Bài giảng Toán cao cấp A3: Chương 1 - ThS. Nguyễn Công Nhựt

Bài giảng Toán cao cấp A3: Chương 1 Tích phân bội, cung cấp cho người học những kiến thức như: Tích phân bội hai (kép); Tích phân bội ba. Mời các bạn cùng tham khảo!

Bài giảng TỐN CAO CẤP A3 Thạc sĩ Nguyễn Cơng Nhựt Video https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc Ngày 17 tháng năm 2020 Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 / 113 TOÁN CAO CẤP A3 Tài liệu VP Khoa Công nghệ thông tin - Tầng Thang điểm đánh giá Quá trình 20% Giữa kỳ 20% Thi cuối kỳ 60% Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 / 113 TỐN CAO CẤP A3 Nội dung mơn học gồm chương: Tích phân bội Tích phân đường Phương trình vi phân Nguyen Cong Nhut Tốn cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 / 113 Content TÍCH PHÂN BỘI Tích phân bội hai Tích phân bội ba TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Tích phân đường loại Tích phân đường loại PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm Phương trình vi phân cấp Phương trình vi phân cấp Nguyen Cong Nhut Tốn cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 / 113 Content TÍCH PHÂN BỘI Tích phân bội hai Tích phân bội ba TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Tích phân đường loại Tích phân đường loại PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm Phương trình vi phân cấp Phương trình vi phân cấp Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 / 113 TÍCH PHÂN BỘI NỘI DUNG 1-1 Tích phân bội hai (kép) 1-2 Tích phân bội ba Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 / 113 Tích phân bội hai NỘI DUNG Bài tốn mở đầu (thể tích khối trụ cong) Tích phân bội hai Tính chất tích phân bội hai Phương pháp tính Ứng dụng tích phân hai lớp Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 / 113 1.1 Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong) Xét hàm số ③ = ❢ (① , ② ) liên tục, không âm mặt trụ có đương sinh song song với ❖③ , đáy miền phẳng đóng ❉ mpOxy Hình: Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 / 113 1.1 Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong) Định nghĩa Để tính thể tích khối trụ, ta chia miền ❉ thành ♥ phần không dẫm lên ∆❙✐ , ✐ = 1; ♥ Diện tích phần ký hiệu ∆❙✐ Khi đó, khối trụ cong chia thành ♥ khối trụ nhỏ Trong phần ∆❙✐ ta lấy điểm ▼✐ (①✐ ; ②✐ ) tùy ý thể tích ❱ khối trụ là: ❱ Gọi ❞✐ = max Ta có: ≈ ❞(❆,❇ ) | ❆, ❇ ∈ ∆❙✐ ❱ Nguyen Cong Nhut = ♥ ∑ ❢ ( ① ✐ ; ②✐ ) ∆ ❙✐ ✐ =1 đường kính ∆❙✐ ♥ lim max ❞✐ →0 ∑ ❢ ( ① ✐ ; ② ✐ ) ∆ ❙✐ ✐ =1 Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 / 113 1.2 Tích phân bội hai Định nghĩa Cho hàm số ❢ (① , ② ) xác định miền ❉ đóng bị chặn mặt phẳng ❖①② Chia miền ❉ cách tùy ý thành ♥ phần