Chương 5 CHUỖI SỐ 5 1 DẠI CƯƠNG VỀ CHUỖI số 205 5 2 CHUỖI SỐ DƯƠNG 210 5 3 CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ 219 5 4 BÀI TẬP 222 5 1 DẠI CƯƠNG VỀ CHUỖI số 5 1 1 Các khái niệm về chuỗi số Cho dãy số thực (ií,i) Biểu.
Chương CHUỖI SỐ 5.1 5.1 DẠI CƯƠNG VỀ CHUỖI số 205 5.2 5.3 5.4 CHUỖI SỐ DƯƠNG CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ BÀI TẬP 210 219 222 DẠI CƯƠNG VỀ CHUỖI số 5.1.1 Các khái niệm chuỗi số Cho dãy số thực (ií,i) Biểu thức H- tÍ2 + • • -I lln I u" (51) n- gọi chuỗi số • Các số u I, U2, ., - - - dược gọi số hạng củêì chuỗi số; u„ dược gọi số hạng thứ n chuỗi số • lổng n số hạng chuỗi số, s„ “u Jt-1 gọi lổng riêng thứ n CHUỖỈSỐ 206 • Neu dãy số (S„) ró giới hạn hữu hạn s s gọi tổng chuỗi (5.1) chuỗi (5.1) dược gọi chuỗi số hội tụ, ta viết t cọ n ì Nếu dãy (Sw) khơng có giới hạn hữu hạn ta nói chuỗi (5.1) phân kỳ • Phần dư (chuỗi dư) thứ n chuỗi (5.1) dược ký hiệu Rn, CQ 72 Ukk~n~ị I oo Ví dụ 5.1 Từ dãy (J ta thành lạp dược chuỗi 72 zrí có số hạng thứ n tổng riêng thứ n là: r _ 1 ( 5" T2 23 r 3Ã b ■ ■■ + n(n I 1) 11 - + Do 1 ■■■ n ~ n7 11 3 / X lim Sfl — lim -= II ■> Too II > Too y ỉl I ] Vậy chuỗi hội tụ tổng chuỗi 1, tức n 1 n(n T 1) , z X r?, 7,1\ Ví dụ 5.2 Khảo sát hội tụ chuôi sô ) In 4- — \X n /7 n -1 Giải Tổng riêng thứ n chuỗi í IX s„ - In ( 4- ) + In \ 1/ 23, - In y 4- In 2- I — ln(n +1) Do lim s„ -■■■ n > ỉ oo »1 lim ln(n 4- 1) — > • co ĩ IX , / ( I 7- ) |-ln + \ 2/ \ n , n nil I In ——— In —y— n n nên chuỗi phân kỳ 5.1 DẠ Ị CƯƠNG VỀ CHUỖĩ số 207 Ví dụ 5.3- Khảo sát hội tụ chuỗi (5.2) Giải lổng riêng thứ n cùa chuỗi s„ - I q -I- í/2 -I- -I- q" -1 Ta xét trường hợp: • Nếu q Sn — Đo lim Sf, — nên nên chuỗi (5.2) hội tụ n > t co • Nếu q — s„ — n Do lim s,; I oo nên chuỗi (5.2) phân kỳ lí -> -,I = ■s"l) í 5,(,2’ Suỵ lim n > rc lim (sj' sí,2)) n ■> 1-OJ •- — lim sj,l) b lim sj|22 n - > CQ II > Cv Mà lim sJ7 " ’ '~ Y2 '51/ Jim s co CHUỖI SỐ 210 Vậy chuối dư hội lụ Ngược lại, giả sử ,ri hộ’ ự’- chiVng (ỏ (5.1) hội tụ Xét 5íii Slln + ru > H() Ta có n,ì • Vì chuồi dư hội tụ nên lim s; „(t s' c- R Suy s„, iff lim > Ị t s', Vậy (5-1) hội tụ □ Hệ 5.