BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A2 Th S NGUYỄN HOÀNG ANH KHOA Huế, tháng 02 năm 2014 Th S Nguyễn Hoàng Anh Khoa 1 CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN VECTƠ ÁNH XẠ TUYẾN TÍN[.]
BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP A2 Th.S NGUYỄN HỒNG ANH KHOA Huế, tháng 02 năm 2014 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG KHÔNG GIAN VECTƠ - ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1.1 Khơng gian vectơ 1.1.1 Số phức Tập hợp số thực R phong phú Tuy nhiên biết số thực phương trình đơn giản x + = hay x = -1 (1) khơng có nghiệm khơng có số thực bình phương lên lại -1 Giả sử tồn i cho i2=-1 ta gọi i đơn vị phức a Định nghĩa: Số phức số có dạng z = a + bi với a,b R Trong đó, a gọi phần thực z kí hiệu a=Re(z) b gọi phần ảo z kí hiệu b=Im(z) b Số phức liên hợp: Xét số phức z = a + bi Số phức a - bi gọi số liên hợp z = a + bi ký hiệu z c Các phép toán - Phép cộng - Phép nhân - Phép chia - Lũy thừa bậc n - Căn bậc n d Các dạng biểu diễn số phức Dạng hình học Dạng lượng giác số phức: Giả sử z = r(cos φ + i sin φ) z’ = r’(cos φ’ + i sin φ’) - Tích hai số phức dạng lượng giác: z.z’= (r + r’)[cos(+’) + i.sin(+’)] - Thương hai số phức: z r [ cos(φ -φ’) + i sin(φ -φ’)] z' r' - Công thức Moive: zn = rn (cosnφ + i sinnφ), n N - Căn bậc n z ≠ có n giá trị là: 2k 2k z k n r cos isin , i = 0;1;2 ;(n-1) n n n n Ví dụ: Tính bậc ba Vì = cos0 + isin0 nên bậc ba 2k 2k z k = cos isin , k = 0, 1, 3 3 Vậy có ba bậc ba là: z = 1; z = i 3 ; z2 = i 2 Th.S Nguyễn Hồng Anh Khoa 1.1.2 Khơng gian vectơ a Định nghĩa: Cho V tập hợp khác rỗng mà phần tử gọi vectơ, K trường (K R C) Trên V xây dựng phép toán cộng nhân sau: :VV V : K V V (a, b) a b (,a) a Lúc V gọi K - KGVT V với hai phép toán “+” “x” thoả tiên đề sau : TĐ1: u,vV ta có: u + v = v + u TĐ2: u,v,wV ta có: u + (v + w) = (u + v) + w TĐ3: V: + u = u ( gọi phần tử trung hòa) TĐ4: uV, -uV: u + (-u) = (-u gọi phần tử đối u) TĐ5: u,vV, kK ta có: k(u + v) = ku + kv TĐ6: uV, k,hK ta có: (k + h)u = ku + hu TĐ7: uV, k,hK ta có: k(hu) = (kh)u TĐ8: uV ta có: 1.u = u Nếu K = R V gọi KGVT thực (gọi tắc KGVT), K = C V gọi KGVT phức Ví dụ 1: Kí hiệu Rn = {x=(x1;x2; ;xn) | x1,x2, ,xn R}, Rn với phép toán cộng x + y = (x1 + y1; x2 + y2; ; xn + yn) nhân kx = (kx1;kx2; ; kxn) với x=(x1;x2; xn); y=(y1;y2; yn) Rn Chứng minh Rn với hai phép toán cộng nhân KGVT Hd: = (0;0; ;0) Ví dụ 2: Chứng minh P2 = {p=a+bx+cx2 | a,b,c R} (tập đa thức bậc khơng q 2) với phép tốn cộng nhân thông thường (phép cộng hai đa thức phép nhân số với đa thức) không gian vectơ Hd: = + 0x + 0x2 b Các tính chất Phần tử trung hịa Với a, b, c V : a + c = b + c a = b Với a V, (-1).a = -a Với k K, a V ta có: k.a = k = a = 1.1.3 Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Cho V khơng gian vectơ S = {u1,u2, ,un} V a Biểu thị tuyến tính: Phần tử uV gọi biểu thị tuyến tính qua S tồn k1, k2, …, kn K cho: k1u1 + k2u2 + … + knun = u Khi đó, k1u1 + k2u2 + … + knun gọi tổ hợp tuyến tính u Th.S Nguyễn Hồng Anh Khoa Ví dụ 3: Cho S = {p1=x+x2; p2=1+x2; p3=1+x} P2 p = + 4x + 5x2 Hãy tìm biểu thị tuyến tính p qua hệ S (nếu có) Giải: Ta có k1p1 + k2p2 + k3p3 = p k1(x+x2) + k2(1+x2) + k3(1+x) = + 4x + 5x2 k k3 k1 k k k1 k k k 5 Vậy p = 3p1 + 2p2 + p3 b Độc lập tuyến tính: Hệ S gọi độc lập tuyến tính k1u1 + k2u2 + … + knun = k1 = k2 =…= kn = c Phụ thuộc tuyến tính: Hệ S gọi phụ thuộc tuyến tính S khơng độc lập tuyến tính Ví dụ 4: Trong KGVT R3 cho T = {u1 = (0;1;1); u2 = (1;0;1); u3 = (1;2;3)} Kiểm tra xem T độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải: Ta có k1u1 + k2u2 + k3u3 = k1(0;1;1) + k2(1;0;1) + k3(1;2;3) = (0;0;0) k k k1 2t 2k k t , t R T phụ thuộc tuyến tính k1 k k 3k k t d Một số tính chất Bất kỳ hệ vectơ chứa θ hệ phụ thuộc tuyến tính Hệ S độc lập tuyến tính V Khi vectơ biểu thị tuyến tính qua S biểu thị 1.1.4 Hệ sinh, sở Tọa độ vectơ Cho V không gian vectơ S = {u1,u2, ,un} V a Hệ sinh: S gọi hệ sinh V vectơ u V, u biểu thị tuyến tính qua hệ S hay hệ k1u1 + k2u2 + … + knun = u có nghiệm với u V b Cơ sở: S sở V S độc lập tuyến tính S hệ sinh hay hệ k1u1 + k2u2 + … + knun = u có nghiệm với u V c Định lí: (Khơng gian vectơ n chiều) - Nếu V KGVT có sở gồm n vectơ sở khác có n vectơ Khi ta nói V KGVT n chiều - Nếu V KGVT n chiều hệ độc lập tuyến tính V có n vectơ sở Chú ý: E = {e1=(1;0;0; ;0;0); e2=(0;1;0; ;0;0); en=(0;0;0 ;0;1)} sở KGVT Rn (gọi sở tắc) nên Rn KGVT n chiều Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa d Toạ độ vectơ Nếu T = {u1 ;u2 ; ;un } sở V vectơ x thuộc V tồn (x1 ;x2 ; xn) cho x=x1u1+x2u2+…+xn un Khi đó, ta gọi (x1;x2; ;xn) toạ độ x sở T Kí hiệu xT = (x1 ;x2 ; ;xn ) hay viết đưới dạng ma trận x T x1 x 2 xn Ví dụ 5: Trong KGVT R3 cho T = {(0;1;1); (1;0;1); (1;1;0)} Chứng minh T sở R3 Tìm tọa độ vectơ x = (3 ;4 ;5) sở T Giải: Với (x;y;z) R3 ta có k1(0;1;1) + k2(1;0;1) + k3(1;1;0) = (x;y;z) k2 k3 x k3 y k1 k k z 1 Ta có D = 1 hệ có nghiệm T sở 1 Tìm tọa độ x = (1;2;3) sở T Ta có x1(0;1;1) + x2(1;0;1) + x3(1;1;0) = x x x x1 x x x1 x x x Vậy xT=(2;1;0) e Bài toán đổi sở Giả sử T = {u1 ;u2 ; ;un } T’ = {u’1 ;u’2 ; ;u’n} hai sở KGVT n chiều V, x V x1 x '1 x x ' x T x T ' xn x 'n Hãy