Đang tải... (xem toàn văn)
KHOA KHOA HỌC cơ BẢN TÓ TOÁN LÊ VĂN LAI TOÁN CAO CẤPA1 ( Lưu HÀNH NỘI Bộ ) TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHÓ HỒ CHÍ MINH Khoa Khoa Học Cơ Bản Tổ Toán Lê Văn Lai TOÁN CAO CẤP AI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CỔNG.
KHOA KHOA HỌC BẢN - TĨ TỐN LÊ VĂN LAI TOÁN CAO CẤPA1 ( Lưu HÀNH NỘI Bộ ) TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHIỆP THÀNH PHĨ HỒ CHÍ MINH Khoa Khoa Học Cơ Bản - Tổ Toán Lê Văn Lai TOÁN CAO CẤP AI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CỔNG NGHIỆP TP.HCM thUvjen MẲ VẠCH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP Hồ CHÍ MINH X Lời nói đâu Được chấp thuận Trưởng khoa Khoa học Cơ Tập thể tổ Tốn, cn sách TOAN CAO CAP Al trở thành giáo trình thức từ năm học 2017 — 2018 Giáo trình biên soạn sát chương trình sinh viên trường đại học khối kỹ thuật công nghệ với thời lượng khoảng 45 tiết Kiến thức trình bày chi tiết cách logic, dễ hiểu Do mơn học mang tính chất làm tảng cho mơn tốn mà sau sinh viên học, nên hầu hết định lý chứng minh Lần đầu đọc sách, sinh viên khơng đọc chứng minh, thay vào sinh viên đọc ví dụ minh họa để hiểu nội dung định lý Giáo trình chia thành sáu chương: Chương 1: Giới hạn liên tục Chương 2: Đạo hàm vi phân Chương 3: ứng dụng đạo hàm Chương 4: Tích phân Chương 5: Chuỗi số Chương 6: Chuỗi hàm Sau chương có phần tập trắc nghiệm tự luận trắc nghiệm khách quan Tác giả xin gửi lời chân thành cảm ơn q thầy, tổ Tốn Khoa Khoa học Cơ — Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh đóng góp nhiều ý kiến quý báu Giáo trình phản biện lần đầu tiếp tục cập nhật Quý Thầy tham gia phản biện giáo trình: Huỳnh Hữu Dinh, Lã Ngọc Linh, Đoàn Vương Nguyên, Nguyễn Đức Phương, Trần Mạnh Tuấn Thành phố Hồ Chí Mình, tháng 06 năm 2017 Tác giả Mục lục Lời nói đầu Mục lục GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1 Cơ BẢN VỀ SỐ THỰC 1.1.1 Các tập số thường gặp 1.1.2 Tiên đề sup, inf 10 1.1.3 Tính chất Archimède 12 1.1.4 Đường thẳng thực mở rộng 12 HÀM SỐ 13 1.2 1.3 1.4 1.2.1 Khái niệm hàm số 13 1.2.2 Một số tính chất đặc biệt hàm số 14 1.2.3 Hàm số ngược 16 1.2.4 Hàm số hợp 17 1.2.5 Hàm số sơ cấp 18 1.2.6 Hàm số sơ cấp 22 DÂY SỐ 24 1.3.1 Dãy hội tụ 25 1.3.2 Dãy đơn điệu 31 1.3.3 Dãy 33 GIỚIHẠN CỦA HÀM số 33 1.4.1 Khái niệm giới hạn hàm số 33 1.4.2 Các quy tắc tính giói hạn 37 1.4.3 Tính chất kẹp 38 MỤC LỤC 1.5 1.6 1.7 1.8 1.4.4 Giới hạn hàm hợp 39 1.4.5 Giới hạn phía 40 1.4.6 Mở rộng khái niệm giới hạn 42 1.4.7 