Bài giảng Toán cao cấp A1: Phần 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: Ma trận – Định thức; Hệ phương trình tuyến tính. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên đang theo học môn dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu. Mời các bạn cùng tham khảo!
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGUYỄN TẤT THÀNH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MƠN TỐN BÀI GIẢNG HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP A1 Biên soạn GVC Ths Bành Thị Hồng Ths Bùi Hùng Vương Thành phố Hồ Chí Minh – 10/2014 Bài giảng Tốn cao cấp A1 Chương – Ma trận – Định thức Chương – MA TRẬN – ĐỊNH THỨC Trong phần ta xét số số thực, 𝑚, 𝑛 số nguyên dương 1.1 Khái niệm ma trận phép toán ma trận 1.1.1 Định nghĩa ma trận Một bảng số, gồm 𝑚 × 𝑛 số 𝑎𝑖𝑗 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, ≤ 𝑗 ≤ 𝑛) xếp thành 𝑚 dòng 𝑛 cột gọi ma trận cấp 𝑚 × 𝑛 (trên trường số thực ℝ), kí hiệu 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝐴=[ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 ] ( 𝐴 = ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 ⋯ 𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎2𝑛 ⋱ ⋮ ) ⋯ 𝑎𝑚𝑛 Ta viết gọn 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ]𝑚×𝑛 Số 𝑎𝑖𝑗 gọi phần tử ma trận 𝐴 nằm dòng 𝑖 cột 𝑗 (phần tử vị trí (𝑖, 𝑗)) Tập hợp tất ma trận cấp 𝑚 × 𝑛 trường ℝ kí hiệu 𝑀(𝑚 × 𝑛; ℝ) (hoặc 𝑀𝑚×𝑛 (ℝ)) Ví dụ 1: Các ma trận sau 𝐴=[ 𝐶 = [0 −1 ] ∈ 𝑀2×3 (ℝ), 𝐵 = [ 𝜋 −5] ∈ 𝑀3×3 (ℝ), 6 1] ∈ 𝑀1×3 (ℝ), 𝐷 = [√2] ∈ 𝑀1×1 (ℝ) Hai ma trận 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 gọi 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 với ̅̅̅̅̅̅ 𝑖 = 1, 𝑚 𝑗 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛 Ví dụ 2: Với giá trị 𝑥 𝑦 hai ma trận sau nhau? 𝐴=[ ],𝐵 = [ 𝑥 ] 𝑦+1 Hướng dẫn: Ta thấy 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀2×3 (ℝ) 𝐴 = 𝐵 𝑥 = 2, 𝑦 = 1.1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt a Ma trận không Ma trận mà tất phần tử gọi ma trận khơng Kí hiệu 𝜃 (hoặc đơn giản số 0) cho ma trận khơng cấp 𝑚 × 𝑛 tùy ý Ví dụ 3: Ma trận khơng cấp × ma trận khơng cấp × 𝜃=[ 0 0 ] = (0)2×3 , 𝜃 = [0 0 0 0 0] = (0)3×3 b Ma trận vuông Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương Bài giảng Toán cao cấp A1 Chương – Ma trận – Định thức Cho ma trận 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 , 𝑚 = 𝑛 (số dịng số cột) ma trận 𝐴 gọi ma trận vng cấp 𝑛 (khi ta ghi 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑛 ) Như 𝐴 có dạng sau 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝐴=[ ⋮ ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎21 ⋱ ⋮ ] ⋯ 𝑎𝑛𝑛 phần tử 𝑎11 , 𝑎22 , … , 𝑎𝑛𝑛 gọi phần tử nằm đường chéo chính, phần tử 𝑎𝑛1 , 𝑎(𝑛−1)1 , … , 𝑎1𝑛 gọi phần tử nằm đường chéo phụ Kí hiệu tập ma trận vng cấp 𝑛 𝑀(𝑛; ℝ) (hoặc 𝑀𝑛 (ℝ)) Ví dụ 4: Cho ma trận sau 𝐴=[ ] , 𝐵 = [−2 3 −1 1−𝜋 7] , 𝐶 = [ −2 2𝜋 7] Khi 𝐴 ma trận vuông cấp 𝐵, 𝐶 ma trận vuông cấp Phần tử nằm đường chéo ma trận 𝐶 − 𝜋, 5,0 đường chéo phụ 6, 5, Phần tử nằm đường chéo ma trận 𝐵 1, 5, 0; đường chéo phụ 3, 5, c Ma trận dòng, ma trận cột Cho ma trận 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 Nếu 𝑚 = (ma trận có dịng) gọi ma trận dòng Tương tự, 𝑛 = (ma trận có cột) gọi ma trận cột Ma trận dòng ma trận cột thường gọi vectơ dịng vectơ cột Ví dụ 5: 𝐴 = [−1 3] ma trận dòng −8 𝐵 = [ ] ma trận cột d Ma trận chéo Ma trận vng có tất phần tử nằm ngồi đường chéo gọi ma trận chéo (ma trận đường chéo) Ví dụ 6: Các ma trận sau ma trận chéo 𝐴=[ 1 ] , 𝐵 = [0 0 0 1+𝜋 ] [ , 𝐶 = 0 −4 0 0 0] , 𝐷 = [ 0 0 0 0 0 ] 0 −1 Nhận xét: Ma trận đường chéo thường ký hiệu diag(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) với phần tử đường chéo 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 e Ma trận đơn vị Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương Bài giảng Toán cao cấp A1 Chương – Ma trận – Định thức Ma trận chéo cấp 𝑛, có tất phần tử đường chéo 1, gọi ma trận đơn vị, kí hiệu 𝐼𝑛 Ví dụ 7: Các ma trận đơn vị sau ] , 𝐼 = [0 𝐼1 = [1], 𝐼2 = [ 0 1 0 0] , 𝐼4 = [ 0 0 0 0 ] f Ma trận chuyển vị Chuyển dòng (các cột) ma trận 𝐴 thành cột (các dòng) với thứ tự tương ứng ta ma trận gọi ma trận chuyển vị ma trận 𝐴 Kí hiệu 𝐴𝑇 Như 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 𝐴𝑇 = (𝑎𝑗𝑖 )𝑛×𝑚 Ví dụ 8: Cho ma trận 𝐴=[ 𝐵 = [−2 𝐶 = [−2 −4 −2 −1 ] ⟹ 𝐴𝑇 = [−4 0] −1 3 𝑇 7] ⟹ 𝐵 = [ 𝑇 7] ⟹ 𝐶 = [−2 −2 −2 1] 7] Nhận xét: (𝐴𝑇 )𝑇 = 𝐴 𝐴𝑇 = 𝐵𝑇 ⟺ 𝐴 = 𝐵 g Ma trận đối xứng Ma trận 𝐴 vuông cấp 𝑛 gọi đối xứng 𝐴𝑇 = 𝐴 (hay 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 , ∀𝑖, 𝑗) Trong Ví dụ ma trận 𝐶 ma trận đối xứng h Ma trận đối Cho ma trận 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 , ma trận (−𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 gọi ma trận đối ma trận 𝐴, kí hiệu – 𝐴 Ví dụ 9: Ma trận 𝐴 = [ −4 −1 −1 ] có ma trận đối ma trận −𝐴 = [ −2 ] −3 i Ma trận tam giác Ma trận vng có tất phần tử nằm phía đường chéo gọi ma trận tam giác Như 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑛×𝑛 ma trận tam giác 𝑎𝑖𝑗 = 0, ∀𝑖 > 𝑗 (hoặc 𝑎𝑖𝑗 = 0, ∀𝑖 < 𝑗) Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương Bài giảng Toán cao cấp A1 Chương – Ma trận – Định thức Ví dụ 10: Các ma trận sau ma trận tam giác 𝐴 = [0 0 −3 ] , 𝐵 = [−2 1 0 0] , 𝐶 = [ 0 0 −7 −2 ] 𝑒 j Ma trận bậc thang dòng Một dòng (hay cột) ma trận gọi dịng khơng (cột khơng) tất phần tử dịng (cột) Ngược lại gọi dịng khác khơng (cột khác khơng) Ma trận bậc thang dịng ma trận có hai tính chất: ∗ Các dịng khác khơng nằm phía dịng khơng (nếu có) ∗ Phần tử khác khơng dòng nằm bên phải cột chứa phần tử khác khơng dịng Ví dụ 11: Trong ma trận sau ma trận ma trận bậc thang dòng? 