Bài giảng Toán cao cấp A2 (Trường CĐ Công nghiệp Huế)

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ    BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A2 Th S NGUYỄN HOÀNG ANH KHOA Huế, tháng 02 năm 2014 Th S Nguyễn Hoàng Anh Khoa 1 CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN VECTƠ ÁNH XẠ TUYẾN TÍN[.]

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ  BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP A2 Th.S NGUYỄN HỒNG ANH KHOA Huế, tháng 02 năm 2014 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG KHÔNG GIAN VECTƠ - ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1.1 Khơng gian vectơ 1.1.1 Số phức Tập hợp số thực R phong phú Tuy nhiên biết số thực phương trình đơn giản x + = hay x = -1 (1) khơng có nghiệm khơng có số thực bình phương lên lại -1 Giả sử tồn i cho i2=-1 ta gọi i đơn vị phức a Định nghĩa: Số phức số có dạng z = a + bi với a,b  R Trong đó, a gọi phần thực z kí hiệu a=Re(z) b gọi phần ảo z kí hiệu b=Im(z) b Số phức liên hợp: Xét số phức z = a + bi Số phức a - bi gọi số liên hợp z = a + bi ký hiệu z c Các phép toán - Phép cộng - Phép nhân - Phép chia - Lũy thừa bậc n - Căn bậc n d Các dạng biểu diễn số phức Dạng hình học Dạng lượng giác số phức: Giả sử z = r(cos φ + i sin φ) z’ = r’(cos φ’ + i sin φ’) - Tích hai số phức dạng lượng giác: z.z’= (r + r’)[cos(+’) + i.sin(+’)] - Thương hai số phức: z r  [ cos(φ -φ’) + i sin(φ -φ’)] z' r' - Công thức Moive: zn = rn (cosnφ + i sinnφ), n  N - Căn bậc n z ≠ có n giá trị là:    2k    2k   z k  n r  cos     isin     , i = 0;1;2 ;(n-1) n n n n      Ví dụ: Tính bậc ba Vì = cos0 + isin0 nên bậc ba  2k   2k  z k = cos     isin    , k = 0, 1,   3 3 Vậy có ba bậc ba là: z = 1; z =   i 3 ; z2 =   i 2 Th.S Nguyễn Hồng Anh Khoa 1.1.2 Khơng gian vectơ a Định nghĩa: Cho V tập hợp khác rỗng mà phần tử gọi vectơ, K trường (K R C) Trên V xây dựng phép toán cộng nhân sau: :VV  V : K  V  V (a, b)  a  b (,a)  a Lúc V gọi K - KGVT V với hai phép toán “+” “x” thoả tiên đề sau : TĐ1: u,vV ta có: u + v = v + u TĐ2: u,v,wV ta có: u + (v + w) = (u + v) + w TĐ3: V:  + u = u ( gọi phần tử trung hòa) TĐ4: uV,  -uV: u + (-u) =  (-u gọi phần tử đối u) TĐ5: u,vV, kK ta có: k(u + v) = ku + kv TĐ6: uV, k,hK ta có: (k + h)u = ku + hu TĐ7: uV, k,hK ta có: k(hu) = (kh)u TĐ8: uV ta có: 1.u = u Nếu K = R V gọi KGVT thực (gọi tắc KGVT), K = C V gọi KGVT phức Ví dụ 1: Kí hiệu Rn = {x=(x1;x2; ;xn) | x1,x2, ,xn  R}, Rn với phép toán cộng x + y = (x1 + y1; x2 + y2; ; xn + yn) nhân kx = (kx1;kx2; ; kxn) với x=(x1;x2; xn); y=(y1;y2; yn)  Rn Chứng minh Rn với hai phép toán cộng nhân KGVT Hd:  = (0;0; ;0) Ví dụ 2: Chứng minh P2 = {p=a+bx+cx2 | a,b,c  R} (tập đa thức bậc khơng q 2) với phép tốn cộng nhân