Giáo trình toán cao cấp A1

$1 GIỚI HẠN 1.1 Giới hạn Đồ thị VÍ DỤ Hàm số x2 − f ( x) = x −1 có quan hệ gần x = nào? Giải lim f ( x ) = x→1 x2 − lim =2 x →1 x − VÍ DỤ Giới hạn n không ph phụ thuộc c vào hàm số s xác định x0 VÍ DỤ Hàm số giới hạn điểm VÍ DỤ (a) lim x = x0 x → x0 (b) lim k = k x → x0 1.2 Các định lí giới hạn ĐỊNH LÍ Các quy tắc giới hạn Nếu giới hạn sau tồn lim  f ( x ) ± g ( x )  = lim f ( x ) ± lim g ( x ) x→ c x→ c x→ c lim  f ( x ) g ( x )  = lim f ( x ) lim g ( x ) x→ c x→ c x→ c lim  k f ( x )  = k lim f ( x ) x→ c x→ c f ( x) f ( x ) lim x→ c lim = x→ c g ( x ) lim g ( x ) ( đk : lim g ( x ) ≠ 0) x→ c x→ c Nếu r/s phân thức tối giản r s ( lim  f ( x )  = lim  f ( x )  x→ c x→ c (Nếu s chẵn giả thiết f(x) > 0) ) r s VÍ DỤ Tìm Giải lim ( x + 3x + 5) x→2 TÍNH CHẤT Các hàm : đa thức, hữu tỷ, mũ, logarit, lượng giác liên tục tập xác định ĐỊNH LÍ 11 Tính liên tục hàm hợp Nếu ƒ liên tục c g liên tục ƒ(c), hàm hợp g o f liên tục c VÍ DỤ 42 Xét tính liên tục hàm số ℝ  tan x  a) f ( x ) =  x   1x b ) f ( x ) = e 1 Giải x≠0 x=0 x≠0 x=0 VÍ DỤ 43 Tìm a cho  ln (1 + x )  f ( x) =  x a + x liên tục miền xác định Giải x>0 x≤0 ĐINH LÍ Định lí giá trịị trung bình cho hàm liên tục Giả sử y = f ( x ) liên ttục [a, b] Nếu y0 giá trị bấtt kì gi ƒ(a) ƒ(b), y0 = f ( c ) vớii c ∈ [a, b] 1.4 Hàm ngược ĐỊNH NGHĨA ƒ(x) hàm số 1-1 D f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) với x1 ≠ x2 thuộc D ĐỊNH NGHĨA Giả sử ƒ hàm 1-1 miền xác định D miền giá trị R Hàm ngược f −1 định nghĩa f −1 ( x ) = y Miền xác định f −1 f ( y) = x R miền giá trị D Cách tìm f −1: Từ y = f ( x ) ⇒ x = f −1 ( y ) Đổi kí hiệu x y cho Khi y = f −1 ( x ) VÍ DỤ 45 Tìm hàm ngược hàm y = x − Giải ĐỊNH NGHĨA Hàm lượng giác ngược y = sin −1 x = arcsin x ⇔ sin y = x y = cos −1 x = arcosin x ⇔ cos y = x y = tan −1 x = arctan x ⇔ tan y = x y = cot −1 x = arc cot an x ⇔ cot y = x VÍ DỤ 46 Tính   a ) cos  −    −1 b) tan Giải −1 [...]...ĐỊNH LÍ 2 Nếu P ( x ) = an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 thì lim P ( x ) = P(c) x→c VÍ DỤ 6 Giải 2 x2 − x + 2 Tìm lim x→ 3 x2 + 1 ĐỊNH LÍ 3 Nếu P(x) và Q(x) là đa thức và Q ( c ) ≠ 0 , thì P ( x) P (c) lim = x →c Q ( x ) Q (c) x3 − 1 VÍ DỤ 7 Tìm lim