không dẫm lên nhau, diện tích phần ∆❙✐ , ✐ = 1; ♥ Lấy ♥ điểm tùy ý ▼✐ (①✐ ; ②✐ ) ∈ ∆❙✐ , ✐ = 1; ♥ Khi đó, ■♥ = ∑♥✐=1 ❢ (①✐ ; ②✐ ) ∆❙✐ gọi tổng tích phân ❢ (① , ② ) ❉ (ứng với phân hoạch ∆❙✐ điểm chọn ▼✐ Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 10 / 113 1.4.2 Phương pháp đổi biến a) Công thức đổi biến tổng quát Giả sử ① = ① (✉ , ✈ ), ② = ② (✉ , ✈ ) hai hàm số có đạo hàm riêng liên tục miền đóng bị chặn ❉✉✈ mp Ouv Gọi ❉①② miền xác định bởi: ❉①② = {(① , ② ) : ① = ① (✉ , ✈ ), ② = ② (✉ , ✈ ), (✉ , ✈ ) ∈ ❉✇✈ } Nếu hàm ❢ (① , ② ) khả tích ❉①② Jacobien ① ① ❏ = ∂∂((✉① ,,②✈ )) = ②✉ ②✈ = ❉✉✈ ✉ ✈ Thì ■ = ❉①② ❢ (① , ② )❞①❞② = ❉✉✈ ❢ (① (✉ , ✈ ), ② (✉ , ✈ )).|❏ |❞✉❞✈ ①✉ ①✈ = = Chú ý: ❏ = ∂∂((✉① ,,②✈ )) = ①② ②✉ ②✈ ✉ ✉✈ ① ✉② ✈ ① ✈② ∂( , ) ∂( , ) Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 28 / 113 1.4.2 Phương pháp đổi biến a) Cơng thức đổi biến tổng qt Ví dụ 13 Tính tích phân ■ = ❉ 3(① + ② )3 (① − ② )2 dxdy ① + ② = 1, ① + ② = 3, ① − ② = −1, ① − ② = Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 29 / 113 1.4.2 Phương pháp đổi biến a) Công thức đổi biến tổng quát Ví dụ 14 Tính tích phân ■ = ❉ 4①②❞①❞② với ❉ miền giới hạn đường ①② = 1, ①② = 2, ① − ② = 0, 3① − ② = Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 30 / 113 1.4.2 Phương pháp đổi biến a) Công thức đổi biến tổng quát Ví dụ 15 ■ = ❉ ① − ② ❞①❞② , với miền ❉ hình chữ nhật giới hạn đường thẳng: ① + ② = 1, ① + ② = 3, ① − ② = 2, ① − ② = Hình: Nguyen Cong Nhut Tốn cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 31 / 113 1.4.2 Phương pháp đổi biến b) Đổi biến tọa độ cực Trong mpOxy, xét miền ❉ Vẽ tia ❖❆, ❖❇ tiếp xúc với miền ❖▼1 ≤ ❖▼ ≤ ❖▼2 − → − → α, (❖① , ❖❇ ) = β Khi đó: ▼ ∈ ❉ ⇔ − → −→ α ≤ (❖① , ❖▼ ) ≤ β ❉ − → − → (❖① , ❖❆) = Hình: Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 32 / 113 1.4.2 Phương pháp đổi biến b) Đổi biến tọa độ cực Đặt ① = r cos ϕ ② = r sin ϕ với − → −→ r = ❖▼ , ϕ = (❖① , ❖▼ ) Khi đó, miền ❉ trở thành: ❉rϕ = {(r , ϕ) : r1 (ϕ) ≤ r ≤ r2 (ϕ), α ≤ ϕ ≤ β} Ta có ❏ = ∂∂((①r ,ϕ,② )) = ②①r ①②ϕ r ϕ = cos ϕ −r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ Vậy: ❉①② Nguyen Cong Nhut ❢ (① , ② )❞①❞② = β α ❞ϕ r2 (ϕ) r1 (ϕ) Toán cao cấp A3 =r ❢ (r cos ϕ, r sin ϕ) · r❞r Ngày 17 tháng năm 2020 33 / 113 1.4.2 Phương pháp đổi biến b) Đổi biến tọa độ cực Chú ý: 1) Đổi biến tọa độ cực thường dùng biên 2) Để tìm 3) r1 (ϕ), r2 (ϕ) ta thay ① = r cos ϕ, ② = r sin ϕ vào phương trình biên ❉ Nếu cực ❖ nằm ❉ tia từ ❖ cắt biên ❉ điểm thì: ■= 4) ❉ đường trịn elip Nếu cực 2π ❞ϕ r (ϕ) ❢ (r cos ϕ, r sin ϕ)r❞r ❖ nằm biên ❉ thì: ■= Nguyen Cong Nhut β α ❞ϕ r (ϕ) ❢ (r cos ϕ, r sin ϕ)r❞r Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 34 / 113 1.4.2 Phương pháp đổi