Hai giới hạn quan trọng 46 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM số 47 1.5.1 Định nghĩa tính chất 47 1.5.2 Liên tục phía Phân loại điểm gián đoạn 50 1.5.3 Hàm liên tục đoạn 51 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM sơ CẤP 53 1.6.1 Hàm lũy thừa, thức 53 1.6.2 Hàm mũ hàm logarit 54 1.6.3 Hàm lượng giác, lượng giác ngược 56 VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN VÀ GIỚI HẠN 56 1.7.1 Hàm tương đương 56 1.7.2 Vô bé (VCB) 58 1.7.3 Vô lớn (VCL) 61 BÀI TẬP 63 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2.1 2.2 2.3 70 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP 70 2.1.1 Đạo hàm 70 2.1.2 Vi phân 79 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CAP CAO 85 2.2.1 Đạo hàm cấp cao 85 2.2.2 Vi phân cấp cao 88 CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 89 2.3.1 Khái niệm cực trị 89 2.3.2 Định lý Fermat 90 2.3.3 Định lý Rolle 90 2.3.4 Định lý Cauchy 91 MỤC LỤC Định lý Lagrange 92 QUY TẮC UHÔPITAL 93 2.4.1 Dạng - 93 2.4.2 Dạng 95 2.4.3 ■ Các dạng vô định khác 97 2.3.5 2.4 2.5 2.6 2.5.1 Công thức Taylor với phần dư Lagrange 100 2.5.2 Công thức Taylor với phần dư Peano 101 2.5.3 Công thức Maclaurin số hàm số sơ cấp 102 2.5.4 Tính gần cơng thức Taylor 103 2.5.5 Tính giới hạn cơng thức Taylor 106 BÀI TẬP 107 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 3.1 3.2 3.3 3.4 CÔNG THÚC TAYLOR 100 118 KHẢO SÁT HÀM Y = F(X) 118 3.1.1 Tính đơn điệu hàm số 118 3.1.2 Cực trị 120 3.1.3 Tính lồi, lõm điểm uốn 121 3.1.4 Đường tiệm cận 122 KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG THAM SỐ 125 3.2.1 Phương trình tham số đường cong 3.2.2 Khảo sát đường cong tham số 126 125 KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG TRONG HỆ TỌA ĐỘ cực 128 3.3.1 Hệ tọa độ cực 128 3.3.2 Hệ tọa độ cực mở rộng 129 3.3.3 Đường cong hệ tọa độ cực mở rộng 130 3.3.4 Khảo sát đường cong hệ tọa độ cực mở rộng 130 BÀI TẬP 133 TÍCH PHÂN 137 MỤC LỤC 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 TÍCHPHÂN BẤT ĐỊNH 137 Nguyên hàm 4.1.2 Tích phân bất định 138 4.1.3 Phương pháp tính tích phân bất định 139 4.1.4 Tích phân hàm hữu tỷ 145 4.1.5 Tích phân hàm lượng giác 148 4.1.6 Tích phân số hàm vô tỷ 152 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 156 4.2.1 Định nghĩa tính chất 156 4.2.2 Công thức Newton - Leibniz 4.2.3 Phương pháp tính tích phân xác định 162 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 5.2 5.3 160 165 4.3.1 Tích phân suy rộng loại 166 4.3.2 Tích