GIÁO TRÌNH TOÁN HỌC CAO CẤP 1

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN LÊ XUÂN QUẢNG TRƯƠNG HÀ HẢI, ĐÀM THANH PHƯƠNG, TRẦN ĐÌNH CHÚC, THÂN QUANG KHỐT, BÙI THỊ THANH XN, TRẦN THỊ NGÂN GIÁO TRÌNH TỐN HỌC CAO CẤP THÁI NGUN 2008 LỜI GIỚI THIỆU Tốn cao cấp có vai trị địa vị vơ quan trọng công tác đào tạo trường đại học, cao đẳng, trung học dạy nghề Tuy với lượng kiến thức đồ sộ nhằm phục vụ cho nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác việc biên soạn giáo trình cho ngành đào tạo cần thiết Để phù hợp cho lượng kiến thức thời gian đào tạo kỹ sư công nghệ thông tin chúng tơi biên soạn giáo trình nhằm đáp ứng nhu cầu sau: Lượng kiến thức đầy đủ để phục vụ môn học cho ngành công nghệ thông tin Lượng kiến thức gọn nhẹ không phức tạp, lượng tập vừa phải học sinh, sinh viên nắm kiến thức môn toán cao cấp Tạo cho sinh viên khả tự học làm tập lên lớp Các kiến thức giáo trình phân thành chương mục trình bày theo thứ tự từ thấp đến cao, từ khái niệm tập hợp, ánh xạ, sau lả phần đại số tuyến tính giải tích Đây giáo trình tốn cao cấp cho ngành cơng nghệ thơng tin nhiều bổ đề, định lý nhắc qua không cú phần chứng minh Mục đích giáo trình giúp sinh viên nắm vững kiến thức bản, kết cốt yếu mơn tốn để ứng dụng cho mơn khác Cuối chương có phần tập tự giải, giúp sinh viên tự kiểm tra kết lĩnh hội giảng Phần lớn tập có tính chất áp dụng lý thuyết, nhiên có số tập có tính chất mở rộng lý thuyết Phần hướng dự giải tập biên soạn thành giáo trình riêng sau Nói chung, q trình thực hành giáo trình cịn (chủ yếu dạy cho sinh viên khoa Công nghệ thông tin Đại học Thái Nguyên vài năm trở lại đây) nên tránh khỏi sai sót soạn thảo in ấn chúng tơi mong độc giả góp thêm ý kiến để chúng tơi hồn thiện tốt giáo trình ngày gần T.S Lê Xuân Quảng Viện Công nghệ Thông tin Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam MỤC LỤC Chương 1: KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ §1 TẬP HỢP .5 1.1Các khái niệm 1.2 Các phép tập hợp 1.3 Cách cho tập hợp .8 §2 ÁNH XẠ 2.1 Khái niệm ánh xạ 2.2 Các loại ánh xạ 2.3 Ánh xạ hợp 10 §3 TẬP HỢP SỐTHỰC .11 3.1 Định nghĩa trường 11 3.2 Các tính chất trường số thực 12 3.3 Giá trị tuyệt đối số thực 13 3.4 Tập số thực suy rộng 13 §4 TẬP HỢP SỐ PHỨC 14 4.1 Định nghĩa số phức phép tính số phức 14 4.2 Các ý 14 4.3 Dạng lượng giác số phức 15 BÀI TẬP CHƯƠNG 17 Chương 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ 20 §1 KHÔNG GIAN VÉC TƠ 20 1.1 Định nghĩa 20 1.2 Các ví dụ 21 §2 CƠ SỞ CỦA MỘT KHÔNG GIAN VÉC TƠ .22 2.1 Sự độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính .22 2.2 Cơ sở không gian véc tơ 22 2.3 Số chiều không gian véc tơ 23 §3 KHƠNG GIAN VÉC TƠ CON .25 3.1 Định nghĩa 25 3.2 Các ví dụ 25 BÀI TẬP CHƯƠNG 25 Chương 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 27 §1 PHÉP TÍNH MA TRẬN 27 1.1 Định nghĩa ma trận 27 1.2 Các phép tính ma trận 28 §2 ĐỊNH THỨC .30 2.1 Hoán vị nghịch 30 2.2 Định nghĩa định thức 32 2.3 Các tính chất định thức 33 2.4 Khai triển định thức 34 §3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 38 §4 