Bài giảng toán cao cấp A3

Bài giảng Toán cao cấp A3 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mặt bậc hai Cho hàm hai biến z  f  x, y  Đồ thị mặt cong khơng gian R xác định G  f    x, y,f  x, y     /  x, y   Df VD1: Đồ thị hàm z   x  y mặt phẳng qua ba điểm 1, 0,  ,  0,1,  ,  0, 0,1 VD2: Khảo sát đồ thị hàm z  x  y Nhận xét: i  x, y   ii Đồ thị đối xứng qua hai mặt x  0, y  cắt iii hai mặt theo parabol z  y2 , z  x Đồ thị cắt mặt phẳng z  h  theo đường tròn x  y  h ,z  Như vậy, h thay đổi từ đến  đường tròn vẽ nên đồ thị, gọi mặt paraboloit eliptic Ngồi cịn khảo sát số mặt bậc hai có phương trình tổng qt Ax  By  Cz  2Dxy  2Eyz  2Fxz  Gx  Hy  Iz  K  có hệ số bậc hai khác không Các trường hợp suy biến x   : tập trống x  y  z  : điểm gốc tọa độ  0, 0,  x  0, y  0, z  : Các mặt Oyx, Oxz, Oxy x  y  : Đường thẳng giao hai mặt x  0, y  Các mặt bậc hai tắc Tên Phương trình Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút Đồ thị Bài giảng Toán cao cấp A3 Elipxoit Paraboloit eliptic x y2 z2   1 a b2 c2 z x y2  a b2 Paraboloit hyperbolic x y2 z  a b Hyperboloit tầng x y2 z2   1 a b2 c2 Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút Bài giảng Toán cao cấp A3 Hyperboloit hai tầng x y2 z2    1 a b2 c2 Mặt trụ eliptic x y2  1 a b2 Mặt trụ hyperbolic x y2  1 a b2 Mặt trụ parabolic y2  2px Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút Bài giảng Tốn cao cấp A3 Mặt nón bậc hai x y2 z2   0 a b2 c2 Chương TÍCH PHÂN BỘI Bài TÍCH PHÂN HAI LỚP 1.1 Bài toán mở đầu – thể tích hình trụ cong Tính thể tích hình trụ giới hạn bởi: đáy miền D  [a,b] [c,d]  , mặt xung quanh song song trục Oz , phía giới hạn mặt S có phương trình z = f(x, y) Để tính thể tích V khối trụ, ta chia đáy D thành n phần nhỏ không dẫm lên nhau: D1 , D2 , , Dn có diện tích SD , SD , , SD n Trong Di ta lấy điểm M i (x i , yi ) tùy ý Khi đó, khối trụ chia thành n khối trụ nhỏ, gọi tên thể tích Vi có đáy Di chiều cao f (M i ) Suy thể tích V khối trụ xấp xỉ n n i 1 i 1  Vi   f (Mi )SDi  Vn Gọi d i đường kính Di đặt d  maxd i đường kính phép chia Nếu ta chia miền D mịn, nghĩa n   Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút Bài giảng Toán cao cấp A3 cho d  Vn gần với V Vậy ta có n V  lim Vn  lim  f (Mi )SDi n  d 0 i 1 1.2 Định nghĩa tính chất tích phân hai lớp 1.2.1 Định nghĩa Cho hàm số f (x, y) xác định miền D đóng bị chặn mặt phẳng Oxy Ta chia miền D (còn gọi phân hoạch miền D ) cách tùy ý thành n phần không dẫm lên nhau: D1 , D2 , , Dn có diện tích SD , SD , , SD Trong Di ta chọn n n điểm tùy ý M i (x i , yi ) gọi I n   f (Mi )SD tổng tích phân hàm số f (x, y) i i 1 miền D ứng với phân hoạch miền D cách chọn điểm M i Gọi d i đường kính Di đặt d  maxd i Nếu n   cho max di  n mà giới hạn I  lim  f (Mi )SD tồn hữu hạn, không phụ thuộc vào cách chia miền D d 0 i i 1 cách chọn điểm M i số thực I gọi tích phân hai lớp (hay tích phân kép, tích phân bội hai) hàm số f (x, y) miền D , kí hiệu I   f (x, y) dS D Trong đó: f (x, y) gọi hàm dấu tích phân, D miền lấy tích phân, dS yếu tố diện tích ► Chú ý: i Xét phân hoạch miền D đường thẳng song song với Ox, Oy ta x  S  xy Khi n   S     dS  dxdy Vậy ta có y  I   f (x, y)dxdy D ii Nếu tồn tích