𝐴 = [0 0 𝐷=[ 0 −3 ] , 𝐵 = [0 0 0 0 −7 −2 ],𝐸 0 0 0 0 −1 7] , 𝐶 = [1 3 0 −7 −2 =[ 0 0 0 0 0] , ] Đáp án: 𝐴, 𝐸 Chú ý: Phát biểu tương tự khái niệm thay dòng thành cột cột thành dòng ta khái niệm ma trận bậc thang cột 1.1.3 Các phép toán ma trận a Phép cộng hai ma trận (cùng cấp) Cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 , 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 tổng hai ma trận 𝐴 𝐵, kí hiệu 𝐴 + 𝐵, ma trận 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 với 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 , (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, ≤ 𝑗 ≤ 𝑛) Vậy 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝐴+𝐵 =[ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑏11 𝑏12 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑏21 𝑏22 ⋱ ⋮ ]+[ ⋮ ⋮ ⋯ 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚1 𝑏𝑚2 𝑎11 + 𝑏11 𝑎12 + 𝑏12 𝑎 + 𝑏21 𝑎22 + 𝑏22 = [ 21 ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1 𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚2 ⋯ 𝑏1𝑛 ⋯ 𝑏2𝑛 ⋱ ⋮ ] ⋯ 𝑏𝑚𝑛 ⋯ 𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛 ⋯ 𝑎2𝑛 + 𝑏2𝑛 ] = 𝐶 ⋱ ⋮ ⋯ 𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛 Ví dụ 12: Cho ma trận sau Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương Bài giảng Toán cao cấp A1 𝐸=[ −2 Chương – Ma trận – Định thức 3 −1 7] , 𝐹 = [−1 −1 ] ⟹ 𝐸 + 𝐹 = [ 0 −5 −2 5 −2 9] 10 Tính chất: Cho ma trận 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝜃 ∈ 𝑀𝑚×𝑛 (ℝ) Khi 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶 ) 𝐴 + 𝜃 = 𝜃 + 𝐴 = 𝐴 Chú ý: Cho 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀𝑚×𝑛 (ℝ) hiệu hai ma trận 𝐴 𝐵, kí hiệu 𝐴 − 𝐵, phép cộng ma trận 𝐴 ma trận đối ma trận 𝐵 Vậy 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵) Trong Ví dụ 12 𝐸−𝐹 =[ −2 −1 −6 −2 −1 7] − [−1 −1 ] = [ ] 0 −5 0 13 −2 b Phép nhân số với ma trận Cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 số 𝜆 ∈ ℝ tích số 𝜆 ma trận 𝐴, kí hiệu 𝜆𝐴, ma trận 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 với 𝑏𝑖𝑗 = 𝜆𝑎𝑖𝑗 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, ≤ 𝑗 ≤ 𝑛) Vậy 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝜆𝐴 = 𝜆 [ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎1𝑛 𝜆𝑎11 𝜆𝑎12 𝑎 ⋯ 2𝑛 𝜆𝑎21 𝜆𝑎22 ⋱ ⋮ ]=[ ⋮ ⋮ ⋯ 𝑎𝑚𝑛 𝜆𝑎𝑚1 𝜆𝑎𝑚2 ⋯ 𝜆𝑎1𝑛 ⋯ 𝜆𝑎2𝑛 ] = 𝐵 ⋱ ⋮ ⋯ 𝜆𝑎𝑚𝑛 Trong Ví dụ 12 2𝐸 = [ −1 7] = [ −2 14], −2 −4 10 16 −2 −6 −2 −3 (−1)𝐹 = (−1) [−1 −1 ] = [ −2 −2] 0 −5 0 −5 Nhận xét: Nếu 𝜆 = −1 (−1)𝐴 ma trận đối 𝐴 (vậy (−1)𝐴 = −𝐴) Tính chất: Cho ma trận 𝐴, 𝐵, 𝜃 ∈ 𝑀𝑚×𝑛 (ℝ) 𝜆, 𝑘 ∈ ℝ Khi 𝜆𝑘𝐴 = 𝜆(𝑘𝐴) = 𝑘 (𝜆𝐴) (𝜆 + 𝑘 )𝐴 = 𝜆𝐴 + 𝑘𝐴 𝜆(𝐴 + 𝐵 ) = 𝜆𝐴 + 𝜆𝐵 𝜆𝜃 = 0𝐴 = 𝜃 Ví dụ 13: Cho ma trận sau Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương Bài giảng Toán cao cấp A1 𝐴=[ Chương – Ma trận – Định thức −1 ],𝐵 = [ 0 0 ] , 𝐶 = [2 −1 ] −1 Thực phép tính sau: 𝐴 − 3𝐵, 𝐴 − 2𝐶 𝑇 + 2𝐵 Bài giải 𝐴 − 3𝐵 = [ 𝐴 − 2𝐶 𝑇 + 2𝐵 = [ 2 −1 ]−[ 0 −1 ] − 2[ 2 −3 −5 ]=[ ] + 2[ −1 −1 −2 −1 ] −9 ]=[ −5 −4 −1 −3 ] c Phép nhân hai ma trận Điều kiện để có phép nhân hai ma trận 𝐴 𝐵 số cột ma trận 𝐴 với số dòng ma trận 𝐵 Cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑝 , 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 )𝑝×𝑛 tích hai ma trận 𝐴 𝐵, kí hiệu 𝐴 𝐵 (hoặc 𝐴𝐵), ma trận 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 với 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1 𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2 𝑏2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑝 𝑏𝑝𝑗 , ∀𝑖, 𝑗 Ví dụ 14: Cho ma trận sau 𝐴 = [1 −3 2] , 𝐵 = [ Khi 𝐴𝐵 = [1 𝐶𝐷 = [ 1 ],𝐶 = [ −3 2] [ −5 ] , 𝐷𝐶 = [ −7 −9 −9 ]=[ 12 ],𝐷 = [ ],𝐸 = [ −3 0 ],𝐹 = [ 0 ] 1] 𝐵𝐴 không tồn ] , 𝐸𝐹 = [ −8 0 ( )𝑇 −9 ] , 𝐴𝐵 = [ 0 12 ] = 𝐵𝑇 𝐴𝑇 Chú ý: Nói chung 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴 𝐴𝐵 = 𝜃 kết luận 𝐴 = 𝜃 𝐵 = 𝜃 Ví dụ 15: Cho ma trận sau 𝐴 = [ 𝑥 −1 12 ],𝐵 = [ ],𝐶 = [ ] Nếu 𝐴𝐵 = 𝐶 𝑦 tìm 𝑥 𝑦 Bài giải Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương Bài giảng Tốn cao cấp A1 Ta có 𝐴𝐵 = [ 𝑥 −1 Chương – Ma trận – Định thức 2 + 4𝑥 + 3𝑦 ][ ] = [ ] = 𝐶 Suy 𝑦 = 6, 𝑥 = −2 4−4+𝑦 𝑦 Tính chất: Cho ma trận 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝜆, 𝑘 ∈ ℝ Giả thuyết phép tính thực được, ta có: 𝐴(𝐵𝐶 ) = (𝐴𝐵)𝐶 𝐴(𝐵 + 𝐶 ) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 (𝐵 + 𝐶 )𝐴 = 𝐵𝐴 + 𝐶𝐴 𝜆(𝐴𝐵) = (𝜆𝐴)𝐵 = 𝐴(𝜆𝐵) (𝐴𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇 𝐴𝑇 Nếu 𝐴 ma trận vng cấp 𝑛 𝐴𝐼𝑛 = 𝐼𝑛 𝐴 = 𝐴 Định nghĩa: Cho ma trận 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (ℝ) 𝑘 ∈ ℕ lũy thừa bậc 𝑘 𝐴, kí hiệu 𝐴𝑘 ma trận xác định qui nạp sau: ∗ Nếu 𝑘 = qui ước 𝐴0 = 𝐼𝑛 ∗ Nếu 𝑘 = qui ước 𝐴1 = 𝐴 ∗ Nếu 𝑘 ≥ 𝐴𝑘 = 𝐴 𝐴 … 𝐴 (𝑘 lần) Ví dụ 16: Cho ma trận 𝐴 = [0 0 0 ] [ Khi 𝐴 = 0 0 0 ] [ , 𝐴 = 0 0 0 0 0] Tính chất: Cho ma trận 𝐴, 𝐵, 𝜃 ∈ 𝑀𝑛 (ℝ) 𝑘, 𝑙 ∈ ℕ Khi 𝜃 𝑘 = 𝜃; 𝐼𝑛𝑘 = 𝐼𝑛 ; 𝐴𝑘+𝑙 = 𝐴𝑘 𝐴𝑙 ; 𝐴𝑘𝑙 = (𝐴𝑘 )𝑙 (𝐴 + 𝐵)2 = 𝐴2 + 𝐴𝐵 + 𝐵𝐴 + 𝐵 Nếu 𝐴 = diag(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) 𝐴𝑘 = diag(𝑎1𝑘 , 𝑎2𝑘 , … , 𝑎𝑛𝑘 ) Ví dụ 17: Tính 𝐷 = 𝐶 + 2𝐶 + 𝐼3 − (𝐴𝐵)𝑇 , với 𝐴, 𝐵, 𝐶 ma trận cho 𝐴=[ −3 −1 2] , 𝐵 = [ −1 −2 1 −2 ] , 𝐶 = [0 −3 −1 1 −1] −1 Bài giải Ta tính giá trị nhận thấy 𝐶 + 2𝐶 + 𝐼3 = 𝐶 + 𝐶𝐼3 + 𝐼3 𝐶 + 𝐼32 = (𝐶 + 𝐼3 )2 2 𝑇 𝐷 = (𝐶 + 𝐼3 ) − (𝐴𝐵) = [0 −1 2 −1] − [−2 −3 𝑇 −6] = [1 12 −3 4 ] −11 1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương Bài giảng Toán cao cấp A1 Chương – Ma trận – Định thức Cho ma trận 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 (𝑚 ≥ 2), ta gọi phép biến đổi sơ cấp dòng 𝐴 dạng sau (kết sau thực phép biến đổi sơ cấp dòng 𝐴 tạo ma trận mới, giả sử ma trận 𝐵): ∗ Phép 1: Đổi vị trí hai dịng ma trận Giả sử đổi chỗ dịng 𝑖 dịng 𝑗, kí hiệu 𝑑𝑖 ↔𝑑𝑗 𝐴→ Ví dụ: [1 2 𝑑1↔𝑑2 ]→ [1 2 𝐵 1] ∗ Phép 2: Nhân dịng ma trận với số (thuộc ℝ) khác không Giả sử nhân dịng 𝑖 với số 𝜆 ∈ ℝ\{0}, kí hiệu 𝑑𝑖 →𝜆𝑑𝑖 𝐴→ Ví dụ: [1 2 𝑑1→3𝑑1 [1 ]→ 3 𝐵 3 ] ∗ Phép 3: Cộng vào dịng ma trận, dịng khác nhân với số (thuộc ℝ) Giả sử cộng vào dòng 𝑖, dòng 𝑗 nhân với 𝜆 ∈ ℝ, kí hiệu 𝑑𝑖 →𝑑𝑖 +𝜆𝑑𝑗 𝐴→ Ví dụ: [1 2 𝑑3→𝑑3−2𝑑2 [1 ]→ −1 𝐵 1 ] −2 Chú ý: i) Ta thực liên tiếp nhiều phép biến đổi sơ cấp dịng 𝐴 khơng gây nhầm lẫn ii) Định nghĩa tương tự ta có phép biến đổi sơ cấp cột 𝐴 Ví dụ 18: 𝐴 = [1 2 𝑑1↔𝑑2 ]→ 10 [1 2 3 𝑑3→𝑑3−2𝑑2 ]→ 10 [1 1 5] −1 1 1 1 1 −1 −1 −2 −2 d d d ] [ ] 𝐵=[ d d 2d −3 −1 −5 −1 d d 3d 3 −2 −2 2 3 4 1 Ví dụ 19: Hãy dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận 𝐴 = [ dạng bậc thang Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương 2 3 ] 1 Bài giảng Toán cao cấp A1 Chương – Ma trận – Định thức Bài giải 𝐴=[ 2 3 1 0 ]⟶[ 1 0 0 1 −1 −2 ]⟶[ −3 −2 −2 0 0 0 1 −1 −2 ]⟶[ −1 0 −1 2 0 0 1 −1 −2 ] −1 0 1.2 Định thức 1.2.1 Định nghĩa định thức a Ma trận cấp 𝒌 Cho ma trận 𝐴 cấp 𝑚 × 𝑛 Ma trận vuông cấp 𝑘 lập từ phần tử nằm giao 𝑘 dòng 𝑘 cột gọi ma trận vuông cấp 𝑘 𝐴 b Ma trận ứng với phần tử Cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑛×𝑛 ma trận vng cấp 𝑛, ma trận cấp 𝑛 − lập từ 𝐴 cách bỏ dòng 𝑖 cột 𝑗 gọi ma trận 𝐴 ứng với phần tử 𝑎𝑖𝑗 , kí hiệu 𝑀𝑖𝑗 Ví dụ 19: Cho ma trận 𝐴 = [0 1 Khi 𝑀11 = [ −1 1 −1 ] , 𝑀12 = [ −1 −1] −1 −1 ] , 𝑀23 = [ −1 −1 ] c Định nghĩa định thức Cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑛×𝑛 ma trận vng cấp 𝑛 Định thức cấp 𝑛 (hoặc đơn giản định thức) ma trận 𝐴, kí hiệu det 𝐴 |𝐴|, định nghĩa qui nạp sau: Với 𝐴 cấp (𝑛 = 1), 𝐴 = [𝑎11 ], det 𝐴 = 𝑎11 𝑎11 Với 𝐴 cấp (𝑛 = 2), 𝐴 = [𝑎 21 𝑎12 𝑎22 ], det 𝐴 = 𝑎11 det 𝑀11 − 𝑎12 det 𝑀12 = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21 (chú ý 𝑎11 , 𝑎12 phần tử nằm dòng 1) Với 𝐴 cấp 𝑛 ≥ 3, det 𝐴 = 𝑎11 det 𝑀11 − 𝑎12 det 𝑀12 + ⋯ + (−1)1+𝑛 𝑎1𝑛 det 𝑀1𝑛 (chú ý 𝑎11 , 𝑎12 , 𝑎1𝑛 phần tử nằm dòng 1) Chú ý: Gọi 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 det 𝑀𝑖𝑗 phần bù đại số phần tử 𝑎𝑖𝑗 Khi det 𝐴 = 𝑎11 𝐴11 + 𝑎12 𝐴12 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝐴1𝑛 Ví dụ 20: Tính định thức ma trận 𝐴 = [0 −1 1 −1] −1 Bài giải Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương Bài giảng Toán cao cấp A1 Chương – Hệ phương trình tuyến tính 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑎 𝑥 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = (𝐼𝐼) { 21 ⋯ 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = Cách giải hệ phương trình tuyến tính dùng quy tắc Cramer phương pháp Gauss Chú ý hệ ln có nghiệm, nghiệm (nghiệm (0,0, … ,0)), gọi nghiệm tầm thường Do vấn đề đặt hệ có nghiệm khơng tầm thường Từ phương pháp trên, ta thấy hệ (𝐼𝐼) có nghiệm khơng tầm thường có ẩn tự Ta xét ba khả xảy ra: ∗ Nếu 𝑚 = 𝑛 hệ có nghiệm không tầm thường det 𝐴 = ∗ Nếu 𝑚 < 𝑛 hệ ln có nghiệm khơng tầm thường ∗ Nếu 𝑚 > 𝑛 dùng phép biến đổi sơ sơ cấp đưa bậc thang Lúc hệ xảy hai trường hợp Khi hệ (𝐼𝐼) có nghiệm khơng tầm thường, ta quan tâm tới hệ nghiệm sau Kí hiệu 𝑟 = rank 𝐴, 𝑟 < 𝑛 Khi hệ có nghiệm phụ thuộc 𝑛 − 𝑟 ẩn tự Giả sử ẩn tự 𝑥𝑖1 , 𝑥𝑖2 , … , 𝑥𝑖𝑛−𝑟 ∗ Cho 𝑥𝑖1 = 1, 𝑥𝑖2 = 0, … , 𝑥𝑖𝑛−𝑟 = tính 𝑥𝑖 cịn lại theo cơng thức nghiệm tổng qt, ta tìm nghiệm hệ (𝐼𝐼), đặt 𝛼1 ∗ Cho 𝑥𝑖1 = 0, 𝑥𝑖2 = 1, … , 𝑥𝑖𝑛−𝑟 = tương tự trên, ta tìm nghiệm 𝛼2 … ∗ Cho 𝑥𝑖1 = 0, 𝑥𝑖2 = 0, … , 𝑥𝑖𝑛−𝑟 = ta tìm nghiệm 𝛼𝑛−𝑟 Khi 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛−𝑟 gọi hệ nghiệm hệ (𝐼𝐼 ) Ví dụ 9: Tìm hệ nghiệm hệ phương trình 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 2𝑥 + 5𝑥2 + 3𝑥3 + 2𝑥4 = 𝑏) { 3𝑥1 + 7𝑥2 + 4𝑥3 + 3𝑥4 = 𝑥1 − 2𝑥2 − 3𝑥3 + 𝑥4 = 𝑥+𝑦−𝑧 =0 𝑎) {2𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = Bài giải a) 𝐴 = [2 1 −1 −2 −1 ] ⟶ [0 −3 −3 −1 ] ⟶ [0 −3 −1 6] Ta thấy rank 𝐴 = 2, hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc ẩn tự (chọn 𝑧) Hệ tương đương với hệ sau 𝑥 = −𝑎 𝑥+𝑦−𝑧 =0 { ⟺ { 𝑦 = 2𝑎 (𝑎 ∈ ℝ) −3𝑦 + 6𝑧 = 𝑧=𝑎 Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương 38 Bài giảng Toán cao cấp A1 Chương – Hệ phương trình tuyến tính Cho 𝑎 = 1, ta đươc 𝑥 = −1, 𝑦 = 2, 𝑧 = Vậy nghiệm (− 1, 2, 1) 2 𝐴=[ −2 −3 1 2 1 ]⟶[ 1 −4 −4 1 0 ]⟶[ 0 0 0 1 0 ] 0 Hệ tương đương với