Ĩ Tính hội tụ chuỗi (5.1) không thai/ đổi ta thêm lun/ bồ di số hữu hạn số hạng hội tụ V ' OQim -Z—TT hội tụ Ví dụ 5.9 V ỉ °°| CHUỖI SỐ DƯƠNG 5.2 5.2.1 Khái niệm chuỗi dương I co Dinh nghĩa 5.1 Chuỗi 77 u>ì dược gọi chuỗi số dương tất Cíỉ số I! hạng dương, nghĩa un > 0, với n G N Ví dụ 5.10 2»'t-1 chuỗi số dương ư» - O n ", > 2n 1 e N- I co Gọi s„ tổng riêng thứ n chuỗi số dương 77 un- Ta cớ n I — s„ -ị- u„ I )> S,Ị,\ín c N, nghĩa (s„) dãy số tăng Do dó, ta có I co DỊnh lý 5.5 Chuỗi số dương 77 un hội tụ Z’à dãy tổng riêng bị chặn u 4-00 -Ị Ví dụ 5.11 Xét chuỗi số dương 77 —7= Tổng riêng phần thứ n H- V” /s„ — ,1 -I—7= 4- 4,11 7= > n—= -■■■ ựn y/2 ựn ựn Dãy (SH) không bị chặn nên chuỗi phân kỳ 5.2 CHUỖI SỐ DƯƠNG 211 Ví dụ 5.12 Xét chuỗi điều hòa I oo n■ ,1 = 74 rt n !_ (5.3) Ta có I rt 4- n I , '' ‘ 1 n -4 n n I n |,Vn c N (5.4) Gọi Sft tổng riêng thứ n chuỗi (5.3) Theo (5.4) ta có 2‘ = + + (^3 t -J + - I T g ( ( — ——-21 - -1 f —U — 4- 4,— + 2* r4 i ’2* k—1 Số hiỊng Suy (S2*) không bị chặn Do đó, dãy (S„) cung khơng bị chặn Vậy (5.3) phân kỳ Chú thích 5.1 Cho hai chuỗi số dương X7r Un, L7°°1 Vti- Đặt n v si1’ -Ê 1, ta có f(k + 1) = fk 1 /(Ả' + )rfA- < [k 1 f(x)dx < f 1 f(k)dx - f(k) Jk -fk 'ỉk Suy >12_ĩ II fk I I £ + 1) < £ / k •I k I ■ k II _i II f(x)dx < £ /(/ fCa ”n ' ’ -D Chú ý 5.2 Dinh lý 5.6 dược khái quát sau: Cho hàm số f liên tục, không âm giảm miền |n(); +oo), vời fỉ() c N* Khi đó, ■1 00 ị-1 co y*' f(n} hội tụ Ị f(x)dx hội tụ H fí() Ví dụ 5.15 Khảo sát tính hội tụ chuỗi —7-— ,f~2 11 n M 5.2 CHUỖĩ SỐ DƯƠNG 213 Giải Hàm /(x) — —P— không âm, liên tục [2; I oo), giảm In X + „ ■■■ (xlnx)2 < °'Vx “ ■ ' f Hơn nữa, ta có ’ I °° /■ ' °° I_ —I—dx — I — rf(lnx) - ln(lnx)|2°° -■ I > xlnx /2 In X Z Do dó, theo tiêu chuẩn tích phân Maclaurin- Cauchy, chuỗi cho phân kỳ ■ Tiêu chuẩn so sánh I oo i co Định lý 5.7 Cho hai chuỗi số dương: y lGì II n v„ thỏa diều kiện u„ < v„,\/n G N + oe (5.5) + oo Khi đó, chuỗi y utl hội tụ chuỗi y UfỊ hội tụ /í Chứng minh H Gọi s,v) s,(,2) tổng riêng thứ n tương ứng cùa hai chuỗi dã cho Ta có sỉ," = Ẻ k-“l "K •' Ế k =1 " sí.2)- Đo dó, Y2 V/, hội tụ, tức