Bài giảng Toán cao cấp C2

✬ ✩ TS PHAN ĐỨC TUẤN TOÁN CAO CẤP C2 ĐẠI HỌC SÀI GỊN ✫ ✪ Lời nói đầu Học phần Toán cao cấp C2 giới thiệu ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính khơng gian véctơ Học phần yêu cầu sinh viên đạt mục tiêu sau: Về kiến thức: Hiểu biết ma trận; định thức; phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính; ứng dụng tốn kinh tế; vấn đề không gian véc-tơ Về kỹ năng: Biết tính tốn ma trận; giải hệ phương trình tuyến tính tốn khơng gian vecto Về phương pháp học tập: Sinh viên nhận tài liệu đọc trước giảng; đặt câu hỏi thảo luận làm tập đầy đủ Tp Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 03 năm 2022 Phan Đức Tuấn Những kí hiệu Trong sách ta dùng kí hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: N N∗ Z Q R C In Mm × n ( R ) Rn Mn ( R ) 0m × n A −1 AT −A ∅ tập hợp số tự nhiên tập hợp số tự nhiên khác tập hợp số nguyên tập hợp số hữu tỉ tập hợp số thực tập hợp số phức Ma trận đơn vị cấp n Tập hợp tất ma trận cấp m × n Khơng gian véc tơ n chiều R Tập hợp ma trận vuông cấp n trường số thực Ma trận khơng cấp m × n Ma trận nghich đảo ma trận A Ma trận chuyển vị ma trận A Ma trận đối ma trận A tập hợp rỗng Mục lục Lời nói đầu iii Những kí hiệu iv Chương MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1 MA TRẬN 1.1.1 Khái niệm ma trận 1.1.2 Các ma trận đặc biệt 1.1.3 Các phép toán ma trận 1.2 Các phép biến đổi sơ cấp dòng 16 1.2.1 Ma trận bậc thang dòng (echelon matrix): 16 1.2.2 Các phép biến đổi sơ cấp dòng (BĐSC) ma trận (elementary row operations) 17 1.2.3 Ma trận khả nghịch 18 1.3 Định thức ma trận vuông 22 1.3.1 Phép 22 1.3.2 Khai triển Lapace 25 1.3.3 Tính chất định thức 26 1.3.4 Tìm ma trận nghịch đảo định thức 27 1.3.5 Hạng ma trận 28 1.4 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 31 1.4.1 Phương pháp Gauss: 31 1.4.2 Phương pháp Cramer: 33 1.5 Hệ phương trình tuyến tính 34 1.5.1 Mối liên hệ hệ phương trình tuyến tính hệ phương trình tuyến tính tổng qt 35 1.6 Một số mơ hình tuyến tính phân tích kinh tế 35 1.6.1 Mơ hình cân thị trường 35 1.6.2 Mơ hình Input-Output Leontief 36 Chương KHÔNG GIAN VÉC TƠ 42 Tài liệu tham khảo 43 MỤC LỤC Danh mục từ khóa 44 CHƯƠNG MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1 MA TRẬN 1.1.1 Khái niệm ma trận 1.1.2 Các ma trận đặc biệt 1.1.3 Các phép toán ma trận 1.2 Các phép biến đổi sơ cấp dòng 16 1.2.1 Ma trận bậc thang dòng (echelon matrix): 16 1.2.2 Các phép biến đổi sơ cấp dòng (BĐSC) ma trận (elementary row operations) 17 1.2.3 Ma trận khả nghịch 18 1.3 Định thức ma trận vuông 22 1.3.1 Phép 22 1.3.2 Khai triển Lapace 25 1.3.3 Tính chất định thức 26 1.3.4 Tìm ma trận nghịch đảo định thức 27 1.3.5 Hạng ma trận 28 1.4 Hệ phương trình tuyến tính tổng qt 31 1.4.1 Phương pháp Gauss: 31 1.4.2 Phương pháp Cramer: 33 1.5 Hệ phương trình tuyến tính 34 1.5.1 Mối liên hệ hệ phương