hệ sau 𝑥1 = 𝑎 − 𝑏 𝑥 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 𝑥 = −𝑎 (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ) { ⟺{ 𝑥3 = 𝑎 𝑥2 + 𝑥3 = 𝑥4 = 𝑏 ∗ Cho 𝑎 = 1, 𝑏 = 0, ta 𝑥1 = 1, 𝑥2 = −1, 𝑥3 = 1, 𝑥4 = ∗ Cho 𝑎 = 0, 𝑏 = 1, ta 𝑥1 = −1, 𝑥2 = 0, 𝑥3 = 0, 𝑥4 = Vậy hệ nghiệm (1, −1, 1, 0), (−1, 0, 0, 1) BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG Chọn câu trả lời cho câu hỏi Dạng tốn: Giải hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình sau hệ Crammer 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = A { 𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = B { 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = C { 𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 𝑥 + 2𝑦 + 10𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = D {𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 5𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = Hệ phương trình sau KHÔNG hệ Crammer 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = A { 𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = B { 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 5𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = C { 𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 𝑥 + 2𝑦 + 10𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = D {𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = Hệ phương trình sau hệ 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = A { 𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = B { 𝑥+𝑦 =1 C { 𝑦 + 𝑧 = 𝑥+𝑧 =4 D { Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 5𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 5𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 39 Bài giảng Toán cao cấp A1 Chương – Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình sau KHƠNG giải phương pháp Crammer 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = A {𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = B {𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = C { 𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = D A B Nghiệm hệ phương trình tuyến tính { 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = A 𝑥 = 3𝑎 − 3; 𝑦 = − 𝑎; 𝑧 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) B 𝑥 = −𝑎 − 3; 𝑦 = + 𝑎; 𝑧 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) C 𝑥 = 3𝑎 + 3; 𝑦 = − 𝑎; 𝑧 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) D Hệ vô nghiệm Nghiệm hệ phương trình tuyến tính { 𝑥+𝑧 =2 2𝑥 + 𝑦 + 5𝑧 = A 𝑥 = − 𝑎; 𝑦 = + 3𝑎; 𝑧 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) B 𝑥 = − 𝑎; 𝑦 = − 3𝑎; 𝑧 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) C 𝑥 = + 𝑎; 𝑦 = − 3𝑎; 𝑧 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) D Hệ vô nghiệm Nghiệm hệ phương trình tuyến tính { 𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = −2𝑥 − 6𝑦 + 3𝑧 = A 𝑥 = −11 + 𝑎; 𝑦 = 4; 𝑧 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) B 𝑥 = + 3𝑎; 𝑦 = 𝑎; 𝑧 = 4(𝑎 ∈ ℝ) C 𝑥 = − 3𝑎; 𝑦 = 𝑎; 𝑧 = 4(𝑎 ∈ ℝ) D Hệ vô nghiệm Nghiệm hệ phương trình { 3𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 2𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 = A (2, 3, 0) B (𝑎, + 2𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) C (2 + 𝑎, − 2𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) D (2, + 2𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) Nghiệm hệ phương trình { 𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = −𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = A (3 + 𝑎 − 2𝑏, 𝑎, 𝑏)(𝑎, 𝑏 ∈ ℝ) B (3 − 2𝑎, 0, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) C (1 + 𝑎, −𝑎, −𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) D (8 − 5𝑎, − 3𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) 𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3 = 10 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính { 𝑥1 − 3𝑥3 = 2𝑥1 − 𝑥2 − 3𝑥3 = A 𝑥1 = 8; 𝑥2 = 3; 𝑥3 = B 𝑥1 = 8; 𝑥2 = −1; 𝑥3 = C 𝑥1 = 3𝑎; 𝑥2 = 𝑎 + 1; 𝑥3 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) D Hệ vô nghiệm 𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 11 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính { 𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 = 2𝑥1 + 5𝑥2 + 9𝑥3 = A 𝑥1 = 4; 𝑥2 = −4; 𝑥3 = Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương B 𝑥1 = −4; 𝑥2 = 4; 𝑥3 = −1 40 Bài giảng Toán cao cấp A1 C 𝑥 = 3𝑎; 𝑦 = 𝑎 + 1; 𝑧 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) Chương – Hệ phương trình tuyến tính D Hệ vơ nghiệm 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 12 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính {−2𝑥 + 5𝑦 − 3𝑧 = −1 𝑥 − 𝑦 + 7𝑧 = A 𝑥 = 3; 𝑦 = 1; 𝑧 = B 𝑥 = − 𝑎; 𝑦 = − 3𝑎; 𝑧 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) C 𝑥 = 3; 𝑦 = 1; 𝑧 = D Hệ vô nghiệm 𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 13 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính { 𝑥 − 3𝑧 = 2𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = A 𝑥 = 8; 𝑦 = 3; 𝑧 = B 𝑥 = 8; 𝑦 = −1; 𝑧 = C 𝑥 = 3𝑎; 𝑦 = 𝑎 + 1; 𝑧 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) D Hệ vô nghiệm 𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = 14 