HẠNG CỦA MA TRẬN .40 4.1 Định nghĩa hạng ma trận 40 Bộ mơn KHCB Giáo trình tốn cao cấp1 4.2 Các phép biến đổi sơ cấp ma trận .41 BÀI TẬP CHƯƠNG 42 Chương 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH .44 §1 HỆ CRAMER 44 1.1 Định nghĩa 44 1.2 Quy tắc Caremer 44 §2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QT 46 2.1 Điều kiện tương thích .46 2.2 Cách giải hệ phương trình tuyến tính tổng qt .47 2.3 Hệ phương trình tuyến tính 48 §3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP GAUSS 48 BÀI TẬP CHƯƠNG 53 Chương 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH - DẠNG TỒN PHƯƠNG .55 §1 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 55 1.1 Định nghĩa 55 1.2 Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 56 1.3 Ma trận ánh xạ tuyến tính 58 1.4 Ma trận chuyển sở .60 1.5 Ma trận ánh xạ tuyến tính chuyển sở 62 §2 GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG 64 2.1 Định nghĩa 64 2.2 Đa thức đặc trưng 65 2.3 Đưa ma trận vuông ma trận chéo 66 2.4 Chéo hoá trực giao 69 §3 DẠNG TOÀN PHƯƠNG 71 3.1 Dạng song tuyến tính .71 3.2 Dạng toàn phương 72 3.3 Dạng toàn phương xác định dương 76 BÀI TẬP CHƯƠNG 77 Chương 6: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 80 §1 HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 80 1.1 Định nghĩa hàm số biến số .80 1.2 Đồ thị hàm số 80 1.3 Hàm số ngược đồ thị hàm số ngược 81 1.4 Các hàm sơ cấp .82 1.5 Hàm cho tham số 86 §2 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 87 2.1 Định nghĩa dãy số 87 2.2 Giới hạn dãy số .87 2.3 Các phép tính dãy hội tụ 88 2.4 Hai tiêu chuẩn đủ để dãy hội tụ .89 2.5.Giới hạn vô dãy .90 §3 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 91 3.1 Đ ịnh nghĩa giới hạn x → a 91 3.2 Các tính chất giới hạn .92 Bộ môn KHCB Giáo trình tốn cao cấp1 3.3 Lượng vơ bé 92 3.4 Lượng vô lớn 94 §4 HÀM SỐ LIÊN TỤC 95 4.1 Định nghĩa .95 4.2 Hàm liên tục khoảng kín 96 4.3 Hàm số gián đoạn 97 BÀI TẬP CHƯƠNG 98 Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐERROR! BOOKMARK NOT DEFINED §1 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ .100 1.1 Định nghĩa đạo hàm hàm số 100 Ý nghĩa hình học hàm số 101 1.3 Hàm liên tục hàm có đạo hàm 101 1.4 Các phép toán đạo hàm 102 Bảng đạo hàm số hàm số .102 1.6 Đạo hàm cấp cao 104 §2 VI PHÂN CỦA HÀM SỐ 105 2.1 Vi phân phần số gia hàm số 105 2.2 Các quy tắc tính vi phân 108 2.3 Vi phân cấp cao 108 §3 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM KHẢ VI 109 3.1 Định lý Rolle 109 3.2 Định lý Lagrange 109 3.3 Công thức Taylor 113 3.4 Cực trị hàm số .115 3.5 Hàm số lồi lõm, điểm uốn 116 3.6 Khảo sát hàm số117 BÀI TẬP CHƯƠNG 119 Chương 8: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 122 §1 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 122 1.1 Định nghĩa 122 1.2 Giới hạn liên tục .123 §2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 123 2.l Đạo hàm riêng 123 2.2 Các đạo hàm riêng cấp .124 2.3 Vi phân toàn phần 125 2.4 Áp dụng vi phân toàn phần vào tính gần đánh giá sai số 126 2.5 Đạo hàm hàm số hợp 127 §3 