biến b) Đổi biến tọa độ cực Chú ý: 5) ① + ② = ta đặt: ① = r❛ cos ϕ, ② = r❜ sin ϕ ❛2 ❜2 Khi đó, D trở thành hình trịn: ❉r ϕ = {(r , ϕ) : ≤ ϕ ≤ 2π, ≤ r ≤ 1} Nếu biên ❉ elip Ta có Jacobien ❏ = ❛❜r Nguyen Cong Nhut và: ■ = ❛❜ 2π ❞ ϕ 01 ❢ (r❛ cos ϕ, r❜ sin ϕ)r❞r Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 35 / 113 1.4.2 Phương pháp đổi biến b) Đổi biến tọa độ cực Ví dụ 16 Tính tích phân ■ = ❉ (① + ② )❞①❞② dó ❉ miền phẳng giới hạn bởi: ① + ② = 1, ① + ② = 4, ② = 0, ② = ① > Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 36 / 113 1.5 Ứng dụng tích phân hai lớp 1.5.1 Tính diện tích hình phẳng Diện tích miền phẳng đóng bị chặn tính cơng thức ❙❉ = ❉ ❞①❞② Ví dụ 17 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 ② = ①, ② = − ①2 Ngày 17 tháng năm 2020 37 / 113 1.5.2 Diện tích mặt cong Giả sử mặt cong có phương trình ③ = ❢ (① , ② ) hình chiếu xuống mặt phẳng miền ❉ Khi đó, diện tích mặt cong tính theo cơng thức ❙= ❉ 1+ ∂❢ ∂① + ∂❢ ∂② ❖①② ❞①❞② Ví dụ 18 Tính diện tích phần mặt paraboloit Nguyen Cong Nhut ③ = ① + ② nằm mặt trụ ① + ② = Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 38 / 113 1.5.3 Tính thể tích vật thể Thể tích vật thể hình trụ cong Ω có đáy nằm mặt phẳng ❖①② , mặt xung quanh song song ❖③ giới hạn mặt mặt cong có phương trình ③ = ❢ (① , ② ), (❢ (① , ② ) ≥ 0, ∀(① , ② ) ∈ ❉ ), ❱Ω = ❉ ❢ (① , ② )❞①❞② Ví dụ 19 Tính thể tích vật thể giới hạn mặt: Nguyen Cong Nhut ① = 0, ① = 3, ② = 0, ② = ln 6, ③ = 0, ③ = 3❡ 2① +② Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 39 / 113 1.5.4 Khối lượng m vật thể Xét phẳng chiếm miền ❉ ⊂ R2 (đóng bị chặn) có khối lượng riêng (mật độ khối lượng hay tỉ khối) điểm ▼ (① , ② ) ∈ ❉ hàm ρ(① , ② ) liên tục ❉ Khi đó, khối lượng phẳng là: ♠= Nguyen Cong Nhut ❉ ρ(① , ② )❞①❞② Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 40 / 113 1.5.5 Trọng tâm vật thể Tọa độ trọng tâm ● phẳng ①● = ♠1 Nguyen Cong Nhut ❉ ❉ có khối lượng riêng ρ(① , ② ) liên tục ❉ là: ① ρ(① , ② )❞①❞② , ②● = ♠1 Toán cao cấp A3 ❉ ② ρ(① , ② )❞①❞② Ngày 17 tháng năm 2020 41 / 113 ... phân cấp Phương trình vi phân cấp Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 / 11 3 TÍCH PHÂN BỘI NỘI DUNG 1- 1 Tích phân bội hai (kép) 1- 2 Tích phân bội ba Nguyen Cong Nhut Tốn cao cấp. .. : Toán cao cấp A3 ≤ ① ≤ π2 1? ??② ≤2 Ngày 17 tháng năm 2020 16 / 11 3 1. 4 .1 Đưa tích phân lặp Ví dụ Tính tích phân ■= ❉ ①②❞①❞② ❉ hình chữ nhật ❉ : ② = − ① , ② = ① Hình: Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp. .. 0} Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 19 / 11 3 1. 4 .1 Đưa tích phân lặp Ví dụ Tính tích phân ■= ❉ ②❞①❞② miền ❉ giới hạn đường ② = ① + 2, ② = ① Hình: Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17