phân  f (x, y) dxdy ta nói hàm f (x, y) khả tích miền D D 1.2.2 Đường cong trơn định lý tồn tích phân hai lớp Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút Bài giảng Toán cao cấp A3 a Đường cong trơn Trong mặt phẳng Oxy , xét đường cong C có phương trình tham số  x  x(t) , t     y  y(t) Nếu x '(t), y'(t) liên tục [x'(t)]2  [y'(t)]2  0, t   ta nói C đường cong trơn Nếu khơng tồn x '(t ), y'(t ) x '(t )  y'(t )  ta nói điểm M (x(t ), y(t )) điểm kỳ dị đường cong C Nếu đường cong C hợp hữu hạn đoạn cong trơn ta nói C đường cong trơn khúc (hay trơn đoạn) b Định lý tồn tích phân hai lớp Nếu hàm số f (x, y) liên tục miền D  trơn khúc f (x, y) khả tích D đóng, bị chặn có biên đường cong 1.2.3 Tính chất tích phân hai lớp Cho f g hàm khả tích miền đóng, bị chặn D   Khi i)   f (x, y) dxdy    f (x, y)dxdy D ii) D  [f(x,y)+g(x,y)]dxdy   f (x, y)dxdy   g (x, y)dxdy D iii) D D Nếu D chia thành hai miền D1 , D2 không dẫm lên  f (x, y)dxdy   f (x, y)dxdy   f (x, y)dxdy D iv) D1 D2 Nếu (x, y)  D, f(x, y)  g(x, y)  f (x, y)dxdy   g (x, y)dxdy D v) D Giả sử M , m tương ứng giá trị lớn giá trị nhỏ f (x, y) D Khi m.S D   f (x, y)dxdy  M S D D vi) (Định lý giá trị trung bình) Tồn điểm M  D cho  f (x, y)dxdy  f (M)S D D Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút Bài giảng Toán cao cấp A3 1.3 Cách tính tích phân hai lớp 1.3.1 Định lý Fubini: Đưa tích phân hai lớp tích phân lặp Giả sử D miền đóng, bị chặn, có biên trơn khúc có biểu diễn dạng ‘’hình thang cong’’ theo y: D  (x, y) a  x  b, y1 (x)  y  y2 (x) viết gọn a  x  b  y1 (x)  y  y2 (x) D :  Khi đó, hàm f (x, y) khả tích D  D y2 (x) b  y2 (x) b  f (x, y)dxdy     f (x, y) dy  dx   dx  f (x, y)dy   a  y1 (x) a y1 (x)  Tương tự, D có biểu diễn ‘’hình thang cong’’ theo x: D  (x, y) c  y  d , x1 (y)  x  x2 (y)  D x2 (y) d  x2 (y)  f (x, y)dxdy     f (x, y) dx  dy   dy  f (x, y)dx   c  x1 (y) c x1 (y)  d ► Các trường hợp đặc biệt i) a  x  b c  y  d Nếu D hình chữ nhật D :  b d d b a c c a  f (x, y)dxdy   dx  f (x, y)dy   dy  f (x, y)dx D ii) a  x  b f (x, y) hàm tách biến c  y  d Hơn nữa, D :  x, y nghĩa f (x, y)  g(x) h(y)  D b  d  f (x, y)dxdy    g (x) dx   h(y) dy  a  c  ► Một số lưu ý tính tích phân hai lớp Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút Bài giảng Tốn cao cấp A3 Cận tích phân a  x  b c  y  d gọi cận cụ thể (cận độc lập), cận x1 (y)  x  x (y) y1 (x)  y  y (x) gọi cận khơng cụ thể (cận phụ thuộc) Trong tích phân lặp, tích phân có cận khơng cụ thể đặt (hoặc phía sau) để ưu tiên tính trước, sau đến tích phân với cận cụ thể Khi tính tích phân x2 (y)  f (x, y)dx ta xem y số, cịn tính tích phân x1 (y) y2 (x)  f (x, y)dy ta xem x số y1 (x) Trường hợp miền D biểu diễn định lý ta viết thành tích phân lặp tính Trường hợp miền D chưa biểu diễn, ta thực sau:  Bước 1: Dựa vào phương trình biên D , ta vẽ xác định miền D mặt phẳng Oxy  Bước 2: Chiếu miền D lên trục Ox Oy cho biên D chia thành hai đường cong trơn  Bước 3: Biểu diễn miền D theo nguyên tắc ‘’ từ trái sang phải x , từ lên y ’’, viết tích phân lặp tính Trong trường hợp tổng qt, miền D khơng có dạng định lý ta tìm cách chia D thành miền nhỏ có dạng tính 1.3.2 Một số ví dụ VD1: Tính tích phân I   y3 sin