Giáo trình toán học cao cấp _Tập 2 pps

Trang 3

sơ

_ồi nói đầu

Sinh viên mồi vào năm học thứ nhất các trường Dai hoc, Cao ding

thường gặp khó khăn do phương pháp dạy, phương pháp học ở bậc

học này có nhiều điều khác biệt so với Ở bậc Trung học Toán học cao cAp lại là một món học khó với thời lượng lớn của năm thứ nhất Ó

các trường Đại học, Cao đẳng kỹ thuật nhằm rên luyện tư duy khoa

học, cung cấp cơng cụ tốn học để sinh viên học các mơn khoa hoc k¥ thuật khác và xây dựng tiềm lực để tiếp tục tự học sau nà iỵ

Bộ gido trinh "Toán học cao cẤp" này được biên Soạn căn cứ vào

chương trình khung đã được ban hành và thực tế giảng dạy Ở hệ cao

đẳng của một số trường Đại học kƑƒ thuật và căn cứ vào chương trình

mơn Tốn hiện nay của các trường Trung học Phổ thông, nhằm giúp

cho sinh viên hệ Cao đẳng học tốt môn học nâỵ

Đo yêu cầu đào tạo hiện nay của hệ Cao đẳng, một số phần của Toán học cao cấp như cấu trúc đại số, dạng toàn phương, tích phân phụ thuộc tham số; tích phân ba lớp, tích phân mặt, chuôi Fourier, không được đưa vào giáo trình nàỵ 4hững khái riêm Toán học cơ bản, những phương pháp cơ bản, những kết quả cơ bản của các

chương đều được trình bày đây đủ Một số định 1ý không được chúng mủnh, nhưng ý nghĩa của những định Jý quan trọng được giải

thích rõ ràng, nhiều vi dụ mình hoạ được đưa rạ Nhiều ứng dụng

của Jý thuyết vào tính gần đúng được trình bảy & daỵ Riéng voi

những kiến thức về giải tích mà sinh viên được học & Tr từng học phổ

` thông, giáo trình này chỉ nhắc lại một cách hệ thống các điểm chính

và trình bày các kiến thức nâng caọ Phần câu hỏi ôn tập ở cuối mỗi

chương nhằm giúp sinh viên học tập và tự kiểm tra kết quả học tập

Trang 4

Bộ giáo trình này được viết thành hai tập và là công trùnh tập thể” của ba nhà giáo : Nguyễn Đình Trí (chủ biên) Lê Trọng Vinh và

Dương Thủy Vỹ Ông Lê Trọng Vinh viết các chương ÿ IL, IV, V; ong

Dương Thủy Vỹ viết các chuong I, VỊ VIL IX: ong Nguyén Dinh 3? vi4† các chuong VIL, X, XỊ

Khi xây dựng để cương cho bộ giáo trình này cũng như khi biên soạn giáo trình, chúng tôi đã tham khẢo kinh nghiệm của nhiều nhà giáo đã giảng dạy nhiều năm môn Tt Oán học cao cập cho hệ Cao đẳng

Ở các trường Đại học Äƒ thuật Chúng tôi xửn chân thành cảm on các bạn đồng nghiệp đã đọc bản thảo và cho nhiều ý kiến quý báụ

Độ giáo trình này được viết lần đâu, chắc không tránh khỏi

những khiếm khuyết Chứng tôi chân thành cẩm ơn xmọi ý kiến đóng

góp của bạn đọc Thư góp ý xin gửi về Công ty Cổ phân Sách Đại học -

CÁC TÁC GIÁ

Trang 5

Ss

MUC LUC LỜI NÓI ĐẦU

HÀM SỐ NHIÊU BIẾN SỐ

$Ị Khái nệm mởđầụ

§2 Đạo hàm riêng Vi phân toàn phần

§3 Đạo hàm của hàm số hợp Đạo hàm của hàm số an

§4 Đạo hàm theo hướng Vectơ građiên §5 Cựctị §6 - Vài ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học

Chương VII TÍCH PHÂN KÉP

§6 Ung dựng bình học của tích phân kép Câu hỏi ôn tập

Bài tập

Đáp số

Chương IX

TICH PHAN DUONG

Công của một lực biến đổị

Trang 6

§4 Cơng thức Green

§5 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường cong

lấy tích phân

§6 Ứng dụng của tích phân đường

§7 Tích phân đường trong không gian .116

Trang 7

cae

Chương VI

HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

Mue dich yeu cdu

— Trinh bay nhing khéi niém co ban va két qué co ban vé phép tinh vi phân của hàm số nhiều biến số : định nghĩa hàm số nhiều biển số, miễn xác định, cách biểu diễn hình học, giới hạn và tính liên tục của hàm số nhiều biến số, đạo hàm riêng và vi phân toàn phần, dao ham cấp cao, dao ham theo hướng, cực trị của hàm số nhiều biến số và một số ứna dụng của phép tính vi phân vào hình học

— Đinh viên cÂn hiểu rõ các khái niệm trên, nẮm vững các kết quÃ trên, hiểu được ý nghĩa của Aao hàm riêng và vì phân toàn phần, cần lưu ý đến sự khác biệt aiữa hàm số, một biến số và hàm số nhiều biến số — Đinh viên cẦn tính toán thành thạo dao ham và vi phân của hàm số

nhiều biến øố cho dưới các dạng khác nhau, tìm được cục trị của hàm số nhiễu biến số, viết phương trình của tiếp tuyến, pháp diện của đường cong tại một đẫm, phương trình của pháp tuyến, tiếp điện của mặt cong tại một điểm

§1 KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

1.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến số

D l một tập hợp trong RẺ Người ta gọi ánh xạ f : D —> , tức là một

quy tắc cho ứng với mỗi cặp số thực (x, y) e D một số thực duy nhất z, ký

Trang 8

1.2 Miền xác định

Nếu người ta cho hàm số hai biến số bởi biểu thức z= f(x, y) ma khong

nói gì về miễn xác định của nó thì miền xác định của hàm số đó được hiểu là

tập hợp những cặp (x, y) sao cho biểu thức f(x, y) có nghĩạ Nếu xem (x, y)

là toạ độ của điểm M trong mặt phẳng thì miễn xác định của hàm số f(x, y) là tập hợp những điểm M sao cho biểu thức f(M) có nghĩạ Đó thường là một tập hợp D /iên thông trong IRỆ, tức là một tập hợp mà hai điểm Mạ, M; bất kỳ của nó luôn có thể nối với nhau bởi một đường cong liên tục nằm hoàn

toàn trong D (hình 7.1) Trừ trường hợp miền xác định D = R’, D thường

được giới hạn bởi một đường cong L kín hay không Miền D được gọi là mở nếu những điểm của biên L đều không thuộc D, là đóng nếu mọi điểm của biên L đều thuộc D

Miền liên thông D được gọt là đơn

liên nếu nó bị giới hạn bởi một đường

cong kin, da liên nếu nó bị giới hạn

bởi nhiều đường cong kín rời nhau từng

đôi một

Vi du J Ham số z = 2x — 3y+5

xác định VÉ, y) e RẺ, miễn xác định Hình 7.1

của nó là toàn bộ mặt phẳng

Vi du 2 Ham 86 z = vj1 ~ x? ¬y” xác định khi 1 ¬ x” ~ yˆ > 0 hay

x?+yˆ < 1 Miễn xác định của nó là hình tròn đóng, tâm O, bán kính 1 (hình 7.2)

