Giáo trình toán học cao cấp chương 4 chuỗi số

CHƯƠNG 4: CHUỖI CHUỖI SỐ I KHÁI NIỆM:  - Chuỗi số: Cho dãy số thực u1 , u2 , u3 , u4 ,  Biểu thức u n = u1+u2+…+un+… gọi chuỗi n 1 số Và u1, u2, … un,… : số hạng chuỗi; un : goi số hạng tổng quát n - Tổng riêng thứ n chuỗi: Sn=  uk = u1 +u2+…+un k 1  - Tổng chuỗi: S  lim Sn   uk ( tồn giới hạn) n  - Chuỗi hội tụ: - Chuỗi phân kì: k 1 S hữu hạn S   không tồn giới hạn II/ TÍNH CHẤT  1/   un hội tụ phần dư n 1  2/ Nếu chuỗi u n hội tuï (k  1) n  k 1    un  A;   B cuøng hội tụ n 1 n 1   cun  c.A;  (u n n 1  )  A  B hội tụ với n 1 số c  R  3/ Nếu chuỗi số u n hội tụ lim un  (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) n n 1  Hệ (đảo): Nếu lim un  không tồn chuỗi  un phân kỳ n  n 1 4/ Tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi (1) không thay đổi ta bỏ (hoặc thêm vào) số hữu hạn số hạng III/ CÁC TIÊU CHUẨN HỘI TỤ: A Chuỗi số dương:  Chuỗi số u n gọi chuỗi số dương số hạng số dương n 1  Nhận xét: Nếu chuỗi u n chuỗi số dương dãy tổng riêng Sn dãy tăng n 1 nên có giới hạn bị chặn  TCSS1: Cho hai chuỗi số dương  u ; v n n 1 n n 1 Giả sử  n0 cho  n  n0 u n  v n   Nếu  u n phân kỳ n 1   Nếu n phân kỳ n 1 n hội tụ u n    K=0 :  hội tụ n 1   v n 1 v TCSS2: Cho hai chuỗi số dương   u  un ;  giả sử lim  K n  n 1 n 1 n hội tụ u 0< K 0 , n  n 1   (1)n ; Ví dụ: Các chuỗi n 1 ( 1)n  2n chuỗi đan dấu n 1   TC LEIBNITZ: Cho chuỗi đan dấu n  (1) u n n 1 Nếu dãy {un }đơn điệu giảm ( u1  u2   un  ) vaø lim un  n chuỗi đan dấu hội tu tổng  S  u1 Chuỗi thỏa điều kiện định lý Leibnitz gọi chuỗi Leibnitz Chuỗi có dấu bất kì:  Định lý: Nếu chuỗi số u  n hội tụ chuỗi n 1 u  Định nghóa: Nếu chuỗi số  hội tụ  un hội tụ chuỗi n 1 u n gọi hội tụ tuyệt đối n 1  Nếu chuỗi n n 1  un hội tụ mà chuỗi n 1    un phân kỳ n 1 u n gọi bán hội tụ n 1 Đặc biệt: Nếu sử dụng tiêu chuẩn D’alembert hay tiêu chuẩn Cauchy mà biết chuỗi    un hội tụ (hay phân kỳ) chuỗi n 1 u n hội tụ (hay phân kỳ) n 1 IV CHÚ Ý: 1 xn 1 x   1: chuỗi hội tụ - Tổng cấp số nhân: S   x   x n 1  u1 - Cho chuoãi  n n 1    1: chuỗi phân kì  - Cho chuỗi q n n0 q  1: chuỗi hội tụ q  1: chuỗi phân kì n n  1     e n    n  1 1    n  1 n   (tăng e) 1    e  n (tăng e) ; n 1  e n   (giảm e) x  1: ln x  x x  :  ln x lim n n  n  , lim n n  nk lim  0, a  ; n  a n x  1: ln( x  1)  x x  :  ln( x  1) ; n !   an lim  0, a  n  n ! hay ln n  n k  a n  n! n   V MỘT SỐ VÍ DỤ: n 3    hội tụ q    1,1  n 1   Ví dụ Chuỗi  Chuỗi  (1) n phân kỳ q=-1 n 1 n  5 Chuỗi    phân kỳ q   n 1    Ví dụ Tính tổng chuỗi  n 1 n( n  1) 1 1 1 1 Vì   nên Sn  (1  )  (  )   (  )  1 n(n  1) n n  2 n n 1 n 1  =1  S  lim Sn  Vaäy  n  n 1 n( n  1)  Ví dụ Xét hội tụ chuỗi  n n 1  1 1    n  n , lim Sn   Vaäy n  n n  Ví dụ Xét hội tụ chuỗi  ln(1  ) n n 1 Ta coù S n   n   n 1 phân kỳ n Do ln(1  )  ln(n  1)  ln(n) neân Sn  ln  n  1  ln1  ln  n  1 , lim Sn   Vậy chuỗi n    ln(1  n ) phân kỳ n 1  Ví dụ (TCSS1): Xét hội tụ chuỗi:  ln n n n 1 Ta có ln n  , n  nên  Mà   n n 3 phân kì nên  ln n n ln n  n n 3 , n  n  theo tcss1,  n 1 ln n n phân kì Ví dụ (TCSS2): Xét hội tụ chuỗi: ln(1  ) 1 n 1, a/  ln(1  ) Ta có ln(1  )  , n   lim n  n n n n 1 n   1 mặt khác chuỗi  phân kỳ nên  ln(1  ) phân kỳ n n 1 n 1 n    n sin n b/ n 1 Ta có n sin  mặt khác chuỗi  c*/ ( n n  1) 1  , n   lim n  n n  n phaân kỳ nên n 1 Ta có n   n sin n n 1 n 1  e ln n n  lim 1 Vì  ln n ; n  , n n d/  ln n n 1 n phaân kyø ln n n n n 1  1 sin 2 n  lim n  1, 1 n  n n2 n sin n   n n 1 e 1  lim 1 n  1 ln n ln n n n phân kỳ nên theo TCSS1 n 3  1  n ln n phân kỳ Kết luận:  n ln n phân kỳ n 3 n 1 Ví dụ (Tiêu chuẩn D’alembert) Xét hội tụ chuỗi   a/  1 n (1  )n n n  (n !) b/  n 1 (2 n )! n 1 4n (1  )n u e n    nên chuỗi hội tụ Ta có lim n 1  lim n  u n  n1 4e n 4.4n (1  ) n 1 un1 3(n  1)2 Ta coù lim  lim   nên chuỗi hội tụ n  u n  (2n  2)(2 n  1) n u 5(n  1)2 5n (n !)2 Ta có lim n1  lim   nên chuỗi phân kỳ n  u n  (2n  2)(2 n  1) n 1 (2 n )! n  u n d/  chuỗi có tính chất lim n 1  lim  nên tiêu chuẩn D’alembert n  u n  n  n 1 n n  c/  kết luận, ta biết chuỗi điều hịa phân kỳ  e/ Tương tự  n(n  1) n 1 f*/ un1 en 1 (n  1)! n n n n  lim  lim e( )  lim e 1 n n 1 n n  u n  (n  1) n  e n! n n   1 n 1 n    n e n!  nn n 1  un 1 =1 theo TCSS2 chuỗi hội tụ n  u n , lim Ta có lim n  1 Vậy không cho kết luận Nhưng ta có nhận xét    tăng hội tụ e  n n  1 un 1 > Do un 1  un   u1  e Nên giới hạn     e nên ta suy un  n chuỗi khác không Kết luận chuỗi phân kỳ Ví dụ (Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy) Xét hội tụ chuỗi  a/ n 3 n n Ta coù lim n un  lim n  n 1 n2 n  n   nên chuỗi hội tụ 3  n 1 Ta có lim n n   n   n  n2 n n  n 1  1  lim    lim 1   n  n   n   n  Ví dụ (Tiêu chuẩn hội tụ tích phân) Xét hội tụ chuỗi  n  n ln n Ta xeùt haøm f ( x )   x  2, hàm hàm khơng âm giảm với x  1, x ln x  n 1 b/  n   n 1  n   Mặt khác n ln n cho phân kỳ f  n     d ln x dx   ln(ln x ) x ln x ln x    phân kỳ nên chuỗi  Ví dụ (Tiêu chuẩn Leibnitz) Khảo sát tính hội tụ chuỗi  (1) n3 n ln n n ln n  ln x  , dãy u n  đơn điệu giảm, hội tụ x