trình tuyến tính hệ phương trình tuyến tính tổng qt 35 1.6 Một số mơ hình tuyến tính phân tích kinh tế 35 1.6.1 Mơ hình cân thị trường 35 1.6.2 Mơ hình Input-Output Leontief 36 1.1 MA TRẬN Khái niệm ma trận Các loại ma trận Các phép toán đại số ma trận MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trân bạc thang dòng phép biến đổi sơ cấp dòng Ma trận nghịch đảo cách tìm ma trận nghịch đảo Hạng ma trận cách tìm hạng ma trận 1.1.1 Khái niệm ma trận Một bảng hình chữ nhật gồm m × n số thực thành m dòng n cột gọi ma trận cấp m × n Ví dụ ma trận   A=  ma trận có dịng cột có cấp × Dạng tổng quát Ma trận biểu diễn sau   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n    A = ( aij )m×n =   ,   am1 am2 · · · amn i gọi số dòng j gọi số cột aij phần tử nằm dòng i cột j Đơi người ta ký hiệu ma trận dạng móc vuông sau:   A=  Tập hợp tất ma trận cấp m × n ký hiệu Mm×n (R ) Các ví dụ ma trận: 1) Ma trận A= ma trận cấp × 10 −7 1.1 MA TRẬN Nói chung ma trận có dịng (m = 1) ma trận gọi ma trận dòng 2) Ma trận  ma trận cấp ×   −5   B=  −6  Một ma trận có cột ma trận (n = 1) gọi ma trận cột 3) Bảng số hình chữ nhật dòng cột 11 −7 5 A= gọi là ma trận cấp × 1.1.2 Các ma trận đặc biệt Ma trận vng: Ma trận có số dịng số cột (m = n) gọi ma trận vuông cấp n, ký hiệu A = ( aij )n Dạng tổng quát ma trận vuông biểu diễn sau   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n    A = ( aij )n =     an1 an2 · · · ann Các phần tử a11 ; a22 ; ; ann tạo thành đường chéo ma trận vng gọi đường chéo Các phần tử a1n ; a2(n−1) ; ; a1n tạo thành đường chéo ma trận vuông gọi đường chéo phụ Tập hợp tất ma trận vuông cấp n ký hiệu Mn (R ) Ví dụ ma trận   A=  MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ma trận vng cấp ba (do ma trận lúc hình vng nên người ta gọi ma trận vuông) Các phần tử 1; 5; tạo thành đường chéo gọi đường chéo phần tử 3; 5; tạo thành đường chéo lại gọi đường chéo phụ Ma trận chéo: Ma trận vuông A = ( aij )n gọi ma trận chéo aij = 0; ∀i ̸= j Ký hiệu dạng tổng quát A = dig( a11 ; a22 ; ; ann ) Ví dụ: Ma trận   0 A =   = dig(1; 5; 9) 0 ma trận chéo hay ma trận đường chéo Ma trận đơn vị Ma trận chéo cấp n có tất phần tử đường chéo gọi ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In Ví dụ: I2 =  0  0 I3 =   0   0  0   I4 =   0  0 ma trận đơn vị cấp 2, 3, 4 Ma trận tam giác Ma trận vuông A = ( aij )n gọi ma trận tam giác nếu phần tử đường chéo 0, hay aij = 0∀i > j Ví dụ ma trận  ma trận tam giác  A=  0 Ma trận tam giác Ma trận vuông A = ( aij )n gọi ma trận tam giác nếu phần tử đường chéo 0, hay aij = 0∀i < j 1.1 MA TRẬN Ví dụ ma trận   0 A=  ma trận tam giác Ma trận tam giác ma trận tam giác gọi chung ma trận tam giác Ma trận khơng Ma trận cấp m × n có tất phần tử khơng, ký hiệu 0m×n (đôi 0), gọi ma trận không Ma trận khơng cấp m × n có dạng  A = (0) m × n ··· ··· 0 ··· 0  =    