phân suy rộng loại hai 173 ÚNG DỤNGTÍCH PHÂN 180 4.4.1 Tính diện tích hình phẳng 180 4.4.2 Tính thể tích vật thể 185 4.4.3 Tính độ dài cung phẳng 190 4.4.4 Tính diện tích mặt trịn xoay 193 BÀI TẬP - 195 CHUỖI SỐ 5.1 137 4.1.1 205 ĐẠI CUƠNG VỀ CHUỖIsố 205 5.1.1 Các khái niệm chuỗi số 205 5.1.2 Điều kiện cần để chuỗi hội tụ 207 5.1.3 Tính chất chuỗi hội tụ 208 CHUỖI SỐ DUƠNG 210 5.2.1 Khái niệm chuỗi dương 210 5.2.2 Các tiêu chuẩn hội tụ 212 CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ .219 MỰC LỤC 5.4 5.3.1 Chuỗi đan dấu 219 5.3.2 Hội tụ tuyệt đối 220 BÀI TẬP 222 CHUỖI HÀM 6.1 6.2 6.3 6.4 232 DÃY HÀM 232 6.1.1 Định nghĩa 232 6.1.2 Hội tụ điểm, hội tụđều 232 6.1.3 Tính chất dãy hàm hội tụ 233 CHUỖI HÀM 234 6.2.1 Các định nghĩa 234 6.2.2 Chuỗi hàm hội tụđều 235 6.2.3 Các tính chất chuỗi hàm hội tụ 237 CHUỖI LŨY THỪA 238 6.3.1 Định nghĩa 238 6.3.2 Bán kính hội tụ 239 6.3.3 Tính chất chuỗilũy thừa 243 BÀI TẬP 245 HƯỚNG DẪN - ĐÁP ÁN 250 Tài liêu tham khảo 255 Chương GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 BẢN VỀ SỐ THỰC HÀM SỐ DÃY SỐ x GIỚI HẠN CỦA HÀM số TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM số 13 24 33 47 1.6 1.7 1.8 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM sơ CAP VỐ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN VÀ GIỚI HẠN BÀI TẬP 53 56 63 Cơ BẢN VỀ SỐ THỰC 1.1.1 Các tập số thường gặp Tập hợp tất số tự nhiên ký hiệu N, nghĩa N = {0;l;2 } Tập hợp tất số nguyên dương ký hiệu N , * * N = {1;2;3 Tập hợp tất số nguyên ký hiệu z, nghĩa z = - 2; -l;0,l;2 nghĩa GIỚI HẠN VÀ LỈÊN TỤC 10 Tập hợp tất số hữu tỷ ký hiệu Q, nghĩa _ _ì n / 0> {—nĩn : m, n e z, J Từ xưa, người ta biết số nguyên số hữu tỷ biểu diễn tất số đo sống Chẳng hạn, hình vng có độ dài cạnh đơn vị đường chéo khơng thể biểu diễn số hữu tỷ Từ đó, xuất tập hợp số dùng đê biểu diễn cho số đo hoàn cảnh Tập số gọi tập số vô tỷ Tập hợp tất số hữu tỷ vô tỷ gọi tập hợp số thực ký hiệu R Để số a số thực ta viết a € R, đọc "a thuộc R" Giá trị tuyệt đối số thực a, ký hiệu \a \, xác định I I _ í a, a > ,fl| ị — a, a < Ví dụ 1.1 |1,3| = 1,3 |—3,5| = 3,5 Giá trị tuyệt đối có tính chất sau: |ữ| — l— a\ > \ab\ — H IN' + b| < IN + IN • Khoảng cách hai số a b \a — b\, độ dài đoạn thẳng nối a với b Hai số thực a b gọi gần \a — b\ nhỏ Phần trình bày số điều cốt lõi tập số thực để làm sở lý luận cho toàn nội dung sách 1.1.2 Tiên đề sup, inf Định nghĩa 1.1 Cho A tập khác rỗng R, (X e R • a phần tử nhỏ A ŨC G A a < X với X E A Phần tử nhỏ A, có, ký hiệu A • a chặn A a > X với X € A Khi A có chặn trên, ta nói A bị chặn đó, phần tử nhỏ tập tất chặn trên, có, gọi chặn nhỏ A, ký hiệu sup A 1.6 TÍNH LIÊN TỤC CÙA HÀM sơ CẤP 55 a) Ta biến đổi J (cosx)? (1 + cos X — 1) VI‘H V — -ị— Mà lim (1 + cos X — 1) cosỉr-1 = e, X >0 cosx — —2sin2 ị lim - Z = lim =—- = —— X—>0 X2X->0 X22 nên 1- / \ -4 lim (cosxj A = e x->0 b) Ta biến dổi / -2 \ Mà lim I x-> I co \ X2 4- 3/ _ - 2x2 e, lim ,— = —2, nên x->0 X2 I /x2 + l Ỵr im -k =e -> + «5\x2-}-3/ Từ tính liên tục giới hạn hàm /(x) — ev f(x) = in X ta suy tính liên tục giới hạn hàm /(x) = xn = edn\rt R, X > 0, /(x) = ax = exlnfl,0 < a / l,x e R, fW = log,, * = ì^yO < a Ạ l,x > Ngồi ra, ta có giới hạn sau cho hàm mũ hàm logarit số e, Định lý 1.28 ln(l + x) lim —-—■—- = 1; X >0 X c' lim —— - X >0 X Chứng minh Dùng Dinh lý 1.18 tính liên tục hàm In □ GIỚI Ị ỉAN VÁ LIÊN TỤC 56 1.6.3 Hàm lượng giác, lượng giác ngược Định lý 1.29 /(x) = sin X fix') = cosx hàm liên tục R /(x) = tan X ỉà hàm lien tục D — R \ { J I kĩT lim tan X = TOO, lim tan X = I k € z} T00- /(x) = cotx hum liên tục D — R \ {kn I k G Z}- Z’à lim cotx = ±oo, lim cotx = ±oo X ~>0± Chứng minh x->7ĩ± Xem ví dụ 1.25 Vì tan X — Ị, Vx 7^ + kĩĩ, k € 7, nên tan X liên tục R \ { -ị + kĩĩ I k € 7.} , limr t i tanx — =Fcozlimv k tan X — I co tỉr dinh nghía hám tan Vì cot X = ^Tỳz Vx / ì(7ĩ,k G z nên liên tục R \ {Ă'7r I k G7.}, limx _>()! cotx = d-oo, )imx >7ri cotx Too từ dịnh nghĩa hàm cot □ Kết hợp Định lý 1.25 Định lý 1.29 ta thu dược tính liên tục hàm lượng giác ngược, Định lý 1.30 Ta có /(x) = arcsin X /(x) = arccos X hàm liên tục [ — 1; 1] Ặ(x) = arctan X /(x) — arccotx hi hàm liên tục R, 77" lim arctanx = ±77, lim arccotx — 0, lim arccotx = X—>±OO X-Ỷ4-OO x->- oo 7T Cuối cùng, ta có DỊnh lý 1.31 Các hàm số sư cap liên tục điểm ma chúng xác định 1.7 VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN VÀ GIỚI HẠN 1.7.1 Hàm tương đương Định nghĩa 1.29 Cho hai hàm /(x)z a Khi dó, ta ký hiệu /(x) ~ g(x) X —> a Chú thích 1.2 Trong định nghĩa 1.29, a hửu hạn, ta có thê thay X X —> a4 hay X —> a~ > rt 1.7 VÔ CÙNG lú, VÔ CUNG LỚN VÀ GIỚI HẠN 57 E3 Tính chất Định lý 1.32 Xét trình X —> a € R Ta có: 7- /( ) * ~/ơ); Neu y(x) ~ #(x) g(x) ~ /í(x) /(x) ~ h(xỴ Ncu f(x) ~ fi(x) g(x) ~ gi(x) f(x}g(x) ~ /1 (x)tfi(x) ) * tf( giW Nếu /(x) ~ g(x) \/f(x) ~ ựg{x), già sử càn thức cá nghĩa Nêu /(x) ~ g(x) g(x) —> L G R f(x) —> L Chứng minh Hiển nhiên Khi X —> rỉ, ta có f(x) _ fU) g(x) /z(x) g(x) h(x) ► = Khi