n  ln n Do chuỗi đan dấu  (1)n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz n n3 Đặt f  x   ln x x  x  3  f   x   Ví dụ (Chuỗi có dấu bất kì) (1)n bán hội tụ n n 1  a/ Chuỗi   sin n sin n  n2 thỏa điều kiện n2  n2 với n  1, mặt khác chuỗi n1   sin n sin n hội tụ nên  hội tụ hay  hội tụ tuyệt đối, n n n1 n1 n  n  3n    c/ Chuoãi  1    2n  10   n1 b/ Chuoãi   3n  n  3n  n   Xét chuỗi  1     2n  10     2n  10  thỏa điều kiện    n1 n1  n  n n1 3n    nên phân kỳ theo tiêu chuẩn Caychy, n 2n  10 lim n u n  lim n n  3n     1    2n  10  phân kỳ     n1  n n n n  3n    3n     nên chuỗi   d/ Xét chuỗi  1    2n  10  , ta có nlim 1  2n  10         n1  n n   3n      1  2n  10  phân kỳ   n1 n CHUỖI HÀM I CHUỖI HÀM: Chuỗi hàm: Cho dãy hàm số u1(x), u2(x) , … , un(x), … xác định D Tổng hình  thức  u (x )  u (x )  u (x )   u (x )  n 1 n n gọi chuỗi hàm D Điểm hội tụ: x điểm hội tụ chuỗi hàm   u (x ) hội tụ n 1 n Điểm phân kì: Miền hội tụ: X  {x0 / x0 điểm hội tụ } II.CHUỖI LŨY THỪA:  Định nghóa: Chuỗi luỹ thừa chuỗi hàm có dạng  a (x  x ) n 0 n n với x0=const anR gọi hệ số chuỗi luỹ thừa  Đặc biệt với x0 =0 ta có chuỗi dạng a x n n n Tính chất: a/ Có thể lấy đạo hàm số hạng chuỗi lũy thừa Chuỗi có bán kính hội tụ với chuỗi ban đầu  Tức nếu: f (x )   an x n có khoảng hội tụ (R, R) n 0  Thì f / (x )   nanx n1 có có khoảng hội tụ (R, R) n 1  b/ Neáu f (x )   an x n có bán kính hội tụ R với x  (R, R) ta coù n 0 an n 1 x có bán kính hội tụ R n 0 n  ( lấy tích phân số hạng chuỗi lũy thừa khoảng hội tụ) Định lý Abel:  x  f (t )dt    Nếu chuỗi a x n n hội tụ x0  hội tụ tuyệt đối x  ( x0 , x ) n Bán kính hội tụ:  ĐN: R bán kính hội tụ a x n n chuỗi hội tụ x  R ; chuỗi phân kì x  R n  Tìm bán kính hội tụ: a x n n n Nếu  lim n  an1  r hay lim n an  r bán kính hội tụ chuỗi n  an 0 r      1 R  r    r   r       - Caùch tìm miền hội tụ Cho chuỗi luỹ thừa a n (x  x )n n 1   Đặt X  x  x0 ta tìm bán kính hội tụ R chuỗi a X n n n 1   Khi khoảng hội tụ a n (x  x )n  x0  R, x0  R  n 1 Sau khảo sát tiếp đầu mút Chuỗi Taylor: Giả sử hàm f(x) có đạo hàm cấp lân cận x0  f(x) biểu diễn dạng luỹ thừa f(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n+…   với khoảng hội tụ (x0-R, x0+R) (R bán kính hội tụ a x n 1  f (x)   Thì k 0 an  - f f n n ) (k ) ( x0 ) ( x  x0 )k gọi chuỗi Taylor hàm f ( x ) lân cận x hệ số k! ( n) ( x0 ) ; n  0,1, n! Điều kiện khai triển chuỗi Taylor: f ( x ) khả vi vô hạn lần C : cho f (n )(x )  C n Chuoãi Maclaurin: ,  x  (x0-R,x0+R) f (k )(0) n x k! k 0 Chú ý: Khai triển chuỗi Maclaurin số hàm baûn: 1/ Do f ( x )  e x khả vi vô hạn lần  x  (-R,R) khoảng e x  e R nên thỏa  Cho x0=0 ta f (x )   điều kiện định lý, có khai trieån Maclaurin:  x2 xn xn e x   x       , x   2! n! n 0 n !  