa này phân kỳ

1

1 ln(1 )









e/ Tương tự

1

1

n n n

 , lim n 1

n n

u u



 =1 nhưng theo TCSS2 chuỗi này hội tụ

f*/

1

!

n

n

n

e n

n





 Ta có

1 1

1

1

n n

n

n

u e n n n

u n e n n

n











Vậy không cho kết luận Nhưng ta có nhận xét là 1 1

n

n



  là tăng và hội tụ về e

1

1

n

e

n nên ta suy ra n 1

n

u u

 > 1 Do đó u n1 u n  u1 e Nên giới hạn của

chuỗi khác không Kết luận chuỗi là phân kỳ

Ví dụ 7 (Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy) Xét sự hội tụ của chuỗi

a/

1 3n

n

n





 Ta có lim lim 1 1

n n

n

n u

     nên chuỗi là hội tụ

b/

2

1

2

n

n

n

n

n





2

n n

Ví dụ 8 (Tiêu chuẩn hội tụ tích phân) Xét sự hội tụ của chuỗi

2

1 ln





Ta xét hàm ( ) 1

ln

f x

x x

  x  2, hàm này là hàm khơng âm và giảm với mọi x  , 1

f n

n ln n

ln ln(ln )

x



cho là phân kỳ

Ví dụ 1 (Tiêu chuẩn Leibnitz) Khảo sát tính hội tụ chuỗi

3

ln ( 1)n n

n n







Đặt f x  lnx x 3 f x  1 ln2 x 0





u

n

 đơn điệu giảm, hội tụ

về 0 Do đó chuỗi đan dấu

3

ln ( 1)n n

n n







 hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz

Ví dụ 2 (Chuỗi có dấu bất kì)

a/ Chuỗi

1

( 1)n







 bán hội tụ

b/ Chuỗi 2

n 1

sin n n





 thỏa điều kiện sin n2 12

n  n với mọi n  1, mặt khác chuỗi 2

n 1

1 n







hội tụ nên 2

n 1

sin n n





n 1

sin n n





 hội tụ tuyệt đối,

c/ Chuỗi  

n n

n 1

1 2n 10







  





1

n



 nên phân kỳ theo tiêu chuẩn Caychy, do đó

n 1

1

2n 10





  



d/ Xét chuỗi  

n n

n 1

1 2n 10







  



n

2n 10



  



n n

n 1

1

2n 10







  



CHUỖI HÀM

I CHUỖI HÀM:

1 Chuỗi hàm: Cho dãy các hàm số u1(x), u2(x) , … , un(x), … xác định trên D Tổng hình thức





1

n

u x u x u x u x gọi là chuỗi hàm trên D

2 Điểm hội tụ: x0 là điểm hội tụ của chuỗi hàm nếu





1

( )

n n

u x hội tụ

Điểm phân kì:

3 Miền hội tụ: X{ /x0 x là điểm hội tụ0 }

II.CHUỖI LŨY THỪA:

1 Định nghĩa: Chuỗi luỹ thừa là chuỗi hàm có dạng







0

n n

a x x với x0=const và anR gọi là các hệ số của chuỗi luỹ thừa

Đặc biệt với x0 =0 ta có chuỗi dạng

0

n n n

a x





2 Tính chất:

a/ Có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi lũy thừa Chuỗi mới có cùng bán kính hội tụ

với chuỗi ban đầu

Tức nếu:





0

n n

f x a x có khoảng hội tụ (R R, )

Thì







1

n n

f x na x cũng có có khoảng hội tụ (R R, )

b/ Nếu





0

n n

f x a x có bán kính hội tụ R thì với   x ( R R, ) ta có











0

0

( )

1

x

n n n

a

n và có bán kính hội tụ là R

( hay là lấy tích phân từng số hạng của một chuỗi lũy thừa trong khoảng hội tụ)

3 Định lý Abel:

Nếu chuỗi

0

n n n

a x





 hội tụ tại x0  0 thì nó cũng hội tụ tuyệt đối tại mọi x  ( x0 ,x0)

4 Bán kính hội tụ:

ĐN: R là bán kính hội tụ tại của

0

n n n

a x





 nếu chuỗi hội tụ khi x R ; chuỗi phân kì khi x R

Tìm bán kính hội tụ:

0

n n n

a x







lim n

n

n

a r a



  hay limn

n

  thì bán kính hội tụ của chuỗi là







0 1 0

0

r

r

r

- Cách tìm miền hội tụ Cho chuỗi luỹ thừa 0

1

n n









 Đặt X  xx0 ta tìm bán kính hội tụ R của chuỗi

1

n n n

a X





 Khi đó khoảng hội tụ của 0

1

n n







 chính là x0R x, 0R

 Sau đó khảo sát tiếp 2 đầu mút

5 Chuỗi Taylor:

Giả sử hàm f(x) có đạo hàm mọi cấp trong một lân cận của x0  0

và f(x) biểu diễn dưới dạng luỹ thừa f(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n+…

với khoảng hội tụ (x0-R, x0+R) (R là bán kính hội tụ của







1

n n n

a x )

Thì

( ) 0

0 0

( )

!

k

k k

f x

f x x x

k





  gọi là chuỗi Taylor của hàm f x( ) trong lân cận x0 và hệ số ( )

0

( )

; 0,1,

!

n

n

f x

n

- Điều kiện khai triển về chuỗi Taylor: f x( ) khả vi vô hạn lần và C:

sao cho f( )n ( )x C n ,  x  (x0-R,x0+R)

6 Chuỗi Maclaurin:

Cho x0=0 ta được





  ( )

0

(0) ( )

!

k n k

f

k

Chú ý: Khai triển chuỗi Maclaurin một số hàm cơ bản:

1/ Do f x( ) e x là khả vi vô hạn lần  x  (-R,R) và trên khoảng đó x R

e e nên thỏa mọi điều kiện định lý, do đó nó có khai triển Maclaurin:

2

0

x

n





2/ Do f(x)=sinx khả vi vô hạn lần và thỏa ( )( ) sin( ) 1

2

n

f x  x n   nên nó có khai triển

Maclaurin:

1

0

m





x

  

3/





0

m

4/





1

n





0

n

trong đó    ( 1)(2) ( 1)

!