xdxdy D hình chữ nhật D   0  x  D: 1  y    2       3 Ta có I   y sin xdxdy    sin xdx    y dy    cos x  y  15  D   0       Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút Bài giảng Toán cao cấp A3 VD2: Tính tích phân I   xydxdy D miền D phẳng giới hạn y   x , y  x 2  x  Ta có D :  x  y   x Khi 2 x2 2 x I   xydxdy   dx D   xy xydy     2  2 x2 x   dx=  x  2-x  -x dx    2    VD3: Tính tích phân I   (x  y)dxdy với D miền D phẳng kín giới hạn đường thẳng y   x parabol y   x2 Miền D biểu diễn hai dạng khác ta chiếu lên Ox Oy i 1  x  Chiếu lên Ox D :   x  y   x 2 x2 1 x 1 I    x  y dxdy   dx D   x    x  y dy    xy y   x  x  x  x   dx  1 ii Khi 2 x2  dx 117 20 2  y  1  y  D2 :   y  x   y   y  x   y Chiếu lên Oy D  D1  D2 với D1 :  Khi 2 y 2 y I    x  y dxdy   dy D 2 y   x  y dx   dy   x  y dx  2 y 2 y  2 y   2    x x dy     xy  dy      xy      2  y    2 y  2     1   127 56 117   y  y  y  y dy   y  ydy    2 60 15 20 Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút Bài giảng Tốn cao cấp A3 Qua ví dụ ta thấy, việc chọn hướng chiếu phù hợp làm cho việc tính tích phân đơn giản 1.4 Đổi thứ tự lấy tích phân Ở VD3 ta có hai cách biểu diễn miền D , tùy theo việc chiếu miền D lên trục tọa độ Việc thay đổi cách biểu diễn miền D dẫn đến việc thay đổi thứ tự lấy tích phân lặp gọi đổi thứ tự lấy tích phân Cũng VD3, việc chiếu miền D lên Oy tính tích phân phức tạp Tuy nhiên, đặc điểm hàm dấu tích phân miền lấy tích phân, đơi việc đổi thứ tự bắt buộc Ta thực bước sau: Bước 1: Từ tích phân cho trước, ta biểu diễn vẽ miền D Bước 2: Từ hình vẽ, ta biểu diễn lại miền D theo hướng chiếu khác Bước 3: Viết lại tích phân lặp 1 y VD4: Tính tích phân I   dy  e x dx Ta thấy tích phân  e x dx khơng tính (qua hàm sơ cấp) y Ta thực đổi thứ tự lấy tích phân 0  y  y  x 1 Ta có D :  0  x  Khi 0  y  x Chiếu lên Ox , ta D :  1 1 2 x e 1 I   dy  e x dx   dx  e x dy    ye x dx   e x xdx  0 0 0 y x VD5: Tính tích phân I   dy  sin(x  1)dx y Tương tự câu a), tích phân  sin(x 1)dx khơng tính y (qua hàm sơ cấp) Ta thực đổi thứ tự lấy tích Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút 10 Bài giảng Tốn cao cấp A3 Câu 157 Tìm nghiệm tổng qt phương trình vi phân (1  y )dx  x ln xdy  a) x  y  xy ln x  C b) ln | ln x |  arcsin y  C c) ln | ln x |   y  C d) ln | ln x |  arctan y  C Câu 158 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân 1 y2 dx   x dy  y a) arctan x   y  C b) arctan x  ln |1  y | C c) ln | x   x |   y  C d) ln | x   x |  ln(1  y )  C Câu 159 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân  y dx  xy ln xdy  a) x  y  xy ln x  C b) ln | ln x |  arcsin y  C c) ln | ln x |   y  C d) ln | ln x |  arctan y  C Câu 160 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân x( y  1)dx  y ( x  1)dy  a) arctan( x  1)  arctan( y  1)  b) arctan( x  y )  C c) arctan x  arctan y  C d) ln( x  1)  ln( y  1)  C Câu 161 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân xdy  y ln xdx  ln x C x a) y  ln x  C b) y  c) ln | y | x(1  ln x)  C d) ln | y | ln x  C Câu 162 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút 106 Bài giảng Toán cao cấp A3 x( y  1)dx  y ( x  1)dy  a) arctan( x  1)  arctan( y  1)  C b) arccot( x  1)  