Ví đ/ 3 Hàm số z = InŒ + y — 1) xác định Khi x + y — 1 > 0 hay x + y > Ị

Trang 9

Qe

oe

Sau này các khái niệm sẽ được trình bày cho trường hợp n = 2 hay n = 3

Các khái niệm ấy cũng được mở rộng cho trường hợp.n nguyên dương bất kỳ 1.3 Biểu diễn hỉnh học của hàm số hai biến số

Gia st z = f(x, y) là hàm số xác định

trong miền D của mặt phẳng xOỵ Qua

điểm M(x, y, 0) trong mién D, dung

đường thẳng song song và cùng hướng với

trục Oz và lấy điểm P trên đó sao cho

MP = f@x, y) = z Khi điểm M biến thiên

trong miền D thì điểm P biến thiên trong IR?

ba điểm Ă1, 0, 0), BO, 2, 0), C(O, 0, 3) 2

Phần của đồ thị của hàm số đó nằm trong Ă1,0,0) 8(0.2,0) góc phần tám thứ nhất (hình 7.5) * Hình 75 1.4 Mặt bậc hai Mặt bậc hai là những mặt mà phương trình của chúng là bậc hai đối với X,ÿW,Z 1.4.1 Mặt elpxôit Mật elipxôit là mặt có phương trình 2 Ỳ v2 „2 x

+045 21,

(7.1)

trong đó a, b, c là những số dương Vì x, y, z có mặt trong phương trình (7.1)

Trang 10

s1 Be mi

Cất mặt elipxôit bởi các mặt phẳng toạ độ xOy, yOz, zOx, các giao tuyến theo thứ tự là các đường clip : : 2 2 xy zta=L z=0; a pe 2 32 y Ze = bê + a =], x=0; 2 2 zw s†—-=l, y=0 cả Cất mặt elipxôit bởi mặt phẳng z = k, k là hằng số, giao tuyến có phương trình 3 v2 2 x y k

=+=—=I-Š zék

(7.2)

Nếu k = +c, giao tuyến thu về điểm (0, 0, + c) Nếu ~c < k < c, phương trình (7.2) có thể viết

Đó là phương trình của đường elip có tâm tại điểm (0, 0, k), có các bán trục là

2 2

a 1-*%, b IS,

Cc € Hình 7.6

Khi k tăng từ 0 đến c, các bán trục nhỏ dân tới 0 Khi k tăng từ —c đến c, giao tuyến di chuyển và sinh ra mặt ©lipxôit (hình 7.6) a, b, c gọi là các bán trục của elipxôit

tròn xoay, sinh bởi đường elip 5 + 7 = 1, z=0 quay quanh trục Oz Nếu a 4 =b = c, mặt elipxôit trở thành mặt cầu tâm O bán kính ạ

Trang 11

“at: eras ‘Og,1.4.2 Mat hypebéloit một tầng Đó là mặt bậc hai có phương trình 2 v2 „2 x yf —+S=_ =k 2 bc (7.3)

trong đó a, b, c là những hằng số dương Mat đó nhận các mặt phẳng toạ độ làm mặt phẳng đối xứng, nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng Nó cắt mặt phẳng toạ độ xOy theo đường elip 2 v2 => + a =1,2=0, a b cắt các mặt phẳng toạ độ yOz, zOx lần lượt theo các đường hypebôn : 2 2 a - = =1,x=0, ¢ 2 „2 XÃ Z —=~-s=l.y=0 a c? Giao tuyến của mặt hypecbôlôit với mặt phẳng z = k là đường elip 2 v2 k 2 + =1+ z bề = z=k (7.4)

Khi kị tăng từ 0 đến +œ, các bán trục của clip đó theo thứ tw ting tir a đến + và từ b

dén +00 Khi k biến thiên từ —œ đến +o giao tuyến đó dịch chuyển và sinh ra mặt

trong đó a, b, c là những hằng số dương Nó nhận các mặt phẳng toạ độ làm

mặt phẳng đối xứng, nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng

Trang 12

Cắt mặt (7.5) bởi mặt phẳng z = k, giao tuyến có phương trình

2 v2 v2 :

+ =S TL zek (76)

a b € z

ˆ Nếu |k| < e, mặt (7.5) không cắt mật phẳng z = k Nếu k = #c, mặt phẳng z = k tiếp xúc với

mặt (7.5) tại điểm (0, 0, ©) hoặc (0, 0, —c) Nếu i

so

|k| > c, giao tuyến (7.6) là đường elip có bán trục m

k2 k? iA

aj>-l va by c c -1 Khi || tăng từ c tới a

+2, các bán trục ấy lớn dần từ 0 tới +0, giao ⁄ tuyến (7.6) đi chuyển và sinh ra mặt hypebôlôit <

5 _ a = -1, z= 0 quay quanh truc Oz sinh rạ a“ oc 1.4.4 Mat parabéléit eliptic

Đó là mặt có phương trình 2 v2

Xử s2,

7.7)

trong đó p, q là các hằng số dương

Vi x, y tham gia vào phương trình (7.7) với số mũ chẩn, nên mặt (7.7)

nhận các mặt phẳng yOz và zOx làm mặt phẳng đối xứng

Trang 13

niếu k > 0, là gốc toạ độ nếu k = 0 Khi k ting ti 0 dén +00 cdc ban trục cũng tăng từ 0 đến ˆ

+20, giao tuyén (7.8) di chuyển và sinh ra mat

parabôlôit cliptic (hình 7.9),

Nếu p = q, ta có mặt parabôlôit tròn xoay, do parabôn x? = 2pz, y = 0 quay quanh truc Oz sinh rạ

XY Ly,

(7.9)

Nó nhận các mặt phẳng yOz và zOx làm mặt phẳng đối xứng Cất nó bởi mặt phẳng zOx, giao tuyến là đường parabơn

xÌ=2pz,y=0, (7.10)

Đó là đường parabôn có tham SỐ q, có trục song song với Oz, quay bể lõm vẻ phía z < 0,

có đỉnh nằm trên đường Œ.10) Khi k biến

thiên từ -œ đến +, giao tuyến (7.11) dị

chuyển và sinh ra mat paraboloit hypebôlic, (hình 7.10) ‘

2 2 TY la ek

(7.12)

Ñếu k > 0, đố là đường hypebôn có trục thực nằm trong mặt phẳng zOx

Trang 14

k <0, đó là đường hypebôn có trục thực nằm trong mật phẳng yOz và song

song với Oy, có bán trục thực -j~2qk, bán trục ảo ^4-2pk Nếu k = 0, phương trình (7.12) trở thành 2 v2 ZX _Y 20, 2=0 P q Vậy giao tuyến của mặt (7.9) với mặt phẳng z = 0 là cập đường thẳng giao t nhau y =+ fae trong mặt phẳng xOỵ 1.4.6 Mặt trụ bậc hai Nếu một trong ba biến số không có mật trong phương trình của một mặt nào đó thì mặt đó là mặt trụ Chẳng hạn, mặt có phương trình

a, b là các hằng số dương, là mặt trụ elip Nếu diém (Xp, Yo: 0) thuộc mặt đó

Trang 15

ve SS

trong đó a, b, c là các hằng số dương Nó cắt mặt phẳng xOy tại gốc toạ độ, cắt mặt phẳng yOz theo đường

y 2

b2 c? x=0 hay z=+_y, Xe,

tức là theo cap đường thẳng giao nhau trong mặt phẳng yOz và cất mật

phẳng zOx theo cập đường thẳng giao nhau z = tox trinh

2 2

2„2 2y =lz=k

eầ Pa

Giao tuyến đó là đường elip có các bán trục

ak Oe Khi k biến thién tir -co dén +0,

giao tuyến đó di chuyển và sinh ra mat (7.13)