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính {2𝑥 − 3𝑦 − 8𝑧 = 𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 = A 𝑥 = 3; 𝑦 = 1; 𝑧 = B 𝑥 = 0; 𝑦 = 1; 𝑧 = −1 C 𝑥 = 7𝑎 + 3; 𝑦 = 2𝑎 + 1; 𝑧 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) D Hệ vô nghiệm 𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 15 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính {2𝑥 + 8𝑦 − 3𝑧 = 𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = A 𝑥 = −1; 𝑦 = 1; 𝑧 = B 𝑥 = −𝑎; 𝑦 = 𝑎; 𝑧 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) C 𝑥 = −𝑎; 𝑦 = + 𝑎; 𝑧 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) D Hệ vô nghiệm 𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = 16 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính { 𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = −2𝑥 + 7𝑦 + 3𝑧 = A 𝑥 = 12; 𝑦 = 3; 𝑧 = B 𝑥 = − 𝑎; 𝑦 = − 𝑎; 𝑧 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) C 𝑥 = + 5𝑎; 𝑦 = + 𝑎; 𝑧 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) D Hệ vô nghiệm 𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = 17 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính { 𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = −2𝑥 + 7𝑦 + 3𝑧 = A 𝑥 = 12; 𝑦 = 3; 𝑧 = B 𝑥 = − 𝑎; 𝑦 = − 𝑎; 𝑧 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) C 𝑥 = + 5𝑎; 𝑦 = + 𝑎; 𝑧 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) D Hệ vô nghiệm 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 18 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính { 𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 3𝑥 − 3𝑦 + 8𝑧 = A 𝑥 = 0; 𝑦 = 1; 𝑧 = B 𝑥 = 𝑎 − 1; 𝑦 = 𝑎; 𝑧 = 1(𝑎 ∈ ℝ) C 𝑥 = − 2𝑎; 𝑦 = 1; 𝑧 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) D Hệ vô nghiệm Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương 41 Bài giảng Toán cao cấp A1 Chương – Hệ phương trình tuyến tính 𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 19 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính {2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = A 𝑥 = 1; 𝑦 = 3; 𝑧 = B 𝑥 = 3; 𝑦 = + 3𝑎; 𝑧 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) C 𝑥 = + 𝑎; 𝑦 = − 3𝑎; 𝑧 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) D Hệ vô nghiệm 𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = 20 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính { 𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = −2𝑥 + 7𝑦 + 3𝑧 = A 𝑥 = 1; 𝑦 = 3; 𝑧 = B 𝑥 = − 𝑎; 𝑦 = − 𝑎; 𝑧 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) C 𝑥 = + 5𝑎; 𝑦 = + 𝑎; 𝑧 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) D Hệ vô nghiệm 𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 21 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính {3𝑥 + 10𝑦 − 9𝑧 = 2𝑥 + 7𝑦 − 7𝑧 = A 𝑥 = −6; 𝑦 = 3; 𝑧 = B 𝑥 = + 11𝑎; 𝑦 = −3𝑎; 𝑧 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) C 𝑥 = − 7𝑎; 𝑦 = 3𝑎; 𝑧 = 𝑎(𝑎 ∈ ℝ) D Hệ vô nghiệm 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 22 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính { 𝑦 + 3𝑧 = 𝑥+𝑦+𝑧 =2 A (1, −1, 2) B (1, 1, 2) C (2𝑎 + 1, − 3𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) D (2𝑎 − 1, − 3𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) 𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 = 2𝑥 − 6𝑦 = 23 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính { −𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = −2 A (1, −1, 2) B (5, 1, 0) C (2𝑎 + 1, − 3𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) D (2 + 3𝑎, 𝑎, 0)(𝑎 ∈ ℝ) 𝑥+𝑦−𝑧 =2 2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 24 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính { 3𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −7 A (−1, 3, 0) B (2𝑎 − 1, − 𝑎, 𝑎) (𝑎 ∈ ℝ) C (1, 1, 0) D Hệ vô nghiệm 𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 = 𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 25 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính { 𝑥 + 6𝑦 + 7𝑧 = 2𝑥 + 9𝑦 + 11𝑧 = A (𝑎, + 𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương B (−8, 1, 1) 42 Bài giảng Toán cao cấp A1 C (−𝑎 − 7, − 𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) Chương – Hệ phương trình tuyến tính D Hệ vơ nghiệm 𝑥+𝑦−𝑧 =2 2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 26 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính { 3𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = −2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = −7 A (1, 2, 1) B (2𝑎 − 1, − 𝑎, 𝑎) (𝑎 ∈ ℝ) C (1 + 2𝑎, − 𝑎, 𝑎)(𝑎 ∈ ℝ) D (2𝑎 − 1, + 𝑎, 𝑎) (𝑎 ∈ ℝ) 𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 = 27 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính { 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 3𝑥4 = 2𝑥1 + 3𝑥2 + 3𝑥3 + 4𝑥4 = 12 A (1, 1, 1,1) B (2𝑎 − 1, − 𝑎, 𝑎, 0) (𝑎 ∈ ℝ) C (3 − 3𝑎 + 𝑏, + 𝑎 − 2𝑏, 𝑎, 𝑏), (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ) D Hệ vô nghiệm 𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 = 28 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính { 𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 + 3𝑥4 = 2𝑥1 − 3𝑥2 + 6𝑥3 + 5𝑥4 = A (5 − 3𝑎, 2, 𝑎, 0)(𝑎 ∈ ℝ) B (5 − 3𝑎, 2, 𝑎, 1) (𝑎 ∈ ℝ) C (2, 