X —> rỉ, ta co f(x)g(x) = f(x) g(x) fìU)giU) /ỉUYẵảx} v = /(x) ỈLịì> Xi(x) fG) Sl(x) /i(>)'x(x) q 2 Khi X —> rỉ, ta có y/(x) = ,//« ựgU) , \ x(x) X —> a Khi X —> a, ta có /W = X«X(r)^,’L=I'' ■ Các tương dương Khi X —> ta có tương dương saư dây: sin X ~ x; tan X — x; arcsin X ~ x; arc tan X ~ x; 1V-1 — cơs X ~ -X ; ex - ~ x; • ln(l + x) ~ x; ax — ~ X In a; 10 (1 xỴ - ~ AIX GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 58 Dặc biệt, ta có 11 anxn + an-\Xn + apxp ~ apxp X -> 0,72 > p,(ỉp Ạ 0; 12 anxn 4- an ỵx" 4- 4- apxp ~ a„x11 X —> ±00,72 > p,a„ ỹỂ 1.7.2 Vô bé (VCB) DỊnh nghĩa 1.30 Cho a € R hàm f(x) xác định lân cận cúa a Hàm số f(x) gọi vô bé X —> a limx^(7/(x) = Chú thích 1.3 Trong định nghĩa 1.30, a hữu hạn, ta thay X —> a X —> a hay X —> a~ Ví dụ 1.41 sin X, tan X, — cos X VCB X -> cosx, cotx VCB X —> ậ \X2 * 4-3 VCB X —> ±oo ■ So sánh hai VCB đồng thời Định nghĩa 1.31 Cho f{x~)fg(x) hai VCB X —> a Ta nói /(x) #(x) hai VCB so sánh tồn giới hạn (hữu hạn vơ hóm) Khi đó: Neu K = ta nói /(x) VCB cấp cao ^(x), ký hiệu /(x) = 0(g(x)) X -> a Neu K = ±oo ta nói X"(x) VCB cấp cao /(x), ký hiệu y(x) = 0(/(x)) X —> a Nou K ỢÉ {0, ±oo} ta nói /(x) g(x) cấp Ví dụ 1.42 Khi X —> 0, X2 — cosx hai VCB so sánh dược đó, X2 VCB cấp với — cos X Khi X —> 0, X3 sin2 X hai VCB so sánh X3 lim — = 0, x->0 sin X 7? dó, X3 VCB cấp cao sin2 X 1.7 VÔ CÙNG BÉ, VÔ CUNG LỚN VÀ GIỚĨ HẠN 59 BI Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao Bô’ dề 1.1 Cho /(x),g(x) hai VCB X —> a Khi đó: Nếu cấp fix') nhỏ cấp g(x) thi /(x) + g(x) ~ f(x),x -> a Giả sử f(x) ~ fỉ(x) g(x) ~ Xì(x) X —> a Nếu /(x) g(x) cấp khơng tiíơng điíơng, nghĩa limx >(í = b, với b cỊ_ {0,1, oo} f(x) - x(x) ~ /1 (x) - gj (x), X -> a Chứng minh Ta có lim X XI f(x)+g(x) f(x) lim X >11 Ta có lim X XI Ví dụ 1.43 f(x)-g(x) f\(x)-gi(x) h- lim -X(x) - = lim —-—- —É— = x-»«gl(x) ỉlịĩ> _ b-1 Do X3 = 0(2 sin2 x) X —> nên X3 + sin2 X - sin2 X, X —» Khi X —> 0, tan3x sinx hai VCB cấp, không tương dương, tan 3x ~ 3x, sin X ~ X, nên tan 3x — sin X ~ 3x — X = 2x Khi X —> 0, dơ tan X — sin X hai VCB cấp, không tương dương, tan X ~ X, — sin X X, nên tan X -I sin X = tan X — ( — sin x) ~ X — ( —x) = 2x Chú thích 1.4 Xét qí trình X —> a, giả sử /(x) ~ /1 (x) g{x) ~ g] (x) Nếu /(x) g(x) hai VCB tương đương /(x) -g(x) /j(x) -gi(x), GIỚIHẠN VA LIÊN TỤC 60 nghĩa tương đương hiệu khơng hiệu Ccíc tương dương, điều kiện Chẳng hạn, X —> 0, tanx sin X hai VCB tương đương, tan X ~ X, sin X ~ X, ta có , ~ tanx — sin X — sin X — — cosx A'3 — - I — sin X. ~ x-f- = —, \ cos X / cos X mà X — X — nên tan X — sin X X - X Một ví dụ khác Khi X —» 0, ta có tan X sin X hai V( B tương dương, vá tan X ~ ln(l + x), sin X ~ X Trong Chương 2, ta thấy X2 ln(l + x) — X ■— ~2 , X -> 0, dó, tan X — sin X — ln(l I- x) X, X —> Dinh lý 1.33 Giả sử f (x),g(x),f1 (x) gì(x) câc VCB X —> a Nếu = 0(/](x)) = 0(gj(x)) /(*) + /i(x) lim —7~Ý tf(x) -I (x) Chứng minh Ăp dụng bổ dề 1.1 Dinh lý 1.32 (tính chất 1) Ví dụ 1.44 Tính lim X ->0 X + sin2 X 5x + X3 Giải Khi X —> 0, ta có sin2 X ~ 3x2 = 0(x) X3 0(x), dó, , X + sin2 X , X lim ————5— = lim — = — X—>0 5x + X3 X—>0 5x a 4E + tanx) Ví dụ 1.45 Tính lim / - X—>0 X + sin X Giải Khi X —> 0, ta có ln(l + tan x) ~ tan X ~ X sin3 X ~ X3 = 0(x), dó, , ln(l I tanx) X lim —-—-y-2—ỉ = lim - - 1 '° X + sin X X->0 X 1.7 VÓ CÙNG BÉ, VÕ CÙNG LỚN VÀ GIỚI HẠN 1.7.3 61 Vô lớn (VCL) ■ Khái niệm VCL Dinh nghĩa 1.32 Cho li E R hàm /(x) xác định trôn lán cận a Hàm so f(x) dược gọi VCL X > a lim v +f, /(x) = ±co Chú thích 1.5 Trong đinh nghĩa 1.32, n hữu hạn, ta có thê’ thay X —> a bôi X —> a hay X —> a~ Ví dụ 1.46 Khi X -> 0, tanx VCL X X J sin Á' cot2 X VCL > y,x —> — ị X2 + 2x, X3 4- lã VCL X —> ±co El So sánh hai VCI dồng thời Dinh nghĩa 1.33 Cho f(x),g(x) hai VCL X —> a rIa nói /(x) g(x) hai VCL so Séính dược tồn giới hạn (hữu hạn vơ hạn) ]iT = K- Khi đó: Nếu K — ta nói / (x) VCL cấp thấp g(x) Nếu K = co ta nói gíx) VCI cấp cao / (x) Nếu K (f- {(),co} ta nói /(x) g(x) cấp Ví dụ 1.47 Khi X -> 4-co, X2 4-1 ựx hai VCL so sánh dược dó, X2 + VCL cấp cao ỵ/x Khi X -> oo, vCv*’ I 3.V2 I vá v/2x8 I 3x I 2x hai VCLcùng cấp GỈỚỈ HẠN VÀ LIÊN TỤC 62 Đ Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp Bô’ đề 1.2 Cho f(x},g(x) hai VCL X —> a Khỉ đó: Nếu cấp f(x) nhỏ cấp £-(x) > a f(x) + g(*) Giả sử f(x} ~ /i(x) g(x) ~ gi(x) X —» a Nếu f(x) tf(x) cap không tương đương, nghĩa limx ,lt ệ—- b, với b ỷ {0, ỉ, oo} f(x) ~ỉỉ(x) ~ fi(x) - X1Ơ')/ * -> n- Chứng minh Tương tự chi'rng minh bô dề 1.1 Định lý 1.34 Giả sử/(x),£-(x),/i (x) g\ (x) VCL X —> a Nếu f(x) cấp cao f\ (x) x(x) cấp cao gi (x) li,,, /( ) * /■( )* xơ) I X1 ơ) ) * /( lim X - >íl x(x)' Chứng minh Áp dụng bổ dề 1.2 DỊnh lý 1.32 (tính chất 1) □ ,,, 40 Ví dụ 1.48 lính Giải Khi X 'S3*2 + 2x 4- - V5x + lim - ,, -7= *->+«> X > I 00 ta có ự3x2 + 2x + - ự5x 4- ~ ự3x2 + 2x + ~ 73X2 Do dó, v/3x2 4- 2x 4- - Ự5x 4- y3x2 I 2x 4- • im - -—- ■ - 77== ~ lim X-++OO ^x3 4- X 4- VX3 x-»ĩ~ \/x3 4- X - '1.8 BÀI TẬP 