(hình 7.13)

Dé kiém tra rằng néu diém Mo(Xọ Yo: Zo) nằm trên mặt (7.13), thì mọi điểm nằm trên đường thắng OMẹ cũng nằm trên mặt (7.13), vì mọi điểm trên đường thing OMy đều có toa đ (Axo, AYo, À2o), À là một số

nào đó Vậy mặt (7.13) là một mặt nón có

đỉnh ở gốc toạ độ Nếu a = b, ta được một mặt nón tròn Xoaỵ

1.5 Giới hạn của hàm số hai biến số

Giao tuyến của mặt (7.13) với mặt phẳng z = k, k là hằng số, có phương (7.14)

Hinh 7.13

Ta nói rằng dãy điểm Mạ, yạ) dần tới diém Mo(Xp, Yo) trong RỂ và

viết Mạ —> Mọ (hay (Xạ, Yn) —> (Xọ, yọ)) khi n —> 00 néu

lim Vn - xe} +YnT— Yoy =0 n¬»

Cho hàm số f(M) = f(x, y) xác định trong một miền D chứa điểm Mg(xọ, yọ), có thể trừ điểm Mọ Ta néi ring L 14 gidi han cila f(x, y) khí

Trang 16

điểm M(x, y) dân tới điểm Mẹ nếu với moi day M;G, ya) (khác Mẹ) thuộc

miền D dần tới Mạ ta đều có

lim f(Xn.Ya) =.L

nw

Ký hiệu : GPa) lim fx,y)=Lhay lim f(M) =L

MMọ

Từ định nghĩa trên suy ra rằng nếu khi y

day M, dần tới M, trên hai đường C¡, C¿ khác nhau (hình 7.14) mà dãy

tfŒạ, ya)} dần tới hai giới hạn khác nhau

L¡,L¿ thì lim f(x,y) không tổn tạị (Xy)~=Œouyo)

xy Hình 7.14

lfœy)|= —=M _ ly| <|y|, Vœ, y) (0,0)

Vậy

Ví dụ 6 Tìm

ty sao) y)vái

góc y) x+y

Trang 17

“a8 ef Véi day {(x,, Ya)} dẫn tới (0, 0) trên đường ÿ = x, ta có Yn = Xp» do dé

xd

§ŒXm Xn) = Vx, #0 Vay

1.6 Tĩnh liên tực của hàm số hai biến số

Cho hầm số f(x, y) xác định trong miễn D Mo(Xọ yọ) là một điểm thuộc

D Ta nói rằng hàm số Í(x, y) liên tục tại Mo néu:

1 Tén tai lim f(x,y);

(Xy) ae)

2 (Xy)=(Xẹyg) lim f(X,y) = f(x, Yo) (7.15) Hàm số f(x, y) được gọi là liên tực trong miền D nếu nó liên tục tại mọi

điểm của miễn Ð Hàm số nhiều biến số liên tục trong một miễn đóng

giới nội cũng có những tính chất như hàm số một biến số liên tục trong một khoảng đóng giới nội : nó giới nội, đạt giá trị lớn nhất và bé nhất trong miễn ấỵ Ví dụ 7 Xét tính liên tục của hàm số xy ~?——z› V(x,y) # (0,0)

Gy) = 4x? + ỷ

_ GG, y) xdc dinh trên toàn JR?, N6 liên tục tại mọi điểm (x, y) # (0, 0) vi

nó là thương của hai hàm số liên tục với mẫu số khác 0 Chỉ còn phải xét

Trang 18

a

ee Lại đặt Af = xo + AX, yọ + Ay) ~ f(xọ, yạ) Khi đó công thức (7.15) có thể

§2 ĐẠO HAM RIENG VI PHAN TOAN PHAN

2.1 Dao ham riéng

2.1.1 Dink nghiạ z = f(x, y) là một hàm số xác định trong miễn D, {Xo Yo) 1a một điểm thuộc D Nếu cho Y = ÿo, Yọ là hằng số, mà hàm số một

bién s6 x 4 f(x, Yo) có đạo ham tai x = xp thi dao hàm đó goi la dao ham riêng đối với x của hầm s6 f(x, y) tai (Xp, yo) va dugc ky hiệu là

af &

ÍŒọ, yọ) hay 3x %o Yo) hay 2x (Kor Yo) Vậy theo định nghĩa của đạo hàm hàm số một biếT số, ta có

im ẨŒo + AX,Yg) ~ Í(Xo,yg) f(Xq, ¥o) = I (Xo, Yo) ADN 0 a 0 070)

Tương tự, đạo hàm riêng đối với y của hàm số f(x, y) tai (Xp, Yo) ky hiéu 1a

(Xp, Yo + Ay) — f(Xp, Yo)

Ay

Như vậy khi tính đạo hàm riêng đối với x của †, chỉ việc xem y là hằng số và lấy đạo hàm của f đối với x ; khi tính đạo hàm riêng đối với y của f, chỉ việc xem x là hằng số và lấy đạo hàm của f đối với ỵ

fp, Yo) =i

v(Xo, yọ) Ayrso

Ví dự 1 Tính các đạo hàm riêng của z = xÃ — 5xŠy2 + 2y!,

a 4s IRV a 10x"y + 8y°

Ví dụ 2 Tính các đạo hàm riêng của z = xỲ (x>0) oz

= = yx! oe x Inx

ox " ey

Trang 19

Ví dụ 3 Tính các đạo hầm riêng của z = (5) #0)

š s0140) s6)}

&

š-46)3)-»)2

Chú thích 1 - Đạo hầm riêng của hàm số n (> 2) biến số được định nghĩa

tương tự Khi tính đạo hàm riêng của f đối với một biến số nào đó, ta xem các biến số khác là hằng số và tính đạo hàm của f đối với biến số ấỵ 2 Ví đụ 4 Tính các đạo hàm riêng của hàm số u = e* Ÿ cosz : o du 2 eu 2 ou 2y, = = e* Y2xycosz, <= e* ¥x2 cogz, Zt = ex Ysinz

ax ay

2.1.2 ¥ nghia hinh học của đạo hàm riêng Gọi S là đồ thị của hàm số z = f(x, y),

C¡ là giao tuyến của S và mặt phẳng y =yo- C¡ chính là đồ thị của hàm số một biến số f(x, yo) én mat phẳng y = Yọ

Đo đó đạo hàm riêng Í(Xọ yọ) là hệ số

góc của đường tiếp tuyến Tị của C, tai điểm P(x, yo, zọ), trong đó % = f(Xp, Yo)