0    Ma trận chuyển vị Cho ma trận A = ( aij )m×n , ma trận có cấp n × m nhận từ ma trận A cách đổi dòng thành cột (hoặc đổi cột thành dòng) gọi ma trận chuyển vị A, ký hiệu A T , nghĩa A T = ( a ji )n×m Ví dụ ma trận chuyển vị ma trận cấp ×      A=   10 11 12 ma trận có cấp × sau   10 A T =  11  12 Ma trận đối xứng Ma trận vuông A = ( aij )n gọi ma trận đối xứng phần tử đối xứng qua đường chéo nhau, nghĩa aij = a ji ∀i, j Ví dụ ma trận cấp × sau   A=     −2  −2 −1 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 30 Tìm b để ma trận sau khả nghịch:   −2  −1 −2     −4 −2 −6  −2 b Tính định thức sau: a) a+b c b+c a c+a b b) a b c b c a c a b c) 4 4 1 1 1 1 1 d) Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau (nếu có) cách áp dụng công thức định thức: a)  b)        1.4 Hệ phương trình tuyến tính tổng qt 31 1.4 Hệ phương trình tuyến tính tổng qt Một hệ phương trình tuyến tính tổng qt R gồm m phương trình, n ẩn số hệ có dạng:  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn    a x + a x + · · · + a x 22 2n n 21     am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = b1 = b2 (1.1) = bm Ở ta đặt A = ( aij )m×n ma trận hệ số, B = (b1 , , bm ) T ma trận cột tự X = ( x1 , , xn ) T ma trận ẩn Mỗi α = (α1 , , αn ) T thỏa mãn tất phương trình gọi nghiệm hệ, hai hệ phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Khi Hệ phương trình (1.1) viết dạng ma trận sau: AX = B Một số vấn đề cần phải khảo sát hệ phương trình là: Hệ có nghiệm? Cách giải hệ phương trình tuyến tính trường hợp có nghiệm Đặt A = [ A | B ], ma trận hệ số bổ sung thêm cột tự do, gọi ma trận bổ sung ma trận hệ số hệ Định lý 1.13 (Croneckerr-Capeli) Hệ phương trình tuyến tính (1.1) có nghiệm hạng ma trận mở rộng hạng ma trận hệ số nó, nghĩa là: r ( A) = r ( A) = r Hơn nữa: - Nếu r = n hệ có nghiệm nhất, - Nếu r < n hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc vào n − r tham số Dựa vào định lý có phương pháp sau gọi phương pháp khử Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính 1.4.1 Phương pháp Gauss: - Biến đổi ma trận mở rộng A dạng bậc thang, biến đổi đồng thời xác định ma trận bậc thang tương đương với A hay 32 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH tìm hạng A ( A) - Dựa vào định lý Kronecker - Capeli biện luận số nghiệm hệ - Hệ cho tương đương với hệ ứng với ma trận bậc thang tương đương với A giải hệ cách giải ngược từ lên Chú ý: Trong trình biến đổi ma trận A xuất dịng có dạng (0 0| a), a ̸= kết luận hệ vơ nghiệm Ví dụ Giải hệ phương trình:    x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 − 2x2 2x1 + 12x2 + 6x3 − 18x4 − x5   3x1 + 18x2 + 8x3 − 23x4 − 6x5 = −4 = −5 = −2 Lời giải Xét ma trận mở rộng  −5 −2 −4 A =  12 −18 −5 −5  18 −23 −6 −2  −5 −2 −4  −8 −1 −8 10  −5 −2 −4 −8 −1  0   d2 →d2 −2d1 d3 →d3 −3d1  −→  d3 → d3 − d2  −→ 0 0 0 0 Vậy hệ tương đương