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 128 3.1 Định nghĩa 128 3.2 Điều kiện cần cực trị .128 BÀI TẬP CHƯƠNG 130 Chương 9: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM 133 §L NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 133 1.1 Nguyên hàm hàm số 133 Bộ mơn KHCB Giáo trình tốn cao cấp1 1.2 Tích phân xác định 134 1.3 Bảng tích phân bất định số hàm số 134 §2 HAI PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN .135 2.1 Phép biến đổi 135 2.2 Phép phân đoạn 137 §3 PHÉP TÍNH NGUN HÀM MỘT SỐ HÀM SỐ 138 3.1 Nguyên hàm hàm hữu tỷ 138 3.2 Nguyên hàm số hàm vô tỷ đơn giản .141 3.3 Nguyên hàm hàm lượng giác 142 BÀI TẬP CHƯƠNG 143 CHƯƠNG 10 .146 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 146 §1 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN .146 1.1 Bài tốn diện tích hình thang cong .146 1.2 Định nghĩa tích phân xác định 147 1.3 Các tính chất tích phân xác định 148 §2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ NGUYÊN HÀM 150 2.1 Đạo hàm tích phân xác định theo cận .150 2.2 CÔNG THỨC NEWTON-LEIBNIZ 151 §3 HAI PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 152 3.1 Phép biến đổi tích phân xác định .152 3.2 Phép phân đoạn tích phân xác định 154 TÀI LIỆU THAM KHẢO 156 Bộ mơn KHCB Giáo trình tốn cao cấp1 CHƯƠNG I KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ §l TẬP HỢP 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong ngôn ngữ hàng ngày, ta thường dùng đến khái niệm tập hợp: tập hợp sinh viên có mặt lớp học, tập hợp câu hỏi ôn thi…Ở ta không định nghĩa tập hợp mà mơ tả dấu hiệu hay tính chất cho phép ta nhận biết tập hợp phân biệt với tập hợp khác Ta coi tập hợp khái niệm nguyên thuỷ giống khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng hình học Các đối tượng lập nên tập hợp gọi phần tử tập hợp Nếu a phần tử tập hợp A ta ký hiệu: a ∈ A (đọc : a thuộc A) Nếu a phần tử tập hợp A ta ký hiệu: a ∉ A (đọc: a khơng thuộc A) Ví dụ: Nếu A tập hợp số nguyên chẵn ∈ A, 10 ∈ A 15 ∉ A Một tập hợp gọi hữu hạn gồm số định phần tử Ví dụ: Tập hợp sinh viên lớp học hữu hạn, số phần tử số sinh viên lớp Tập hợp nghiệm phương trình x2 - 3x + = hữu hạn, gồm hai phần.tử Có tập hợp có phần tử, chẳng hạn tập hợp nghiệm dương π nhỏ phương trình sin x = có phần tử Để thuận tiện, người ta đưa vào loại tập hợp không chứa phần tử gọi tập hợp rỗng, ký hiệu φ Ví dụ: Tập hợp nghiệm thực phương trình x2 + = rỗng, khơng tồn số thực mà bình phương lại –1 Tập hợp gồm vô số phần tử gọi tập hợp vô hạn Người ta phân biệt: Tập hợp vô hạn đếm tập hợp số lượng phần tử vơ hạn song ta đánh số thứ tự phần tử (tức biết phần tử đứng liền trước đứng liền sau phần tử bất kỳ) Ví dụ: Tập hợp nghiệm phương trình sin x = vơ hạn đếm được, π phần tử có dạng xk = + 2k π ; với k = 0, ± 1, ± 2, ± 3, chúng Bộ môn KHCB Giáo trình tốn cao cấp1 đánh số theo số nguyên k Tập hợp vô hạn không đếm tập hợp có vơ số phần tử khơng có cách đánh số thứ tự phần tử Ví dụ: Tập hợp điểm đoạn thẳng [0,1] Tập hợp con: Cho hai tập hợp A B Nếu phần tử tập hợp A phần tử tập hợp B ta nói A tập hợp