(hình 7.15) Còn đạo hàm riêng tớ, Yo)

là hệ số góc của đường tiếp tuyến Tạ của

giao tuyến C; của mặt S với mặt phẳng Hình 715

X = Xo tai P(%o, yọ, Zo)

Đạo hàm riêng £,(xp, Yo) cũng biểu diễn vận tốc biến thiên của hàm số

f(x, y) theo hướng x tại (Xo, Yo), còn FX, Yo) biểu diễn vận tốc biến thiên của f(x, y) theo hướng y tai (Xp, yo)

3.1.3 Đạo hàm riêng cấp cao

Các đạo hàm riêng f,, fy gọi là đạo hàm riêng cấp một của hàm số z = f(x, y) Chúng cũng là những hàm số của x, ỵ Vì vậy có thể xét các

Trang 20

đạo hàm riêng của chúng : (f,),, (dys (fyho (fy ys gọi là đạo hàm riêng

cấp hai của f(x, y) Ta dùng các ký hiệu sau :

ofa) ef A fs = fx = Rl Be | Re = Ox\ Ox) Bx? a2 a), <£, -2(28)_ Of _ # wy "Oy x)” Oydx Øyêx' a) =2, -2(%) 8 & yin 1 x\ By} xây xôý ăa) er az (fy = fy = xã) “Tay

f, = 2xe” + 3x7y’, fy= xe) + 2x3y — 5y*,

fyx = 2c + 6xỷ, fy = 2xe” + 6x’y,

fy, = 2xe” + 6x’y, fy =x7e” + 2x3 — 20y3,

Các đạo hàm riêng cấp cao hơn được định nghĩa tương tự Chẳng hạn

t= 0| #r\ #r

oy Oy = 2y đê |" aưac'

Ta thừa nhận mà không chứng minh định lý quan trọng saụ

ˆ Định lý 7.1 (Schwarz), Nếu hàm số Ñx, y) có các đạo hàm riêng fey

vd fe trong mét mién D và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại điểm

(49, Yo) € D thi

Fao Yo) =fy%ọ Yo)-

Ta da thấy kết quả này ở ví dụ 5

Từ định lý Schwarz dễ dàng suy ra rằng fryy = fyxy = É y„ nếu chúng

liên tục

Đạo hàm riêng cấp cao của hàm số n (> 2) biến số được định nghĩa

tương tự :

Trang 21

Ví dụ 6 u=z2exv, ty = ees, 2 x¬yi uy =e" %, 2 — thuy = Z om (2) = Pe,

cyz — v3 X— 2 xcy, 3 x~y/

2.2.1 Định nghĩạ Ta biết rằng nếu hàm số một biến số f(x) xác

định trong khoảng I c IR và nếu tồn tại dao ham f'(xq), Xo € Ï thì số gia Af(X) = (xq + Ax) — f(xq), trong đó xọ + Ax e Ï, có thể biểu diễn dưới dạng

Af(xg) = f'(xg)Ax + Ax, (7.17)

trong đó œ —> 0 khi Ax —> 0 Biểu thức f'(xg)Ax, phần chính của Af(xạ) khi Ax —0, gọi là ví phân cha f(x) tai xạ Vậy nếu đạo hàm ƒ {xạ) tôn tại thì ƒx)

khả vì tại xạ

Bây giờ xét hàm số hai biến số f(x, y) xác định trong miễn D RẺ MgŒXọ, yạ) và MŒxọ + AX, Yo + Ay) là hai điểm thuộc D Nếu số gia Af(Xg, Yo) = f(Xq + AX, Yo + Ay) — f(Xo, yọ) có thể biểu diễn dưới dạng

Af(xg, Yo) = AAx + BAy + Ax + BAy, (7.18)

trong đó A, B là những số không phụ thuộc Ax, Ay; còn œ —> 0 và B —> 0 khi (Ax, Ay) — (0, 0) (tite 1a khi M —> Mạ) thì ta nói rằng hàm số f{+, y) khả vì

tại Mẹ, biểu thức AAx + Bœy gọi là vị phân toàn phần của hàm số f(x, y) tại

(Xo, yọ) Ứng với các số gia Ax, Ay và được ký hiệu là df(xọ, yọ)

Nếu hàm sd f(x, y) kha vi tại (xg, yạ) thì nó liên tục tại đó, vì từ công thức (7.18) suy ra Af(Xạ, yọ) —> 0 khi (Ax, Ay) —> (0, 0) (xem chú thích §1) Ham s6 f(x, y) gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc D

Chứ thích 2 Nếu f(x, y) khả vì tại (xạ, yạ) thì tồn tại các đạo hàm riêng £,(Xq, Yo)s f(Xq, Yo) That vay, từ công thức (7.18) ta cd

f(Xp + AX, Yo) — f(Xq, Yo) = AAX + aAx,

Trang 22

f(Xq + AX, ¥9) — f(Xo,yp) _

£,{X9, x(Xq,Yo) = lim Cũng như vậy

f(g, Yo) = B

Nhu vậy nếu hàm s6 f(x, y) kha vi tai (xq, yo) thi vi phan toàn phần của nó tại (xo, Yo) được cho bởi

df(Xp, Yo) = £,(Xg, Yo)AX + fy(Xo, Yo)Aỵ

Chú thích 3 Khác với hàm số một biến số, nếu hàm số hai biến số f(x, y)

có các đạo hàm riêng £,(xq, ¥o), fy(Xq yo) thi chua chắc nó đã khả vi tại {Xo, Yo) Xét ham số sau xy

Guy) = 4x? +ỷ

0,

vi G(h, 0) = 0, Vh z 0 Tương tự, ta có G0, 0) =0 Vậy tồn tại các đạo hàm riêng G,(0, 0), G,(G, 0), nhung ham sé G(x, y) khong liên tục tại (0, 0) (Kem ví dụ 6 §1) nên không khả vi tại (0, 0) E5

2.2.2 Điều kiện khả vi của hàm số nhiều biến số

Định lý 7.2 Nếu hầm số fix, y) có các đạo ham riêng trong một miễn D chứa điển Mg(xọ, yạ) và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại Mẹ thì hàm số x, v) khả vi tại Mẹ, ví phân toàn phân của Ñx, y) tại Mẹ được tính bởi

công thức

đƒ xo; vạ) = fÁ2g, Yo)Ax + f(Xa + Ya)4y (7.19)

Chứng mình: GIÁ sử (Xe + Ax, yo + Ay) € D Ta cé

Af(Xp, Yo) = f(Xq + AX, yo + Ay) ~ f(X9, Yo)

= [F(xq + Ax, yo + Ay) — f(Xq, Yọ + Ay)] + [f(Xọ, Yọ + Ay) — f(Xp — yọ)l

Trang 23

% mã

Ap dung công thức Lagrange cho hàm số một biến số (xem công thức (3.2), tập 1), ta được :

f(xq + Ax, yo + Ay) — Í(Xo, yọ + Ay) = AXÊ,(X, Yp + Ấy),

trong đó x là một giá trị nào đồ nằm giữa xọ và Xọ + Áx ;

fŒXo, yọ + Ay) ~ flo, ¥o) = AYÍ (xo, Y),

Af(Xo, yo) = AXE,(X, Yp + Ay) + Ayfy(xp, ¥)

t » Yo + Ay) =£,(Kp, Yo) + a,

fy(%o Y) = Ï/ŒXạ, Yo) + B,

trong đó œ —> 0,B —> 0 khi (Ax, Ay) — (0, 0) Do đó

Af(Xo, Yo) = f,(Xp, Yo) AX + Í/Xọœ Yo)Ay + œAx + BÁỵ — (720)