thông thường (phép cộng hai đa thức phép nhân số với đa thức) không gian vectơ Hd:  = + 0x + 0x2 b Các tính chất  Phần tử trung hịa  Với a, b, c  V : a + c = b + c a = b  Với a  V, (-1).a = -a  Với k  K, a  V ta có: k.a =   k = a =  1.1.3 Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Cho V khơng gian vectơ S = {u1,u2, ,un}  V a Biểu thị tuyến tính: Phần tử uV gọi biểu thị tuyến tính qua S tồn k1, k2, …, kn  K cho: k1u1 + k2u2 + … + knun = u Khi đó, k1u1 + k2u2 + … + knun gọi tổ hợp tuyến tính u Th.S Nguyễn Hồng Anh Khoa Ví dụ 3: Cho S = {p1=x+x2; p2=1+x2; p3=1+x} P2 p = + 4x + 5x2 Hãy tìm biểu thị tuyến tính p qua hệ S (nếu có) Giải: Ta có k1p1 + k2p2 + k3p3 = p  k1(x+x2) + k2(1+x2) + k3(1+x) = + 4x + 5x2 k  k3    k1     k   k    k1 k  k k  5   Vậy p = 3p1 + 2p2 + p3 b Độc lập tuyến tính: Hệ S gọi độc lập tuyến tính k1u1 + k2u2 + … + knun =   k1 = k2 =…= kn = c Phụ thuộc tuyến tính: Hệ S gọi phụ thuộc tuyến tính S khơng độc lập tuyến tính Ví dụ 4: Trong KGVT R3 cho T = {u1 = (0;1;1); u2 = (1;0;1); u3 = (1;2;3)} Kiểm tra xem T độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải: Ta có k1u1 + k2u2 + k3u3 =   k1(0;1;1) + k2(1;0;1) + k3(1;2;3) = (0;0;0) k  k  k1  2t     2k   k   t , t R  T phụ thuộc tuyến tính   k1 k  k  3k  k  t   d Một số tính chất  Bất kỳ hệ vectơ chứa θ hệ phụ thuộc tuyến tính  Hệ S độc lập tuyến tính V Khi vectơ biểu thị tuyến tính qua S biểu thị 1.1.4 Hệ sinh, sở Tọa độ vectơ Cho V không gian vectơ S = {u1,u2, ,un}  V a Hệ sinh: S gọi hệ sinh V vectơ u  V, u biểu thị tuyến tính qua hệ S hay hệ k1u1 + k2u2 + … + knun = u có nghiệm với u  V b Cơ sở: S sở V S độc lập tuyến tính S hệ sinh hay hệ k1u1 + k2u2 + … + knun = u có nghiệm với u  V c Định lí: (Khơng gian vectơ n chiều) - Nếu V KGVT có sở gồm n vectơ sở khác có n vectơ Khi ta nói V KGVT n chiều - Nếu V KGVT n chiều hệ độc lập tuyến tính V có n vectơ sở Chú ý: E = {e1=(1;0;0; ;0;0); e2=(0;1;0; ;0;0); en=(0;0;0 ;0;1)} sở KGVT Rn (gọi sở tắc) nên Rn KGVT n chiều Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa d Toạ độ vectơ Nếu T = {u1 ;u2 ; ;un } sở V vectơ x thuộc V tồn (x1 ;x2 ; xn) cho x=x1u1+x2u2+…+xn un Khi đó, ta gọi (x1;x2; ;xn) toạ độ x sở T Kí hiệu xT = (x1 ;x2 ; ;xn ) hay viết đưới dạng ma trận  x T  x1  x    2     xn  Ví dụ 5: Trong KGVT R3 cho T = {(0;1;1); (1;0;1); (1;1;0)} Chứng minh T sở R3 Tìm tọa độ vectơ x = (3 ;4 ;5) sở T Giải: Với (x;y;z)  R3 ta có k1(0;1;1) + k2(1;0;1) + k3(1;1;0) = (x;y;z) k2  k3  x    k3  y   k1 k  k z  1 Ta có D = 1    hệ có nghiệm  T sở 1 Tìm tọa độ x = (1;2;3) sở T Ta có x1(0;1;1) + x2(1;0;1) + x3(1;1;0) = x x  x   x1      x   x    x1 x  x   x   Vậy xT=(2;1;0) e Bài toán đổi sở Giả sử T = {u1 ;u2 ; ;un } T’ = {u’1 ;u’2 ; ;u’n} hai