2/ Do f(x)=sinx khả vi vô hạn lần thỏa f ( n ) ( x )  sin( x  n )  nên có khai trieån Maclaurin:  x3 x5 x7 x 2m1 x 2m 1 m 1 m sin x  x      (1)    (1) 3! 5! ! (2m  1)! (2m  1)! m 0 x   3/ cos x    x2 x4 x6 x 2m x 2m     (1)m    (1)m , x   2! 4! 6! (2m)! (2m )! m 0 n n  x2 x3 n 1 x n 1 x 4/ ln(1  x )  x     (1)    (1) , x  (1;1) n n n 1  n 5/ (1  x )   C x   C x    C  x n   k đóC   n  n n 0 (  1)(  2) (  k  1) , C   ( x  (-1,1),   R) k! Đặc biệt    (1)n x n  x n    xn  x n0 ; x  (-1,1) ; x  (-1,1) III MỘT SỐ VÍ DỤ: Ví dụ 1: Tìm miền hội tụ chuỗi hàm xn  n(n  1) n 2  a/ Chuỗi Ta xét lim n  an1 an (n  1)(n  2)  lim  suy R  Nên khoảng hội tụ laø (-1,1) n  n(n  1)  - Tại x=1: ta có chuỗi   n(n  1) 1  n(n  1) maø n   : n(n  1)  n2 vaø n 1  n n 2 hội tụ nên chuỗi hội tụ (tcss2) n 1  - Tại x=-1: ta có chuỗi (1)n  n(n  1) chuỗi Leibnitz nên hội tụ n 1 xn  n(n  1) [-1,1] n 2  - Vậy miền hội tụ chuỗi  b/ 4 n n 1 (2 x  1) n n 1  Đặt X  x  chuỗi trở thành 4 n n 1 Xn n 1 Xeùt lim n  - 3 3 an1  x  Do đđó khoảng hội tụ ( ; )   R  neân X   an 2 2   3 n ( 1) n n ( 1) n n :  n 1 (4) n   lại có lim    với n lẻ vaø 4 n  n 1 n 1 (1) n n lim    với n chẵn ( đảo tiêu chuan Leibnitz) nên chuỗi phân kì n    n n n - Tại x  :  n 1 (4)n   lại coù lim    nên chuỗi phân kì n  n 1 n 1 3 - Vậy miền hội tụ ( ; ) 2 n  ( 1) c/  n n n 1 n.3 ( x  5)  ( 1) n Đặt X  chuỗi trở thành  n n x 5 n 1 n.3 X Tại x  an 1 n.3n Xeùt lim  lim  R3 n  a n  ( n  1).3n 1 n 14   16    Và khoảng hội tụ x   ,    ,   x 5 3    n n   14 ( 1) ( 3) Tại x  :   chuỗi phân kì n n.3 n 1 n 1 n   16 ( 1) n 3n ( 1) n Tại x  :  chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz (tự làm) n.3n n n 1 n 1 14 16 Vậy miền hội tụ  ,    ,       3 3   neân X     - Ví dụ 2: Khai triển thành chuỗi lũy thừa:  n n 1 n.3 a/ Khai trieån Taylor f ( x )  ln x thành chuỗi lũy thừa ( x  3) Tính tổng chuỗi S   Giải:  x3   x3  f ( x )  ln x  ln( x   3)  ln   1  ln  ln   1     n   ln   (1) n 1 n 1  ( x  3) n  x 3  ln   (1)n1 n   n   n n 1 Tính tổng: khai triển cho x  ta được:   ( 1) n 1 f (2)  ln   ( 1)  ln  ln   n Vaäy  n  ln  ln n n n 1 n 1 n n 1 n x  12 b/ Khai triển f ( x)  thành chuỗi lũy thừa quanh điểm x  , xác định bán kính x x6  n 1 hội tụ chuỗi Tính f (2008) (0) Giải: f ( x)  x  12 3 1       x x x  x6 x3 x2 3 x x 1 1 2 n n    1 ( 1) n    2 n  (1) n 3n   x  x        (1) n     x n  n  n   x n    n 0  2.n 3n   n 0  n 0   n 0   (2008) (0) =?  