Af(xọ, yọ) được biểu diễn dưới dạng (7.18), trong đó A = £,(Xq: Yo),

B= f(g Yo) Do dé ham sé f(x, y) kha vi tại Mo(Xọ, Yo) và vi phân toàn phần df(xạ, yạ) được cho bởi

đẾŒXọ, yo) = Í,Œo, Yo)Ax + f/Œọ, Yo)AỴ Ml

Chú thích 4 Cũng như đối với hàm số một biến số, vì x, y là biến số độc

lập nên ta có Ax = dx, Ay = dy, do đó công thức (7.19) còn được viết là

đfCXo, yọ) = Í,(Xọ, Yo)dx + fy(Xps Yo) dỵ

Ví dự 7 Tính vị phân toàn phân của hàm số z= x? + ỵ

Ham số xác định trên toàn RẺ Vì các đạo hàm riêng

liên tục tại mọi (x, y) # (0, 0) nên z khả vi trên R?2\ {(0, 0)} va _ xdx + ydy

Trang 24

Chú thích S Đối với hàm số n €© 2) biến số, định nghĩa hàm số khả vi,

điều kiện khả vi của hàm số, công thức của vi phân toàn phần cũng tương tự

như hầm số hai biến số

Vĩ dự ä Tính vi phan toàn phần của hàm số u = xe*”, Hàm số xác định trên toàn RỶ Các đạo hàm riêng

ỔU _ ựz ye Ou ye

RTẸ soa xte™, — =xyc

ox ay „=1

liên tục trên tồn '®Ÿ nên hàm số u khả vị trên toàn RỶ và

du =edx + xze"dy + xye*Zdz = € “(dx + xzdy + xydz) 2.2.3 Ung dung vi phân toàn phần vào tính gân đúng

Từ vế phải của công thức (7.20) ta thấy rang F.QXọ YAK + f(Xọ Yo)Ay

là vô cùng bé bậc nhất đối với P=VAx/+ Aỷ khi p > 0 com œAx + BAy

là vô cùng bé cấp cao đối với p Vi vay khi Ax, Ay khá nhỏ, ta có thể xem

Af(Xụ, yạ) xấp xí bằng dfQxụ, yạ), tức là

Af(Xo, yo) # f(xo, Yo)Ax+ Íý(Xo, Yo)Ay hay

Í(Xg + ÁX, yy + Ay) = Í(Xụ, Yo) + tú, Yo) Ax + f/0%q yo) Aỵ (2D Vi du 9 Cho ham sé f(x, y) = x4 2xy - ỵ Tinh Af(x, y) va df(x, y) néu Xg = 2, Yo = 3, Ax = 0,03, Ay =-0,02 dfx, y) = (2x + 2y)Ax + (2x — 2y)Aỵ d2, 3) = (2.2 + 2.3).(0,03) + (2.2 — 2.3).(-0,02) = 0,34, Af( 3) = £(2.03 ; 2,98) — f(2, 3)

= [(2,03)? + 2.2,03.2,98 - (2,98)7] - [2?+ 2.2.3 - 3°] = 0.3434

Ta thay df(2, 3) = Af(2, 3), nhung tinh df(2, 3) dé hon

Vid TÔ Tính gần đúng arctg no

Ta cần tính 2(xg + Ax, Yo + Ay) trong dé z = arcig Xo=Lyg=l,

Ax = -0.05, Ay = 0,02

Trang 25

“Ta có LIÊN 1 ->] _} Ca 1 1 kx ox 22) ye yg ye’ Oy 2X yaỷ

oF eee

1,02 —- 10,05 +1.0,02 _ 2 _

Ví dụ 11 Khi do bán kính đầy và chiều cao của một hình nón tròn xoay

ta được 10cm và 25cm Biết rằng sai số mỗi lần đo có thể tới 0,lcm Hãy tính sai số tuyệt đối lớn nhất khi tính thể tích của hình nón

Thể tích V của hình nón tròn xoay có bán kính đáy R và chiều cao H được cho bởi

v= xR?H

3 ww Do dé vi phân của V là

év av 2nRH xR?

dV =2AR + TAH= S— AR + AH Vì |AR| <0,1, |AH| < 0,1 nên sai số lớn nhất khi tính V là

Bây giờ cho hai ham sé P(x, y), Q(x, y) Dinh ly sau đây cho ta biét khi

nào biểu thức P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của một hàm số

Trang 26

Định lý 7.3 Giả sử các hàm số P(x, y), Q(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục trong một miễn D nào đó Biểu thức P(x, y)4x + Q(x, y)dy là một vì

phân toàn phần khi và chỉ khi : Š = 2 Vinyl eD (7.22) Chứng mình: Nếu P(x, y)dx + Q&, y)dy là vi phân toàn phần của hàm số

f(x, y) thì PŒX.y)=C, Q0y) số, oy

oP _8F RQ oF

er ar là on 1c

Nhung = = —— vi chúng cũng liên tục trong miền D (do định lý 7.1)

Ơx Øxây

nên ta có điều kiện (7.22) Vậy (7.22) là điều kién can dé P(x, y)dx + Q(x, ykly là một vi phân toàn phần

Đảo lại, nếu điều kiện (7.22) được thoả mãn thì P(x, y)dx + Q(x, y)dy là

một vỉ phân toàn phần Ta thừa nhận kết quả nàỵ

Chú thích 6 Nếu điêu kiện (7.22) được thoả mãn, ta có thể tìm được hàm số f(x, y) sao cho df = P(x, y}dx + Q(x, y)dỵ Việc tim ham s6 f(x, y) được trình bày trong vi dụ saụ

Ví dụ 12 Chứng minh rằng các biểu thức sau đây là vi phân toàn phần :

Trang 27

ae &

“ _.= “ m „ 6ỷ ~ 10xỵ (®*)

1% y) =x" - Sy’x + 9G), core)

trong đó p(y) là một hàm số khả vi bất kỳ của biến số y, p(y) được xem là

hằng số tuỳ ý đối với x vì x, y là hai biến số độc lập Lấy đạo hàm đối với y

hai vế của (***), ta được

3 =—10xy + ó(y) (*#**)

So sánh (**) và (**#**), ta được @(y) = 6y”, Do đó p(y) = 2y’ + C, Cla hang

f¡Œ,y)= x?~ 5xỷ + 2ỷ +C

Lưu ý rằng ta cũng có thể bất đầu tính bằng cách lấy nguyên hàm theo y hai vế của (**) như trong phần b) dưới đâỵ 3

b) Ta 06 P(x, y) = 3x°(1 + Iny), Q(x, y) = x ~ 2ỵ Do dé a _ 3x’ _Q ô y OK

oe = 3x"(1 + Iny), @

Ty 2

Lấy nguyên hàm theo y hai vế của (ii), ta được

fy(, y) = x Iny — y” + g0), (ii)

trong đó œ(x) là một hàm số khả vi bất kỳ của x Lấy đạo hàm theo x hai vế

Trang 28

poẹ Ki

= = 3x?my +ơợ@) (iv)