với    x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 − 2x2 2x3 − 8x4 − x5   x5 = −4 =3 =7 Do r ( A) = r ( A) = < với số ẩn nên hệ cho có vơ số nghiệm có − = ẩn tự Ta chọn x2 = a, x4 = b ẩn tự suy x1 = −6a − 3b, x2 = a, x3 = + 4b, x4 = b, x5 = 1.4 Hệ phương trình tuyến tính tổng qt 33 Vậy nghiệm tổng qt hệ (−6a − 3b, a, + 4b, b, 7) Ví dụ Giải hệ phương trình:   5x1 − 2x2 + 5x3 − 3x4 4x1 + x2 + 3x3 − 2x4   2x1 + 7x2 − x3 =3 =1 = −1 Đáp án: Hệ vô nghiệm 1.4.2 Phương pháp Cramer: Phương pháp Cramer hay phương pháp định thức dùng trường hợp hệ (1.1) có số phương trình số ẩn (m = n) Khi A ma trận vng nên tính định thức ma trận A, đặt ∆ = det A, ∆ j = det A j , A j ma trận nhận từ A cách thay cột thứ j ma trận A cột tự B, cột khác giữ nguyên Khi đó, xảy trường hợp sau: 1/ Hệ có nghiệm ∆ ̸= 0, nghiệm ∆ hệ x j = ∆j , j = 1, , n Trường hợp hệ gọi hệ Cramer, nghĩa hệ phương trình tuyến tính hệ Cramer hệ có số ẩn số phương trình có nghiệm 2/ ∆ = tồn j cho ∆ j ̸= Khi hệ vơ nghiệm 3/ ∆ = ∆ j = với j = 1, , n Chúng ta kết luận hệ vô số nghiệm hệ vô nghiệm Khi đó, dùng phương pháp khử Gauss để giải Ví dụ Giải hệ sau   2x + y − z y + 3z   2x + y + z =1 =3 = −1 Lời giải Ta có ∆ = 4, ∆1 = −12, ∆2 = 24, ∆3 = −4 Do ta tìm nghiệm ( x, y, z) = (−3, 6, −1) 34 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ví dụ Giải biện luận hệ phương trình sau theo a    ax1 + x2 + x3 x1 + ax2 + x3   x1 + x2 + ax3 =1 =a = a2 Hướng dẫn Tính định thức ma trận hệ số detA = ( a + 2)( a − 1)2 Do ta biện luận a ̸= −2, a ̸= tìm nghiệm theo phương pháp định thức ta nghiệm x1 = − aa+ +2 , x = a +2 , x3 = ( a +1)2 a +2 Nếu a = −2 giải theo phương pháp khử Gauss suy hệ vơ nghiệm, a = hệ có vơ số nghiệm (1 − α − β, α, β) 1.5 Hệ phương trình tuyến tính Một hệ phương trình tuyến tính R gồm m phương trình, n ẩn số hệ có dạng:  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn    a x + a x + · · · + a x 22 2n n 21     am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn =0 =0 (1.2) = Dạng ma trận hệ phương trình tuyến tính AX = 0.Chú ý hệ ln có nghiệm xi = 0, i = 1, , n gọi nghiệm tầm thường Ví dụ Tìm nghiệm tổng qt hệ phương trình sau  x − y + 5z − t     x + y − 2z + 3t  3x − y + 8z + t    x + 3y − 9z + 7t =0 =0 =0 = Hướng dẫn Biến đổi sơ cấp dòng ma trận A đưa ma trận bậc thang hệ tương đương với 1.6 Một số mơ hình tuyến tính phân tích kinh tế x − y + 5z − t 2y − 7z + 4t 35 =0 =0 Chọn = a, t = b ẩn tự ta có nghiệm tổng quát hệ (− 32 a − b, 72 a − 2b, a, b), a, b ∈ R 1.5.1 Mối liên hệ hệ phương trình tuyến tính hệ phương trình tuyến tính tổng qt Xét hệ phương trình tuyến tính tổng qt AX = B (1) hệ tương ứng AX = (2) Định lý 1.14 Hiệu hai nghiệm hệ (1) nghiệm hệ (2) Tổng nghiệm hệ (1) nghiệm hệ (2) nghiệm hệ (1) 1.6 Một số mơ hình tuyến tính phân tích kinh tế 1.6.1 Mơ hình cân thị trường a) Thị trường loại hàng hố