sở KGVT n chiều V, x  V  x1   x '1  x  x '   x T     x T '        xn   x 'n  Hãy tìm mối liên hệ [x]T [x]T’ Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa  p1i  p  , Giả sử  u i    2i  , i  1,2, ,n T       p ni  Ta có x = x1u1 + x2u2 + … + xnun = x’1u’1 + x’2u’2 + … + x’nu’n = x’1(p11u1 + p21u2 + … + pn1un) + x’2(p12u1 + p22u2 + … + pn2un) + + + x’n(p1nu1 + p2nu2 + … + pnnun) = (x’1p11 + x’2p12 + … + x’np1n)u1 + (x’1p21 + x’2p22 + … + x’np2n)u2 + … + + (x’1pn1 + x’2pn2 + … + x’npnn)un  x1  p11x’1  p12 x’2    p1n x’n  x  p x’  p x’    p x’  21 22 2n n hay [x]T = P [x]T’ Suy     x n  p n1x’1  p n2 x’2    p nn x’n  p11 p12  p1n  p p 22  p 2n  21 ' ' '   P  [u1 ]T ,[u ]T , ,[u n ]T            p n1 p n  p nn  gọi ma trận chuyển sở từ T sang T’ Ví dụ 6: Trong KGVT R3 cho hai sở T ={u1=(0;1;1); u2=(1;0;1); u3=(1;1;0)} B={v1=(1;1;1); v2=(1;1;0); v3=(1;0;0)} Tìm ma trận đổi sở từ T sang B Cho xT=(1;2;3), tìm tọa độ x sở B Giải: Ta có: k1u1 + k2u2 + k3u3 = v1  k1(0;1;1) + k2(1;0;1) + k3(1;1;0) = (1;1;1) k  k3     k3     k1 k  k 1   k1  / 1 /     k  /   v1 T  1 /  k  / 1 /    1 /  0 Tương tự, ta có:  v2 T  0  v3 T   /  1   /  1 1  2  Vậy ma trận đổi sở từ T sang B là: P   1  2  1 1   2 Ta có [x]T = P [x]B  [x]B = P-1 [x]T = Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa 1.2 Ánh xạ tyến tính 1.2.1 Định nghĩa Cho X,Y hai KGVT Ánh xạ f:XY gọi ánh xạ tuyến tính thỏa tính chất sau: i) f(x+y)=f(x)+f(y) ii) f(kx)=kf(x) Ví dụ 1: Chứng minh ánh xạ f:R2R3 với f(x;y)=(y; x; x + y)là ánh xạ tuyến tính Giải Với u=(x;y), v=(x’;y’)  R với k  R Ta có: f(u + v) = f(x + x’; y + y’) = (y + y’; x + x’; x + x’ + y + y’) (1) Mặt khác: f(u) + f(v) = f(x;y) + f(x’;y’) = (y; x; x + y) + (y’; x’; x’ + y’) = (y + y’; x + x’; x + x’ + y + y’) (1’) Từ (1) (1’) suy ra: f(u + v) = f(u) + f(v) (I) Ta có: f(ku) = f(kx;ky)=(ky; kx; kx + ky) = k(y; x; x + y) (2) Mặt khác kf(u) = kf(x;y) = k(y; x; x + y) (2’) Từ (2) (2’) suy ra: f(ku) = kf(u) (II) Từ (I) (II) suy f AXTT Ví dụ 2: Chứng minh ánh xạ f:P2P1 với f(p(x))=p’(x)là ánh xạ tuyến tính Định lí: f:XY ánh xạ tuyến tính f(hx+ky)=hf(x)+kf(y) với x,yV h,k  R Nhận xét: Ánh xạ tuyến tính xác định biết ảnh sở Ví dụ 3: Cho f:R2R2 ánh xạ tuyến tính biết f(1;1)=(3;4), f(2;3)=(5;2) Xác định ánh xạ f Giải Với (x;y)  R Ta có k1(1;1) + k2(2;3) = (x;y) k  2k  x k  3x  2y   k1  3k  y k  y  x Mặt khác f(x;y) = f(k1(1;1) + k2(2;3)) = k1f(1;1) + k2f(2;3) = k1(3;4) + k2(5;2) = (3k1 + 5k2; 4k1 + 2k2) = (4x – y; 10x – 6y) Vậy f(x;y) = (4x – y; 10x – 6y) Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa 1.2.2 Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính Cho ánh xạ tuyến tính f:XY Tập hợp Kerf :={xX |f(x)=0Y} gọi hạt nhân AXTT f Tập hợp Imf :={yY|xX