1.8 63 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Tự LUẬN 1.1 Tính giới hạn 3- lim — X >1 x/x 1 /'■ 4 'ỵX - lim —: -X >0 X In X x/1 sinx — y/l - sinx lim — - - ; x>() X í /, \ lim \ (x 4- l)(x 4- 2) - X ) ; X + 00 ỵ V Ị x sin 5x lim 7———; X—>0 tan8x / \ lim ( —7— cotx ) ; X >0 \sin X ) lim -Ã4 v /ỹ — X lim xsin—; ' > ro X Incosx 11 lim ——5—; X >0 X2 10 1Q 12 11 - ựcơsx lim ; x->0 XT \/cosx - ỵ/cosx lim — - X-4() X2 1.2 Tính giới hạn dạng 1°° 1- (x |-2\3x|4 Jim I z z ; X—> f oo ỵ X — / lim(cosx) 1" *; X >0 lim (cos X 4-sin x) x; X >0 lim(cosx)"7; X ->() lim1(1 4- sin x) ; X >0 5Ĩn ( sin X \ ‘ ’ lim - — x-X) \ X ) 1.3 Đùng vơ bé tương dương tính giới 1:iạn ln(l 2xsinx) lim - -—5 ; X“>() tan2x sin (ex — 1) lim \ X >1 In X linj1 -^(1-^4 x->0 X5 4- sin X 1.4 Xét tính liên tục cùa hàm số sau: sin2 3x lim —2 —_— ■ X >0 ln2(l - 2x) — cơs(l — cos x) lim - —; : X ■() X4 Incơsx lim -———-—5— x->0 ln(l 4- X2) 64 GIỚI HAN VÁ LIÊN rục 4- /(.V) ! :v'x/ 2' l 0, X = 0; 1.5 Xác định a,b cho hàm số sau liên tục tren miên xác định củéì chúng: í arctan - ' /(x) = E , , [2n 4- 1, < , I „ arctan—7T, 3./ (x) — 7T; A' < I sin2x, x o f(x) = \ (ĩ cos2 X I b, I tan X sinx l i7T , X = ị, < X < 0, X > TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN s Tìm giới han 1.6 lĩnh X A í X- >■() 1- ex -v >0- Gí A Li 2- '-2 = B c h] 0, h2 = D 1.8 lìm A L] c Li 1.9 l ính hl X—>01 \1 2x , sinx\ X J / , X >0 \1 F hl = |,h2 = hl = l,h2 = I sin X \ X )' — oo, L2 = B L\ — 2, L2 — T co = 1, h2 = D hl = 2,1.2 = hl — 1 2À sin.v\ r p 2X sin X \1 lim ( ‘ +- —— , L2 = lim X J ■ X -> i oo \ 3V X / x >—eo \2 3X — ị r-2 = A Li c hi = 0, l2 = B D h , *= hl — |, I.J =0,l2 = Ĩ.8 BÀI TẬP 65 1.10 Tính A t, = ỈL2 = c Lỵ = -, L2 = 4-00 1.11 Tính t Li = lim * x- _ 1 +e> 4-xarctan — ‘ \ X A Li = i, Lj = c L] — 1, L2 — 4-00 1.13 lìm giới hạn L = A (“^1 - X3 4- x) lim B c D D / X2 — 2x 4- \ x 1.15 Tính lim I , , > '■' x-»±oo 4- 4x 4- 5/ F) • A e~6 c e3 B e4 1.16 Tính lim (1 4- sinx)7 X—>0 A e B e3 c e4 D yẽ 66 GIỚI HẠN VÀ LIÊN Tực 1.17 'lĩnh lim (cosx)CGl Ẳ X >0 A e c e4 D c e4 D 0 A 1.19 Tính lim (cosx I- sinx)cotx A 1.20 Tính lim — X *1 A B -1= ực 1)2 • e (X B; 1 c D D ln(nz T e') 1.21 Tính lim — - ,m í > X-> co X A B m 2ni c nỉ „_ , ln( I tan4 x) 1.22 lĩnh lim X X) X2 sin X -í - \ A B c D + oo „ 5* - -v 1.23 Tính lim — -X X) X2 T X A 1,1 B í 1.24 'lĩnh lim X2 0' — X > ro A In l c D c D 1 1.25 Tính lim —-—Ị+« ’\l + e« * *- 2- ) 2/ B - ị D \ B A ln5 c 1.8 BÀI TÁP 67 ựl X 1.26 l ính