Bài giảng Toán cao cấp A1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGUYỄN TẤT THÀNH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MƠN TỐN BÀI GIẢNG HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP A1 Biên soạn GVC Ths Bành Thị Hồng Ths Bùi Hùng Vương Thành phố Hồ Chí Minh – 10/2014 Chương – Ma trận – Định thức Bài giảng Toán cao cấp A1 Chương – MA TRẬN – ĐỊNH THỨC Trong phần ta xét số số thực, 𝑚, 𝑛 số nguyên dương 1.1 Khái niệm ma trận phép toán ma trận 1.1.1 Định nghĩa ma trận Một bảng số, gồm 𝑚 × 𝑛 số 𝑎𝑖𝑗 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, ≤ 𝑗 ≤ 𝑛) xếp thành 𝑚 dòng 𝑛 cột gọi ma trận cấp 𝑚 × 𝑛 (trên trường số thực ℝ), kí hiệu 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝐴=[ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 Ta viết gọn 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 ] ( 𝐴 = ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 𝑚×𝑛 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ] 𝑚×𝑛 ⋯ 𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎2𝑛 ⋱ ⋮ ) ⋯ 𝑎𝑚𝑛 Số 𝑎𝑖𝑗 gọi phần tử ma trận 𝐴 nằm dòng 𝑖 cột 𝑗 (phần tử vị trí (𝑖, 𝑗)) Tập hợp tất ma trận cấp 𝑚 × 𝑛 trường ℝ kí hiệu 𝑀(𝑚 × 𝑛; ℝ) (hoặc 𝑀𝑚×𝑛 (ℝ)) Ví dụ 1: Các ma trận sau 𝐴=[ 𝐶 = [0 −1 ] ∈ 𝑀2×3 (ℝ), 𝐵 = [ 𝜋 −5] ∈ 𝑀3×3 (ℝ), 6 1] ∈ 𝑀1×3 (ℝ), 𝐷 = [√2] ∈ 𝑀1×1 (ℝ) Hai ma trận 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 gọi 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 với ̅̅̅̅̅̅ 1, 𝑛 𝑖 = 1, 𝑚 𝑗 = ̅̅̅̅̅ Ví dụ 2: Với giá trị 𝑥 𝑦 hai ma trận sau nhau? 𝐴=[ ],𝐵 = [ 𝑥 ] 𝑦+1 Hướng dẫn: Ta thấy 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀2×3 (ℝ) 𝐴 = 𝐵 𝑥 = 2, 𝑦 = 1.1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt a Ma trận không Ma trận mà tất phần tử gọi ma trận khơng Kí hiệu 𝜃 (hoặc đơn giản số 0) cho ma trận khơng cấp 𝑚 × 𝑛 tùy ý Ví dụ 3: Ma trận khơng cấp × ma trận khơng cấp × 𝜃=[ b Ma trận vuông 0 0 ] = (0)2×3 , 𝜃 = [0 0 Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương 0 0 0] = (0)3×3 Chương – Ma trận – Định thức Bài giảng Toán cao cấp A1 Cho ma trận 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 , 𝑚 = 𝑛 (số dịng số cột) ma trận 𝐴 gọi ma trận vng cấp 𝑛 (khi ta ghi 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑛 ) Như 𝐴 có dạng sau 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝐴=[ ⋮ ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎21 ⋱ ⋮ ] ⋯ 𝑎𝑛𝑛 phần tử 𝑎11 , 𝑎22 , … , 𝑎𝑛𝑛 gọi phần tử nằm đường chéo chính, phần tử 𝑎𝑛1 , 𝑎(𝑛−1)1 , … , 𝑎1𝑛 gọi phần tử nằm đường chéo phụ Kí hiệu tập ma trận vuông cấp 𝑛 𝑀(𝑛; ℝ) (hoặc 𝑀𝑛 (ℝ)) Ví dụ 4: Cho ma trận sau 𝐴=[ ] , 𝐵 = [−2 3 −1 1−𝜋 7] , 𝐶 = [ −2 2𝜋 7] Khi 𝐴 ma trận vng cấp 𝐵, 𝐶 ma trận vuông cấp Phần tử nằm đường chéo ma trận 𝐶 − 𝜋, 5,0 đường chéo phụ 6, 5, Phần tử nằm đường chéo ma trận 𝐵 1, 5, 0; đường chéo phụ 3, 5, c Ma trận dòng, ma trận cột Cho ma trận 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 Nếu 𝑚 = (ma trận có dịng) gọi ma trận dòng Tương tự, 𝑛 = (ma trận có cột) gọi ma trận cột Ma trận dòng ma trận cột thường gọi vectơ dịng vectơ cột Ví dụ 5: 𝐴 = [−1 3] ma trận dòng −8 𝐵 = [ ] ma trận cột d Ma trận chéo Ma trận vng có tất phần tử nằm ngồi đường chéo gọi ma trận chéo (ma trận đường chéo) Ví dụ 6: Các ma trận sau ma trận chéo 𝐴=[ 1 ] , 𝐵 = [0 0 0 1+𝜋 ] [ , 𝐶 = 0 −4 0 0 0] , 𝐷 = [ 0 0 0 0 0 ] 0 −1 Nhận xét: Ma trận đường chéo thường ký hiệu diag(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) với phần tử đường chéo 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 e Ma trận đơn vị Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương Chương – Ma trận – Định thức Bài giảng Toán cao cấp A1 Ma trận chéo cấp 𝑛, có tất phần tử đường chéo 1, gọi ma trận đơn vị, kí hiệu 𝐼𝑛 Ví dụ 7: Các ma trận đơn vị sau ] , 𝐼 = [0 𝐼1 = [1], 𝐼2 = [ f Ma trận chuyển vị 0 0 0 0] , 𝐼4 = [ 0 0 ] Chuyển dòng (các cột) ma