dãy (S^2)) bị chặn dãy (sf,1)) bị chặn trén Vậy, n -1 I oe y II a,i hội tụ CJ Chú ý 5.3 Do hệ 5.1 nên điều kiện (5.5) dược thay 3h(),Vh > Ho : un < v„ Ví dụ 5.16 Khảo sát tính hội tụ chuỗi Giải a) Ta có 1 < —■■ VM2 \/ n(n 4-00 t oo Mà chuỗi y, — phân kỳ nên chuỗi y » — H ,, n —, VH > 1) —-^= phân kỳ \/”(M - 1) CHUỖĩ SỐ 214 b) Ta có +-eo -ị eo Mà chuỗi yt ■£- hội tụ nên chuỗi £2 M-1 H 1 1_A =—— hội tụ n.3n ■ Tiêu chuẩn so sánh rco oo Định lý 5.8 Xét hai chuỗi số dương y~'i u„ Z’à yt Giả sử tồn giới hạn rỉ—l ri (hửu hạn vơ hạn) —, — Hỉí K _— 1; lim n-ì + ce v„ Khi đó: Nếu K 5_22J"2°I v” hội iw ư" hội fV- « Nếu < K < co X2tt°i urt X2,t~ Vrl hội tụ phân kỳ Nếu K — +oo X2,t-°°1 phân kỳ X2tt°i u>’ phàn kỳ Chứng minh Nếu K — với e > 0, bé tùy ý, ta có 3m0,Vm > «0, Theo dịnh lý 5.7, Y2.Í < t'y„ Vu hội tụ v.í ^I un hội tụ Nếu < K < oo với K > e > 0, tồn Mo cho Vn > Mo, (K - £)v„ < url < (K -ị- e)vn Do dó, theo dịnh lý 5.7 un 52„h2°L v” hội tụ phân kỳ Neu K — 4-00 với M > ta có d«0,Vn > nf),u„ > Mv„ Nên theo định lý 5.7 52,tí] v" phân kỳ kéo theo 52,J ~ U>I phân kỳ □ Ví dụ 5.17 Khảo sát tính hội tụ chuỗi số sau: V 3n + n2 + 4n I oo n2 3n I b) E n -1 n3y/n T 4n2 5.2 CHUỖỈ SỐ DƯƠNG 217 Suy »„ ] > (/.) - f)n„ > u„yn > ÍỈ(J Di) đó, H,I > n>„, nên H„ ■|ọ~> o Vậy chuồi y") n ) H,I > 0, Vu > »/() phân kỳ □ I OO Ví dụ 5.19 Khảo sát tính hội tụ chuỗi y-* — n l ’í Giải Dây chuỗi số dương Ta có EJI I J I u„ (rỉ I 1)! ^2 _J1L_ 5" ' (h T 1)! 5” H I n < Vậy, chuỗi hội tụ + 5" (n! )2 Ví dụ 5.20 Khảo sát hội tụ chuỗi y* 7~r X • (2h)! Giâi Dây chuỗi số dương Ta có ■ I u„ 5” » ’[(” T 1)ĩ|2 (2h)ĩ _ 5(77 4- l)2 ■ (2h 2)! '5"(n!)2 ■ ■ (2n + 1)(2n 1-2) 4^ Vậy, chuỗi dã cho phân kỳ Chú ý 5.4 Dịnh lý 5.9 chưa có kết luận trường hợp D Ví dụ 5.21 Với chuỗi 12,; ~ ta có ta có 22U-L E>! “ 77ÕTÕÕ th’ 7Ti~2 1- Nhưng 12,; °0] >1 với chuỗi X2,ỉ ~í 7,7TTn phíìn kỳ (ví dụ 5.12) cịn chuỗi phân kì/ Chứng minh c < Với < £ < — c tồn rtọ c N cho no- Suy < 4/",Vn > /Ty Vì chuồi 12/ "j cỉ" hội tụ nên chuồi 12/ ~ c > Với < c < c tồn H(ì UII hội tụ G N cho > c — £ > 1, Vn > Hy Suy u„ > l,Vn > H(ị Đo dó H„ -z> Vậy chuồi 12/ °“| «11 phân