arccot( y  1)  C c) ln | x  1|  ln | y  1| C d) arctan x  arctan y  C Câu 163 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân x y  1dx  y x  1dy  a) x2  y 1 C b) ln( x  x  1)  ln( y  y  1)  C c) ln( x  x2  1)  ln( y  y  1)  C d) x2   y   C Câu 164 Phương trình vi phân sau phương trình đẳng cấp? a) dy x  y   dx x5 c) dy x  y  dx xy b) dy x  y  dx x y d) dy x y  y x  dx x  y2 Câu 165 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '  a) y  x C  ln | x | b) y  x C  ln | x | c) y  x C  ln | x | d) y  x C ln | x | y y2  x x2 Câu 166 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân xy '  y  x a) y  x(C  ln | x |) b) y  x(C  ln | x |) c) y  x / (C  ln | x |) d) y  x / (C  ln | x |) Câu 167 Phương trình vi phân sau phương trình vi phân tồn phần? a) ( ye x  xe x )dx  (e x  y sin y )dy  Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút 107 Bài giảng Toán cao cấp A3 b) ( ye x  xe x )dx  (e x  x sin y)dy  c) ( ye x  xe y )dx  (e x  y sin y)dy  d) ( ye x  xe y )dx  (e x  y sin y )dy  Câu 168 Phương trình vi phân sau phương trình vi phân toàn phần? a) ( y sin x  cos y )dx  (cos x  x sin y )dy  b) ( y sin x  cos y )dx  (cos x  x sin y )dy  c) ( y sin x  cos y )dx  (cos x  x sin y )dy  d) ( y sin x  cos y )dx  (cos x  x sin y )dy  Câu 169 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân ydx  xdy  a) xy  C b) y  Cx c) x  y  C d) x  y  C Câu 170 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân: ( y  e x )dx  xdy  a) xy  e x  C b) xy  e x  C c) x  y  e x  C d) x  y  e x  C Câu 171 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân: (e y  1)dx  ( xe y  1)dy  a) xy  xe y  C b) xy  xe y  C c) x  y  xe y  C d) x  y  xe y  C Câu 172 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân: (1  cos y )dx  (1  x sin y ) dy  a) xy  x cos y  C b) xy  x cos y  C c) y  x  x cos y  C d) x  y  x cos y  C Câu 173 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân  x  x  dy  ( y  ln y)dx  y a) x ln y  xy  C Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút b) x ln y  xy  C 108 Bài giảng Toán cao cấp A3 d) y ln x  xy  C c) y ln x  xy  C Câu 174 Tìm nghiệm tổng quát phương trình: (cos y  y sin x) dx  ( x sin y  cos x) dy  a) x cos y  y cos x  C b) x cos y  y cos x  C c) x sin y  y sin x  C d) x sin y  y sin x  C Câu 175 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ' a) y  C x2 b) y  2C x3 c) y  C x y 0 x d) y   C x Câu 176 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân (1  x ) arctan x y ' y  a) y ( x  x3 / 3)  y /  C b) y  C.e1/arctan c) y  C.arctan x d) y  C / arctan x x Câu 177 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y 'cos x  y  a) y  Ce  tan x b) y  Ce tan x c) y  C  etan x d) y  eC tan x Câu 178 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ' y  a) y  Ce 3 x b) y  C  e3 x c) y  Ce3 x d) y  C  e3 x Câu 179 Phương trình y ' y cos x  có nghiệm tổng quát là: a) y  Cxe cos x b) y  Cx  esin x c) y  C  e sin x d) y  C.esin x Câu 180 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân (1  sin x) y ' y cos x  a) y ( x  cos x)  sin x y /  C b) y  C ln(1  sin x) c) y  C.(1  sin x) d) y  C / (1  sin x) Câu 181 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '(1  tan x)  (1  tan x) y  Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút 109 Bài giảng Toán cao cấp A3 a) y ( x  ln | cos x |)  (tan x) x y /  C b) y  C (1  tan x) c) y  C / (1  tan x) d) y  C ln(1  tan x) Câu 182 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y 'sin x  y cos x a) y  C.cot x b) y  C  tan x c) y  C.sin x d) y  C  sin x Câu 183 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân (1  sin x) y ' y cos x  a) y ( x  cos x)  sin x y /  C b) y  C ln(1  sin x) c) y  C.(1  sin x) d) y  C / (1  sin x) Câu 184 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '( x  x  1)  y (2 x  1) a) y  C  ( x  x  1) b) y  C / ( x  x  1) c) y  C.( x  x  1) c) y  C.(2 x  1) Câu 185 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '(1  e x )  e x y  a) y( x  e x )  e x y /  C b) y  C ln(1  e x ) c) y  C (1  e x ) d) y  C / (1  e x ) Câu 186 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '  x  y  a) y  C ( x   x ) b) y arctan( x / 2)  C c) y arcsin( x / 2)  C d) y ( x   x )  C Câu 187 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân xy ' y  3x a) y  x  C / x b) y  x  Cx c) y  x3  C d) y  x  C Câu 188 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân xy ' y  x3 a) y  x  C / x b) y  x  Cx Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút c) y  x3  Cx d) y  2 x3  Cx 110 Bài giảng Tốn cao cấp A3 Câu 189 Tìm nghiệm tổng qt phương trình vi phân xy ' y  x a) y  x  C / x b) y  x  Cx c) y  x3  Cx d) y  x3  C / x Câu 190 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân xy ' y  x3 a) y  x  C / x b) y  x  Cx c) y  x3  Cx d) y  x3  C / x Câu 191 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ' y  e2 x a) y  ( x  C )e2 x b) y  ( x  C )e x c) y  ( x  C )e x d) y  ( x  C )e x PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Câu 192 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '' y '/ x  a) y  C1x3  C2 b) y  C1 / x3  C2 c) y  C1 / x2  C2 d) y  C1 ln | x | C2 Câu 193 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '' y '/ x  a) y  C1 x  C2 b) y  C1 / x  C2 c) y  C1 / x2  C2 d) y  C1 ln | x | C2 Câu 194 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '' y '/ x  a) y  C1 / x3  C2 b) y  C1x3  C2 c) y  C1x2  C2 d) y  C1 / x2  C2 Câu 195 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '' y '/ x  a) y  C1 x2 b) y  C1x3  C2 c) y  C1x3  C2 d) y  C1 x2  C2 / x Câu 196 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ''  x Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút 111 Bài giảng Toán cao cấp A3 a) y  x2  C1x  C2 b) y  x3  C1x  C2 c) y  x  Cx d) y  x3  Cx Câu 197 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ''  cos x a) y  sin x  Cx b) y  cos x  C c) y   sin x  C1 x  C2 d) y  cosx  C1 x  C2 Câu 198 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ''  e x /2 a) y  2e  x /2  C b) y  4e x/2  C1x  C2 c) y  2ex /2  C1x  C2 d) y  4e x /2  C1x  C2 Câu 199 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ''cos x   a) y   ln | sin x | C1 x  C2 c) y  ln | sin x | C1 x  C2 c) y   ln | cos x | C1 x  C2 d) y  ln | cos x | C1 x  C2 Câu 200 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân e2 x y ''  a) y  2e2 x  C1x  C2 b) y  2e2 x  C1x  C2 c) y  e2 x  