cho f(x)=y} gọi ảnh AXTT f Ví dụ 4: Tìm ảnh, hạt nhân ánh xạ tuyến tính f:R3R2 với f(x;y;z)=(x–y; y–z) 1.3 Ma trận ánh xạ tuyến tính 1.3.1 Định nghĩa Định nghĩa: Cho f: XY AXTT, B sở X B’ sở Y Ma trận A cho A[x]B=[f(x)]B’ gọi ma trận ánh xạ tuyến tính f cặp sở B, B’ Định lí: Cho f: XY ánh xạ tuyến tính, B={u1,u2,…,um} sở X B’={u’1,u’2,…,u’n} sở Y Khi A=[[f(u1)]B’, [f(u2)]B’,…, [f(um)]B’] ma trận ánh xạ tuyến tính f cặp sở B, B’ Đặc biệt - Nếu X=Y B=B’ ta nói A ma trận ánh xạ tuyến tính sở B - Nếu B B’ sở tắc A gọi ma trận tắc f Ví dụ 1: Cho ánh xạ tuyến tính f : R  R với f(x; y; z) = (x+y ; x+z ; y+z) sở R3 B={u1=(1;1;0); u2=(1;0;1); u3=(0;1;1)} } T={v1=(0;1;1); v2=(1;0;1); v3=(1;1;0)} Tìm ma trận A ánh xạ tuyến tính f sở B Giải Ta có f(u1) = f(1;1;0) = (1+1; 1+ 0; 1+ 0) =(2;1;1)  k  k   k1  0   f(u1) = k1v1 + k2v2 + k3v3   k1  k    k 1  [f(u1)]T= 1    k  k 1 k  1     1 Tương tự f(u2) = (1;2;1)  [f(u2)]T= 0     1 1  Tương tự f(u3) = (1;1;2)  [f(u3)]T= 1    0  0 1    Vậy A  1  1  Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa 1  ma trận ánh xạ tuyến tính f :R2R2 Ví dụ 2: Cho A    3  sở B={u1=(1;1); u2=(2;3)} Xác định f Định lí (Ma trận ánh xạ tuyến tính phép đổi sở) Nếu A ma trận f sở B A’ ma trận f sở B’ A’=P-1AP với P ma trận đổi sở từ B sang B’  1 Ví dụ 3: Cho A   ma trận ánh xạ tuyến tính f :R2R2 sở   3 B={u1=(1;1); u2=(1;2)} Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính f sở B’={u’1=(3;1); u’2=(1,4)} 1.3.2 Hạng ánh xạ tuyến tính Hạng ánh xạ tuyến tính hạng ma trận ánh xạ tuyến tính Th.S Nguyễn Hồng Anh Khoa Bài tập chương 1 Trong không gian vectơ R3 cho u = (1;2;3) hệ B = {u1; u2; u3} với u1=(0;1;1); u2=(1;0;1); u3=(1;1;0) Chứng minh B sở R3 Tìm tọa độ vectơ u sở B Trong không gian vectơ P2 gồm đa thức bậc không 2, cho hệ B={p1=1+x+x2; p2=x+x2; p3 =1+x } p=3+2x+x2 Chứng minh B sở P2 Tìm tọa độ vectơ p sở B Trong không gian vectơ R3 cho u=(2;3;4) sở B={u1;u2;u3} với u1=(1;1;1); u2=(1;1;0); u3=(1;0;0) Xác định ma trận đổi sở từ sở tắc sang sở B Từ tìm tọa độ vectơ u đối sở B Trong không gian vectơ P2 gồm đa thức bậc không 2, cho hai sở B={p1=1+x+x2; p2=x+x2; p3 =x2} B’={ p’1=1+x; p’2=1+x2; p’3= x+x2} a) Tìm ma trận đổi sở từ B sang B’ b) Cho (p)B = (1; 2; 3) Tìm tọa độ p sơ B’ Cho ánh xạ tuyến tính f : R  R biết f(1;2;3) = (3;2;1); f(1;2;0) = (2;1;0); f(1;0;0) = (1;0;0) Xác định f, tìm ma trận tắc f Cho ánh xạ f: R2 R3 với f(x;y) = ( x; x + y ; x – y) a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính b) Xác định ma trận ánh xạ tuyến tính f cặp sở B={u1=(0;1); u2=(1;1)} B’={u1' = (1;0;0); u2' = (1;1;0); u3' = (1;1;1)} Cho ánh xạ tuyến tính f : P2  P2 với f(a + bx + cx2) = b + 2cx hai sở B={p1=1+x2; p2=x+x2; p3 =1+x2} T = {q1=1+x+x2; q2= x+x2; q3=x2} P2 (P2 không gian vectơ đa thức bậc khơng q 2) Tìm ma trận A ánh xạ tuyến tính f cặp sở B T 1 3 ma trận AXTT f : R3  R2 cặp sở Cho A    4 6 B={u1=(1;0;0); u2=(1;1;0); u3=(1;1;1)} B’={u1’=(0;1); u2’=(1;1)} Xác định f 1    Cho A  ma trận ánh xạ tuyến tính f:R3R3 sở   0 6 B={u1; u2; u3} với u1=(1;2;3); u2=(0;1;2); u3=(0;0;1) Xác định f 1 3   10 Cho Cho A  ma trận ánh xạ tuyến tính f:R3R3   7  sở B = {u1=(1;1;1); u2=(1;1;0); u3=(1;0;0)} Tìm ma trận f sở B’={u1=(1;2;3); u2=(0;2;3); u3=(0;0;3)} Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa t Các véc tơ riêng ứng với GTR =3 x    , t   t  1  Suy ma trận P    làm chéo hóa A    Gọi B’={u1’;u2’} sở R2 cho P ma trận chuyển sở từ B sang B’ Khi đó, ta có u1’= u1 + 0.u2 = (1;1) u2’= u1 - u2 = (0;1) 1  Vậy B’ = { u1’=(1;1); u2’= (0;1)} A '  P 1AP    ma trận f   sở B’ Bài tập chương Tìm ma trận P làm chéo hóa A, xác định P-1AP trường hợp sau:  1  3  1  a) A  3  b) A   1 1  c) A   5 3       1 1   1   6  Cho ánh xạ tuyến tính T:R3R3 biết T(x;y;z)=(3x-2y;-2x+3y;5z) Tìm sở R3 ma trận T sở ma trận chéo, xác định ma trận 1 3 2013 Cho A    Tính A 4 2 12 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG 3: CHUỖI 3.1 Chuỗi số 3.1.1 Định nghĩa Cho dãy số u1, u2, …, un, … Tổng vô hạn u1 + u2 + … + un + … (1) gọi chuỗi số (gọi tắt chuỗi) kí hiệu  u n 1 n Các số u1,u2, …,un, … gọi số hạn chuỗi, un gọi số hạn tổng quát n Tổng Sn   u k  u  u   u n gọi tổng riêng thứ n chuỗi k 1   u n hội tụ có tổng S ta viết Nếu limSn  S  R ta nói chuổi Nếu chuỗi  u n 1 n n 1  u n 1 n S không hội tụ ta nói chuỗi phân kì Hiệu Rn = S – Sn gọi phần dư thứ n chuỗi số Ví dụ 1: Tính tổng chuỗi  q n 1 (nếu có), q số thực cho trước n 1 Giải: Tổng riêng thứ n chuỗi   q n 1 với (q≠1) là: Sn  n 1 Nếu |q| < limSn   qn 1 q 1 q Nếu |q| > limSn   Nếu q =1 limSn   Nếu q = -1 (Sn) khơng có giới hạn  Vậy |q| <  q n 1  |q| ≥ 1 q n 1  q n 1 phân kì n 1 Ví dụ 2: Xét hội tụ tính tổng (nếu có) chuỗi   n(n  1) n 1 Giải: Ta có 1   , n n(n  1) n n  Tổng riêng   1 1 1 1 1 1 Sn  1               1  1 n 1  2  3 3 4  n n 1 Vậy   n(n  1)  n 1 13 Th.S Nguyễn Hồng Anh Khoa 3.1.2 Các tính chất Định lí (điều kiện cần): Nếu chuỗi  u n 1 n hội tụ lim | u n | Chứng minh Vì chuỗi  u n 1 n hội tụ nên limSn  S  ฀ Mặt khác, ta có u n  Sn  Sn 1 với n  N Do lim | u n || S  S | ฀ Chú ý: Điều ngược lại định lí nói chung khơng  Ví dụ 3: Xét chuỗi điều hồ chuỗi  Ta có, limun = n 1 n 1 Mặt khác, ta có :  , x  [n;n+1] với n N,do đó, n x n N, hay  n n 1  n n 1  n dx  n n 1  xdx với n dx với n N x Cộng bất đẳng thức ta có Sn  n 1  1 dx  ln(n  1)  ∞ x Định lí 2: Điều kiện cần đủ để chuỗi số  u n 1 n  n phân kì n 1 hội tụ với >0, tồn số tự nhiên n0 cho với m>n0, n>n0 ta có |sm – Sn| <  Chứng minh Vì chuỗi  u n 1 n hội tụ nên dãy (Sn) hội tụ Theo định lí Cơsi ta có với >0, tồn số tự nhiên n0 cho với m>n0, n>n0 ta có |sm – Sn| <  Ngược lại, với >0, tồn số tự nhiên n0 cho với m>n0, n>n0 ta có |sm – Sn| <  (Sn) dãy Cơsi (Sn) hội tụ  u n 1 Định lí 3: Nếu   u n  S n 1 Định lí 4: Nếu  u n 1 n  S   au n 1  v n 1 n n n hội tụ.