So sénh (iv) véi (i), ta duge @'(x) = 3x”, Do dé (x) = x? + C, Cla hing

số tuỳ ý Thay @(x) vào (ii), ta được

fz&, y)= x”(1 + Iny) — yŸ + C

§3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP

DAO HAM CUA HÀM SỐ ẨN

3.1 Đạo hàm của hàm số hợp

3.1.1 Cho hàm sé z = f(u,-v), trong đó u = u(x), v = v(x) là những hàm

Số của x Ta nói rằng z = f(u(x), v(x)) là hàm số hợp của x qua các biến số trung gian u, v Định lý sau đây cho ta quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp

Z= f(u(x), v(x))

Dinh ly 7.4 Néw z = flu, v) la ham sé kh vi ctia u, v vd néu u = u(x), v= Wx) la nhiing ham sé khd vi ctia x thi z là hàm số khả vi của x và ta có

Ø d | af av

5 ~ Bu de Ov dx’ (7-23)

Chứng mình: Cho biến số độc lập x số gia Ax; u, v có số gia tương ứng là Au, Av ; hàm z có số gia tương ứng là Az Vi z = f(u, v) 1a hàm số khả vị

của u, v nên Az có thể biểu diễn đưới dạng

of of

Az= By AU + Ty Ấv + gẤu + BAv,

trong đó œ —> 0, B —> 0 khi (Au, Av) — (0, 0) Chia hai vế cho Ax, ta được

Az _ of Au, af Au AV | 5 Av

Au du |, Av dv

Go Ax > 0, vi lim — =—, lim — =—, lim a =0, lim B =0, „ ano AK dx A0 AX GX "Axo jim,6

laduge

St jim Fw, dx Ax20AX du Ox

Trang 29

ao

Ví dụ ï Tính 5 nếu z = uˆ — uy + 2v, u=e*v=sinx

Theo công thức (7.23), ta có ,

& = 2 * + & x = (2u — v)(—-e *) + (-u + 4v)cosx

=-~(2€ “— sinx)e * + (4sinx ~ e “)cosx Chú thích 1 Nếu z = f(&, y) là hàm số khả vi của x, y và nếu y = y(x) là

ham sé kha vi cla x thì z = f(x, y()) là hàm số hợp của x, khả vi đối với x Và ta có

dz a , oz dy

koả am (7.24)

Dao ham # ở vế trái gọi là đạo hàm toàn phần của z đối với x, còn đạo hàm & ở vế phải là đạo hàm riêng của z = f(x, y) đối với x

Ví dụ 2 Tính : nếu z = In(x? + y9, y= sinˆx

Theo công thức (7.24), ta có -

2x4 4sin? xcosx

de % Ot dy _ 2x + 2y 2sin x cos x =——.— _

dx @x ôy dx x? +ỷ x2 4ỷ x? +sin*x

3.1.2 Bay giờ xét hàm s6 z= f(u, v), trong d6 u = u(x, y), v= v(x, y) 1a những hàm số của hai biến số độc lập x, ỵ Khi đó z = f(u(x, y), v(x, y)) là hàm số hợp-của x, y thông qua các biến số trung gian u, v

Dé tinh dao hàm riêng đối với x của hàm số Z, ta xem y không đổi, khi

đó z = f(u(œ, y), v(x, y)) là hàm số hợp của một biến số độc lập x thông qua

hai biến số trung gian u, v Do định lý 7.4, ta có

oe _ Of bu | Of Ov

ox uôx Ov Ox"

Cũng lập luận như vậy khi tính ee ta duge dinh ly saụ

Định lý 7.5 Nếu hàm số z = ƒu, v) là hàm số khả vi của u, v và các hàm sO u = u(x, y), v = v(x, y) c6 cde dao hdm riéng uy, ty vụ Vy thi tồn tại các

., 6 Oz ‘

đạo hàm riêng ——, —- và ta có

Trang 30

_ han _ Of ou | of Ov =o Bu ax * By ox’ (7.25)

& ~ Gu dy * By By

ax’ dy làn

bu a Oe ay eK yay T~

sev ea[S)y era 5) - 2m |yom(F}-50(5)

= = e* cos] — ly - e*” sin} — |— = e*”| ycos] — | — ~sin| — ||;

ox y yy Wty) ly

Gag * oos{2 š)»- sa 3) —Š|=e% xes| Ÿ)¬ 2 an 3)

y yl ỷ y) ỷ ỳ

Chủ thích 2 Quy tắc tinh đạo hàm của hàm số hợp cũng được mở rộng cho trường hợp hàm số f phụ thuộc nhiều biến số trung gian hơn và các biến số trung gian phụ thuộc nhiều biến số độc lập hơn

2

3.2 Dao ham của hàm số ẩn

3.2.1 Giả sử hai biến số x, y được ràng buộc với nhau bởi phương trình

F@, y) =0 (7.26)

Nếu y = f(%) là một hàm số xác định trong một khoảng nào đó sao cho

khi thế y = f(x) vào phương trình (7.26), ta được một đồng nhất thức thì ta

nói rang y = f(x) là hàm số ẩn xác định bởi phương trình (7.26) Chẳng han phương trình

x2+ỷ-ả=0 Œ.2)

xác định hai hàm số ẩn y = Vả —x? va y = -Va* — x? trong khoảng ~a $x Sa, vi khi thé chting vio phương trình (7.27) ta được đồng nhất thức

x?+ (&”~ x2 — aŸ = 0, Vx € [—a, a]

Chú ý rằng không phải mọi hàm số ẩn đều có thể biểu diễn được dưới

Trang 31

ot

xy-e*+e"=0 không thể biểu diễn được dưới dạng y = f(x)

Người ta chứng minh được rằng nếu hàm số F(x, y) khả vi trừ một số

điểm, hàm số y = f(x) kha vị Lấy đạo hàm hai vế phương trình (7.26) theo x, công thức (7.24) cho ta F(x, y) + Fy(x, yý=0 Do đó nếu Fx, y) #0, tacé

RGy)” Vi du 4 Tinh ý néu x? + ỷ - 3axy = 0:

(7.28), ta có ‘ 2 Ruy) _ 3x? ~3ay x? ~ay

Ví đụ S Tính ý nếu xy — e" + eŸ = 0

+-_K@y) y-e*

FQ, y,z)=0 (7.29)

FG, y, f(x, y)) = 0

với mọi (x, y) thuộc miễn xác định của f Cũng như trong trường hợp trước,

nếu F(, y, z) khả vi thì trừ tại một số điểm đặc biệt, hàm số Í(x, y) khả vị Lấy đạo hàm hai vế phương trình (7.29) đối với x và đối với y, ta được

lần lượt : `

oF OF oz

Trang 32

a

oy

Vi du 6 Tinh 2 Wy néu xyz = COS(X + Vi F(x, y, 2) = xyz — cos(x + y + 2) kha cho tạ: ox F,(%y,2) xy + F oF oz a (X,y,Z)+ wea =0

Fyœy,2) _TQuy,2)' 730)