C1 x  C2 d) y  e2 x  C1x  C2 Câu 201 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '' a) y  arctg ( x / 2)  C1 x  C2 c) y   C1 x  C2  x2 b) y  ln( x2  4)  C1 x  C2 d) y  ln x2  C1 x  C2 x2 Câu 202 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '' a) y  ln | cos x | C1 x  C2 Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút 4x 0 (4  x ) 0 cos x b) y   ln | cos x | C1 x  C2 112 Bài giảng Toán cao cấp A3 c) y  tg x  C1 x  C2 d) y  ln | sin x | C1 x  C2 Câu 203 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '' y ' y  a) y  e2 x (C1 cos x  C2 sin x) b) y  e x (C1 cos 2x  C2 sin 2x) c) y  C1 cos x  C2 sin x d) y  C1e x  C2e2 x Câu 204 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '' y  a) y  e2 x (C1 cos x  C2 sin x) b) y  e x (C1 cos 2x  C2 sin 2x) c) y  C1 cos x  C2 sin x d) y  C1e2 x  C2e2 x Câu 205 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '' y ' y  a) y  C1 cos x  C2 sin x b) y  e x (C1 cos 2x  C2 sin 2x) c) y  e x (C1e x  C2e2 x ) d) y  C1e x  C2e2 x Câu 206 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '' y  a) y  C1e x  C2e x b) y  (C1 x  C2 )e x c) y  C1  C2ex d) y  C1  C2 sin x Câu 207 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '' y ' 41 y  a) y  C1e4 x  C2e5 x b) y  C1e4 x  C2e5 x c) y  e4 x (C1 cos5x  C2 sin 5x) d) y  e5 x (C1 cos x  C2 sin x) Câu 208 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '' y ' y  a) y  e3x ( xC1  C2 ) b) y  e3x ( xC1  C2 ) c) y  C1e3x (C1 cos x  C2 sin x) d) y  (C1  C2 )e3x Câu 209 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '' 16 y  Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút 113 Bài giảng Toán cao cấp A3 a) y  C1e2 x  C2e2 x b) y  C1e2 x  C2e2 x c) y  e2 x (C1 cos x  C2 sin x) d) y  e2 x (C1 cos 2x  C2 sin 2x) Câu 210 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '' 22 y ' 121y  a) y  e11x ( xC1  C2 ) b) y  e11x ( xC1  C2 ) c) y  C1e11x (C1 cos x  C2 sin x) d) y  (C1  C2 )e11x Câu 211 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '' y ' y  a) y  C1ex  C2e3x b) y  C1e x  C2e3x c) y  C1e x  C2e3x d) y  C1e x  C2e3x Câu 212 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '' y ' 10 y  a) y  ex (C1 cos3x  C2 sin 3x) b) y  e3x (C1 cos x  C2 sin x) c) y  e x (C1 cos3x  C2 sin 3x) d) y  e x (C1 cos3x  C2 sin 3x) Câu 213 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân y '' y ' y  a) y  C1e x  C2e2 x b) y  C1e x  xC2e2 x c) y  e x (C1 cos 2x  C2 sin 2x) d) y  e2 x (C1 cos x  C2 sin x) Câu 214 Tìm nghiệm tổng quát phương trình y '' y ' y  2e x a) y  e x  C1 cos x  C2 sin x   2e x b) y  e x  C1 cos x  C2 sin x   e x c) y  e x  C1 cos x  C2 sin x   2e x d) y  e x  C1 cos x  C2 sin x   2e x Câu 215 Tìm nghiệm tổng quát phương trình y '' y '  2sin x  3cos x a) y   sin x  5cos x   C1e  x  C2 Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút 114 Bài giảng Toán cao cấp A3 b) y   sin x  5cos x   C1e  x  C2 c) y   sin x  5cos x   C1e x  C2 d) y   sin x  5cos x   C1e x  C2 Câu 216 Phương trình y '' y ' y  e2 x ( x3  x  2) có nghiệm riêng dang: a) y  x 2e2 x ( Ax3  Bx  Cx  D) b) y  x ( Ax3  Bx  Cx  D) c) y  e2 x ( Ax3  Bx  Cx  D) d) y  Ax3  Bx  Cx  D Câu 217 Phương trình y '' y '  2e2 