lim x->0 ^/1 4- X - >/l -X /i-—— A B D C — 777 D c LJT2 77! c ln(777 I cv) 1.27 Tinh lim — ,m > X—> + co X A B nt 1.28 Tính lim X—>1 A X —> i A (1 -ựĩ)(l (x - l)”-1 (-1)" ĩ n! 1.29 Tính lim B - C+1 77! D 77! X,Ị,x - X In X B ni C 2m D 777 777 + rT„ , X sin.Sx I sin2 X 1.30 Tính lim y-— —4 -—- x->0 4x -I- arcsin X I X2 A B - C D □ Vô bé tương dương 1.31 Cho f(x) = — cos X + In(1 I tan2 2x) + arcsin X Khi X —> 0, A f(x)~2x B A?2 f(x)~-!ị 3x2 _ c D' 5x2 f(x)~^ 1.32 Cho /(x) = ln(l + tan3x) T (>/1+2 sin X — 1) (arcsin 2x + X2) Khi X —> 0, A f(x)~3x B X2 /(x)~-y _ c 3x2 /(x)~^ D 5x2 /(x)~^- 1.33 Xét hàm 1/ = /(x) cho phương trình tham số X = arctan t { y = ỉ- lìm vơ bé tương dương /(x) X —> fW ~ Xy B X2 f(x) ~ -y c _ /(X) ~ 3x ĨX _D -f(x) ~ 5x 2^ GIỚI HAN VÀ LIÊN THC 68 1.34 Xét hàm V = /(x) cho phương trình tham số X = 2t - t2 y = 31 - f3 Tìm vơ bé tương đương /(x) X —> A 3,r /(x)~y X _ _ B _ c 5x /(x)~y _ D 3.V ■ Tính liên tục hàm số , ( siHZ, 1.35 Xác dịnh m đê hàm số /(x) = < x ' ị m, A B m = m X V 0; X — m — c , f 1.36 Xác định m đê hàm số fix) — < v ' Ị + 2m, A m = B m = m = B m — B m — X > 1, m = 7T — c m — 7T — c B ni = X > ' X < 0; cos2 X T 2m, X > X-’ c X tan X ln(l t X2)' { m = m = — Tĩ — X < 1; D X sin X I tan2 X m = liên tục x = • ■ D arctan (TTiy, x2+3x I »1 x^ + ' 1.39 Xác định m để hàm số f(x} A D m — , 1.38 Xác định m để hàm số /(x) = A liên tục m = — Tí — liên tục D xe ( —l;l)\{0}; 4- 2mf X - X — A m = m = ( sin(zr-Trx) • m = D X Z 0; ' liên tục X = X — c 1.37 Xác định mJ để hàm I số f(x) = < • v xz+3x+m A liên tục X - B m = c rtĩ — D m = lien tục m — ĩ.8 BÀỈTÂP 69 1.41 Xác định m đê’ hàm số/(x) = I arctan —ỉ-5, x z + 2m, A m = B c m = 1.42 Xác định m để hàm số /(x) = X / 2; , _ liên tục X = X = m—3 D xe(-l;l)\{0};ljên X = ìv m, tục X = A m = B m = c 1.43 Xác định m đê’ hàm số /(x) = m = D X = liên tục X = A m = B m = c m = D Ệm ... 12 1. 1.4 Đường thẳng thực mở rộng 12 HÀM SỐ 13 1. 2 1. 3 1. 4 1. 2 .1 Khái niệm hàm số 13 1. 2.2 Một số tính chất đặc biệt hàm số 14 1. 2.3 Hàm số ngược 16 1. 2.4... 10 6 BÀI TẬP 10 7 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 3 .1 3.2 3.3 3.4 CÔNG THÚC TAYLOR 10 0 11 8 KHẢO SÁT HÀM Y = F(X) 11 8 3 .1. 1 Tính đơn điệu hàm số 11 8 3 .1. 2 Cực trị 12 0... GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1. 1 1. 1 1. 2 1. 3 1. 4 1. 5 BẢN VỀ SỐ THỰC HÀM SỐ DÃY SỐ x GIỚI HẠN CỦA HÀM số TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM số 13 24 33 47 1. 6 1. 7 1. 8 TÍNH LIÊN TỤC