tìm mối liên hệ [x]T [x]T’ Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa p1i p , Giả sử u i 2i , i 1,2, ,n T p ni Ta có x = x1u1 + x2u2 + … + xnun = x’1u’1 + x’2u’2 + … + x’nu’n = x’1(p11u1 + p21u2 + … + pn1un) + x’2(p12u1 + p22u2 + … + pn2un) + + + x’n(p1nu1 + p2nu2 + … + pnnun) = (x’1p11 + x’2p12 + … + x’np1n)u1 + (x’1p21 + x’2p22 + … + x’np2n)u2 + … + + (x’1pn1 + x’2pn2 + … + x’npnn)un x1 p11x’1 p12 x’2 p1n x’n x p x’ p x’ p x’ 21 22 2n n hay [x]T = P [x]T’ Suy x n p n1x’1 p n2 x’2 p nn x’n p11 p12 p1n p p 22 p 2n 21 ' ' ' P [u1 ]T ,[u ]T , ,[u n ]T p n1 p n p nn gọi ma trận chuyển sở từ T sang T’ Ví dụ 6: Trong KGVT R3 cho hai sở T ={u1=(0;1;1); u2=(1;0;1); u3=(1;1;0)} B={v1=(1;1;1); v2=(1;1;0); v3=(1;0;0)} Tìm ma trận đổi sở từ T sang B Cho xT=(1;2;3), tìm tọa độ x sở B Giải: Ta có: k1u1 + k2u2 + k3u3 = v1 k1(0;1;1) + k2(1;0;1) + k3(1;1;0) = (1;1;1) k k3 k3 k1 k k 1 k1 / 1 / k / v1 T 1 / k / 1 / 1 / 0 Tương tự, ta có: v2 T 0 v3 T / 1 / 1 1 2 Vậy ma trận đổi sở từ T sang B là: P 1 2 1 1 2 Ta có [x]T = P [x]B [x]B = P-1 [x]T = Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa 1.2 Ánh xạ tyến tính 1.2.1 Định nghĩa Cho X,Y hai KGVT Ánh xạ f:XY gọi ánh xạ tuyến tính thỏa tính chất sau: i) f(x+y)=f(x)+f(y) ii) f(kx)=kf(x) Ví dụ 1: Chứng minh ánh xạ f:R2R3 với f(x;y)=(y; x; x + y)là ánh xạ tuyến tính Giải Với u=(x;y), v=(x’;y’) R với k R Ta có: f(u + v) = f(x + x’; y + y’) = (y + y’; x + x’; x + x’ + y + y’) (1) Mặt khác: f(u) + f(v) = f(x;y) + f(x’;y’) = (y; x; x + y) + (y’; x’; x’ + y’) = (y + y’; x + x’; x + x’ + y + y’) (1’) Từ (1) (1’) suy ra: f(u + v) = f(u) + f(v) (I) Ta có: f(ku) = f(kx;ky)=(ky; kx; kx + ky) = k(y; x; x + y) (2) Mặt khác kf(u) = kf(x;y) = k(y; x; x + y) (2’) Từ (2) (2’) suy ra: f(ku) = kf(u) (II) Từ (I) (II) suy f AXTT Ví dụ 2: Chứng minh ánh xạ f:P2P1 với f(p(x))=p’(x)là ánh xạ tuyến tính Định lí: f:XY ánh xạ tuyến tính f(hx+ky)=hf(x)+kf(y) với x,yV h,k R Nhận xét: Ánh xạ tuyến tính xác định biết ảnh sở Ví dụ 3: Cho f:R2R2 ánh xạ tuyến tính biết f(1;1)=(3;4), f(2;3)=(5;2) Xác định ánh xạ f Giải Với (x;y) R Ta có k1(1;1) + k2(2;3) = (x;y) k 2k x k 3x 2y k1 3k y k y x Mặt khác f(x;y) = f(k1(1;1) + k2(2;3)) = k1f(1;1) + k2f(2;3) = k1(3;4) + k2(5;2) = (3k1 + 5k2; 4k1 + 2k2) = (4x – y; 10x – 6y) Vậy f(x;y) = (4x – y; 10x – 6y) Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa 1.2.2 Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính Cho ánh xạ tuyến tính f:XY Tập hợp Kerf :={xX |f(x)=0Y} gọi hạt nhân AXTT f Tập hợp Imf :={yY|xX cho f(x)=y} gọi ảnh AXTT f Ví dụ 4: Tìm ảnh, hạt nhân ánh xạ tuyến tính f:R3R2 với f(x;y;z)=(x–y; y–z) 1.3 Ma trận ánh xạ tuyến tính 1.3.1 Định nghĩa Định nghĩa: Cho f: XY AXTT, B sở X B’ sở Y Ma trận A cho A[x]B=[f(x)]B’ gọi ma trận ánh xạ tuyến tính f cặp sở B, B’ Định lí: Cho f: XY ánh xạ tuyến tính, B={u1,u2,…,um} sở X B’={u’1,u’2,…,u’n} sở Y Khi A=[[f(u1)]B’, [f(u2)]B’,…, [f(um)]B’] ma trận ánh xạ tuyến tính f cặp sở B, B’ Đặc biệt - Nếu X=Y B=B’ ta nói A ma trận ánh xạ tuyến tính sở B - Nếu B B’ sở tắc A gọi ma trận tắc f Ví dụ 1: Cho ánh xạ tuyến tính f : R R với f(x; y; z) = (x+y ; x+z ; y+z) sở R3 B={u1=(1;1;0); u2=(1;0;1); u3=(0;1;1)} } T={v1=(0;1;1); v2=(1;0;1); v3=(1;1;0)} Tìm ma trận A ánh xạ tuyến tính f sở B Giải Ta có f(u1) = f(1;1;0) = (1+1; 1+ 0; 1+ 0) =(2;1;1) k k k1 0 f(u1) = k1v1 + k2v2 + k3v3 k1 k k 1 [f(u1)]T= 1 k k 1 k 1 1 Tương tự f(u2) = (1;2;1) [f(u2)]T= 0 1 1 Tương tự f(u3) = (1;1;2) [f(u3)]T= 1 0 0 1 Vậy A 1 1 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa 1 ma trận ánh xạ tuyến tính f :R2R2 Ví dụ 2: Cho A 3 sở B={u1=(1;1); u2=(2;3)} Xác định f Định lí (Ma trận ánh xạ tuyến tính phép đổi sở) Nếu A ma trận f sở B A’ ma trận f sở B’ A’=P-1AP với P ma trận đổi sở từ B sang B’ 1 Ví dụ 3: Cho A ma trận ánh xạ tuyến tính f :R2R2 sở 3 B={u1=(1;1); u2=(1;2)} Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính f sở B’={u’1=(3;1); u’2=(1,4)} 1.3.2 Hạng ánh xạ tuyến tính Hạng ánh xạ tuyến tính hạng ma trận ánh xạ tuyến tính Th.S Nguyễn Hồng Anh Khoa Bài tập chương 1 Trong không gian vectơ R3 cho u = (1;2;3) hệ B = {u1; u2; u3} với u1=(0;1;1); u2=(1;0;1); u3=(1;1;0) Chứng minh B sở R3 Tìm tọa độ vectơ u sở B Trong không gian vectơ P2 gồm đa thức bậc không 2, cho hệ B={p1=1+x+x2; p2=x+x2; p3 =1+x } p=3+2x+x2 Chứng minh B sở P2 Tìm tọa độ vectơ p sở B Trong không gian vectơ R3 cho u=(2;3;4) sở B={u1;u2;u3} với u1=(1;1;1); u2=(1;1;0); u3=(1;0;0) Xác định ma trận đổi sở từ sở tắc sang sở B Từ tìm tọa độ vectơ u đối sở B Trong không gian vectơ P2 gồm đa thức bậc không 2, cho hai sở B={p1=1+x+x2; p2=x+x2; p3 =x2} B’={ p’1=1+x; p’2=1+x2; p’3= x+x2} a) Tìm ma trận đổi sở từ B sang B’ b) Cho (p)B = (1; 2; 3) Tìm tọa độ p sơ B’ Cho ánh xạ tuyến tính f : R R biết f(1;2;3) = (3;2;1); f(1;2;0) = (2;1;0); f(1;0;0) = (1;0;0) Xác định f, tìm ma trận tắc f Cho ánh xạ f: R2 R3 với f(x;y) = ( x; x + y ; x – y) a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính b) Xác định ma trận ánh xạ tuyến tính f cặp sở B={u1=(0;1); u2=(1;1)} B’={u1' = (1;0;0); u2' = (1;1;0); u3' = (1;1;1)} Cho ánh xạ tuyến tính f : P2 P2 với f(a + bx + cx2) = b + 2cx hai sở B={p1=1+x2; p2=x+x2; p3 =1+x2} T = {q1=1+x+x2; q2= x+x2; q3=x2} P2 (P2 không gian vectơ đa thức bậc khơng q 2) Tìm ma trận A ánh xạ tuyến tính f cặp sở B T 1 3 ma trận AXTT f : R3 R2 cặp sở Cho A 4 6 B={u1=(1;0;0); u2=(1;1;0); u3=(1;1;1)} B’={u1’=(0;1); u2’=(1;1)} Xác định f 1 Cho A ma trận ánh xạ tuyến tính f:R3R3 sở 0 6 B={u1; u2; u3} với u1=(1;2;3); u2=(0;1;2); u3=(0;0;1) Xác định f 1 3 10 Cho Cho A ma trận ánh xạ tuyến tính f:R3R3 7 sở B = {u1=(1;1;1); u2=(1;1;0); u3=(1;0;0)} Tìm ma trận f sở B’={u1=(1;2;3); u2=(0;2;3); u3=(0;0;3)} Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa t Các véc tơ riêng ứng với GTR =3 x , t t 1 Suy ma trận P làm chéo hóa A Gọi B’={u1’;u2’} sở R2 cho P ma trận chuyển sở từ B sang B’ Khi đó, ta có u1’= u1 + 0.u2 = (1;1) u2’= u1 - u2 = (0;1) 1 Vậy B’ = { u1’=(1;1); u2’= (0;1)} A ' P 1AP ma trận f sở B’ Bài tập chương Tìm ma trận P làm chéo hóa A, xác định P-1AP trường hợp sau: 1 3 1 a) A 3 b) A 1 1 c) A 5 3 1 1 1 6 Cho ánh xạ tuyến tính T:R3R3 biết T(x;y;z)=(3x-2y;-2x+3y;5z) Tìm sở R3 ma trận T sở ma trận chéo, xác định ma trận 1 3 2013 Cho A Tính A 4 2 12 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG 3: CHUỖI 3.1 Chuỗi số 3.1.1 Định nghĩa Cho dãy số u1, u2, …, un, … Tổng vô hạn u1 + u2 + … + un + … (1) gọi chuỗi số (gọi tắt chuỗi) kí hiệu u n 1 n Các số u1,u2, …,un, … gọi số hạn chuỗi, un gọi số hạn tổng quát n Tổng Sn u k u u u n gọi tổng riêng thứ n chuỗi k 1 u n hội tụ có tổng S ta viết Nếu limSn S R ta nói chuổi Nếu chuỗi u n 1 n n 1 u n 1 n S không hội tụ ta nói chuỗi phân kì Hiệu Rn = S – Sn gọi phần dư thứ n chuỗi số Ví dụ 1: Tính tổng chuỗi q n 1 (nếu có), q số thực cho trước n 1 Giải: Tổng riêng thứ n chuỗi q n 1 với (q≠1) là: Sn n 1 Nếu |q| < limSn qn 1 q 1 q Nếu |q| > limSn Nếu q =1 limSn Nếu q = -1 (Sn) khơng có giới hạn Vậy |q| < q n 1 |q| ≥ 1 q n 1 q n 1 phân kì n 1 Ví dụ 2: Xét hội tụ tính tổng (nếu có) chuỗi n(n 1) n 1 Giải: Ta có 1 , n n(n 1) n n Tổng riêng 1 1 1 1 1 1 Sn 1 1 1 n 1 2 3 3 4 n n 1 Vậy n(n 1) n 1 13 Th.S Nguyễn Hồng Anh Khoa 3.1.2 Các tính chất Định lí (điều kiện cần): Nếu chuỗi u n 1 n hội tụ lim | u n | Chứng minh Vì chuỗi u n 1 n hội tụ nên limSn S Mặt khác, ta có u n Sn Sn 1 với n N Do lim | u n || S S | Chú ý: Điều ngược lại định lí nói chung khơng Ví dụ 3: Xét chuỗi điều hồ chuỗi Ta có, limun = n 1 n 1 Mặt khác, ta có : , x [n;n+1] với n N,do đó, n x n N, hay n n 1 n n 1 n dx n n 1 xdx với n dx với n N x Cộng bất đẳng thức ta có Sn n 1 1 dx ln(n 1) ∞ x Định lí 2: Điều kiện cần đủ để chuỗi số u n 1 n n phân kì n 1 hội tụ với >0, tồn số tự nhiên n0 cho với m>n0, n>n0 ta có |sm – Sn| < Chứng minh Vì chuỗi u n 1 n hội tụ nên dãy (Sn) hội tụ Theo định lí Cơsi ta có với >0, tồn số tự nhiên n0 cho với m>n0, n>n0 ta có |sm – Sn| < Ngược lại, với >0, tồn số tự nhiên n0 cho với m>n0, n>n0 ta có |sm – Sn| < (Sn) dãy Cơsi (Sn) hội tụ u n 1 Định lí 3: Nếu u n S n 1 Định lí 4: Nếu u n 1 n S au n 1 v n 1 n n n hội tụ. aS , với a số thực kất kì cho trước T (u n 1 n ) S T Định lí 5: Tính hội tụ hay phân kì chuỗi khơng đổi ta thay đổi số hữu hạn số hạn đầu 14 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa 3.1.3 Chuỗi số dương a Định nghĩa: Chuỗi u n 1 n , an ≥ với n N gọi chuỗi số dương (2) b Tiêu chuẩn hội tụ chuỗi số dương u Định lí 1: Điều kiện cần đủ để chuỗi số dương n 1 n hội tụ dãy tổng riêng tương ứng (Sn) bị chặn Chứng minh Nếu u n 1 n hội tụ dãy (Sn) có giới hạn (Sn) bị chặn Ngược lại, Giả sử (Sn) bị chặn Mặt khác, Sn+1 – Sn = un+1 > nên (Sn) tăng Vậy (Sn) tăng bị chặn trên, (Sn) hội tụ hay u n 1 Tính chất: Chuỗi n n 1 n hội tụ. hội tụ > 1, phân kì Ví dụ 4: Xét hội tụ chuỗi 2 n 1 n 5 n 1 k n Ta có Sn k k 1 k 1 Vậy (Sn) bị chặn chuỗi hội tụ Định lí 2: (Dấu hiệu so sánh) n Cho hai chuỗi số dương u n 1 n v n 1 n Nếu tồn số dương c cho u n c.v n , n N : i) chuỗi v n 1 ii) chuỗi n u n 1 n hội tụ suy chuỗi u n 1 phân kì suy chuỗi hội tụ n v n 1 n phân kì Chứng minh Gọi Sn Tn tổng riêng thứ n chuỗi u n 1 n chuỗi v n 1 n 15 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa v i) Do u n c.v n , n N nên Sn c.Tn , n N Vì (Sn) bị chặn Theo định lí chuỗi u n 1 n ii) Do u n c.v n , n N nên Sn c.Tn , n N Vì n 1 n hội tụ nên (Tn) bị chặn hội tụ. u n 1 n phân kì nên (Sn) khơng bị chặn (Tn) khơng bị chặn Theo định lí v n 1 Ví dụ 5: Xét hội tụ chuỗi n 1 Giải: Ta có Do chuỗi 3 n 1 phân kì. n.3n 1 n , n chuỗi n n.3 n n 1 hội tụ n 1 hội tụ n.3n Ví dụ 6: Xét hội tụ chuỗi 2n n 1 1 , n 2n n Và chuỗi điều hồ phân kì Do đó, chuỗi n 1 n Giải: Ta có, 2n phân kì n 1 Định lí 3: (Dấu hiệu CơSi) Cho chuỗi số dương u n 1 n Nếu lim n u n = L i) L < suy chuỗi u n 1 ii) L > suy chuỗi n hội tụ n phân kì u n 1 Chứng minh - Với L < Ta chọn > đủ bé cho 0< L + = q < Vì lim n u n = L nên với n đủ lớn Mặt khác, chuỗi q n n u n L q un < qn hội tụ (vì q Ta chọn > đủ bé cho L - > Vì lim n u n = L nên với n đủ lớn Do đo, chuỗi u n 1 n un l un phân kì n Định lí 4: (Dấu hiệu Đalămbe) Cho chuỗi số dương u n 1 n Nếu lim u n 1 L un u i) L < suy chuỗi n 1 n hội tụ n phân kì u ii) L > suy chuỗi n 1 Chứng minh 1 Ví dụ 7: Xét hội tụ chuỗi 1 n n 1 1 Ta có lim n 1 n n2 n2 n 1 lim 1 e1 n n2 1 Theo định lí Cơsi ta có chuỗi 1 hội tụ n n 1 5n Ví dụ 8: Xét hội tụ chuỗi n 1 n 5n 1 5(n 1) Ta có lim n n lim n2 n 1 Theo định lí Đalămbe ta có chuỗi 5n phân kì n n 1 3.1.4 Chuỗi đan dấu a Định nghĩa: Chuỗi có dạng (1) n 1 n u n an ≥ (hoặc an 0) với nN gọi chuỗi đan dấu b Định lí: (Tiêu chuẩn Lépnít) Nếu dãy (un) giảm lim un = chuỗi đan dấu (1) n 1 n u n hội tụ 17 Th.S Nguyễn Hoàng Anh Khoa (1) n 1 Ví dụ 9: Xét hội tụ chuỗi điều hoà đan dấu n n 1 dãy giảm limun=0 Theo dấu hiệu Lépnít ta có n (1) n 1 chuỗi điều hoà đan dấu hội tụ n n 1 Ta có, dãy (un) với u n 3.1.5 Chuỗi hội tụ tuyệt đối a Định nghĩa: Chuỗi u n gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi n 1 | u n 1 n | hội tụ b Định lí: Chuỗi hội tụ tuyệt đối hội tụ (1) n 1 Ví dụ 10: Xét hội tụ chuỗi n2 n 1 Ta có, n 1 Vậy chuỗi (1) n 1 chuỗi 2 n n 1 n n n 1 hội tụ (1) n 1 hội tụ n n 1 3.2 Chuỗi luỹ thừa 3.2.1 Định nghĩa Chuỗi luỹ thừa chuỗi dạng a n 0 n (x ) n Nếu đặt X x chuỗi (3) trở thành (3) a X n 0 n n (4) 3.2.2 Miền hội tụ chuỗi lũy thừa Định lí Aben Nếu chuỗi a x n 0 n n hội tụ x0 ≠ hội tụ điểm x mà |x| < |x0| Từ định lí suy ra, tồn số thực không âm R cho chuỗi luỹ thừa a x n 0 n n hội tụ khoảng (-R;R) phân kì (-∞,-R) (R; +∞) Định nghĩa: Số thực không âm R cho chuỗi a x n 0 n n hội tụ khoảng (-R;R) phân kì (-∞,-R) (R; +∞) gọi bán kính hội tụ chuỗi 18 Th.S Nguyễn Hồng Anh Khoa Định lí CơSi Nếu lim n a n L bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa (4) là: 1 , L L R , L0 , L Định lí Đalămbe Nếu lim a n 1 L bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa (4) là: an 1 , L L R , L0 , L Ví dụ Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa x 2 n 1 n n tn Đặt t = x – chuỗi trở thành n 1 n Ta có lim n a n 1 n lim , R = n n an Tại t = 1, ta có chuỗi số n phân kỳ n 1 Tại t = -1, ta có chuỗi số n 1 1 n n chuỗi số điều hòa đan dấu thỏa mãn điều kiện định lý Leinitz, hội tụ Miền hội tụ -1 t < Vậy miền hội tụ chuỗi lũy thừa cho x < Ví dụ Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa Ta có lim n xn n 1 n! a n 1 n! lim lim 0 n n 1! n n an Do R = + , chuỗi lũy thừa hội tụ toàn R 19 ... vectơ, K trường (K R C) Trên V xây dựng phép toán cộng nhân sau: :VV V : K V V (a, b) a b (,a) a Lúc V gọi K - KGVT V với hai phép toán “+” “x” thoả tiên đề sau : TĐ1: u,vV... x1,x2, ,xn R}, Rn với phép toán cộng x + y = (x1 + y1; x2 + y2; ; xn + yn) nhân kx = (kx1;kx2; ; kxn) với x=(x1;x2; xn); y=(y1;y2; yn) Rn Chứng minh Rn với hai phép toán cộng nhân KGVT Hd: ... x2(1;0;1) + x3(1;1;0) = x x x x1 x x x1 x x x Vậy xT=(2;1;0) e Bài toán đổi sở Giả sử T = {u1 ;u2 ; ;un } T’ = {u’1 ;u’2 ; ;u’n} hai sở KGVT n chiều V, x