§4 ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG VECTƠ GRAĐIÊN

4.1 Đạo hàm theo hướng

4.1.1 Ta biết rằng các đạo hàm riêng fo, Yo) ÍýŒ%o, yọ) biểu diễn vận tốc biến thiên của hàm số z = f(x, y) tại điểm Mẹ(Œxạ, yọ) theo hướng của các trục Ox, Oỵ Bây giờ ta muốn tính vận tốc biến thiên của hàm số ấy tại Mọ theo một hướng bất kỳ xác định bởi vectơ đơn vị ủ của nó Gọi œ là góc giữa trục Ox và vectơ Ú Khi đó vectơ t có các thành phân (cosơ, sinc) Qua My dung một đường thẳng có hướng của ứử, trên đường thẳng ấy lấy điểm M(, y) sao

cho MụM = pil (hinh 7.16), p là độ đài đại

Trang 33

G65 đấy Az _ £(M)~F(My) _ fwy)— fXuya) p Pp p

Néu ii trang với vectơ đơn vị Ï cha trục Ox thì Dạz(Mụ) = lim ZŒo + P»¥o) — Z(XọYn) _

p70 p

oz

2x toa):

- Vậy đạo hàm riêng & là đạo ham

của z theo hướng của trục Ox, còn > là đạo hàm của z theo hướng của

oy

truc Oỵ

Trên hình 7.17, Dạz(Mẹ) biểu

diễn hệ số góc của đường tiếp tuyến T

của giao tuyến C của mặt z = f(x, y

với mặt phẳng đi qua MoPy va vectơ Dạz(Mẹ) cũng biểu diễn

vận tốc biến thiên của hàm số z = f(x, y) Bình 7.17

tai M, theo hướng tỉ

Định lý 7.6 Nếu hàm số z = f(x, y) khả vi tại Mạ(xạ, yọ) thì tại đó nó có

đạo hàm theo mọi hướng ii va

Dy2(Mo) = f%q Yo) cosa + f,fxp, Yo)sina, (7.31)

ala géc ma it tao với truc Ox

Chứng mình: Vì hàm 86 f(x, y) kha vi tai My nén s6 gia

Az = f(M) — f(Mp) = f(Xp + pcos, yg + psina) — (Xo, Yo)

có thể viết đưới dang

Az = £,(Xp, Yo) pcos + fy, Yo)psind + apcosa + Ppsina,

trong d6 a > 0, B —> 0 khi p > 0 Do dé l

Trang 34

: = f,(Xq, Yo)cosa + FX, Yo)sinạ + acosa + Bsinạ

Vay

Ds2(Mo) = £(Xq Yo)eosạ + f,(Xp, Yo)sinạ

Vi du J Tinh dao ham cha ham 6 z = x? — Sxy + 3ỷ theo hướng của

vectơ Ÿ = 6ï + 8] tại điểm (2, ~1)

Vectơ đơn vị ủ ứng với Ý có các thành phần ( thi Gv 3}; Theo cong thức (7.31) : 3 2,4 Dgz(x,y) = z,(x, y)cosa: + Zy(X, Y)sinœ = (2x — 3 + (-5x + 9y’ 33 Dyz(2,-1) = (2.24 5.2 + (10 +9) = 2

4.1.2 Đạo hàm của hàm số ba biến số w = f(x, y, 2) theo hướng xác định bởi vectơ đơn vị tại điểm Mạ(xọ, yọ, zo) được định nghĩa tương tự

như trên Giống như chứng minh định lý 7.6 ta có :

Dinh lý 7.7 Nếu hàm số w = ƒ(x, y, 2) khả vì tại Mạ(xạ, Yo, Zo) thi tai dé

nó có đạo hàm theo mọi hướng xác định bởi vectơ đơn vi it và

Dif (%0+Yo20) = flXo Yọ, Zo)cosd + ƒ(X, Ỵ Zg)C0S/ +

+ F,0% Yor 29) cosy, (7.32)

trong đó œ, 8, y là những góc mà ñ tạo với ba trục Ox, Oy, Oz

4.2 Vectơ gradiên

Nếu hàm số hai biến số f(, y) có các đạo hàm riêng fy fy tai diém

M(x, y), người ta gọi građiên của f tại M là vectơ có các thành phần

(ẸG, y), fC, y)), ky hieu grad f(x, y) hay Vi(xy) Vay

Trang 35

Ví dụ 2 Tinh grad f(M) néu f(x, y) = In(x? + y2), M3, -4)

Nếu hàm số ba biến số Í(x, y, z) có các đạo hàm riéng f,, f, f, tai MG, y, 2), người ta gọi Sradién cla f tại M là vectơ có các thành phần

(£:(% ¥, 2), fx, ỵ z), E,(x, y, 2))

và ký hiệu là gradf(x,y,z)

Định lý 7.8 Nếu hàm số ƒ khả vị tại điểm M thi giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng D„ ;ƒ(M) bằng |erad/(M)] và đạt được khi it cùng hướng Với vectơ grad /(M)

— Chứng mình: Ta chứng minh cho hàm số ba biến 86 f(x, y, z) Vecto grad f(M)có các thành phan (f,(M), f, y(M), f,M)), còn vectơ don vị Ủ có các thành phần (cosœ, cosB, cosy) Do đó tích vô hướng của hai vectơ

gradf(M) và được tính theo công thức

grad f(M) = £,(M)cosạ + £,(M)cosB + £,(M)cosy = D;f(M)

"Theo định nghĩa của tích vô hướng, ta có

Dạf(M) = gadf(M)ii = |esdreMliilcos6,

9 h góc giữa grad f(M) va ị Do đó grad f(M).ii u đạt giá trị lớn nhất khi cos9 = 1, tức là khi 0 = 0, hay khi hướng của ữ trùng với hướng của

gradf(M) Khi đó

sradf(M)di = |gradf(M)|

Ví A 3 Nếu F(X, y, 2) = xỶ + V) + øẺ + 3xyz, tính graẩf và tính đạo hầm

cha f tai M(L, 2, —L) theo hướng của vectơ w = -1 + 2] ~ 2k

Giải: Ta có

Trang 36

# as

Ba cosin chỉ hướng của wlà (-3 3 -

đơn vị ii tng véi w Do đó Dgf(M) = grad f(M).i = cẵ3] + 95 + 3-3) =1

a) Tính vận tốc biến thiên của f tại Ă2, 0) theo hướng từ A đến B(5, 4)

b) Theo hướng nào thì vận tốc biến thiên ấy lớn nhất Tính giá trị lớn nhất ấỵ

Giải: a) gradf = (£,, {,) = (x ~ y, —x + 2y), grad f(A) =(4,-2)

Do đó

Dyf(A) = grad f(A) = 45 - 25 =5

b) Theo định lý 7.8, vận tốc biến thiên của f tai A dat gid trị lớn nhất khi ñ cùng hướng với gradf(A) = (4, -2) Giá trị lớn nhất ấy bằng

Jemdra)| = 4/42 +2} = v20

4.3 Trường vectơ

Người ta gọi trường vectơ xác định trên một miền D c R? 1A một ánh xạ cho ứng với mỗi điểm M(x, y, z) e D một vectơ duy nhất F(M) có gốc tại