B ký hiệu A ⊂ B (đọc: A bao hàm B) Như ta có: A ⊂ B ⇔ x ∈ A ⇒ x ∈ B (ký hiệu ⇔ đọc “khi khi”, có nghĩa điều kiện cần đủ, ký hiệu ⇒ đọc “suy ra” hay “kéo theo”) Ví dụ: Gọi A tập hợp nghiệm phương trình x2 - 3x + = 0, B tập hợp số nguyên dương A ⊂ B số nguyên dương Quan hệ bao hàm tập hợp có tính chất bắc cầu nghĩa là: A ⊂ B B ⊂ C A ⊂ C Tập hợp nhau: Nếu A ⊂ B đồng thời B ⊂ A ta nói hai tập hợp A, B Ta ký hiệu A=B Như vậy: Người ta quy ước : Tập hợp rỗng φ tập hợp tập hợp Thật vậy, A ⊂ B phần tử không thuộc B không thuộc A φ ⊂ B khơng có phần tử thuộc tập hợp rỗng Để tiện lợi cho việc xét tập hợp, ta thường coi tập tập hợp khảo sát tập hợp tập hợp E “đủ lớn” đó, chẳng hạn chương trình tốn học Trung học xét tập hợp nghiệm phương trình, ta coi chúng tập hợp tập hợp số thực 1.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP Giả sử A,B,C, tập hợp tập hợp E Ta xây dựng tập hợp dựa tập hợp phép toán sau: a) Phép hợp: Hợp hai tập hợp A B tập hợp chứa phần tử thuộc hai tập hợp A B Ta nói hợp A, B, tập hợp chứa phần tử thuộc A thuộc B Ta ký hiệu hợp hai tập hợp A B là: A ∪ B Như vậy: Bộ môn KHCB x ∈ A U B ⇔ x ∈ A x ∈ B Giáo trình tốn cao cấp1 Ví dụ: Nếu A tập hợp số thực nhỏ 1, B tập hợp số thực lớn tập hợp nghiệm thực bất phương trình x2 - 3x + > A ∪ B b) Phép giao: Giao hai tập hợp A B tập hợp chứa phần tử thuộc A lẫn B Ta ký hiệu giao hai tập hợp A B A I B Như vậy: x x ∈ A I B ⇔ x ∈ A x ∈ B Ví dụ: A tập hợp số thực nhỏ 2, B tập hợp số thực lớn tập hợp nghiệm phương trình x2 - 3x + < A I B Nếu A I B = φ ta nói tập hợp A B khơng giao hay rời Ví dụ: A tập hợp điểm đường thẳng y = x + 1, B tập hợp điểm Parabol y = –x2 A I B = φ (hai đường không giao nhau.) c) Phép trừ: Hiệu hai tập hợp A B tập hợp chứa phần tử thuộc A mà không thuộc B Ta ký hiệu hiệu hai tập hợp A B A\ B Như vậy: x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A x ∉B Ví dụ: R tập hợp số thực, B tập hợp gồm hai số thực tập hợp xác định phân thức 1+ x R \ B x − 3x + 2 Đặc biệt, hiệu E \ A gọi phần bù (hay bổ xung) A E, ký hiệu CEA, hay tập E biết ký hiệu đơn giản A Các tính chất phép tốn trên: Giả sử A,B,C tập tập hợp E Các phép toán hợp, giao, bổ xung có tính chất sau: Bộ mơn KHCB Giáo trình tốn cao cấp1 Tính chất cuối cịn gọi quy tắc Đờ mooc-găng: Khi lấy phần bù hợp hay giao hai tập hợp, tập hợp thay phần bù nó, phép hợp thay phép giao, phép giao thay phép hợp Việc chứng minh tính chất đưa vào việc chứng minh hai tập hợp Ta nhắc lại: T = P T ⊂ P P ⊂ T Ta chứng minh tính chất 9.1 : Đặt T = A U B P = A I B Đầu tiên chứng minh T ⊂ P : Lấy x ∈ T tức x ∈ A U B Theo hình vẽ 2, x thuộc phần bù A U B tức x phải không thuộc A không thuộc B : x ∉ A, x ∉ B Nhưng x ∉ A tức x ∈ A Cũng vậy, tức x ∉ B Vậy x ∉ A x ∉ B hay x ∉ A I B Ta chứng minh x ∉ A U B x ∉ A I B Từ ta có: Bây ta chứng minh P ⊂ T Lấy y ∉ P tức y ∉ A I B Theo định nghĩa phép giao ta có y ∉ A y ∉ B tức y ∉ A y ∉ B Khi y phải thuộc phần bù A U B tức ta có y ∉ A U B Như : Từ (l) (2) ta suy ra: AU B = AI B Phương pháp chứng minh tính chất khác tương tự 1.3 CÁCH CHO MỘT