trận 𝐴 thành cột (các dòng) với thứ tự tương ứng ta ma trận gọi ma trận chuyển vị ma trận 𝐴 Kí hiệu 𝐴𝑇 Như 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 𝐴𝑇 = (𝑎𝑗𝑖 )𝑛×𝑚 Ví dụ 8: Cho ma trận 𝐴=[ 𝐵 = [−2 𝐶 = [−2 Nhận xét: (𝐴𝑇 )𝑇 = 𝐴 −4 −2 −1 ] ⟹ 𝐴𝑇 = [−4 0] −1 3 𝑇 7] ⟹ 𝐵 = [ 𝑇 7] ⟹ 𝐶 = [−2 −2 −2 1] 7] 𝐴𝑇 = 𝐵𝑇 ⟺ 𝐴 = 𝐵 g Ma trận đối xứng Ma trận 𝐴 vuông cấp 𝑛 gọi đối xứng 𝐴𝑇 = 𝐴 (hay 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 , ∀𝑖, 𝑗) Trong Ví dụ ma trận 𝐶 ma trận đối xứng h Ma trận đối Cho ma trận 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 , ma trận (−𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 gọi ma trận đối ma trận 𝐴, kí hiệu – 𝐴 Ví dụ 9: Ma trận 𝐴 = [ i Ma trận tam giác −4 −1 −1 ] có ma trận đối ma trận −𝐴 = [ −2 ] −3 Ma trận vng có tất phần tử nằm phía đường chéo gọi ma trận tam giác Như 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) 𝑎𝑖𝑗 = 0, ∀𝑖 > 𝑗 (hoặc 𝑎𝑖𝑗 = 0, ∀𝑖 < 𝑗) Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương 𝑛×𝑛 ma trận tam giác Chương – Ma trận – Định thức Bài giảng Toán cao cấp A1 Ví dụ 10: Các ma trận sau ma trận tam giác 𝐴 = [0 0 −3 ] , 𝐵 = [−2 j Ma trận bậc thang dòng 1 0 0] , 𝐶 = [ 0 0 0 −7 −2 ] 𝑒 Một dòng (hay cột) ma trận gọi dịng khơng (cột khơng) tất phần tử dịng (cột) Ngược lại gọi dịng khác khơng (cột khác khơng) Ma trận bậc thang dịng ma trận có hai tính chất: ∗ Các dịng khác khơng nằm phía dịng khơng (nếu có) ∗ Phần tử khác khơng dòng nằm bên phải cột chứa phần tử khác không dịng Ví dụ 11: Trong ma trận sau ma trận ma trận bậc thang dịng? Đáp án: 𝐴, 𝐸 𝐴 = [0 0 𝐷=[ 0 −3 ] , 𝐵 = [0 0 0 0 −7 −2 ],𝐸 0 0 0 0 −1 7] , 𝐶 = [1 0 −7 −2 =[ 0 0 0 0 0] , ] Chú ý: Phát biểu tương tự khái niệm thay dòng thành cột cột thành dòng ta khái niệm ma trận bậc thang cột 1.1.3 Các phép toán ma trận a Phép cộng hai ma trận (cùng cấp) Cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) 𝑚×𝑛 , 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 ) 𝑚×𝑛 tổng hai ma trận 𝐴 𝐵, kí hiệu 𝐴 + 𝐵, ma trận 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 với 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 , (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, ≤ 𝑗 ≤ 𝑛) Vậy 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝐴+𝐵 =[ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑏11 𝑏12 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑏21 𝑏22 ⋱ ⋮ ]+[ ⋮ ⋮ ⋯ 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚1 𝑏𝑚2 𝑎11 + 𝑏11 𝑎12 + 𝑏12 𝑎 + 𝑏21 𝑎22 + 𝑏22 = [ 21 ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1 𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚2 Ví dụ 12: Cho ma trận sau Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương ⋯ 𝑏1𝑛 ⋯ 𝑏2𝑛 ⋱ ⋮ ] ⋯ 𝑏𝑚𝑛 ⋯ 𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛 ⋯ 𝑎2𝑛 + 𝑏2𝑛 ] = 𝐶 ⋱ ⋮ ⋯ 𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛 Chương – Ma trận – Định thức Bài giảng Toán cao cấp A1 𝐸=[ −2 3 3 −1 7] , 𝐹 = [−1 −1 ] ⟹ 𝐸 + 𝐹 = [ 0 −5 −2 Tính chất: Cho ma trận 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝜃 ∈ 𝑀𝑚×𝑛 (ℝ) Khi 5 −2 9] 10 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶 ) 𝐴 + 𝜃 = 𝜃 + 𝐴 = 𝐴 Chú ý: Cho 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀𝑚×𝑛 (ℝ) hiệu hai ma trận 𝐴 𝐵, kí hiệu 𝐴 − 𝐵, phép cộng ma trận 𝐴 ma trận đối ma trận 𝐵 Vậy 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵) Trong Ví dụ 12 𝐸−𝐹 =[ −2 3 −1 −6 −2 ] −1 7] − [−1 −1 ] = [ 0 13 0 −5 −2 b Phép nhân số với ma trận Cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) 𝑚×𝑛 số 𝜆 ∈ ℝ tích số 𝜆 ma trận 𝐴, kí hiệu 𝜆𝐴, ma trận 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 với 𝑏𝑖𝑗 = 𝜆𝑎𝑖𝑗 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, ≤ 𝑗 ≤ 𝑛) Vậy 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝜆𝐴 = 𝜆 [ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 Trong Ví dụ 