C

k , C 0 1 ( x  (-1,1),   R) Đặc biệt

0

1

( 1)

1

n n n

x x





  ; x  (-1,1)

0

1

1

n

n

x

x







  ; x  (-1,1)

III MỘT SỐ VÍ DỤ:

Ví dụ 1: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

a/ Chuỗi

2 ( 1)

n

n

x

n n



1

1

n

n

a n n

a

n n





suy ra R  Nên khoảng hội tụ là (-1,1) 1

- Tại x=1: ta có chuỗi

1

1

n n n

n

 

2

1

n n

 hội tụ nên chuỗi

1

1



 hội tụ (tcss2)

- Tại x=-1: ta có chuỗi

1

( 1)

n









 là chuỗi Leibnitz nên hội tụ

- Vậy miền hội tụ của chuỗi

2 ( 1)

n

n

x

n n



 là [-1,1]

1

4

n n

n

n

x











Đặt X  2x 1 thì chuỗi trở thành 1

1 4

n n n

n X









4

n n

n

a

R a



X     x Do đđó khoảng hội tụ là ( 3 5; )

2 2



2

x : 1

( 1) ( 4)

n n

n





4

n

n

n





   với n lẻ và

( 1)

lim

4

n

n

n





   với n chẵn ( hoặc đảo của tiêu chuan Leibnitz) nên chuỗi phân kì

- Tại 5

2

x  : 1

(4)

n n





4

n

n

    nên chuỗi phân kì

- Vậy miền hội tụ là ( 3 5; )

2 2



c/

1

( 1)

.3 ( 5)

n











5





X

x thì chuỗi trở thành

1

( 1)

.3

n









1

n n

n

n

a n

R

a n





5

X

x

 Và khoảng hội tụ là ,14 16,

x   

- Tại 14

3

x  :

.3



n

n n n n chuỗi phân kì

- Tại 16

3

x  :

.3

n



  chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz (tự làm)

- Vậy miền hội tụ là ,14 16,

Ví dụ 2: Khai triển thành chuỗi lũy thừa:

a/ Khai triển Taylor f x( )  lnx thành chuỗi lũy thừa (x 3) Tính tổng chuỗi 1

.3n

S

n



Giải:

n

f x x x

Tính tổng: trong khai triển trên cho x 2 ta được:

1

n n

f





1

1

ln 3 ln 2

3 n





b/ Khai triển ( ) 2 12

6

x

f x

x x





  thành chuỗi lũy thừa quanh điểm x 0 , xác định bán kính hội tụ của chuỗi Tính (2008)

(0)

f Giải:

2

( )

( 1)

x

f x

 Tính f(2008)(0)=?

(2008) 2008

2008

2008 2008

.

x

 Tìm bán kính hội tụ:

1

1 1

1

2

1 3

lim

2 2

3

n

n

n

n

n n

n

a

a



 







 

 

Vậy bán kính hội tụ là R 2

Ví dụ 3: Tính tổng:

Lưu ý:

1 0

( )

1

n

x

x dx

n













Giải:

/ 2 / 4 / 6 /

2

lim

n

n

x x x x x

x x x

x x x x

x x x



b /Tính tổng

2 3

2

2

0

0

n

x

n

x

x x

dx x dx x dx x dx

x x dx

x

dx dx x

x x





c/

1

( 1)

n

n

x

n n









Đặt t x 2

Chuỗi có miền hội tụ [1,3] (tự làm)

Nên t có miền hội tụ [-1,1]

1

1

ln( 1) 1

n









Dùng tích phân từng phần giải ra và thế t x 2 ta được kết quả

Bài tập chuỗi hàm:

1 Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau:

1

1

cos

n

nx

n n





1

1

lnn

n x







2 Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau: (đề thi)













































1

1

1

1

1

1

1

3

4

.3

5

n

n

n

n n

n n

n

n n

n

n

n

x

n

x

n n

x

n

x

n

x

n n

















































1 1

1

1

1

1

1

6 ( 1)

1

8

9

.5

10

n n

n n

n n

n

n

n n n n

n n

n

x n x n x

n n

x n x n











































1 1

3

1 2 1

1

1

11 ( 1)

.3

12

1

4

!

7 !

n n

n n

n n

n n

n n n

n

n n

n

x n x

n

x n n

n

3 Tìm tổng của các chuỗi luỹ thừa sau:

1 2x 4x36x5 8x7   1 x 1

2





  

2

n

3







0

n

x

a

4 Khai triển chuỗi:

a Khai triển thành chuỗi lũy thừa của (x-1) của hàm 



1 ( )

2

f x

x Tính đạo hàm

(2006)(1)

b Khai triển 



1 3

y

x thành chuỗi lũy thừa của (x-1), xác định miền hội tụ của chuỗi

được lập

c Khai triển f x( )lnx thành chuỗi lũy thừa của (x-5), và dựa vào đó tính tổng





1

1

.5n

n

S

n

d Khai triển f x( )ln(5x2) thành chuỗi Maclaurin, và dựa vào đó tính tổng









1

( 1)

.5

n n n

S

n