TẬP HỢP Người ta thường cho tập hợp cách: a) Liệt kê phần tử Ví dụ: Bảng danh sách thí sinh trúng tuyển vào trường đại học Nếu số phần tử tập hợp ít, ta viết tên phần từ tập hợp hai dấu { }, chẳng hạn A = {1,2,3,4}; A tập có phần tử 1, 2, 3, b) Cho quy tắc để nhận biết phần tử Ta viết: A = {x : P(x)} hiểu: A tập hợp gồm phần tử x cho tính chất P với x Ví dụ: A = {x ∈ R : x2 - 3x + = }hiểu: A tập hợp số thực x nghiệm phương trình x2 - 3x + = tức A = {1,2} Bộ mơn KHCB Giáo trình tốn cao cấp1 Từ ta có: 3.3 NGUYÊN HÀM CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC Ta xét số trường hợp đơn giản: 1) Dạng ∫ R(sin x, cos x)dx với R biểu thức hữu tỷ sinx cosx Đưa hữu tỷ cách đặt t - to - Ví dụ: 2) Dạng ∫ sin m x cos n xdx với m, n số nguyên dương a) hai số m, n lẻ: Ví dụ: Bộ mơn KHCB 142 Giáo trình tốn cao cấp1 b) Cả hai số m, n chẵn Ta dùng cơng thức hạ bậc: Ví dụ: Ta dùng cơng thức lượng giác biến đổi tích thành tổng Ví dụ: Ta xét số phương pháp để tìm nguyên hàm hàm số Ta thừa nhận hàm liên tục khoảng (a,b) có nguyên hàm khoảng Tuy nhiên khơng phải hàm liên tục có nguyên hàm biểu diễn dạng hàm sơ cấp Chẳng hạn hàm sin x cos x − x ; ; e ; − k sin x ,v,v…khơng có x x nguyên hàm biểu diễn hàm sơ cấp Để tìm nguyên hàm phải dùng phương pháp khác BÀI TẬP 9.1 Dùng tính chất bảng nguyên hàm tìm nguyên hàm hàm số sau: 9.2 Dùng phép (đổi biến) đơn giản tính tích phân bất định sau: Bộ mơn KHCB 143 Giáo trình tốn cao cấp1 9.3 Tính phép thế: 9.4 Tính phép phân đoạn: 9.5 Cho I n = ∫ cos n xdx Lập công thức liên hệ In In-2 9.6 Tìm nguyên hàm hàm hữu tỷ: theo công thức: 9.7 Chứng minh tính Áp dụng tính I3 9.9 Tìm ngun hàm hàm vơ tỷ 9.10 Tìm nguyên hàm hàm lượng giác: Bộ môn KHCB 144 Giáo trình tốn cao cấp1 9.11 Tính hai tích phân: 9.12 Tính tích phân: Bộ mơn KHCB 145 Giáo trình tốn cao cấp1 CHƯƠNG 10 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH §1 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN 1.1 BÀI TỐN DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG Việc tính diện tích hình phẳng dựa ngun tắc sau: a) Diện tích có tính khơng âm: A hình phẳng diện tích A ≥ b) Diện tích có tính cộng được: A,B hai hình khơng có phần chung ( A ∩ B = φ ) thì: Diện tích ( A ∩ B ) = Diện tích (A) + Diện tích (B) c) Hình vng có cạnh cỏ dzện tích Như để tính diện tích hình phẳng bất kỳ, ta chia hình thành nhiều hình vng hình đặc biệt tam giác cong hình thang cong Vì tam giác cong trường hợp đặc biệt hình thang cong, nên ta đặt vấn đề tìm diện tích hình thang cong Hình thang cong: Trong hệ tọa độ vng góc xây , ta xét hình giới hạn đường cong liên tục y = f (x) , trục Ox, đường thẳng x = a, x = b (ta giả thiết f ( x) ≥ [a,b]) Trường hợp đặc biệt, đường cong y = f (x) cắt trục Ox x = a x = b Một gọi hình thang cong Diện tích hình thang cong: Để tính diện tích hình thang cong ta làm sau chia hình thang cong thành n dải (hình 32), coi dải có diện tích xấp xỉ diện tích hình chữ nhật Như tổng diện tích n dải hình chữ nhật cho ta giá trị gần diện tích hình thang cong Cụ thể, ta làm sau: chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhau, đoạn có độ dài ∆x = b=a , ta có điểm chia: n Trong đoạn thứ i (i = 1,2,…,n) ta chọn điểm tùy ý ξ i Tích f (ξ i )∆x cho ta điện tích hình chữ nhật có cạnh f (ξ i ) ∆ x, ta coi xấp xỉ với diện tích dải thứ i Như tổng: n diện tích hình chữ nhật cho ta giá tri gần diện tích hình thang cong Bộ mơn KHCB 146 Giáo trình tốn cao cấp1 Ta thấy n lớn, tức ∆ x bé kết xác Vì vậy: Nếu tổng có giới hạn ∆x → giới hạn gọi diện tích S hình thang cong cho Ta thừa nhận rằng, hàm f liên tục [a,b] giới hạn tồn tại, tức hình thang cong xét có diện tích Ví dụ: Tính điện tích hình giới hạn đường parabol y = x2, trục Ox, đường x = 0, x = Chia đoạn [0,l] làm n đoạn điểm chia: i n Chọn điểm chia ξ i điểm mút phải đoạn ξ i = , i = 1, n Vậy diện tích hình phải tìm 1/3 đơn vi diện tích 1.2 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Giả sử y = f (x) hàm xác định [a,b] Ta chia đoạn [a,b] làm n đoạn điểm chia: x0 = a < x1 < < x n = b Đặt ∆xi = xi − xi −1 Lấy đoạn [xi-1,xi] điểm ξ i tùy ý lập tổng: Tổng (1.2) gọi tổng tích phân hàm f (x) tẩy đoạn [a,b] Định nghĩa: độ dài lớn ∆xi ; dần tới mà tổng tích phân (1.2) có giới hạn khơng phụ thuộc vào cách chia đoạn [a,b] thành n đoạn cách chọn điểm ξ i đoạn giới hạn gọi tích phân xác định hàm f (x) lấy đoạn [a,b] Bộ môn KHCB 147 Giáo trình tốn cao cấp1 b ∫ f ( x)dx Tích phân xác định ký hiệu là: a với ∫ dấu tích phân, a cận tích phân, b cận trên, f (x) hàm số dấu tích phân, f ( x)dx biểu thức dấu tích phân (đó biểu thức vi phân), x biến số lấy tích phân Như vày theo định nghĩa: Theo tốn tính diện tích hình thang cong thì: b Nếu f ( x) ≥ [a,b] ∫ f ( x)dx cho ta diện tích hình thang cong giới hạn a đường y = f (x) , y = 0, x = a, x = b Đó ý nghĩa hình học tích phân xác định Hàm f (x) mà với giới hạn (l.3) tồn gọi khả tích đoạn [a,b] Ta thừa nhận định lý sau: Đinh lý: hàm f (x) liên tục [a,b] khả tích Tổng quát hơn, hàm f (x) có [a,b] số hữu hạn điểm gián đoạn loại (ta gọi ham f liên tục khúc) khả tích [a,b] Chú ý 1: định nghĩa tích phân xác đinh [a,b] ta giả thiết a < b b Chú ý 2: tích phân ∫ f ( x)dx x biến số tích phân Tuy nhiên ta dùng a chữ khác để kí hiệu biển số tích phân mà khơng ảnh hưởng tới giá trị tích phân Như ta viết: 1.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Dựa định nghĩa tích phân xác định phép tính giới hạn, ta chứng minh được: Nếu hàm f ( x), g ( x) khả tích [a,b] hàm f ( x) + g ( x), k f ( x) với k số khả tích [a,b] và: Bộ mơn KHCB 148 Giáo trình tốn cao cấp1 Nếu hàm f khả tích đoạn [a,c], [c,b] khả tích [a,b] và: Từ tính chất ta suy ra: Nếu m M giá trị nhỏ lớn hàm f(x) [a,b] thì: Thật vậy, ta có m ≤ f ( x) ≤ M nên từ tính chất suy ra: (tổng đoạn theo định nghĩa tích phân xác định thì: độ dài đoạn [a,b]) Về mặt hình học: Tính chất nói lên diện tích số khơng âm Tính chất nói lên rằng: f ≥ g diện tích hình thang cong giới hạn f không bé diện tích hình thang cong giới hạn g Tính chất nói rằng: diện tích hình thang cong kẹp diện tích hình chữ nhật nội tiếp hình chữ nhật ngoại tiếp (hình 33a) Bộ mơn KHCB 