x có nghiệm riêng dạng: a) y  ( x  A)e x b) y  Ax  B c) y  Ae x d) y  Ax Câu 218 Phương trình y '' y ' 12 y  e2 x ( x  1) có nghiệm riêng dạng: a) y  x ( Ax  Bx  C )e2 x b) y  x( Ax  Bx  C )e2 x c) y  ( Ax  Bx  C )e2 x d) y  ( Ax  B)e2 x Câu 219 Phương trình y '' y ' y  e x x có nghiệm riêng dạng: a) y  (e x  e2 x )( Ax  Bx  C ) b) y  e2 x ( Ax  Bx  C ) c) y  e x ( Ax  Bx  C ) d) y  xe x ( Ax  Bx  C ) Câu 220 Phương trình y '' y ' y  e x x có nghiệm riêng dạng a) y  (e x  e2 x )( Ax  Bx  C ) b) y  xe2 x  Ax  Bx  C c) y  xe x ( Ax  Bx  C ) d) y  e x ( Ax  Bx  C ) Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút 115 Bài giảng Tốn cao cấp A3 Câu 221 Phương trình y '' y ' y  cos x có nghiệm riêng dạng a) y  A sin x b) y  e2 x ( A sin x  B cos x) c) y  e2 x ( A sin x  B cos x) d) y  A sin x  B cos x Câu 222 Phương trình y '' y ' y  e3 x sin x có nghiệm riêng dạng: a) y  A sin x  B cos x  C b) y  e3 x ( A sin x  B cos x) c) y  xe3 x ( A sin x  B cos x) d) y  x( A sin x  B cos x) Câu 223 Phương trình y '' y ' y  x sin x  cos x có nghiệm riêng dạng: a) y  2 x(( Ax  B) sin x  x(Cx  D) cos x) b) y  e  x( Ax  B ) sin x c) y  ( Ax  B) sin x  (Cx  D) cos x d) y  e4 x ( Ax  B) cos x Câu 224 Phương trình y '' y ' 10 y  xe3 x sin x có nghiệm riêng dạng: a) y  xe2 x ( Ax  B)sin x b) y  e3 x [( Ax  B) sin x  (Cx  D) cos x)] c) y  xe3 x [( Ax  B)sin x  (Cx  D) cos x)] d) y  xe3 x ( A sin x  B cos x) Câu 225 Phương trình y '' y ' y  e2 x sin x có nghiệm riêng dạng: a) y  e2 x ( A sin x  B cos x) b) y  xe2 x ( A sin x  B cos x) c) y  x 2e2 x ( A sin x  B cos x) d) y  A sin x  B cos x  C Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút 116 Bài giảng Toán cao cấp A3 ĐÁP ÁN 1C 16C 31D 46C 61B 76 A 91D 106 A 121B 136C 151D 166 A 181B 196 B 211B 2D 17C 32 B 47C 62 A 77 A 92C 107 A 122 D 137 B 152 A 167 A 182C 197 D 212 A 3C 18B 33D 48D 63B 78D 93C 108C 123D 138D 153B 168B 183D 198 D 213 A 4D 19 D 34C 49 B 64 A 79C 94 A 109 A 124 A 139 B 154C 169 A 184C 199C 214 A 5C 20 A 35 A 50 B 65 A 80 D 95 B 110 D 125 A 140C 155 D 170 B 185D 200C 215 A 6A 21A 36 A 51B 66 A 81B 96C 111B 126 A 141A 156 D 171C 186 D 201A 216 B 7B 22 D 37C 52 B 67 A 82C 97 A 112 A 127 B 142C 157 B 172 D 187 B 202 A 217C 8A 23D 38 B 53B 68D 83 A 98 A 113 A 128B 143D 158C 173B 188C 203B 218B 9A 24C 39 D 54C 69 A 84C 99 A 114 A 129 A 144 D 159C 174 B 189 A 204C 219C 10 B 25 B 40C 55 B 70 A 85 A 100 D 115 A 130C 145 A 160 D 175 A 190 D 205 D 220C 11C 26C 41D 56 A 71D 86 B 101C 116 A 131B 146 B 161D 176C 191B 206 A 221D 12 D 27C 42C 57 B 72 B 87C 102C 117C 132 A 147 D 162C 177 A 192C 207C 222 B 13 A 28 B 43C 58C 73D 88 D 103 A 118 D 133B 148 B 163D 178C 193D 208 A 223C 14 B 29C 44C 59 B 74 A 89C 104 B 119D 134 D 149C 164C 179 D 194 A 209 A 224C 15 D 30 A 45 B 60 A 75D 90 D 105 B 120C 135 D 150B 165B 180C 195B 210 A 225 A TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Cơng Khanh, Giải tích hàm nhiều biến, NXB Đại học quốc gia Tp.HCM [2] Nguyễn Đình Trí, Tốn cao cấp (tập (lý thuyết +bài tập)), NXB giáo dục [3] Phan Đình Phùng, Nguyễn Văn Hiếu, Lê Thị Nhẫn, Giáo trình tốn cao cấp, 2010 Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút 117 Bài giảng Toán cao cấp