฀  aS , với a số thực kất kì cho trước  T   (u n 1 n  )  S  T Định lí 5: Tính hội tụ hay phân kì chuỗi khơng đổi ta thay đổi số hữu hạn số hạn đầu 14 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa 3.1.3 Chuỗi số dương a Định nghĩa: Chuỗi  u n 1 n , an ≥ với n  N gọi chuỗi số dương (2) b Tiêu chuẩn hội tụ chuỗi số dương  u Định lí 1: Điều kiện cần đủ để chuỗi số dương n 1 n hội tụ dãy tổng riêng tương ứng (Sn) bị chặn Chứng minh Nếu  u n 1 n hội tụ dãy (Sn) có giới hạn (Sn) bị chặn Ngược lại, Giả sử (Sn) bị chặn Mặt khác, Sn+1 – Sn = un+1 > nên (Sn) tăng Vậy (Sn) tăng bị chặn trên, (Sn) hội tụ hay  u n 1 Tính chất: Chuỗi  n n 1 n hội tụ.฀ hội tụ  > 1, phân kì    Ví dụ 4: Xét hội tụ chuỗi  2 n 1 n 5 n 1   k   n  Ta có Sn   k k 1  k 1 Vậy (Sn) bị chặn chuỗi hội tụ Định lí 2: (Dấu hiệu so sánh) n Cho hai chuỗi số dương  u n 1 n  v n 1 n Nếu tồn số dương c cho u n  c.v n , n  N : i) chuỗi  v n 1 ii) chuỗi n  u n 1 n hội tụ suy chuỗi  u n 1 phân kì suy chuỗi hội tụ n  v n 1 n phân kì Chứng minh Gọi Sn Tn tổng riêng thứ n chuỗi  u n 1 n chuỗi  v n 1 n 15 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa  v i) Do u n  c.v n , n  N nên Sn  c.Tn , n  N Vì (Sn) bị chặn Theo định lí chuỗi  u n 1 n ii) Do u n  c.v n , n  N nên Sn  c.Tn , n  N Vì n 1 n hội tụ nên (Tn) bị chặn hội tụ.฀  u n 1 n phân kì nên (Sn) khơng bị chặn (Tn) khơng bị chặn Theo định lí  v n 1 Ví dụ 5: Xét hội tụ chuỗi   n 1 Giải: Ta có Do chuỗi 3  n 1 phân kì.฀ n.3n 1  n , n  chuỗi n n.3  n n 1    hội tụ n 1    hội tụ n.3n Ví dụ 6: Xét hội tụ chuỗi   2n  n 1 1  , n  2n  n  Và chuỗi điều hồ  phân kì Do đó, chuỗi n 1 n Giải: Ta có,   2n  phân kì n 1 Định lí 3: (Dấu hiệu CơSi) Cho chuỗi số dương  u n 1 n Nếu lim n u n = L i) L < suy chuỗi  u n 1 ii) L > suy chuỗi n hội tụ n phân kì  u n 1 Chứng minh - Với L < Ta chọn  > đủ bé cho 0< L +  = q < Vì lim n u n = L nên với n đủ lớn Mặt khác, chuỗi  q n n u n  L    q  un < qn hội tụ (vì  q Ta chọn  > đủ bé cho L -  > Vì lim n u n = L nên với n đủ lớn Do đo, chuỗi  u n 1 n un  l     un  phân kì n Định lí 4: (Dấu hiệu Đalămbe) Cho chuỗi số dương  u n 1 n Nếu lim u n 1  L un  u i) L < suy chuỗi n 1 n hội tụ n phân kì  u ii) L > suy chuỗi n 1 Chứng minh  1 Ví dụ 7: Xét hội tụ chuỗi  1   n n 1    1 Ta có lim n 1    n n2 n2 n  1  lim 1    e1   n n2  1 Theo định lí Cơsi ta có chuỗi  1   hội tụ n n 1   5n Ví dụ 8: Xét hội tụ chuỗi  n 1 n   5n 1 5(n  1)   Ta có lim n n  lim n2 n 1 Theo định lí Đalămbe ta có chuỗi 5n phân kì  n  n 1  3.1.4 Chuỗi đan dấu a Định nghĩa: Chuỗi có dạng   (1) n 1 n u n an ≥ (hoặc an  0) với nN gọi chuỗi đan dấu b Định lí: (Tiêu chuẩn Lépnít) Nếu dãy (un) giảm lim un = chuỗi đan dấu   (1) n 1 n u n hội tụ 17 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa (1) n 1 Ví dụ 9: Xét hội tụ chuỗi điều hoà đan dấu  n n 1  dãy giảm limun=0 Theo dấu hiệu Lépnít ta có n  (1) n 1 chuỗi điều hoà đan dấu  hội tụ n n 1 Ta có, dãy (un) với u n  3.1.5 Chuỗi hội tụ tuyệt đối a Định nghĩa: Chuỗi   u n gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi n 1  | u n 1 n | hội tụ b Định lí: Chuỗi hội tụ tuyệt đối hội tụ (1) n 1 Ví dụ 10: Xét hội tụ chuỗi  n2 n 1  Ta có,   n 1 Vậy chuỗi  (1) n 1  chuỗi  2 n n 1 n  n n 1 hội tụ (1) n 1 hội tụ  n n 1  3.2 Chuỗi luỹ thừa 3.2.1 Định nghĩa Chuỗi luỹ thừa chuỗi dạng  a n 0 n (x  ) n Nếu đặt X  x   chuỗi (3) trở thành (3)  a X n 0 n n (4) 3.2.2 Miền hội tụ chuỗi lũy thừa Định lí Aben Nếu chuỗi  a x n 0 n n hội tụ x0 ≠ hội tụ điểm x mà |x| < |x0| Từ định lí suy ra, tồn số thực không âm R cho chuỗi luỹ thừa  a x n 0 n n hội tụ khoảng (-R;R) phân kì (-∞,-R) (R; +∞) Định nghĩa: Số thực không âm R cho chuỗi  a x n 0 n n hội tụ khoảng (-R;R) phân kì (-∞,-R) (R; +∞) gọi bán kính hội tụ chuỗi 18 Th.S Nguyễn Hồng Anh Khoa Định lí CơSi Nếu lim n a n  L bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa (4) là: 1 ,  L    L R    , L0  , L  Định lí Đalămbe Nếu lim a n 1  L bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa (4) là: an 1 ,  L    L R    , L0  , L  Ví dụ Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa   x  2 n 1 n n tn Đặt t = x – chuỗi trở thành  n 1 n  Ta có lim n  a n 1 n  lim  , R = n  n  an Tại t = 1, ta có chuỗi số   n phân kỳ n 1 Tại t = -1, ta có chuỗi số   n 1  1 n n chuỗi số điều hòa đan dấu thỏa mãn điều kiện định lý Leinitz, hội tụ  Miền hội tụ -1  t < Vậy miền hội tụ chuỗi lũy thừa cho  x < Ví dụ Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa Ta có lim n  xn  n 1 n!  a n 1 n!  lim  lim 0 n   n  1! n  n  an Do R = +  , chuỗi lũy thừa hội tụ toàn R 19 ... vectơ, K trường (K R C) Trên V xây dựng phép toán cộng nhân sau: :VV  V : K  V  V (a, b)  a  b (,a)  a Lúc V gọi K - KGVT V với hai phép toán “+” “x” thoả tiên đề sau : TĐ1: u,vV... x1,x2, ,xn  R}, Rn với phép toán cộng x + y = (x1 + y1; x2 + y2; ; xn + yn) nhân kx = (kx1;kx2; ; kxn) với x=(x1;x2; xn); y=(y1;y2; yn)  Rn Chứng minh Rn với hai phép toán cộng nhân KGVT Hd: ... x2(1;0;1) + x3(1;1;0) = x x  x   x1      x   x    x1 x  x   x   Vậy xT=(2;1;0) e Bài toán đổi sở Giả sử T = {u1 ;u2 ; ;un } T’ = {u’1 ;u’2 ; ;u’n} hai sở KGVT n chiều V, x 