149 Giáo trình tốn cao cấp1 Định lý giá trị trung bình: Nếu hàm f liên tục [a,b] có điểm c ∈ [a,b] cho: Chứng minh: hàm f có giá trị nhỏ m M [a,b] Theo tính chất 5: Hàm f liên tục [a,b] nên nhận giá trị m M Như tồn c ∈ (a,b) để f (c) = μ Từ suy công thức phải chứng minh b Giá trị f (c) = f ( x)dx gọi giá trị trung bình hàm f đoạn b − a ∫a [a,b] Ý nghĩa hình học: diện tích hình thang cong diện tích hình chữ nhật có đáy [a,b] với hình thang đường cao giá trị trung bình hàm đoạn [a,b], tức f (c) (hình 33b) §2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ NGUYÊN HÀM Trong chương ta đưa khái niệm tích phân bất định hàm f tập hợp nguyên hàm hàm số f Trong chương ta có khái niệm tích phân xác định hàm f giới hạn tổng tích phân hàm f đoạn [a,b], hai khái niệm có chung phần tên gọi tích phân có chung ký hiệu ∫ Trong mục ta đưa mối liên hệ hai khái niệm 2.1 ĐẠO HÀM CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH THEO CẬN TRÊN x Xét tích phân ∫ f (t )dt có cận x: Nếu x biến thiên miền [a,b] a giá trị tích phân phụ thuộc vào x Như ta có hàm: x x → Φ ( x) = ∫ f (t )dt xác định [a,b] a Định lý: hàm f liên tục đoạn [a,b] Nói cách khác, hàm dấu tích phân liên tục đoạn lấy tích phân đạo hàm tích phần xác đinh theo cận hàm số dấu tích phân, Bộ mơn KHCB 150 Giáo trình tốn cao cấp1 biến số tích phân thay cận Chứng minh: ta lập số gia ∆Φ hàm x + ∆x Ở ta đùng tính chất để phân tích tích phân ∫ f (t )dt thành hai tích phân a Bây ta áp dụng định lý giá trị trung bình cho tích phân cuối cùng: hàm f liên tục nên tồn c ∈ ( x, x + ∆x) tức x < c < x + ∆x cho: Định lý chứng minh 2.2 CÔNG THỨC NEWTON-LEIBNIZ Đinh lý: f(x) hàm liên tục [a,b] F(x) ngun hàm giá trị tích phân xác định hàm f hiệu nguyên hàm F f lấy cận tích phân x Chứng minh: Theo định lý mục 2.1 hàm Φ ( x) = ∫ f (t )dt nguyên hàm a hàm f(x) nên theo tính chất ngun hàm hai hàm Φ(x) F(x) f(x) sai khác số C : Φ(x) - F(x) = C Bộ môn KHCB 151 Giáo trình tốn cao cấp1 b Viết với biến số x ∫ f ( x)dx = F (b) − f (a ) Định lý chứng minh a Công thức (2.l) gọi công thức Newton-Leibniz Công thức có vai trị quan trọng tốn học: cho phép ta tính tích phân xác định nhờ nguyên hàm mà không cần phải lấy giới hạn tổng tích phân Đê tính tích phân xác đình hàm f [a,b] ta việc tìm nguyên hàm F lập hiệu F b a: Ví dụ 1: ta trở lại tốn tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x2, trục Ox, đường x = 0, x = nêu mục 1.1 Ta có: Ví dụ 2: tìm giá trị trung bình hàm f ( x) = sin x đoạn [0, π ] Theo định lý giá trị trung bình (tính chất 6,1.3) thì: §3 HAI PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Theo cơng thức Newton-Leibniz, việc tính tích phân xác đinh đưa đến việc tìm ngun hàm Vì ta sử dụng phương pháp biết chương để tìm nguyên hàm, cụ thể phương pháp biến đổi biến số phân đoạn Ở ta trình bày cách áp dụng phương pháp vào tích phân xác định 3.1 PHÉP BIỀN ĐỔI TRONG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Nếu f(x) hàm liên tục [a,b], x = ϕ (t ) hàm xác định có đạo hàm liên tục [ α , β ] với ϕ (α ) = a, ϕ ( β ) = b thì: Thật vậy, F ngun