kỳ Ví dụ 5.22 Khảo sát tính hội tụ chuỗi Giải Ta có wn Vậy chuỗi hội tụ I « I z VÍ du* 5.23 Khảo sát tính hội tụ chuỗi y~' — - [ Or? V r/-l X 1\”2 Zí / Giải Ta có — _ J /1 , lự u" = vM1 + /) í , 1V (1 ê \ nJ Vậy chuỗi phân kỳ Chú ý 5.5 DỊnh lý 5.10 kết luận trường hợp c — Trong trường hợp chuỗi có the hội tụ phân kỳ, phải khảo sát phương pháp khác Ví dụ 5.24 Chuỗi 122/ °°1 /■ phân kỳ có ộ/Ũ/7 £2/ hội tụ có t/ũ^ — ■/-* ■ ■ ' > Ậ- -> 1; chuỗi 5.3 CỈỈUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ 5.3 5.3.1 219 CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ Chuỗi đan dấu Dinh nghĩa 5.2 Cho (t4„) dãy số dương Các chuỗi I cọ «1 - «2 f »3 - »4 -I- - - , (-1)" 1 17- I co U + ô2 - W.3 ô4 - ã • • dược gọi chuỗi dan dấu ■ Tiêu chuẩn Leibniz DỊnh lý 5.11 Nếu (u„) giảm tiến “ (“ chuồi thỏa Ui — U2 < s < t-i Chứng minh Dặt s„ + hội tụ lổng s (5.6) ■ L,ỉ ~ ( -ĩ)" Hl u„ Do $2ti — S2(„ I) ~ U2>1 - lt2n > nên (S2,() tăng Mặt khác, $2ii ~ II W1 — ) , ("2Ấ- ■ u2k i )) ~II2>I < M|/ k- ■< ' >0 nghĩa (S2ii) bị chặn ơ[ Vậy (S2I1) có giới hạn ta dặt s Wị - »2 ‘ $2 < < W| Dối vói dãy (.S'2|| I 1) ta có limJ? > ( oo Ổ2), $2>I f — $2>I + u2it-t ì -■> s + Tóm lại, stl > s Wị - IÍ2 < s < Uị □ 4-co ã n.21 ô2 5.3 CHƯỖỈ CĨ DẤU BÁT KỲ Giải Ta có x mà 221 sin n —y, 77 Vzỉ ,x X l; — Tì I n hội tụ nên chuôi da cho hội tụ tuyệt dôi I cọ (-1)" bán hội tụ Ví dự 5.28 Chuỗi n I Chú thích 5.3 Nếu dùng tiêu chuẩn d'Alembert Cauchy mà biết dưực chuỗi ~ Un I phân kỳ chuỗi °°| Ut1 phân kỳ Thật vậy, biết lw« phân kỳ tiêu chuẩn d'Alembert Cauchy I nfl I -z> 0, đó, un Vậy, chuỗi 11 n phân kỳ n Ví dụ 5.29 Biện luận theo tham số thực p tính hội tụ chuỗi số sau: ,b) Ẹ i-í? (pn2 ị 4n I \ ” (p2 -1)”< í ' Giai 2—a n 'in ' n _ Ẳ: V I co \ a) Chuối -1 (/>2-■ L)’'ri2 - r± / I)"h2 (p2 3» có un ; “ -IX 3» • • Nếu p2 — chuỗi hội tụ • Nếu p2 -/ 1, Dan đến, * \p2 — 11 3, tức |p| > 2, chuỗi trị tuyệt đối phim kỳ theo tiêu chuẩn d'Alembert nên chuỗi dã cho phân kỳ; * p — 1.2, chuỗi trớ thành °°1 n2' chuỗi phân kỳ Vậy chuỗi ,,u 3^ 11 \ ^1 - V - ỉỉ ft < -f- 00 5.10 Chuỗi yy c ft > A < ỉĩ I Ọ ị Ị —■—■———— hội tụ H3 í- n“ I • • A ft > fl