Tính f f (2008) (0) x 2008  1     2008  2008  x 2008 2008!    Tìm bán kính hội tuï: lim n  an 1 2 n1  (1)n1.3n1 2.n3n  lim n an 2n1.3n1 2n  (1)n 3n n 2 2    (1) n1.3 3  lim n    n       (1)n   3     Vậy bán kính hội tụ R  Ví dụ 3: Tính toång: ( x n ) /  nx n 1 Lưu ý: x x n 1  x dx  n  n a /Tính tổng 2 x  x3  x5  8x7  Giaûi: ,(1  x  1) 2 x  x  x  x  / / / , (1  x  1) /  (1)  ( x )  ( x )  ( x )   (1  x  x  x  ) / , x 1 / /   ( x )n    2 x  lim      n   (  x )   1 x  1 x b /Tính toång x x3 x    x x , (1  x  1) x x   1.dx   x dx   x 2dx    x n dx  0 0 x   (1  x  x  )dx x x   xn     lim   dx      dx n   1 x   1 x  0 , x 1 x   ln(1  x )  c/   ln(1  x) ( x  2) n  n(n  1) n 1 Đặt t  x  Chuỗi có miền hội tụ [1,3] Nên t có miền hội tụ [-1,1] (tự laøm) x x x tn  t n 1   tn           dx      t n 1 dx  n(n  1) t n1 n(n  1) t n1 n t 0  n 1 n 1   0  x x x     dx    ln(t  1)dx t 0  1 t  t0  Dùng tích phân phần giải t  x  ta kết Bài tập chuỗi hàm: Tìm miền hội tụ chuỗi hàm sau:   cos nx 1   n n 1 n n n 1 ln x Tìm miền hội tụ chuỗi hàm sau: (đề thi)  1.  (x  2)n 6. (1)n 1 1 n  3n 2. (x  1)n n 1 n n  (x  1)n 3. n n 1 n 1  (x  2)n 4. n.3n n 1  (x  3)n 5. n 1 n n n 1  n 1  7. (x  3)n (n  1)2n (2x  1)n n xn 8. n 1 n(n  1)  (1)n1(x  1)n 9. n.5n n 1  (2x  1)n 10. n n 1 n 1 n 1   11. (1) n 1  12. n 1  n 1 (2x  1)n n 3n (x  1)3n n 1 13. (n  2n  3)x n n 1  4n n 14. x n 1 n !  7n.n ! 15 *  n (x  e)n n 1 n Tìm tổng chuỗi luỹ thừa sau:  2x  4x  6x  8x  1  x  1   n.x 3n 1  x  n 2   (n  1) n 0 xn a n 1 ;a  Khai trieån chuỗi: a Khai triển thành chuỗi lũy thừa (x-1) hàm f (x )  Tính đạo hàm x 2 f (2006)(1) b Khai triển y  thành chuỗi lũy thừa (x-1), xác định miền hội tụ chuỗi 3x lập c Khai triển f (x )  ln x thành chuỗi lũy thừa (x-5), dựa vào tính tổng  n.5n n 1 d Khai trieån f (x )  ln(5  x ) thành chuỗi Maclaurin, dựa vào tính tổng S  (1)n1 n n 1 n  S  ... chuỗi đan dấu hội tu tổng  S  u1 Chuỗi thỏa điều kiện định lý Leibnitz gọi chuỗi Leibnitz Chuỗi có dấu bất kì:  Định lý: Nếu chuỗi số u  n hội tụ chuỗi n 1 u  Định nghóa: Nếu chuỗi số. .. tụ (pk)” B Chuỗi có dấu bất kì:  Chuỗi đan dấu: chuỗi có dạng n  (1) u n với un>0 , n  n 1   (1)n ; Ví dụ: Các chuỗi n 1 ( 1)n  2n chuỗi đan dấu n 1   TC LEIBNITZ: Cho chuỗi đan... D’ALEMBERT:Cho chuỗi số dương  u  un giả sử lim un1  D n  n 1 n TC CAUCHY: Cho chuỗi số dương  u n giả sử lim n un  C Khi n  n 1 Nếu D1 chuỗi phân kỳ Chú