2, 1, 0) D Hệ vô nghiệm 𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥4 = 2𝑥1 + 5𝑥2 + 5𝑥4 = 29 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính { 𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 + 2𝑥4 = −2𝑥1 − 4𝑥2 + 3𝑥3 − 4𝑥4 = A (32, −18, 7, 6) B (2𝑎 − 1, − 𝑎, 𝑎, 𝑎) (𝑎 ∈ ℝ) C (2, 1, 1, −1) D Hệ vô nghiệm 𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 − 2𝑥4 = 𝑥1 + 3𝑥3 − 3𝑥4 = 30 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính { 2𝑥1 − 𝑥2 + 7𝑥3 − 5𝑥4 = −2𝑥1 + 2𝑥2 − 4𝑥3 + 4𝑥4 = −2 A (0, 1, 2, 1) B (3𝑎 − 3, 𝑎, 2, 𝑎) (𝑎 ∈ ℝ) C (2𝑎 − 1, − 𝑎, 𝑏, 𝑎) (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ) D Hệ vơ nghiệm Dạng tốn: Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 31 Với giá trị 𝑚 hệ { 𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = có vơ số nghiệm 2𝑥 + 5𝑦 + 𝑧 = 𝑚 + A 𝑚 = B 𝑚 = −2 C 𝑚 tùy ý D Khơng có giá trị 𝑚 𝑥+𝑧 =2 32 Với giá trị 𝑚 hệ { −𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −1 có vơ số nghiệm 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 𝑚 + Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương 43 Bài giảng Toán cao cấp A1 A 𝑚 = −1 B 𝑚 = Chương – Hệ phương trình tuyến tính C 𝑚 tùy ý D Khơng có giá trị 𝑚 𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = 𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 33 Với giá trị 𝑚 hệ { có vơ số nghiệm 2𝑥 − 3𝑦 − 5𝑧 = 𝑚 + A 𝑚 = B 𝑚 = −2 C 𝑚 tùy ý D Khơng có giá trị 𝑚 𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = 34 Với giá trị 𝑚 hệ { −2𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = −3 có vô số nghiệm 𝑥 − 𝑦 + (𝑚 + 6)𝑧 = A 𝑚 = −6 B 𝑚 = −1 C 𝑚 tùy ý D Khơng có giá trị 𝑚 𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧 = 35 Với giá trị 𝑚 hệ { 2𝑥 + 11𝑦 − 6𝑧 = vô nghiệm 𝑥 + 7𝑦 + (𝑚 − 6)𝑧 = A 𝑚 ≠ B 𝑚 = C 𝑚 tùy ý D Khơng có giá trị 𝑚 𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 36 Với giá trị 𝑚 hệ { 𝑥 − 4𝑦 − 2𝑧 = vô nghiệm 2𝑥 − 9𝑦 − 𝑧 = 𝑚 + A 𝑚 = B 𝑚 ≠ C 𝑚 tùy ý D Khơng có giá trị 𝑚 𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 37 Với giá trị 𝑚 hệ { 2𝑥 + 7𝑦 − 𝑧 = vô nghiệm 𝑥 + 4𝑦 + (𝑚 + 1)𝑧 = A 𝑚 ≠ −1 B 𝑚 = −1 C 𝑚 tùy ý D Khơng có giá trị 𝑚 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 = 38 Với giá trị 𝑚 hệ { có vơ số nghiệm 3𝑥 + 4𝑦 + (𝑚 + 1)𝑧 = −1 A 𝑚 = −1 B 𝑚 = C 𝑚 tùy ý D Không có giá trị 𝑚 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 39 Với giá trị 𝑚 hệ {𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = có nghiệm −𝑥 − 𝑦 = 𝑚 A 𝑚 = B 𝑚 = −1 C 𝑚 tùy ý D Không có giá trị 𝑚 𝑥+𝑧 =0 40 Với giá trị 𝑚 hệ { 𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 𝑚 + có nghiệm −𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 𝑚 + A 𝑚 = B 𝑚 = −1 C 𝑚 tùy ý D Khơng có giá trị 𝑚 𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧 = 41 Với giá trị 𝑚 hệ { 2𝑥 + 11𝑦 − 6𝑧 = có nghiệm 𝑥 + 7𝑦 + (2𝑚 − 2)𝑧 = A 𝑚 = −2 B 𝑚 ≠ −2 Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương C 𝑚 tùy ý D Khơng có giá trị 𝑚 44 Bài giảng Toán cao cấp A1 Chương – Hệ phương trình tuyến tính 𝑥−𝑧=1 −𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = vô nghiệm 42 Với giá trị 𝑚 hệ { 2𝑥 + 𝑦 = 𝑚 + A 𝑚 = −1 B 𝑚 ≠ −1 C 𝑚 = D 𝑚 ≠ 𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧 = 43 Với giá trị 𝑚 hệ { 2𝑥 + 11𝑦 − 6𝑧 = vô nghiệm 𝑥 + 7𝑦 + (𝑚 − 6)𝑧 = A 𝑚 = B 𝑚 ≠ C 𝑚 tùy ý D Khơng có giá trị 𝑚 𝑥+𝑦+𝑧 =2 44 Với giá trị 𝑚 hệ { 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 𝑚 + vô nghiệm 3𝑥 + 𝑦 + 5𝑧 = 3𝑚 + 13 A 𝑚 = B 𝑚 ≠ C 𝑚 ≠ −7 D 𝑚 = −7 𝑥 − 5𝑦 − 𝑧 = 45 Với giá trị 𝑚 hệ { 𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = có nghiệm 2𝑥 − 9𝑦 = 𝑚 + A 𝑚 = B 𝑚 ≠ C 𝑚 ≠ −7 D 𝑚 = −7 −𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 46 Với giá trị 𝑚 hệ { −𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = có nghiệm 2𝑥 − 5𝑦 + 𝑚𝑧 = A 𝑚 = B 𝑚 ≠ C 𝑚 ≠ −1 D 𝑚 = −1 −𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 47 Với giá trị 𝑚 hệ { −𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = có nghiệm 2𝑥 − 5𝑦 + 𝑚𝑧 = A 𝑚 = B 𝑚 ≠ C Không tồn 𝑚 D 𝑚 tùy ý 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 48 Với giá trị 𝑚 hệ { 𝑥1 − 𝑚𝑥2 + 𝑥3 = vô nghiệm −𝑚𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = A 𝑚 = −1 B 𝑚 = C 𝑚 ≠ D 𝑚 ≠ −1 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 49 Với giá trị 𝑚 hệ { 2𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = có nghiệm 3𝑥 + 7𝑦 + 𝑚2 𝑧 = A 𝑚 = ±2 B 𝑚 ≠ ±2 C 𝑚 = D 𝑚 = −2 𝑥 + 𝑦 − 𝑚𝑧 = 50 Với giá trị 𝑚 hệ { 𝑥 − 𝑚𝑦 + 𝑧 = có nghiệm −𝑚𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = A 𝑚 ≠ B 𝑚 ≠ 𝑚 ≠ −1 C 𝑚 = D 𝑚 = 𝑚 = −1 Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương 45 Bài giảng Toán cao cấp A1 Chương – Hệ phương trình tuyến tính 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑚𝑧 = 51 Với giá trị 𝑚 hệ {2𝑥 + 𝑚𝑦 + 2𝑧 = −1 có nghiệm 𝑚𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = A 𝑚 ≠ B 𝑚 ≠ −4 𝑚 ≠ C 𝑚 = D 𝑚 = −4 𝑚 = 3𝑥 + 3𝑦 + 𝑚𝑧 = 52 Với giá trị 𝑚 hệ {3𝑥 + 𝑚𝑦 + 3𝑧 = −1 có nghiệm 𝑚𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = A 𝑚 ≠ B 𝑚 ≠ −6 𝑚 ≠ C 𝑚 = D 𝑚 = −6 𝑚 = 𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = −1 53 Với giá trị 𝑚 hệ { −2𝑥 − 6𝑦 + (𝑚 + 1)𝑧 = có vơ số nghiệm 4𝑥 + 12𝑦 + (𝑚2 + 3)𝑧 = 𝑚 − A 𝑚 = B 𝑚 = −1 C Không tồn 𝑚 D 𝑚 = −1 𝑚 = 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 = 54 Với giá trị tham số 𝑚 hệ { 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 𝑚 vô nghiệm 𝑥1 + 7𝑥2 − 5𝑥3 − 𝑥4 = 4𝑚 A 𝑚 = B 𝑚 ≠ −2 C Không tồn 𝑚 D 𝑚 tùy ý 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 = 55 Với giá trị tham số 𝑚 hệ { 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 𝑚 vô nghiệm 𝑥1 + 7𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4 = 4𝑚 A 𝑚 = −2 B 𝑚 ≠ −2 C Không tồn 𝑚 D 𝑚 tùy ý 𝑚𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 𝑥 56 Với giá trị tham số 𝑚 hệ { + 𝑚𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = vô nghiệm 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑚𝑥3 + 𝑥4 = A 𝑚 = B 𝑚 ≠ −2 C Không tồn 𝑚 D 𝑚 tùy ý 57 Với giá trị 𝑚 hệ phương trình sau có nghiệm 2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 4𝑥4 = { 𝑥1 + 7𝑥2 − 4𝑥3 + 11𝑥4 = 𝑚 4𝑥1 + 8𝑥2 − 4𝑥3 + 16𝑥4 = 𝑚 + A 𝑚 = B 𝑚 ≠ C Không tồn 𝑚 D 𝑚 tùy ý 𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑥4 = 𝑥1 + 2𝑥3 + 𝑥4 = 58 Với giá trị 𝑚 hệ { có vơ số nghiệm 2𝑥1 − 𝑥2 + (𝑚 + 5)𝑥3 = 𝑥1 + (𝑚 + 3)𝑥3 + 𝑥4 = Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương 46 Bài giảng Toán cao cấp A1 A 𝑚 = −1 Chương – Hệ phương trình tuyến tính B 𝑚 ≠ −1 C Không tồn 𝑚 D 𝑚 tùy ý 59 Với giá trị 𝑚 hệ phương trình sau có nghiệm 𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑥4 = 𝑥1 + 2𝑥3 + 𝑥4 = { 2𝑥1 − 𝑥2 + (𝑚 + 5)𝑥3 = 𝑥1 + (𝑚 + 3)𝑥3 + 2𝑥4 = A 𝑚 = −1 B 𝑚 ≠ −1 C Không tồn 𝑚 D 𝑚 tùy ý 60 Với giá trị 𝑚 hệ phương trình sau có nghiệm 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥4 = 𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 + 4𝑥4 = { 𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 − 𝑥4 = 𝑚 4𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 + 𝑚𝑥4 = 𝑚2 − 6𝑚 + A 𝑚 = B 𝑚 = C Không tồn 𝑚 D 𝑚 tùy ý 61 Với giá trị 𝑚 hệ phương trình sau có nghiệm 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑚𝑥4 𝑥 + 𝑥2 + 𝑚𝑥3 + 𝑥4 { 𝑥1 + 𝑚𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 𝑚𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 =1 =1 =1 =1 A 𝑚 = 𝑚 = −3 B 𝑚 ≠ 𝑚 ≠ −3 C 𝑚 ≠ D 𝑚 = 62 Với giá trị 𝑚 hệ phương trình sau có nghiệm 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑚𝑥4 𝑥 + 𝑥2 + 𝑚𝑥3 + 𝑥4 { 𝑥1 + 𝑚𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 𝑚𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 =1 =1 =1 =1 A 𝑚 = 𝑚 = −3 B 𝑚 ≠ 𝑚 ≠ −3 C 𝑚 ≠ −3 D 𝑚 = −3 Dạng toán: Hệ phương trình tuyến tính 𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 63 Nghiệm hệ {2𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = 3𝑥 − 5𝑦 − 3𝑧 = A 𝑥 = −1; 𝑦 = 0; 𝑧 = B 𝑥 = −1; 𝑦 = 1; 𝑧 = C 𝑥 = −1; 𝑦 = 0; 𝑧 = D 𝑥 = 0; 𝑦 = 0; 𝑧 = 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 64 Nghiệm hệ {2𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương 47 Bài giảng Toán cao cấp A1 Chương – Hệ phương trình tuyến tính A 𝑥 = −3; 𝑦 = −1; 𝑧 = B 𝑥 = 0; 𝑦 = 0; 𝑧 = C 𝑥 = 1; 𝑦 = −1; 𝑧 = D 𝑥 = 1; 𝑦 = 0; 𝑧 = 𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 65 Nghiệm hệ {2𝑥 − 5𝑦 − 𝑧 = 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = A 𝑥 = 8; 𝑦 = 3; 𝑧 = B 𝑥 = −10; 𝑦 = −3; 𝑧 = C 𝑥 = 0; 𝑦 = 3; 𝑧 = D 𝑥 = 0; 𝑦 = 0; 𝑧 = 𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 = 66 Hệ nghiệm hệ { 2𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = −2𝑥1 − 2𝑥2 + 6𝑥3 = A (2, 1, 0), (0, 0, 0) B (−1, 1, 0), (0, 0, 0) C (1, 1, 1) D (−1, 1, 0) 𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = 67 Hệ nghiệm hệ { 𝑥 − 𝑧 = 2𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = A (1, −2, 1) B (1, 2, 1) C (4, 2, 1) D (7, 2, 1) −𝑥 + 𝑦 = 𝑥 68 Hệ nghiệm hệ { − 2𝑦 + 𝑧 = 𝑦−𝑧 =0 A (1, 1, 1), (0, 0, 0) B (1, 1, 1) C (0, 1, 1), (1, 0, 1) D (0, 1, 0) 𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 69 Hệ nghiệm hệ {2𝑥 − 5𝑦 + 5𝑧 = 𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = A 𝑥 = −10; 𝑦 = −3; 𝑧 = B 𝑥 = 1; 𝑦 = 1; 𝑧 = C 𝑥 = 4; 𝑦 = 1; 𝑧 = D 𝑥 = 1; 𝑦 = 0; 𝑧 = 3𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = 70 Số nghiệm hệ phương trình { 2𝑥 + 7𝑦 − 6𝑧 = 4𝑥 + 39𝑦 − 34𝑧 = A nghiệm B nghiệm C nghiệm D nghiệm 𝑥+𝑦−𝑧+𝑡 =0 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 71 Số nghiệm hệ phương trình { 3𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 + 3𝑡 = 5𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 5𝑡 = A nghiệm B nghiệm Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương C nghiệm D nghiệm 48 Bài giảng Toán cao cấp A1 Chương – Hệ phương trình tuyến tính 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 2𝑥 + 5𝑥2 + 3𝑥3 + 2𝑥4 = 72 Cho hệ phương trình tuyến tính { Hệ 3𝑥1 + 7𝑥2 + 4𝑥3 + 3𝑥4 = 𝑥1 − 2𝑥2 − 3𝑥3 + 𝑥4 = nghiệm hệ A (1, −1, 1, 0), (0, 0, 0, 0) B (−1, 0, 0, 1), (0, 0, 0, 0) C (1, −1, 1, 0), (−1, 0, 0, 1) D (1, −1, 1, 0), (1, 0, 0, 1) 𝑎𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 73 Với giá trị 𝑎 hệ { 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = có nghiệm KHƠNG tầm thường 3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = A 𝑎 ≠ B 𝑎 = C 𝑎 ≠ −5 D 𝑎 = −5 74 Với giá trị 𝑚 hệ phương trình sau có nghiệm