Trong phân tích kinh tế người ta sử dụng hàm cung Qs hàm cầu Qd để biểu thị phụ thuộc lượng cung (là lượng hàng hoá mà người bán hàng hoá), lượng cầu (là lượng hàng hoá mà người mua hàng mua) vào giá hàng hoá P Giả sử Qs , Qd có dạng tuyến tính Qs = − a + bP; Qd = c − dP, số a, b, c, d > Mơ hình cân thị trường Qs = Qd ta +c cd− ad tìm giá cân P = ba+ d lượng cân Qs = Qd = b+d a) Thị trường nhiều loại hàng hoá liên quan Trong thị trường nhiều loại hàng hoá, giá trị mặt hàng ảnh hưởng tới lượng cung lượng cầu mặt hàng khác Hàm cung hàm cầu thị trường hàng hố trường hợp tuyến tính có dạng: Qsi = ai0 + ai1 P1 + ai2 P2 + · · · + ain Pn Qdi = bi0 + bi1 P1 + bi2 P2 + · · · + bin Pn ; i = 1, 2, , n 36 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Trong Qsi , Qdi , Pi tương ứng là: Lượng cung, lượng cầu, giá hàng hoá thứ i Mơ hình cân thị trường n loại hàng hố biểu diễn hạng hệ phương trình tuyến tính Qsi = Qdi , i = 1, 2, , n Giải hệ ta tính giá cân n hàng hố, từ tính hàm cung hàm cầu giá cân Ví dụ Xét thị trường gồm loại hàng hoá Hàm cung, hàm cầu giá chúng thoả mãn điều kiện sau QS1 = −45 + 18P1 − P2 − P3 ; QS2 = −10 − P1 + 13P2 − P3 ; QS3 = −15 − P1 − P2 + 10P3 ; Q D1 = 130 − 6P1 + 2P2 Q D2 = 220 + 2P1 − 7P2 + P3 Q D3 = 215 + 3P2 − 5P3 Hãy tìm giá lượng cân ba mặt hàng Lời giải Tại thời điểm cân thị trường, ta có Qsi = Qdi , i = 1, 2, Do ta có hệ phương trình sau:   24P1 − 3P2 − P3 −3P1 + 20P2 − 2P3   − P1 − 4P2 + 15P3 = 175 = 230 = 230 Giải hệ phương pháp khử phương pháp định thức, đơn giá thời điểm cân ( P1 , P2 , P3 ) = (10, 15, 20), ( Qs1 , Qs2 , Qs3 ) = (100, 155, 160) thoả mãn Pi , Qi ≥ 0, i = 1, 2, 1.6.2 Mơ hình Input-Output Leontief Mơ hình cịn gọi mơ hình I/O hay mơ hình cân đối liên ngành Nó đề cập đến việc xác định mức tổng cầu sản phẩm ngành 1.6 Một số mơ hình tuyến tính phân tích kinh tế 37 sản xuất tổng thể kinh tế Mơ hình dựa giả thiết đặt sau đây: Mỗi ngành sản xuất loại sản phẩm hàng hoá sản xuất số hàng hoá phối hợp theo tỉ lệ định Trong trường hợp thứ hai ta coi tổ hợp hàng hoá theo tỉ lệ cố định mặt hàng Các yếu tố đầu vào sản xuất phạm vi ngành sử dụng theo tỉ lệ cố định Tổng cầu sản phẩm ngành bao gồm: - Cầu trung gian từ phía nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm cho q trình sản xuất - Cầu cuối từ phía người sử dụng loại sản phẩm để tiêu dùng xuất khẩu, bao gồm hộ gia đình, nhà nước, hãng xuất Giả sử kinh tế ngành gồm n ngành: Ngành 1, ngành 2, , ngành n cịn có phần khác kinh tế gọi ngành kinh tế mở, khơng sản xuất hàng hoá mà tiêu dùng sản phẩm n ngành kinh tế Để thuận tiện cho việc tính chi phí cho yếu tố sản xuất, ta biểu diễn lượng cầu tất loại hàng hoá dạng giá trị tức đo tiền (với giả thiết thị trường ổn định) Tổng cầu sản phẩm hàng hố ngành i tính theo cơng thức xi = xi1 + xi2 + · · · + xin + bi ; i = 1, 2, , n, Ở đây: xi tổng cầu hàng hoá