12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝜆𝑎11 𝜆𝑎12 𝑎 ⋯ 2𝑛 𝜆𝑎21 𝜆𝑎22 ⋱ ⋮ ]=[ ⋮ ⋮ ⋯ 𝑎𝑚𝑛 𝜆𝑎𝑚1 𝜆𝑎𝑚2 ⋯ 𝜆𝑎1𝑛 ⋯ 𝜆𝑎2𝑛 ] = 𝐵 ⋱ ⋮ ⋯ 𝜆𝑎𝑚𝑛 2 2𝐸 = [ −1 7] = [ −2 14], −4 10 16 −2 −2 −6 −2 −3 (−1)𝐹 = (−1) [−1 −1 ] = [ −2 −2] 0 −5 0 −5 Nhận xét: Nếu 𝜆 = −1 (−1)𝐴 ma trận đối 𝐴 (vậy (−1)𝐴 = −𝐴) Tính chất: Cho ma trận 𝐴, 𝐵, 𝜃 ∈ 𝑀𝑚×𝑛 (ℝ) 𝜆, 𝑘 ∈ ℝ Khi 𝜆𝑘𝐴 = 𝜆(𝑘𝐴) = 𝑘 (𝜆𝐴) (𝜆 + 𝑘 )𝐴 = 𝜆𝐴 + 𝑘𝐴 𝜆(𝐴 + 𝐵 ) = 𝜆𝐴 + 𝜆𝐵 𝜆𝜃 = 0𝐴 = 𝜃 Ví dụ 13: Cho ma trận sau Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương Chương – Ma trận – Định thức Bài giảng Toán cao cấp A1 𝐴=[ −1 ],𝐵 = [ 0 0 ] , 𝐶 = [2 −1 Thực phép tính sau: 𝐴 − 3𝐵, 𝐴 − 2𝐶 𝑇 + 2𝐵 ] −1 Bài giải 𝐴 − 3𝐵 = [ 𝐴 − 2𝐶 𝑇 + 2𝐵 = [ −1 ]−[ 0 −1 ] − 2[ c Phép nhân hai ma trận 2 −3 −5 ]=[ ] + 2[ −1 −1 −2 −1 ] −9 ]=[ −5 −4 −1 −3 ] Điều kiện để có phép nhân hai ma trận 𝐴 𝐵 số cột ma trận 𝐴 với số dòng ma trận 𝐵 Cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑝 , 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 )𝑝×𝑛 tích hai ma trận 𝐴 𝐵, kí hiệu 𝐴 𝐵 (hoặc 𝐴𝐵), ma trận 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 với 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1 𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2 𝑏2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑝 𝑏𝑝𝑗 , ∀𝑖, 𝑗 Ví dụ 14: Cho ma trận sau 𝐴 = [1 −3 2] , 𝐵 = [ Khi 𝐴𝐵 = [1 𝐶𝐷 = [ 1 ],𝐶 = [ −3 2] [ −5 ] , 𝐷𝐶 = [ −7 −9 −9 ]=[ 12 ],𝐷 = [ ],𝐸 = [ −3 0 ],𝐹 = [ 0 1] 𝐵𝐴 không tồn ] , 𝐸𝐹 = [ −8 ( )𝑇 −9 ] , 𝐴𝐵 = [ 0 ] 12 ] = 𝐵𝑇 𝐴𝑇 Chú ý: Nói chung 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴 𝐴𝐵 = 𝜃 khơng thể kết luận 𝐴 = 𝜃 𝐵 = 𝜃 Ví dụ 15: Cho ma trận sau 𝐴 = [ tìm 𝑥 𝑦 Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương 𝑥 −1 12 ] Nếu 𝐴𝐵 = 𝐶 ],𝐵 = [ ],𝐶 = [ 𝑦 Bài giải Chương – Ma trận – Định thức Bài giảng Toán cao cấp A1 Ta có 𝐴𝐵 = [ 𝑥 −1 2 + 4𝑥 + 3𝑦 ] = 𝐶 Suy 𝑦 = 6, 𝑥 = −2 ][ ] = [ 4−4+𝑦 𝑦 Tính chất: Cho ma trận 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝜆, 𝑘 ∈ ℝ Giả thuyết phép tính thực được, ta có: 𝐴(𝐵𝐶 ) = (𝐴𝐵)𝐶 𝐴(𝐵 + 𝐶 ) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 (𝐵 + 𝐶 )𝐴 = 𝐵𝐴 + 𝐶𝐴 𝜆(𝐴𝐵) = (𝜆𝐴)𝐵 = 𝐴(𝜆𝐵) (𝐴𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇 𝐴𝑇 Nếu 𝐴 ma trận vng cấp 𝑛 𝐴𝐼𝑛 = 𝐼𝑛 𝐴 = 𝐴 Định nghĩa: Cho ma trận 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (ℝ) 𝑘 ∈ ℕ lũy thừa bậc 𝑘 𝐴, kí hiệu 𝐴𝑘 ma trận xác định qui nạp sau: ∗ Nếu 𝑘 = qui ước 𝐴0 = 𝐼𝑛 ∗ Nếu 𝑘 = qui ước 𝐴1 = 𝐴 ∗ Nếu 𝑘 ≥ 𝐴𝑘 = 𝐴 𝐴 … 𝐴 (𝑘 lần) Ví dụ 16: Cho ma trận 𝐴 = [0 0 0 ] [ Khi 𝐴 = 0 0 0 ] [ , 𝐴 = 0 0 Tính chất: Cho ma trận 𝐴, 𝐵, 𝜃 ∈ 𝑀𝑛 (ℝ) 𝑘, 𝑙 ∈ ℕ Khi 0 0 0] 𝜃 𝑘 = 𝜃; 𝐼𝑛𝑘 = 𝐼𝑛 ; 𝐴𝑘+𝑙 = 𝐴𝑘 𝐴𝑙 ; 𝐴𝑘𝑙 = (𝐴𝑘 )𝑙 (𝐴 + 𝐵)2 = 𝐴2 + 𝐴𝐵 + 𝐵𝐴 + 𝐵 Nếu 𝐴 = diag(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) 𝐴𝑘 = diag(𝑎1𝑘 , 𝑎2𝑘 , … , 𝑎𝑛𝑘 ) Ví dụ 17: Tính 𝐷 = 𝐶 + 2𝐶 + 𝐼3 − (𝐴𝐵)𝑇 , với 𝐴, 𝐵, 𝐶 ma trận cho 𝐴=[ −3 −1 2] , 𝐵 = [ −1 −2 1 −2 ] , 𝐶 = [0 −3 Bài giải −1 1 −1] −1 Ta tính giá trị nhận thấy 𝐶 + 2𝐶 + 𝐼3 = 𝐶 + 𝐶𝐼3 + 𝐼3 𝐶 + 𝐼32 = (𝐶 + 𝐼3 )2 2 𝑇 𝐷 = (𝐶 + 𝐼3 ) − (𝐴𝐵) = [0 1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương −1 2 −1] − [−2 −3 𝑇 −6] = [1 12 −3 4 ] −11 Chương – Ma trận – Định thức Bài giảng Toán cao cấp A1 Cho ma trận 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 (𝑚 ≥ 2), ta gọi phép biến đổi sơ cấp dòng 𝐴 dạng sau (kết sau thực phép biến đổi sơ cấp dòng 𝐴 tạo ma trận mới, giả sử ma trận 𝐵): ∗ Phép 1: Đổi vị trí hai dòng ma trận Giả sử đổi chỗ dòng 𝑖 dịng 𝑗, kí hiệu Ví dụ: [1 2 𝑑1↔𝑑2 ]→ 𝑑𝑖 ↔𝑑𝑗 𝐴→ [1 2 𝐵 1] ∗ Phép 2: Nhân dịng ma trận với số (thuộc ℝ) khác khơng Giả sử nhân dịng 𝑖 với số 𝜆 ∈ ℝ\{0}, kí hiệu Ví dụ: [1 2 𝑑1→3𝑑1 [1 ]→ 𝑑𝑖 →𝜆𝑑𝑖 𝐴→ 3 𝐵 3 ] ∗ Phép 3: Cộng vào dịng ma trận, dòng khác nhân với số (thuộc ℝ) Giả sử cộng vào dòng 𝑖, dòng 𝑗 nhân với 𝜆 ∈ ℝ, kí hiệu Ví dụ: [1 Chú ý: 𝑑𝑖 →𝑑𝑖 +𝜆𝑑𝑗 𝐴→ 𝑑3→𝑑3−2𝑑2 [1 ]→ −1 𝐵 1 ] −2 i) Ta thực liên tiếp nhiều phép biến đổi sơ cấp dòng 𝐴 không gây nhầm