tầm thường 𝑥 + 2𝑦 + (𝑚 − 5)𝑧 = 2𝑥 − 𝑦 = { (5 − 𝑚)𝑥 + 𝑦 + (𝑚 − 5)𝑧 = A 𝑚 ≠ B 𝑚 ≠ C 𝑚 ≠ D 𝑚 ≠ 𝑚 ≠ 75 Với giá trị 𝑚 hệ phương trình sau có nghiệm KHƠNG tầm thường 𝑥 + 𝑚𝑦 + (𝑚 + 1)𝑧 = { 𝑚𝑥 − 𝑦 + (1 − 𝑚)𝑧 = (𝑚 + 1)𝑥 + (𝑚 + 1)𝑧 = A 𝑚 = −1 ∧ 𝑚 = B 𝑚 = −1 ∨ 𝑚 = C 𝑚 = −1 ∧ 𝑚 = ∧ 𝑚 = D 𝑚 = −1 ∨ 𝑚 = ∨ 𝑚 = 76 Với giá trị 𝑚 hệ phương trình sau có số nghiệm nhiều 𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 = 2𝑥 + 7𝑦 + 3𝑧 + 4𝑡 = { 𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 − 𝑡 = 𝑥 + 2𝑦 + 𝑚𝑧 + 5𝑡 = A 𝑚 ≠ B 𝑚 = C 𝑚 ≠ D 𝑚 = 77 Với giá trị 𝑚 hệ phương trình sau có số nghiệm nhiều 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 = 2𝑥 + 5𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 = { 𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑚𝑥3 − 2𝑥4 = 𝑥1 + 3𝑥2 + (𝑚2 − 1)𝑥4 = A 𝑚 ≠ B 𝑚 = −1 C 𝑚 ≠ −1 D 𝑚 = 78 Với giá trị NGUYÊN 𝑚 hệ phương trình sau có nghiệm KHƠNG tầm thường Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương 49 Bài giảng Toán cao cấp A1 Chương – Hệ phương trình tuyến tính 𝑥1 + 𝑚𝑥2 + 𝑚𝑥3 = {2𝑥1 + 𝑚𝑥2 + 3𝑥3 = 𝑚𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = A 𝑚 ≠ B 𝑚 = C 𝑚 ≠ D 𝑚 = BÀI TẬP TỰ LUẬN CHƯƠNG I Giải hệ phương trình tuyến tính sau 2x y 2z 2 x y z 3x y z 2 x y z x y 5z 2 x y 11z 3x 11y z x y 5z 2 x y 11z 3x 11y z x yz 2 2 x y 3z 3x y x x1 x2 x3 x1 x2 3x3 x x x x1 x2 x3 x1 x2 3x3 x x x x y 2z x y z x 2y z 1 2 x y z x y 3z 3x y z 11 11 4 x y z 17 x 3y z 2 x y 3z 12 x y z 3x y z x 3y 7z 14 x y z y z 3 x yz 0 15 y2 2 x y z x yz 3 10 2 x y z 5 x y z 15 x y z 13 y 3z y z x yz 0 16 2 x y z 3x y 3z 3x1 x2 x3 x4 17 x1 x2 x3 x4 9 x 12 x 3x 10 x 13 x1 x2 x3 4 x 3x x 19 2 x1 3x2 x3 x1 x2 x3 12 x1 x2 x3 x4 3x x x x 4 20 x1 x2 x3 x4 x1 x2 3x3 x4 4 x1 x2 3x3 x4 18 3x1 x2 x3 x4 9x 4x x x 2 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 𝑥 + 𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 21 { 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 =1 =1 =1 =1 II Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính sau x y z x y mz 2 x y z x y 2z 3x y z 2 x y mz Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương 4 x y z 2 x y z m x y z 50 Bài giảng Toán cao cấp A1 4 x y z 2 x y z m x y z Chương – Hệ phương trình tuyến tính x y 2z 3x y z 2 x y mz (m 7) x 12 y z m 10 x (m 19) y 10 z 2m 12 x 24 y (m 13) z 2 x y z 4 x y z 8 x 12 y (m 6) z 2 x y z 2 x y z 6 x y 3z 2m x1 x2 x3 2 x1 x2 3x3 3 x x m x x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 3x5 x y 2z x x x x x 1 x 2x x 4x 12 10 2 x y z 11 3x1 x2 x3 3x4 x5 3x y mz x1 x2 x3 11x4 m 4 x1 x2 x3 16 x4 m 5 x1 x3 x4 x5 m II Định giá trị tham số Định m để hệ phương trình có nghiệm : x y (m 5) z a) 2 x y (5 m) x y (m 5) z x my z m b) x y z 2 2 x (m 2) y (m 2) z m m Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm: x my z m 2 x y 2(7 m) z b) 2 x y z c) x y z 5 x 10 y (m 5) z 2 x (m 2) y (m 2) z 2m Định m để hệ phương trình sau vơ nghiệm: x my z m x my z m x my z m a) x y z b) x y z c) x y z 2 x (m 2) y z m 2 x (m 2) y 3z m 2 x (m 2) y z m Định m để hệ phương trình sau có nghiệm: x y (7 m) z a) 2 x y z 5 x 10 y (m 5) z 2 x y z a) 4 x (m 5) y (m 3) z m 8 x 12 y (m 4) z m 2 x y z b) 4 x (m 5) y (m 3) z m 8 x 12 y (m 4) z m mx y z t x my z t Cho hệ phương trình sau (với tham số m ) x y mz t x y z mt a) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm b) Tìm giá trị m để hệ phương trình có vơ số nghiệm Xác định giá trị 𝑎 ∈ ℝ để hệ sau có nghiệm khơng tầm thường Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương 51 Bài giảng Toán cao cấp A1 Chương – Hệ phương trình tuyến tính ax y z 2x y z 3x y z x yz m mx y z Cho hệ phương trình sau (với tham số m ) x my z x y mz Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm (ĐS: m 3 ) Sơ đồ giải biện luận hệ phương trình tuyến tính det 𝐴 = 𝐴𝑋 = 𝐵 ≠ 𝐴(𝑛 × 𝑛) Từ điều kiện tìm m ngược lại phương trình, dùng phương pháp Gauss để giải Nếu khơng tìm m bắt buộc dùng 𝑟(𝐴), 𝑟(𝐴̅) Tính det 𝐴 Hệ có nghiệm Có thể dùng cơng thức nghiệm Cramer hoăc dùng phương pháp Gauss det 𝐴 ≠ r(𝐴) ≠ r(𝐴̅) 𝐴𝑋 = 𝐵 𝐴(𝑚 × 𝑛) 𝐴𝑋 = 𝐵 ≠ 𝐴(𝑚 × 𝑛) Hệ vơ nghiệm Tính 𝑟(𝐴), 𝑟(𝐴̅) r(𝐴) = r(𝐴̅) = 𝑟 det 𝐴 = Hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc 𝑛 − 𝑟 tham số Dùng phương pháp Gauss giải Hệ có vơ số nghiệm Từ tìm m Dùng pp Gauss để giải 𝑚=𝑛 𝐴𝑋 = 𝐵 = 𝐴(𝑚 × 𝑛) Hệ ln có nghiệm nghiệm tầm thường det 𝐴 ≠ 𝑚𝑛 Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương Dùng pp Gauss, đưa hệ 52 ... ? ?1/ 3 0 ? ?1 ? ?1/ 3 1/ 3 1 0 1 ] 1/ 3 1/ 3 1/ 3 2/3 ? ?1/ 3 ? ?1/ 3 ? ?1/ 3 2/3 ? ?1/ 3 ? ?1/ 3 ? ?1/ 3 2/3 −2/3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 −2/3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 −2/3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 −2/3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 −2/3 1/ 3 1/ 3 −2/3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3... ? ?1 1 ? ?1] ? ?1 Bài giải Bành Thị Hồng - Bùi Hùng Vương Bài giảng Toán cao cấp A1 Chương – Ma trận – Định thức Ta có ? ?11 = (? ?1) 1 +1 det ? ?11 = | 1 ? ?1 | = (? ?1) − (? ?1) = ? ?1 ? ?12 = (? ?1) 1+2 det ? ?12 = ? ?1. .. giảng Toán cao cấp A1 Chương – Ma trận – Định thức | = 1, ? ?12 = (? ?1) 1+2 |