ngành i xik giá trị hàng hoá ngành i mà ngành k cần sử dụng cho việc sản xuất (cầu trung gian); bi giá trị hàng hoá ngành i cần tiêu dùng xuất (cầu cuối cùng) Đặt aik = xxik , i, k = 1, 2, , n Ở aik gọi tỉ phần chi phí k ngành k trả cho việc mua hàng hố ngành i tính đơn vị giá trị hàng hố ngành k Ví dụ aik = 0.2 nghĩa để sản xuấn 1$ giá trị hàng hoá, ngành k phải mua 0.2$ hàng hoá ngành i, ta gọi aik hệ số chi phí cho yếu tố sản xuất hay hệ số kỹ thuật (0 ≤ aik < 1) Trong đó, a jk thoả mãn điều kiện: a jk ≥ 0, ∑in=1 aij ≤ 1(∗) Khi hệ phương trình (1) trở thành: 38 MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH  x1    x     xn = a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn + b1 = a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn + b2 = a1 x1 + a2 x2 + · · · + ann xn + bn  (1 − a11 ) x1 − a12 x2 − · · · − a1n xn     − a x − (1 − a ) x − · · · − a x 22 2n n 21 ⇔     a1 x1 − a2 x2 − · · · − (1 − ann ) xn = b1 = b2 (1.3) (1.4) = bn Viết dạng sau: X = AX + B hay ( I − A) X = B(2), A = ( aij )n , X = ( x1 , , xn ) T , B = (b1 , b2 , , bn ) T Ma trận A gọi ma trận hệ số đầu vào, hay ma trận hệ số kỹ thuật, ma trận X tổng cầu B ma trận cuối Với điều kiện (∗) phương trình (2) ln có nghiệm X = ( In − A)−1 B Ví dụ: Xét mơ hình Input – Output mở gồm ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào   0, 0, 0,  0, 0, 0,  0, 0, 0, a) Nêu ý nghĩa kinh tế hệ số a33 = 0, b) Tìm nhu cầu ngành kinh tế mở, biết sản lượng ngành kinh tế (150, 120, 160) c) Tìm mức sản lượng ngành kinh tế trên, biết ngành kinh tế mở yêu cầu lượng sản phẩm trị giá (10, 25, 15) Lời giải a) a33 = 0, trị giá lượng nguyên liệu hàng hoá ngành phục vụ cho ngành sản xuất lượng hàng hoá trị giá (đơn vị tiền tệ) Gọi x1 , x2 , x3 trị giá lượng hàng hóa ngành kinh tế thứ 1, 2, cần sản xuất Điều kiện: x j ≥ với ≤ j ≤ Khi ( I − A ) −1 X = D (1) Bài tập 1.6 Một số mơ hình tuyến tính phân tích kinh tế 39 Tìm điều kiện x y cho ma trận sau khả nghịch  x  A=  y y x 0 y x  0   y  x Tìm điều kiện c để ma trận sau khả nghịch   −c  −1  2c −4 Cho ma trận   a b c  A =  −a −b −c Chứng minh ma trận A khả nghịch với a, b, c ∈ R tìm A−1 phương pháp định thức Tìm điều kiện a, b, c để hệ phương trình sau có nghiệm, có vơ số nghiệm vô nghiệm R    x1 + 3x2 + x3 − x1 − 2x2 + x3   3x1 + 7x2 − x3 Giải hệ phương trình sau    x1 + x2 + 2x3 − x4  3x − x + 4x  x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4    x1 + x2 − 5x3 + 6x4 Giải hệ phương trình sau  x1 + x2 − 3x3 + 7x4    2x − 2x + 6x  2x1 − x2 + x4    3x1 − x2 − 2x3 + 2x4 =a =b = c =4 =2 =0 = −3 = −4 = −2 =2 = MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 40 Giải biện luận hệ phương trình sau theo a a) b)    ax1 + x2 + x3 x1 + ax2 + x3   x1 + x2 + ax3 c)    (1 + a ) x1 + x2 + x3 x1 + (1 + a ) x2 + x3   x1 + x2 + (1 + a ) x3 =1 =1 =  2x1 + x2 + x3 + x4     x + 2x − x + 4x  x + 7x − 4x + 11x    4x1 + 8x2 − 4x3 + 16x4 =1 =a = a2 =1 =2 =m = m + Giải hệ phương trình tuyến tính sau   − x1 + 10x2 − x3 − 11x4 = 4x1 + 2x3 − 4x4 =0   5x1 − 4x2 + 3x3 + x4 = Xét thị trường gồm loại hàng hoá Hàm cung, hàm cầu giá chúng thoả mãn điều kiện sau QS1 = −2 + 4P1 − P2 − P3 ; Q D1 = 10 − 2P1 + P2 + P3 QS2 = −1 + P1 + 4P2 − P3 ; Q D2 = + P1 − 2P2 + P3 QS3 = −2 − P1 + P2 + 4P3 ; Q D3 = + P1 + 2P2 − 2P3 Hãy tìm giá lượng cân ba mặt hàng 1.6 Một số mơ hình tuyến tính phân tích kinh tế 41 10 Xét mơ hình Input – Output mở gồm ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào   0, 0, 0,  0, 0, 0,  0, 0, 0, 11 Giải hệ phương trình sau a) b)   2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4   9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 =6 =4 =   2x1 − 3x2 − x3 + 2x4 3x1 + 5x2 + 9x3 − 4x4   4x1 − 3x2 + 5x3 + 7x4 =3 = −8 = 14 Tìm mức sản lượng ngành kinh tế trên, biết ngành kinh tế mở yêu cầu lượng sản phẩm trị giá (10, 5, 6) CHƯƠNG KHÔNG GIAN VÉC TƠ Tài liệu tham khảo Danh mục từ khóa 43 44 Tài liệu tham khảo [1] H Rademacher, Higher Mathematics from an Elementary point of view, Birkhauser, 1983 [2] Martin Aigner and Gunter M Ziegler, Proofs from the book, Springer, 1999 [3] T Andreescu, R Gelca, Mathematical olympiad challenges, Birkhauser, 2002 [4] Loren C Larson, Problem-Solving through problems, Springer-Verlag, 1983 [5] L E Dickson, New first course in the theory of equations John Wiley & Sons, 1946 [6] Judita Cofman, What to solve? Problems and Suggestions for Young Mathematicians, Clarendon Press-Oxford, 1989 [7] Nguyễn Hữu Điển, Phương pháp Đirichle ứng dụng, NXBKHKT, 1999 [8] Nguyễn Hữu Điển, Phương pháp Quy nạp toán học, NXBGD, 2000 [9] Nguyễn Hữu Điển, Phương pháp Số phức với hình học phẳng, NXB ĐHQG, 2000 [10] Nguyễn Hữu Điển, Những phương pháp điển hình giải tốn phổ thơng, NXBGD, 2001 [11] Nguyễn Hữu Điển, Những phương pháp giải toán cực trị hình học, NXBKHKT, 2001 [12] Nguyễn Hữu Điển, Sáng tạo giải tốn phổ thơng, NXBGD, 2002 [13] Nguyễn Hữu Điển, Đa thức ứng dụng, NXBGD, 2003 [14] Nguyễn Hữu Điển, Giải phương trình vơ định nghiệm ngun, NXBĐHQG, 2004 [15] Nguyễn Hữu Điển, Giải toán phương pháp đại lượng bất biến, NXBGD, 2004 44 Danh mục từ khóa ... trận cấp m × n Định thức ma trận cấp k A gọi định thức cấp k A Chú ý ma trận A tất định thức cấp k A tất cđịnh thức cấp k + trở lên Ta định nghĩa hạng ma trận A, ký hiệu rank( A) r ( A) cấp cao. .. vuông cấp n gọi định thức cấp n MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 24 Ví dụ - Định thức cấp 1: det( a11 ) = a11 - Định thức cấp 2: a11 a12 a21 a22 = a11 a22 − a12 a21 - Định thức cấp. .. thực tập hợp số phức Ma trận đơn vị cấp n Tập hợp tất ma trận cấp m × n Khơng gian véc tơ n chiều R Tập hợp ma trận vuông cấp n trường số thực Ma trận không cấp m × n Ma trận nghich đảo ma trận