lẫn ii) Định nghĩa tương tự ta có phép biến đổi sơ cấp cột 𝐴 Ví dụ 18: 𝐴 = [1 2 𝑑1↔𝑑2 ]→ 10 [1 𝑑3→𝑑3−2𝑑2 ]→ 10 [1 1 1 1 1 −2 −2 −1 −1 d d d ] ]  [ 𝐵=[ d d 2 d −1 −5 −1 −3 d  d 3d −2 −2 3 2 1 3 4 1 Ví dụ 19: Hãy dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận 𝐴 = [ dạng bậc thang Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương 5] −1 2 2 3 ] 1 Chương – Ma trận – Định thức Bài giảng Toán cao cấp A1 Bài giải 𝐴=[ 2 3 1 0 ]⟶[ 1 1.2 Định thức 0 1 −1 −2 ]⟶[ −3 −2 −2 0 1 −1 −2 ]⟶[ 0 −1 0 −1 2 0 0 1 −1 −2 ] −1 0 1.2.1 Định nghĩa định thức a Ma trận cấp 𝒌 Cho ma trận 𝐴 cấp 𝑚 × 𝑛 Ma trận vuông cấp 𝑘 lập từ phần tử nằm giao 𝑘 dòng 𝑘 cột gọi ma trận vuông cấp 𝑘 𝐴 b Ma trận ứng với phần tử Cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑛×𝑛 ma trận vng cấp 𝑛, ma trận cấp 𝑛 − lập từ 𝐴 cách bỏ dòng 𝑖 cột 𝑗 gọi ma trận 𝐴 ứng với phần tử 𝑎𝑖𝑗 , kí hiệu 𝑀𝑖𝑗 Ví dụ 19: Cho ma trận 𝐴 = [0 1 Khi 𝑀11 = [ −1 1 −1 ] , 𝑀12 = [ −1 c Định nghĩa định thức −1] −1 −1 ] , 𝑀23 = [ −1 −1 ] Cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑛×𝑛 ma trận vuông cấp 𝑛 Định thức cấp 𝑛 (hoặc đơn giản định thức) ma trận 𝐴, kí hiệu det 𝐴 |𝐴|, định nghĩa qui nạp sau:  Với 𝐴 cấp (𝑛 = 1), 𝐴 = [𝑎11 ], det 𝐴 = 𝑎11 𝑎11  Với 𝐴 cấp (𝑛 = 2), 𝐴 = [𝑎 21 𝑎12 𝑎22 ], det 𝐴 = 𝑎11 det 𝑀11 − 𝑎12 det 𝑀12 = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21 (chú ý 𝑎11 , 𝑎12 phần tử nằm dòng 1)  Với 𝐴 cấp 𝑛 ≥ 3, det 𝐴 = 𝑎11 det 𝑀11 − 𝑎12 det 𝑀12 + ⋯ + (−1)1+𝑛 𝑎1𝑛 det 𝑀1𝑛 (chú ý 𝑎11 , 𝑎12 , 𝑎1𝑛 phần tử nằm dòng 1) Chú ý: Gọi 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 det 𝑀𝑖𝑗 phần bù đại số phần tử 𝑎𝑖𝑗 Khi det 𝐴 = 𝑎11 𝐴11 + 𝑎12 𝐴12 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝐴1𝑛 Ví dụ 20: Tính định thức ma trận 𝐴 = [0 Bài giải Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương −1 1 −1] −1 Chương – Chéo hóa ma trận – Dạng tồn phương Bài giảng Toán cao cấp A1 𝑄(𝑥) = −2𝑥12 − 4𝑥22 − 3𝑥32 + 4𝑥1 𝑥2 , 𝑅(𝑥) = 7𝑥12 + 2𝑥22 − 𝑥32 + 5𝑥1 𝑥3 Bài giải 𝑄(𝑥) 𝑅(𝑥) có ma trận dạng tồn phương −2 𝐴=[ Với ma trận 𝐴 ta có −2 𝐷1 = −2 < 0, 𝐷2 = | Vậy 𝑄(𝑥) xác định âm −4 0 ] [ , 𝐵 = 0 −3 3 ] −1 −2 | = > 0, 𝐷3 = | −4 Với ma trận 𝐵 ta có 𝐷1 = > 0, 𝐷2 = | | = 14 > 0, 𝐷3 = |0 −4 0 0 | = −12 < −3 | = −32 < −1 Chưa kết luận Ta thấy 𝑅(1, 0, 0) = > 0, 𝑅(0, 0, 1) = −7 < 0, dạng tồn phương 𝑅(𝑥) khơng xác định dấu BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG Dạng toán: Đa thức đặc trưng ma trận Ma trận 𝐴 = [ 2 ] có đa thức đặc trưng 𝑃𝐴 (𝜆) khẳng định sau đây: A 𝑃𝐴 (𝜆) = (𝜆 + 1)(𝜆 − 3) B 𝑃𝐴 (𝜆) = (𝜆 − 1)(𝜆 + 3) C 𝑃𝐴 (𝜆) = 𝜆2 − 2𝜆 + D 𝑃𝐴 (𝜆) = (𝜆 + 1)(3 − 𝜆) A 𝑃𝐴 (𝜆) = (𝜆 + 2)(𝜆 − 3) B 𝑃𝐴 (𝜆) = (𝜆 − 2)(𝜆 + 3) Ma trận 𝐴 = [ −1 ] có đa thức đặc trưng 𝑃𝐴 (𝜆) khẳng định sau đây: C 𝑃𝐴 (𝜆) = 𝜆2 + 𝜆 + Ma trận 𝐴 = [ D 𝑃𝐴 (𝜆) = (𝜆 + 3)(2 − 𝜆) ] có đa thức đặc trưng 𝑃𝐴 (𝜆) khẳng định sau đây: −1 A 𝑃𝐴 (𝜆) = −𝜆2 − B 𝑃𝐴 (𝜆) = 𝜆2 + C 𝑃𝐴 (𝜆) = (𝜆 − 3)(𝜆 + 3) D 𝑃𝐴 (𝜆) = (𝜆 + 3)(3 − 𝜆) A 𝑃𝐴 (𝜆) = −(1 − 𝜆)2 (1 + 𝜆) B 𝑃𝐴 (𝜆) = (1 − 𝜆)2 (1 + 𝜆) Ma trận 𝐴 = [0 1 0] có đa thức đặc trưng 𝑃𝐴 (𝜆) khẳng định sau đây: C 𝑃𝐴 (𝜆) = (1 + 𝜆)2 (1 − 𝜆) Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương D 𝑃𝐴 (𝜆) = −𝜆2 (1 − 𝜆)2 94 Chương – Chéo hóa ma trận – Dạng tồn phương Bài giảng Tốn cao cấp A1 Ma trận 𝐴 = [1 1 1] có đa thức đặc trưng 𝑃𝐴 (𝜆) khẳng định sau đây: A 𝑃𝐴 (𝜆) = (2 − 𝜆)(1 + 𝜆)2 C 𝑃𝐴 (𝜆) = (2 + 𝜆)(1 + 𝜆)2 Ma trận 𝐴 = [1 1 B 𝑃𝐴 (𝜆) = −𝜆(2 − 𝜆2 ) C 𝑃𝐴 (𝜆) = 𝜆(2 − 𝜆)2 D 𝑃𝐴 (𝜆) = 𝜆(2 − 𝜆2 ) 1 A 𝑃𝐴 (𝜆) = 𝜆3 − 4𝜆 + C 𝑃𝐴 (𝜆) = 𝜆3 − 3𝜆 + 2 Ma trận 𝐴 = [1 D 𝑃𝐴 (𝜆) = (2 + 𝜆)(1 − 𝜆2 ) ] có đa thức đặc trưng 𝑃𝐴 (𝜆) khẳng định sau đây: A 𝑃𝐴 (𝜆) = 𝜆(4 − 𝜆2 ) Ma trận 𝐴 = [0 B 𝑃𝐴 (𝜆) = (𝜆 − 2)(1 − 𝜆2 ) 1 0 ] có đa thức đặc trưng 𝑃𝐴 (𝜆) khẳng định sau đây: −2 B 𝑃𝐴 (𝜆) = −𝜆3 + 4𝜆 − D 𝑃𝐴 (𝜆) = −𝜆3 + 3𝜆 − 0] có đa thức đặc trưng 𝑃𝐴 (𝜆) A 𝑃𝐴 (𝜆) = 𝜆(𝜆 − 1)(𝜆 + 3) B 𝑃𝐴 (𝜆) = −𝜆(𝜆 − 1)(𝜆 + 3) C 𝑃𝐴 (𝜆) = 𝜆(𝜆 − 1)(𝜆 − 3) D 𝑃𝐴 (𝜆) = −𝜆(𝜆 − 1)(𝜆 + 3) A 𝑃𝐴 (𝜆) = (𝜆 − 1)2 (𝜆 − 2)2 B 𝑃𝐴 (𝜆) = (𝜆 − 1)2 (𝜆2 − 4) Ma trận 𝐴 = [ 0 0 2 ] có đa thức đặc trưng 𝑃𝐴 (𝜆) C 𝑃𝐴 (𝜆) = (𝜆2 − 1)(𝜆 − 2)2 Dạng toán: Giá trị riêng ma trận 10 Ma trận 𝐴 = [ A 𝜆 = 1, 𝜆 = −3 C 𝜆 = −1, 𝜆 = 11 Ma trận 𝐴 = [ A 𝜆 = 2, 𝜆 = −3 2 ] có giá trị riêng khẳng định sau đây: B 𝜆 = −1, 𝜆 = D Khơng có giá trị riêng −1 C 𝜆 = −2, 𝜆 = −3 12 Ma trận 𝐴 = [ D 𝑃𝐴 (𝜆) = (𝜆2 − 1)(𝜆2 − 4) 2 ] có giá trị riêng khẳng định sau đây: B 𝜆 = −2, 𝜆 = D Khơng có giá trị riêng ] có giá trị riêng khẳng định sau đây: −1 Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương 95 Chương – Chéo hóa ma trận – Dạng tồn phương Bài giảng Tốn cao cấp A1 A 𝜆 = B 𝜆 = D Khơng có giá trị riêng C 𝜆 = 3, 𝜆 = −3 13 Ma trận 𝐴 = [0 1 A 𝜆 = C 𝜆 = 0, 𝜆 = 1 14 Ma trận 𝐴 = [1 0] có giá trị riêng khẳng định sau đây: B 𝜆 = −1 D 𝜆 = 1, 𝜆 = −1 1 A 𝜆 = 2, 𝜆 = ±1 C 𝜆 = 15 Ma trận 𝐴 = [1 0 1] có giá trị riêng khẳng định sau đây: B 𝜆 = −1 D 𝜆 = −1, 𝜆 = 1 A 𝜆 = 0, 𝜆 = 2, 𝜆 = −2 C 𝜆 = 0, 𝜆 = 16 Ma trận 𝐴 = [0 1 A 𝜆 = 1, 𝜆 = C 𝜆 = 1, 𝜆 = −2 17 Ma trận 𝐴 = [1 A 𝜆 = 1, 𝜆 = D 𝜆 = −1, 𝜆 = −2 0] có giá trị riêng khẳng định sau đây: −1 C 𝜆 = 1, 𝜆 = −1, 𝜆 = 19 Ma trận 𝐴 = [ 0 A 𝜆 = 1, 𝜆 = 2 0 D 𝜆 = 0, 𝜆 = √2, 𝜆 = −√2 B 𝜆 = −1, 𝜆 = C 𝜆 = 0, 𝜆 = 1, 𝜆 = −3 [ 18 Ma trận 𝐴 = −4 B 𝜆 = 0, 𝜆 = 0 ] có giá trị riêng khẳng định sau đây: −2 1 A 𝜆 = 1, 𝜆 = −3 ] có giá trị riêng khẳng định sau đây: 2 B 𝜆 = 0, 𝜆 = 1, 𝜆 = D 𝜆 = 0, 𝜆 = −1, 𝜆 = −3 0] có giá trị riêng khẳng định sau đây: B 𝜆 = −1, 𝜆 = D 𝜆 = −1, 𝜆 = −3 ] có giá trị riêng khẳng định sau đây: Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương B 𝜆 = 1, 𝜆 = 2, 𝜆 = −2 96 Chương – Chéo hóa ma trận – Dạng tồn phương Bài giảng Tốn cao cấp A1 C 𝜆 = 1, 𝜆 = −1, 𝜆 = Dạng toán: Vectơ riêng ma trận 20 Ma trận 𝐴 = [ dạng sau đây: 1 ] có vectơ riêng ứng với giá trị riêng 𝜆 = −1, vectơ có A (𝑎, −𝑎)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) C (0, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) 21 Ma trận 𝐴 = [ dạng sau đây: B (𝑎, −𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) D (𝑎, 0)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) ] có vectơ riêng ứng với giá trị riêng 𝜆 = 3, vectơ có A (−𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) C (−𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) 22 Ma trận 𝐴 = [ dạng sau đây: −1 B (𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) D (𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) ] có vectơ riêng ứng với giá trị riêng 𝜆 = −3, vectơ có A (𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) B (−𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) D Khơng có vectơ riêng C (−𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) 23 Ma trận 𝐴 = [ dạng sau đây: ] có vectơ riêng ứng với giá trị riêng 𝜆 = 3, vectơ có −1 A (−𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) C (−𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) 24 Ma trận 𝐴 = [0 dạng sau đây: D 𝜆 = 1, 𝜆 = −1, 𝜆 = 2, 𝜆 = −2 A (−𝑎, 0, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) C (𝑏, 𝑎, 𝑏)(𝑎, 𝑏 ∈ ℝ) 0 25 Ma trận 𝐴 = [0 1 có dạng sau đây: A (−𝑎, 0, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) B (2𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) D (2𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) 0] có vectơ riêng ứng với giá trị riêng 𝜆 = 1, vectơ có B (−𝑎, 0, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) D (𝑏, 𝑎, 𝑏)(𝑎, 𝑏 ∈ ℝ\{0}) 0] có vectơ riêng ứng với giá trị riêng 𝜆 = −1, vectơ C (𝑏, 𝑎, 𝑏)(𝑎, 𝑏 ∈ ℝ\{0}) Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương B (−𝑎, 0, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) D (𝑏, 𝑎, 𝑏)(𝑎, 𝑏 ∈ ℝ) 97 Chương – Chéo hóa ma trận – Dạng tồn phương Bài giảng Toán cao cấp A1 26 Ma trận 𝐴 = [1 dạng sau đây: 1 1] có vectơ riêng ứng với giá trị riêng 𝜆 = 2, vectơ có A (𝑎, 𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) B (𝑎, 𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) D Khơng có vectơ riêng C (−𝑎, −𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) 27 Ma trận 𝐴 = [1 dạng sau đây: A (−𝑎, 0, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) 1 ] có vectơ riêng ứng với giá trị riêng 𝜆 = 0, vectơ có C (−𝑎, 𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) 1 28 Ma trận 𝐴 = [0 có dạng sau đây: B (−𝑎, 0, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) D (−𝑎, 𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) 0 ] có vectơ riêng ứng với giá trị riêng 𝜆 = 1, vectơ −2 A (− 3⁄5 𝑎, 0, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) B (− 3⁄5 𝑎, 0, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) C (3⁄5 𝑎, 0, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) 29 Ma trận 𝐴 = [1 dạng sau đây: A (2𝑎, 𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) 1 D (3⁄5 𝑎, 0, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) 0] có vectơ riêng ứng với giá trị riêng 𝜆 = 3, vectơ có B (2𝑎, 𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) C (0, −𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) D Khơng có vectơ riêng A (0, 𝑎, 𝑏)(𝑎, 𝑏 ∈ ℝ\{0}) B (𝑎, 𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) 30 Ma trận 𝐴 = [0 dạng sau đây: 0 0 0] có vectơ riêng ứng với giá trị riêng 𝜆 = 2, vectơ có C (𝑎, 𝑎, 0)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) 31 Ma trận 𝐴 = [−4 có dạng sau đây: −1 D (𝑎, 0,0)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) 0] có vectơ riêng ứng với giá trị riêng 𝜆 = 3, vectơ A (𝑎, −2𝑎, 𝑏)(𝑎, 𝑏 ∈ ℝ\{0}) C (𝑎, 𝑎, 0)(𝑎 ∈ ℝ) Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương B (𝑎, − 2𝑎, 𝑏)(𝑎 ∈ ℝ) D (𝑎, 𝑎, 0)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) 98 Bài giảng Toán cao cấp A1 32 Ma trận 𝐴 = [ 0 0 có dạng sau đây: 2 Chương – Chéo hóa ma trận – Dạng tồn phương ] có vectơ riêng ứng với giá trị riêng 𝜆 = 1, vectơ A (0, −𝑎, −3𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) C (𝑎, 0,0,0)(𝑎 ∈ ℝ\{0}) B (0, −𝑎, −3𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) D (𝑎, 0,0,0)(𝑎 ∈ ℝ) 33 Vectơ (2, −2) vectơ riêng ma trận 𝐴 = [ đây: A 𝜆 = B 𝜆 = C 𝜆 = −1 A 𝜆 = B 𝜆 = −1 C 𝜆 = −3 A 𝜆 = B 𝜆 = −1 C 𝜆 = −3 A 𝜆 = B 𝜆 = −2 C 𝜆 = −3 A 𝜆 = B 𝜆 = −1 C 𝜆 = −3 A 𝜆 = B 𝜆 = C 𝜆 = −3 A 𝜆 = B 𝜆 = C 𝜆 = 1 ] ứng với giá trị riêng sau D 𝜆 = 𝜆 = −1 34 Vectơ (−2, −2) vectơ riêng ma trận 𝐴 = [ sau đây: ] ứng với giá trị riêng −1 35 Vectơ (2, −2) vectơ riêng ma trận 𝐴 = [ sau đây: ] ứng với giá trị riêng 36 Vectơ (2, 1) vectơ riêng ma trận 𝐴 = [ đây: D 𝜆 = D 𝜆 = ] ứng với giá trị riêng sau −1 D 𝜆 = 37 Vectơ (3, −1, 3) vectơ riêng ma trận 𝐴 = [0 sau đây: 1 38 Vectơ (4, 4, 4) vectơ riêng ma trận 𝐴 = [1 sau đây: 1] ứng với giá trị riêng 1 39 Vectơ (2, 0, −2) vectơ riêng ma trận 𝐴 = [1 sau đây: Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương 1 0] ứng với giá trị riêng D 𝜆 = D 𝜆 = −2 ] ứng với giá trị riêng D 𝜆 = 99 Chương – Chéo hóa ma trận – Dạng tồn phương Bài giảng Tốn cao cấp A1 40 Vectơ (3, 0, 5) vectơ riêng ma trận 𝐴 = [0 sau đây: A 𝜆 = B 𝜆 = C 𝜆 = A 𝜆 = B 𝜆 = C 𝜆 = A 𝜆 = B 𝜆 = C 𝜆 = 41 Vectơ (2, 1, 1) vectơ riêng ma trận 𝐴 = [1 sau đây: 1 42 Vectơ (2, 0, 0, 0) vectơ riêng ma trận 𝐴 = [ 0 sau đây: Dạng tốn: Chéo hóa ma trận 1 0 0 ] ứng với giá trị riêng −2 D 𝜆 = 0] ứng với giá trị riêng 2 D 𝜆 = ] ứng với giá trị riêng D 𝜆 = 43 Giả sử 𝐴 ma trận vng cấp có vectơ riêng (1, 2,1), (1, 0,1), (1, 0,0) lần 1 lượt ứng với giá trị riêng 𝜆 = 1, 𝜆 = 2, 𝜆 = Đặt 𝑃 = [2 0] Khi khẳng 1 định sau A 𝐴 chéo hóa 𝑃−1 𝐴𝑃 = [0 B 𝐴 chéo hóa 𝑃 𝐴𝑃 = [0 −1 C 𝐴 chéo hóa 𝑃 𝐴𝑃 = [0 −1 D A, B, C 44 Ma trận 𝑃 = [ A [ −1 0 ] −3 −1 ] 0 0 0 0] 0] 0] ] chéo hóa ma trận 𝐴 = [ B [ 45 Cho ma trận 𝐴 = [ A 𝑃 = [ 0 ] −1 −5 C [ ] thành ma trận sau đây: ] 20 D [ 20 0 ] −5 ] Ma trận 𝑃 