A3 Mục lục Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1 Mặt bậc hai Các mặt bậc hai tắc Chương TÍCH PHÂN BỘI Bài TÍCH PHÂN HAI LỚP 1.1 Bài toán mở đầu – thể tích hình trụ cong 1.2 Định nghĩa tính chất tích phân hai lớp 1.3 Cách tính tích phân hai lớp 1.4 Đổi thứ tự lấy tích phân 10 1.5 Đổi biến tích phân hai lớp 11 1.6 Ứng dụng tích phân hai lớp 15 Bài TÍCH PHÂN BA LỚP 17 2.1 Định nghĩa 17 2.2 Điều kiện tồn tích phân ba lớp 18 2.3 Tính chất tích phân ba lớp 18 2.4 Cách tính tích phân ba lớp 19 2.5 Đổi biến tích phân ba lớp 20 2.6 Ứng dụng tích phân ba lớp 26 BÀI TẬP CHƯƠNG 28 Chương TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 34 Bài TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 34 1.1 Định nghĩa 34 1.2 Các tính chất tích phân đường loại 35 1.3 Cách tính tích phân đường loại 35 1.4 Một số ứng dụng tích phân đường loại 37 Bài TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 39 Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút 118 Bài giảng Toán cao cấp A3 2.1 Định nghĩa 39 2.2 Các tính chất tích phân đường loại 40 2.3 Cách tính tích phân đường loại 40 2.4 Ứng dụng tích phân đường loại hai 47 BÀI TẬP CHƯƠNG 47 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 51 Bài KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 51 1.1 Bài toán dẫn đến phương trình vi phân 51 1.2 Các định nghĩa khái niệm 52 1.3 Một số ví dụ 52 Bài PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 52 2.1 Định nghĩa 52 2.2 Bài toán Cauchy 52 2.3 Định lý Peano – Cauchy – Picard tồn nghiệm toán Cauchy 53 2.4 Nghiệm phương trình vi phân cấp 53 2.5 Phương trình vi phân họ đường cong 54 2.6 Phương trình vi phân cấp có biến phân ly (phương trình vi phân tách biến) 54 2.7 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 56 2.8 Phương trình vi phân tồn phần thừa số tích phân 59 2.9 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 63 2.10 Phương trình Bernoulli 64 Bài PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI 65 3.1 Định nghĩa 65 3.2 Bài toán Cauchy 66 3.3 Định lý tồn nghiệm toán Cauchy 66 3.4 Nghiệm phương trình vi phân cấp hai 66 3.5 Các phương trình vi phân cấp hai giảm cấp 66 3.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số biến 68 3.7 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số 71 BÀI TẬP CHƯƠNG 77 Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút 119 Bài giảng Toán cao cấp A3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 80 ĐÁP ÁN 117 TÀI LIỆU THAM KHẢO 117 Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút 120 ... riêng x  Bài Tìm tọa độ trọng tâm nửa hình trịn  điểm khoảng cách từ điểm tới gốc tọa độ TÍCH PHÂN BA LỚP Bài Tính tích phân sau Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút 31 Bài giảng Toán cao cấp A3 dxdydz... Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút 33 Bài giảng Toán cao cấp A3 Bài Tính moment quán tính trục Oz miền  giới hạn mặt cầu x  y  z  mặt nón x  y2  z  z   Bài Tìm trọng tâm vật thể đồng chất... Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút 50 Bài giảng Toán cao cấp A3 Bài Xác định m để  x  y  dx   x  y  dy vi phân toàn phần hàm u x, y   2 m x y  Tìm u  x, y  Bài Tính tích phân sau I  