bài gỉang toán cao cấp

§3 Các mối liên hệ tuyến tính Các nội dung I Tổ hợp tuyến tính phép biểu diễn tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Phép biểu diễn tuyến tính II Sự phụ thuộc – độc lập tuyến tính Khái niệm phụ thuộc – độc lập tuyến tính Xét phụ thuộc – độc lập tuyến tính hệ vectơ Một số ví dụ III Một số kết PTTT – ĐLTT §3 Các mối liên hệ tuyến tính I Tổ hợp tuyến tính phép biểu diễn tuyến tính Tổ hợp tuyến tính: Trong Lấy m số thực tổng , cho m véc tơ + , +⋯+ ,…, ,…, (∗) lập (1) Định nghĩa: Mỗi tổng (1) gọi tổ hợp tuyến tính hệ véc tơ (∗) Các số , , , gọi hệ số tổ hợp tuyến tính Nhận xét: + Từ hệ véc tơ cho trước lập vô số tổ hợp tuyến tính + Tổng hai tổ hợp tuyến tính , hệ véc tơ ,…, tổ hợp tuyến tính hệ véc tơ đó: + + ⋯+ + = + + + +⋯+ + +⋯ + + + Tích tổ hợp tuyến tính , hệ véc tơ ,…, với số tổ hợp tuyến tính hệ véc tơ đó: + = + + ⋯+ + ⋯+ Định lý: Tập hợp tất tổ hợp tuyến , tính hệ véc tơ n chiều ,…, cho trước: = + +⋯+ , , , ∈ không gian véc tơ không gian Hãy chứng minh định lý 2.Phép biểu diễn tuyến tính Định nghĩa: Ta nói vectơ X biểu diễn tuyến tính qua vectơ , ,…, vectơ X tổ hợp tuyến tính hệ vectơ Nói cách khác, vectơ X biểu diễn tuyến , tính qua hệ vectơ m số = , , , + ,…, tồn cho: + ⋯+ Chú ý: Nếu X biểu diễn tuyến tính qua Y, tức là: tồn số nói X, Y tỷ lệ cho: = ta Ví dụ 1: Cho vectơ = = = ,− , , ⇒ = + Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ , hay không? Trả lời: Có 10 Ví dụ 2: Cho vectơ = , − , , = , − , , = − , , , = − , , , Vectơ X có biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ , , hay không? 11 = , − , , = , − , , = − , , , = − , , , Không Trả lời: ????? 12 Nhận xét: Vectơ biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ chiều: 0n  0.X1  0.X    0.X n Biểu diễn tầm thường Khi X biểu diễn tuyến tính qua hệ véc tơ , ,…, ? 13 Trả lời: Xét hệ thức: = + + ⋯+ Thay số ta được:  X1   X2   Xm   X          1         m                              14 Đây thực chất hệ phương trình tuyến tính m ẩn số:  X1  A      rộng là: , ,…, với ma trận mở X2  Xm       X      Các véc tơ xếp dạng cột 15 Thường giải hệ phương pháp Gauss: + Nếu hệ vô nghiệm X không biểu diễn tuyến tính qua , ,…, + Nếu hệ có nghiệm X biểu diễn , tuyến tính qua ,…, 16 + Nếu hệ có vô số nghiệm X biểu diễn tuyến tính qua , ,…, vô số cách Ví dụ 1: Hãy biểu diễn tuyến tính véc tơ X = (2, 1, –1) qua hệ véc tơ: Giải: X1  1,3, 2   X   2,5,1  X   3,7,5  17 Thay số ta Đs: = −30 + 49 − 22 18 Ví dụ 2: Cho hệ véc tơ X1  1,  2, 3,   X   2, 3,  1,   X   3, 4, 3,    Với giá trị k véc tơ X = (1, – 3, – 4, k) biểu diễn tuyến tính qua hệ véc tơ cho ? 19 Giải: Giả sử ta có: X  k1X1  k X  k X Thay số ta được: 1 2  3    2   3     3  k1    k    k       3   1     4          0 5  2  k  20