làm chéo 𝐴 ma trận sau đây: Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương B 𝑃 = [ −1 ] 100 Chương – Chéo hóa ma trận – Dạng tồn phương Bài giảng Tốn cao cấp A1 C 𝑃 = [ −1 0 ] −1 ] −1 46 Cho ma trận 𝐴 = [ A 𝑃 = [ C 𝑃 = [ −3 0 ] −1 A [ 0 0 0] 47 Ma trận 𝑃 = [1 đây: C [0 0 A [0 0 0 0] −1 48 Ma trận 𝑃 = [1 sau đây: C [0 0 0 0] 1 1 −1 C 𝑃 = [2 −3 0 A 𝑃 = [0 0 [ 50 Cho ma trận 𝐴 = 1 0] −1 ] ] [ chéo hóa ma trận 𝐴 = 0 −1 1 B [0 D [0 0 0 −1 0 ] −3 0] 1 −2] chéo hóa ma trận 𝐴 = [1 B [0 −1 0 0] 0] 1 B 𝑃 = [ 2 D 𝑃 = [ 0 0] −1 −2 0 ] −1 ] Ma trận 𝑃 làm chéo 𝐴 ma trận sau đây: 49 Cho ma trận 𝐴 = [−4 A 𝑃 = [0 D 𝑃 = [ 1 −1 D [ 0 0 0 1 0] thành ma trận sau 0 0] 0] −1 1 1] thành ma trận 0] 0] Ma trận 𝑃 làm chéo 𝐴 ma trận sau đây: B 𝑃 = [0 D 𝑃 = [2 −2 0 0] 0] 1 0] Ma trận 𝑃 làm chéo 𝐴 ma trận sau đây: Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương B 𝑃 = [1 −1 1] 101 Bài giảng Toán cao cấp A1 C 𝑃 = [−1 −1 −1 1] Chương – Chéo hóa ma trận – Dạng tồn phương D 𝑃 = [0 −1 −1 B 𝐴 = [ 0 ] Dạng toán: Ma trận dạng toàn phương −1 1] 51 Cho dạng toàn phương biến, 𝑄(𝑥) = 𝑥12 + 2𝑥22 Khi ma trận dạng tồn phương A 𝐴 = [ 0 ] 1 ] [ A 𝐴 = 2 C 𝐴 = [ D 𝐴 = [ 1 ] 52 Cho dạng toàn phương biến, 𝑄(𝑥) = 𝑥12 + 𝑥22 + 4𝑥1 𝑥2 Khi ma trận dạng toàn phương 2 ] A 𝐴 = [2 0 C 𝐴 = [ 0] [ B 𝐴 = D 𝐴 = [ 4 ] 0] 53 Cho dạng toàn phương biến, 𝑄(𝑥) = 2𝑥1 𝑥2 Khi ma trận dạng tồn phương C 𝐴 = [ 2 ] 0 0] 0 B 𝐴 = [1 0 D 𝐴 = [ 1 0 ] 0 0] 54 Cho dạng toàn phương biến, 𝑄(𝑥) = 𝑥12 + 𝑥32 − 4𝑥1 𝑥2 + 2𝑥2 𝑥3 Khi ma trận dạng tồn phương A 𝐴 = [−4 −4 2] 1 C 𝐴 = [−2 −2 1] A 𝐴 = [−4 −4 −4 −4 0] 1 B 𝐴 = [−4 −4 D 𝐴 = [−4 −4 −4 −4 2] 2] 55 Cho dạng toàn phương biến, 𝑄(𝑥) = 2𝑥12 + 3𝑥22 + 𝑥32 − 4𝑥1 𝑥2 − 4𝑥1 𝑥3 Khi ma trận dạng tồn phương C 𝐴 = [2 −2 −2 0] Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương B 𝐴 = [4 D 𝐴 = [−2 −2 −4 −2 −4 0] −2 0] 102 Bài giảng Toán cao cấp A1 Chương – Chéo hóa ma trận – Dạng toàn phương 56 Cho dạng toàn phương biến, 𝑄(𝑥) = 𝑥12 + 𝑥22 + 4𝑥1 𝑥2 Khi ma trận dạng tồn phương A 𝐴 = [2 1 2 ] A 𝐴 = [2 0 C 𝐴 = [ 0] B 𝐴 = [4 D 𝐴 = [ 4 ] 0] 57 Cho dạng toàn phương biến, 𝑄(𝑥) = 2𝑥1 𝑥2 Khi ma trận dạng tồn phương C 𝐴 = [ 2 ] 0 1 ] 0 0] 0 B 𝐴 = [1 0 D 𝐴 = [ Dạng tốn: Đưa dạng tồn phương dạng tắc 0 ] 0 0] 58 Cho dạng toàn phương biến, 𝑄(𝑥) = 2𝑥1 𝑥2 Chọn ma trận đổi biến 𝑃 thích hợp ([𝑥] = 𝑃[𝑦]) để đưa dạng toàn phương dạng tắc A 𝑃 = [ C 𝑃 = [ B 𝑃 = [ 2 ] D 𝑃 = [ 1 1 ] B 𝑃 = [ −1 ] 1 ] 59 Cho dạng toàn phương biến, 𝑄(𝑥) = 𝑥12 + 2𝑥1 𝑥2 Chọn ma trận đổi biến 𝑃 thích hợp ([𝑥] = 𝑃 [𝑦]) để đưa dạng toàn phương dạng tắc A 𝑃 = [ C 𝑃 = [ −1 ] 1 D 𝑃 = [ ] −1 ] 60 Cho dạng toàn phương biến, 𝑄(𝑥) = 𝑥12 + 2𝑥1 𝑥2 + 2𝑥2 𝑥3 Chọn ma trận đổi biến 𝑃 thích hợp ([𝑥] = 𝑃[𝑦]) để đưa dạng tồn phương dạng tắc A 𝑃 = [2 2 C 𝑃 = [0 −1 1 A 𝑃 = [1 −1 0 2] −1 1] 1 B 𝑃 = [1 D 𝑃 = [−1 −1 1 1 1] 0 0] 61 Cho dạng toàn phương biến, 𝑄(𝑥) = 2𝑥1 𝑥2 + 2𝑥2 𝑥3 − 6𝑥1 𝑥3 Chọn ma trận đổi biến 𝑃 thích hợp ([𝑥] = 𝑃[𝑦]) để đưa dạng toàn phương dạng tắc −1 3] Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương B 𝑃 = [−1 −1 1 0] 103 Chương – Chéo hóa ma trận – Dạng tồn phương Bài giảng Tốn cao cấp A1 C 𝑃 = [ −3 1 A 𝑃 = [ −2 1 −2 D 𝑃 = [ −6 −3 1] 2 −6 2] 62 Cho dạng toàn phương biến, 𝑄(𝑥) = −𝑥22 + 4𝑥32 + 2𝑥1 𝑥2 + 4𝑥1 𝑥3 Chọn ma trận đổi biến 𝑃 thích hợp ([𝑥] = 𝑃[𝑦]) để đưa dạng tồn phương dạng tắc C 𝑃 = [1 −1 B 𝑃 = [1 0 0] 0] D 𝑃 = [2 −1 −2 −2] 0] ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Chương – Ma trận – Định thức D A A A C D A C C 10 B 11 C 12 A 13 A 14 D 15 A 16 A 17 C 18 B 19 C 20 A 21 B 22.C 23 D 24 C 25 B 26 B 27 C 28 C 29 D 30 A 31 C 32 A 33 B 34 C 35 A 36 A 37 B 38 A 39 B 40 C 41 A 42 D 43 C 44 D 45 D 46 B 47 C 48 D 49 D 50 D 51 A 52 C 53 C 54.C 55 D 56 C 57 C 58 C 59 D 60 B 61 D 62 B 63 A 64 B 65 D 66 B 67 D 68 B 69 D 70 C 71 C 72 B 73 C 74 D 75 C 76 A 77 C 78 D Chương – Hệ phương trình tuyến tính D C B C A B C D D 