M, các thành phân PÉc, y, z), QỌ, ¥, 2), R(X, y, z) Nếu Í, j, K là các vectơ

đơn vị trên ba trục toa độ, ta có

F(M) = PŒ.y,2)Í + QŒ,y,ø)j + RŒ.y,2)Ẹ (*)

cấp một trong miền D C IRỂ thì gradf là một trường vectơ xác định trong D

Trang 37

¬ sp,

Trường vectơ F(M) cho bởi công thức (*) gọi là trường thế nếu tổn tại

một hàm sé u(x, y, z) sao cho

_— = du ôu eu

gradu = F <> 2x P(x, y, Z), a Q(x y, 2), a RG, y, 2),

tức là sao cho P(x, y, z)dx + Q(x, y, zdy + RG, y, 2)đz = dụ Hàm số u(%, y, Z)

gọi là hàm số thế vị của trường F

“Tương tự như vậy, trường vectơ xác định trong một miền D RẺ l một ánh xạ cho ứng với mỗi điểm MŒ, y) D một vectơ duy nhất F(M) có gốc

tại M, các thành phần P(x, y), Q(x, y) Ta có

F(M) = PŒ,y)Ï + QŒv)} œ9

Trường vectơ xác định bởi công thức (**) gọi là /rường thế nếu tồn tại một hàm số u(x, y) gọi là hàm số thế vị của trường F, sao cho

gradu =F œ@ & = P(x,y), % =Qy),

P(x, y)dx + QŒ, y)dy = dụ

Theo định lý 7.3, biểu thức Pdx + Qdy là một vi phân toàn phần khi và

chỉ khi

tức là sao cho

oP = Q (F#*)

oy OK

Vậy trường F cho bởi (**) là trường thế khi và chỉ khi điều kiện (***) được

thoả mãn Khi đó có thể tìm được hàm số u(, y) theo P(x, y) va Q(x, y) (xem mục 2.2.4)

Ví dụ 5 Các trường vectơ sau có là trường thế không Tìm hàm số thế vị của trường nếu đó là trường thế

Trang 38

2) Ta có P(x,y) = 3x? + v, Q(x,y) = 2xy — 3,

op _ 4, _ 8Q

Mỷ 4%)

Cla hang số tùy ý Vậy hàm số vị thế của trường Fo 1a

u(x, y) = xỷ ~3y+ r+,

§5 CUC TRI

5.1 Cực trị của hàm-số Hai biến số

3.1.1, Định nghĩạ Ta nói rằng him s6 z = f(x, y) dat cue tri tai diém

Mo(Xọ Yo) néu véi mọi điểm M(x, y) khá gần Mẹ nhưng khác Mạ hiệu

f(M) — f(Mp) có dấu không đổi ; nếu f(M)— f(MQ) > 0 thì f(MỤ) là cực tiểu ;

nếu f(M) — Mẹ) < 0 thì f(Mạ) là cực đạị Cực đại và cực tiểu được gọi

chung là cực /rị, điểm Mẹ được gọi là điểm cực trị

Ví dụ 7 Hàm số z = x? + ỷ đạt cực tiểu tại (0, 0) vi x? + y >Ũ,

V(x, y) # (0, 0)

3.1.2 Điều kiện cần của cực trị

Định lý 7.9 Nếu hàm 86 fx, y) dat cuc tri tai diém Mo(x, Yo) va tai dé cdc dao ham riéng ton tai tht

Idọ Yo) = 0, f3, xạ) = 0 (7.34)

Trang 39

Chimg minh: Vi f(x, y) đạt cực trị tại Mo(Xo, yo) nên nếu cố định y = yụ

thì hàm số một biến số x + f(x, yọ) đạt cực trị tại x = xạ Vì đạo hàm

riêng f,(Xp, Yo) t6n tại, nó phải bằng 0 theo định lý Fermaị Cũng như vậy

Íy(ọ, yọ) = 0

Điều kiện (7.34) là điều kiện cần của cực trị, nó không là điều kiện đủ vì

tại những điểm mà các đạo hàm riêng cấp một bằng 0 chưa chắc hàm số đạt

cự trị Tuy nhiên định lý 7.9 cho phép ta chỉ tìm cực trị tại những điểm ở đó các đạo hàm riêng cấp một đều bằng không, gọi là điểm dừng

%.1.3 Điều kiện đủ của cực trị 'Ta thừa nhận kết quả saụ

Định lý 7.10 Gid sit rang Mo(xp, Yo) 1a một điểm dừng của hàm số #x, y) và hàm số Ñx, y) có đạo hàm riêng cấp hai ở lân cận điển Mẹ Đặt

r = f(%ọ, Yo), = fol Xọ Yo), t = fylXo: yạ) Khi đó :

1) Nếu sˆ — rt < 0 thì f(x, y) đại cực trị tại Mạ Đó là cực tiểu nếu r > 0,

2) Nếu 3ˆ —rt > 0 thì Đx, y) khơng đạt cực trị tai Mg;

3) Nếu sˆ — rr = 0 thì chưa kết luận được ƒ(x, y) đạt cực trị hay không đạt cực trị tại Mẹ (trường hợp nghỉ ngờ) Vi du 2 Tìm cực trị của ham sé z= + # +4x—2y+8 Ta có 2, = 2x +4, zy = 2y -2 Toa d6 cia diém dimg 1a nghiém cia hé 2x+4=0

2y-2=0

Vay điểm dừng duy nhat la diém (2, 1)

V17, = 2, 2y = Ú, 2yy = 2 nên sŸ — rỉ = ~4 < 0, cồn r = 2 > 0, vay him

số đạt cực tiểu tại diém (—2, 1) Va 2pin = 2? + 17 + 4.2) — 2.1 + 8 = 3

Nếu viết lai z = (x + 2 +(y- 1)? + 3, ta thấy z > 3 V(x, y) € R’, dang

Trang 40

Ta có 2„=3X” — 3y, 2y = 3ỷ — 3x 'Toạ độ của điểm dừng là nghiệm của hệ x-y=0 y>-x=0

Đó là một hệ phương trình đối xứng Thế y = xÊ từ phương trình đâu vào

0=x'—x =x(XẺ — 1) = xŒ — D@ + x+ D

Phương trình ấy có hai nghiệm x = 0, x = 1 Vay c6 hai diém dimg M,(0, 0),

Mi(L, 1) Vi 2x = 6%, Zyy = ~3, Zyy = 6y nén tại Mg(O, 0) ta có SẼ ~ = 9 > 0,

điểm Mạ không là điểm cực trị Tại Mạ(1, L) ta có sẼ — rí = 9 ~36 = ~27 < 0, T=6>0, Mi là điểm cực tiểu, z„¡„= 1 + 1— 3 = ~]

Ví đụ 4 Tìm cực trị của hàm số z = xỶ + v Ta có z„ = 3x2, ty = ay’, vậy chỉ có một

điểm dừng Mo(0, 0) Vi z,, = 6x, Zy = 0, Zy = by,

nén tai Mg ta c6 s* ~ rt = 0, Vay chưa kết

luận ngay dugc Chui ¥ ring z(Mp) = 2(0, 0) = O,

2X, y) — 2(0, 0) = x + y* Hiệu ấy duong néu diém M(x, y) nim trong góc phần tư thứ nhất, âm nếu M nằm trong góc phần tư thứ bạ Do

đó đấu của hiệu z(M) — zM,) thay đổi ở lân