ft < c ft > D ft > 5.11 Chuôi 5^ —ì—• -—•—— hội tụ “ 7Z4 I nK -I- • A ft > fl ft < c ft R D ft > R D ft > _ zz + ir -4-2/7 L 5.12 Chuôi > - T—— hội tụ 11 11 ‘ H I A ft > 5.13 Chuỗi A ft > I cọ / I 5.14 Chuỗi 5c ( —-—r 7^1 V”" A a > /ỉ < c ft > /ỉ < fl ft < c ft phâp kỳ fl ft < 2 \ 7^) c ft e R D 7lft hội tụ fl « < /5 > D ft > /ỉ < 5.4 BÀĨTẬP 225 J cọ / 5.15 Chuỗi y ( • an -í \n A a > \ + 3" j phân kỳ / 5.16 Chuỗi y ft — A q > 5.17 Chuỗi y H hội tụ ( B Oí < c q /- D < q < y/2 hội tụ A - 5.18 Chuỗi y ((p I l)2w f í/2") hội tụ chì A < p < — < ợ < c < p < — < 4/ < B < p < < q < D - < p < — < q < xét tính tu chuỗi đan dấu 5.19 Xét chuỗi dan dấu s y -—ị-y Mệnh đề sau dây dúng nhất? A s hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn d'Alembert B s hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz c s hội tụ tuyệt dối theo tiêu chuẩn Cauchy D s hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn d'Alembert Cauchy 5.20 Xét chuỗi dan dấu s : y, —r- ■ Mệnh dề sau dây xA I * nhất? A s hội tụ không hội tụ tuyệt dối B s hội tụ tuyệt dối c s phân kỳ D s hội tụ tuyệt dối phân kỳ Cĩiưỗĩ sổ 226 5.21 Xét chuỗi đan dấu s y~* ( n 1)"—-—7=== - 7- Mệnh dề sau I 3) nhất? A s hội tụ không hội tụ tuyệt đối B s hội tụ tuyệt đối c s phân kỳ D s hội tụ tuyệt dối phân kỳ I™ y~ ( ,Í7 5.22 Xét chuỗi dan dấu s : / n _| -ị \ 1)" arctan ( ———X I ■ Mệnh dồ sau c I V ■ nhất? A s hội tụ không hội tụ tuyệt đối B s hội tụ tuyệt đối c s phân kỳ theo tiêu chuẩn Leibniz D s phân kỳ (—1)" arctan ■ Xốt tính hội tụ chuỗi dan dấu theo tham số 5.23 Chuỗi dan dấu A.a> I CO /_ y I T~ hội tụ ,rí ”* ỉỉ.a D a e R n2 11 l)n——-—■——— hội tụ /C I n I • Ịì a < A (X > ■ c DC > D a G R I n2 _J_ I 5.25 Chuỗi dan dấu y^.í - 1)" O—-—S’ hội tụ J13 1- m2 ■ ■ A m > ỉỉ m D m ẽ R ■ Xét tính hộỉ tụ chuỗi có bấu theo tham số Z-1 (p2 4)h2 , 5.26 Chuỗi ) , ~—— hội tụ n A V < B V > c V < — V V > D p € R 10 227 5.4 BÀ Ị TẬP _ _ Irc (y2 5.27 Cho chuỗi số y~*7 H đúng? 3)ỉĩz 2» , với p tham số Mệnh dề sau A Chuỗi hội tụ với p lĩ Chuỗi phân kỳ với |pị > c Neu |p| > \/3 chuỗi phân kỳ D Chuỗi hội tụ IpỊ < y? pn3 1- ỉ ỉ2 hội tụ 5.28 Chuỗi ỉ—Ể En n ' A p < D p c R c p < - V p > B p > pn3 + 2n I , 5.29 Chuỗi > — - -— - hội tụ nì ■ ỉỉ - A p < j £? 