10 A 11 B 12 C 13 A 14 D 15 D 16 D 17 C 18 B 19 B 20 C 21 C 22 D 23 D 24 A 25 C 26 B 27 C 28 A 29 A 30 B 31 B 32 A 33 B 34 B 35 B 36 B 37 B 38 A 39 C 40 C 41 B 42 B 43 A 44 C 45 A 46 C 47 D 48 A 49 B 50 B 51 B 52 B 53 B 54.C 55 B 56 C 57 A 58 B 59 B 60 D 61 B 62 C 63 A 64 A 65 A 66 D 67 A 68 B 69 A 70 B 71 B 72 C 73 D 74 D 75 D 76 D 77 B 78 D Chương – Không gian vectơ C A B B D A C B B 10 A 11 C 12 C 13 D 14 B 15 D 16 C 17 B 18 A 19 A 20 D 21 B 22 D 23 A 24 A Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương 104 Chương – Chéo hóa ma trận – Dạng tồn phương Bài giảng Tốn cao cấp A1 25 B 26 C 27 B 28 A 29 A 30 B 31 B 32 C 33 C 34 D 35 D 36 A 37 C 38 A 39 D 40 C 41 D 42 D 43 B 44 B 45 C 46 D 47 C 48 D 49 B 50 D 51 C 52 B 53 C 54.D 55 A 56 B 57 C 58 C 59 D 60 C 61 C 62 D 63 B 64 C 65 B 66 A 67 D 68 B 69 C 70 D 71 D 72 C 73 B 74 A 75 C 76 C 77 D 78 B 79 C 80 C 81 D 82 C 83 C 84 C 85 B 86 C 87 D 88 D 89 C 90 C 91 C 92 B 93 C 94 A 95 B 96 A 97 B 98 B 99 C 100 C 101 B 102 C 103 B 104 C 105 C 106 C 107 B 108 D 109 B 110 A 111 B 112 A 113 C 114 C 115 D 116 A 117 B 118 C 119 D 120 D 121 A 122 D 123 C 124 B 125 D 126 D 127 A 128 B 129 D 130 A 131 B 132 C 133 B 134 A 135 D 136 D 137 C 138 C 139 D 140 A Chương – Chéo hóa ma trận – Dạng tồn phương A B C A B D D C A 10 B 11 A 12 C 13 D 14 A 15 D 16 C 17 B 18 B 19 A 20 A 21 B 22 C 23 D 24 D 25 A 26 A 27 B 28 C 29 B 30 D 31 A 32 C 33 C 34 A 35 C 36 A 37 D 38 B 39 D 40 C 41 A 42 C 43 A 44 A 45 B 46 A 47 C 48 B 49 D 50 C 51 A 52 C 53 D 54.C 55 D 56 A 57 B 58 B 59 D 60 C 61 A 62 B Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương 105 Bài giảng Toán cao cấp A1 Chương – Chéo hóa ma trận – Dạng tồn phương TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Sĩ Đồng, Toán cao cấp: Đai số tuyến tính, NXB Giáo dục, 2010 [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, NXB GD 2009 [2] Mỵ Vinh Quang, Bài giảng Đại số tuyến tính, ĐHSP TPHCM, 2006 [4] Nguyễn Quốc Hưng, Toán cao cấp C2 số ứng dụng kinh doanh, NXB Giao thông vận tải, 2002 Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương 106 Bài giảng Toán cao cấp A1 Chương – Chéo hóa ma trận – Dạng tồn phương MỤC LỤC KÍ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG – MA TRẬN – ĐỊNH THỨC 1.1 KHÁI NIỆM MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 1.2 ĐỊNH THỨC 1.3 HẠNG CỦA MA TRẬN ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED 1.4 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED BÀI TẬP TỰ LUẬN CHƯƠNG ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED CHƯƠNG – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 19 2.1 KHÁI NIỆM CHUNG VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 19 2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED BÀI TẬP TỰ LUẬN CHƯƠNG 36 CHƯƠNG – KHÔNG GIAN VECTƠ ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED 3.1 KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTƠ ℝ𝒏 ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED 3.2 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED 3.3 KHÔNG GIAN VECTƠ CON, CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED BÀI TẬP TỰ LUẬN CHƯƠNG ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED CHƯƠNG – CHÉO HĨA MA TRẬN – DẠNG TỒN PHƯƠNG ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED 4.1 TRỊ RIÊNG, VECTƠ RIÊNG ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED 4.2 CHÉO HÓA MA TRẬN ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED 4.3 DẠNG TOÀN PHƯƠNG ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED BÀI TẬP TỰ LUẬN CHƯƠNG ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương 107 Bài giảng Toán cao cấp A1 Chương – Chéo hóa ma trận – Dạng tồn phương TÀI LIỆU THAM KHẢO ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương 108 ... Chương – Ma trận – Định thức Bài giảng Toán cao cấp A1 Cho ma trận