hàm f thì: Theo cơng thức đổi biến tích phân bất định ta có: Bộ mơn KHCB 152 Giáo trình tốn cao cấp1 Từ suy công thức (3.1) Như vậy, thực phép đổi biến tích phân xác đinh, đồng thời với việc biến đổi biểu thức dấu tích phân ta biến đổi cận lấy tích phân theo biến số mới, sau áp dụng công thức Newton-Leibniz ta giá trị tích phân mà khơng phải trở biến cũ a Ví dụ 1: tính ∫ a − x dx Phép đổi biến x = asin x thỏa mãn điều kiện quy tắc đổi biến nêu π đoạn [ 0, ] Ta có: a2 - x2 = a2(l - sin2t) = a2cos2t, dx = acostdt Nếu Cũng tích phân bất định, cơng thức (3.l) áp dụng theo chiều ngược lại, nghĩa ta dùng phép t = ϕ (x) Tích phân hàm chẵn hay lẻ khoảng đối xứng qua O: a Giả sử phải tính: ∫ f ( x)dx −a Trong hàm f(x) hàm chẵn lẻ [-a, a] Ta đổi biến x = -t tích phân giữa: (ký hiệu lại biến số tích phân tích phân thứ tra x) Bộ mơn KHCB 153 Giáo trình tốn cao cấp1 π Ví dụ: ∫ sin xdx = hàm sin x hàm lẻ −π Tích phân hàm tuần hồn Hàm f xác đinh R hàm tuần hoàn với chu kỳ T f(x+ kt) = f(x) với x ∈ R k nguyên Tích phân hàm tuần hồn lấy đoạn có độ dài chu kỳ khơng phụ thuộc vào gốc đoạn lấy tzch phân 3.2 PHÉP PHÂN ĐOẠN TRONG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Nếu u v hàm có đạo hàm liên tục [a,b] thì: Bộ mơn KHCB 154 Giáo trình tốn cao cấp1 Từ ta cơng thức (3.2) π Ví dụ 2: lập cơng thức tính I n = ∫ sin n xdx; n ∈ N Thành phần đầu vế phải thay x π 0, thay cos2x = - sin2x tích phân vế phải ta được: Ta cơng thức truy chứng cho phép tính In biết In-2 Để tính In với n ta cần tính I0 I1 áp dụng cơng thức Như ta tính In với n ngun dương, chẳng hạn: Bộ mơn KHCB 155 Giáo trình tốn cao cấp1 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Đình Trí tác giả khác, Tốn cao cấp, Tập 1, 2, 3, NXB Giáo dục [2] Trần Trọng Huệ, Đại số tuyến tính hình giải tích, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 [3] Trần Đức Long tác giả khác, Giáo trình giải tích, Tập I, II, III NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002 [4] Nguyễn Thừa Hợp, Giải tích, Tập I, II, III, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002 [5] Tống Đình Quỳ, Nguyễn Cảnh Lương, Giúp ơn tập tốt Tốn cao cấp - Đại số tuyến tính, NXB Giáo dục [6] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích, Tập I, II NXB Giáo dục [7] Nguyễn Đình Trí, Bài tập tốn cao cấp, Tập 1, 2, 3, NXB Giáo dục, 1999 [8] Lê Văn Tiến Giáo trình tốn cao cấp NXB Nông Nghiệp, Hà nội, 1998 Bộ môn KHCB 156 Giáo trình tốn cao cấp1 ... Từ ta có: det(AB) = a11b 11 + a12 b 21 a11b12 + a12 b22 a 21b 11 + a 22 b 21 a 21b12 + a 22 b12 Ta tách định thức thành bốn định thức: Cuối ta có: det(AB)=det(A)(b11b22 – b21b12) = det(A)det(B) Kết... vuông A cấp n có chứa (n – 1) ! số hạng chứa a 11 làm thừa số Tổng (n – 1) ! số hạng tích a11D 11 với D 11 định thức phần tử a 11 Tổng lấy theo hoán vị n số (l, 2,…, n) Một số hạng tùy ý chứa a 11 làm... (– 2 ,1, 3) độc lập tuyến tính b, Các véc tơ v1 = (l,0,3), v2 = (0 ,1, 2), v3 = (2,–3,0) phụ thuộc tuyến tính 2.7 Chứng minh véc tơ: v1 = (0 ,1, 1 ,1) , v2 = (l,0 ,1, 1), v3 = (l ,1, 1,0), v4 = (1, 1 ,1, 0)