5.30 Chuỗi II A p < c p < — V p > B p > (rĩ _ hĩ3 W2 L D p e R — — - hội tụ n! -1i B p > 2 D p c R c p < - V p > v2’ ( pn2 + n 1 A n -■ 1 1’115.31 Chuôi > L——V — hội tụ chí k 2jỉ2 I 77 • H X /1 B - < p < 2 < p < i co c - < p < hội tụ c p > B p < -2 n pn2 n I hội tụ 2m3 I- /1 p < — V p > 5.33 Chuỗi n- -1 A - < p < B - < p < ỉĩ Z 2n2 + K I \ 5.32 Chuỗi Ỵ7 ( pn2 -13 ) n— k +00 D D p < - V p > c - < p < 2 < p < D p c R ■ Xét tính hội tụ chuỗi số 5.34 Cho hai chuỗi S1 ( —1)" n khẳng “7 ’,^2 II \v / định A S'1, s2 hội tụ c S] phân kỳ, S2 hội tụ B S [ hội tụ, s2 phân kỳ D Sị, s2 phân kỳ CHUỖĨ SỐ 228 5.35 Cho hai chuỗi S1 ( eo 2« I 00 yz —,s2 := Y2 ~~= Chọn khẳng dịnh rr-1 n nì B Sỵ hội tụ, s2 phân kỳ D SlzS2 phân kỳ A S-i, s2 hội tụ c S1 phân kỳ, s2 hội tụ t 5.36 Cho hai chuỗi S1 -ỵ n^(3n l)I2 n-l , , „ —7= Chọn (n + 1) x/rĩ khẳng định B S1 hội tụ, s2 phân kỳ D S|, s2 phân kỳ A Sì,S2 hội tụ c S1 phân kỳ, s2 hội tụ + 5.37 Cho hai chuỗi $1 lì n 3n - |-co / s2 / ỉl I 1 n - \2n n Chọn khẳng định dúng A Si, s2 hội tụ c Si phân kỳ, s2 hội tụ B S1 hội tụ, s2 phân kỳ D Sỵ,S2 phân kỳ I co 5.38 Cho hai chuỗi S] : = y, ,Sĩ „1"'dúng A Sị, S2 hội tụ c S) phân kỳ, s2 hội tụ 5.39 Cho hai chuỗi S| f-co y -77 - Chọn khẳng dinh l)2 B S[ hội tụ, s2 phân kỳ D S], s2 phân kỳ I 00 / 4„ V' too z2„ I X ĩ V I -—~r I ,s2 : - y ( j’ Chọn khẳng dịnh dúng A S{,S2 hội tụ c S| phân kỳ, s2 hội tụ B S] hội tụ, s2 phân kỳ D S1, s2 phân kỳ I 00 2« -1 -~,s2 := “• Chọn khẳng định M-1e H-1 n I co 5.40 Cho hai chuỗi S] A Si, s2 hội tụ c phân kỳ, s2 hội tụ B S1 hội tụ, s2 phân kỳ D Sị, S2 phân kỳ 229 5.4 BĂỈ TÂP 5.41 Cho hai chuỗi S[ : — V- beo 2« ■ ỵ; Y - p— Chọn khẳng dịnh ”■ s2 2« + r B Si hội tụ, S2 phân kỳ £> Si, S2 phân kỳ A Si, S2 hội tụ c S] phân kỳ, S2 hội tụ 5.42 Cho hai chi S| : ì™ Ị arcsin —^=, S2 z—í V /n M-1 71 eo Ỵ7 s’n 2' Chọn khẳng H định B S] hội tụ, S2 phân kỳ D Si, S2 phân kỳ A Si, S2 hội tụ c phân kỳ, S2 hội tụ 5.43 Cho hai chuỗi S] 100 / \ “-4 \ H/ J 00 / M2 1 \ , S2 := V ln ( ị- ) Chọn khẳng dịnh dúng B S1 hội tụ, S2 phân kỳ D Si, S2 phân kỳ A S], S2 hội tụ c S1 phân kỳ, S2 hội tụ 5.44 Cho hai chuỗi Sì : f eo ,?-2ln n'Sỉ = —J-— Chọn khẳng định H — H ln n B S1 hội tụ, S2 phân kỳ D s 1, S2 phân kỳ A Si, S2 hội tụ c S1 phân kỳ, S2 hội tụ + 00 5.45 Cho hai chuỗi Si t 00 -1 ,(_2 nin n — -Ị —ĩ - T-7Ì T- Chọn n In/ỉ ln(ln n) khẳng định A Sỉ, S2 hội tụ c S'1 phân kỳ, S2 hội tụ B S] hội tụ, S2 phân kỳ D Si, S2 phân kỳ -1 -— ■ ■ - Chọn ri—2 n ln n V ln3n I eo 5.46 Cho hai chuỗi S1 khẳng dịnh A Si, Sz hội tụ c S'1 phân kỳ, ổ2 hội tụ B S-1 hội tụ, $2 phân kỳ D Sq, S2 phân kỳ CHUỖI SỐ 230 I- oo 5.47 Cho hai chuỗi S| + 3ô H XL ã Chn khng định đúng, n- n 2"m! r / S2 nn B ổ! hội tụ, S2 phân kỳ Đ S], S2 phân kỳ A Sỵ,S2 hội tụ c S] phân kỳ, S2 hội tụ 5.48 Cho hai chuỗi S1 ~ , ypx y7 il —cos—1,5’2 n M ị re nỊ Chọn khẳng rr-2 định A S], S2 hội tụ c S-| phân kỳ, S2 hội tụ _Si r 5.49 Cho hai chuỗi S1 B Si hội tụ, S2 phân kỳ Đ Si, S2 phân kỳ ị2?c”n! „ V? / 3n?- + n \ ” , , S2 ■— , ( —-C2-—“T I • Chọn n^2 n" \5n + 2n I J khẳng định B S] hội tụ, s2 phân kỳ D s 1, S2 phân kỳ A slz s2 hội tụ c Sq phân kỳ, S2 hội tụ 5.50 Cho hai chuỗi S| y-1, 1—~—,S2 *n—2L ?»7 — 11 y* • Chọn khẳng zH—< nn2 ■ dịnh dúng A S], S2 hội tụ tuyệt dối B Si bán hội tụ, S2 hội tụ tuyệt dối c Si, S2 phân kỳ D Sị hội tụ tuyệt đối, S2 bán hội tụ 5.51 Cho hai chuỗi s, :=- 1-00 £( -1)" , rỉ Chọn khẳng định ;; j 002( := ỳ n- , 2n -I+’11) ■ v ' A Si, Ổ2 hội tụ tuyệt dối Ỉ3 S[ phân kỳ, s2 bán hội tụ c S] hội tụ tuyệt đối, S2 bán hội tụ D Sị, S2 phân kỳ 00 I™ I Q £2 (-1)” 5Ỉ7'S2 := EL ( ■’1)” H-1 v H Chọn khẳng định 5.52 Cho hai chuỗi St 1 A St , s2 hội tụ tuyệt đối B S1 bán hội tụ, S2 hội tụ tuyệt đối c 51, s2 phân kỳ D S1 hội tụ tuyệt dối, s2 bán hội tụ 5.4 BÀ ỉ TÁP 5.53 Cho hai chuỗi Sj 231 oo y~*y ( lì ! Chọn khẳng định dúng A S1, s2 hội tụ tuyệt dối 13 S\ bán hội tụ, S2 hội tụ tuyệt dối c S\, S2 phân kỳ D S1 hội tụ tuyệt dối, S2 bán hội tụ ... lý 5. 2, ta có chuồi 52 ,12 (lw„|) hội tụ Do dó, theo định lý 5. 3, chuỗi 52 K + KI) + 52 í- KI) ;; 52 u" II— ì II HÌ hội tụ Trong bất đằng thức É uk < É KL A- I Ả I cho n -> I ơo ta thu dược (5. 7)... phân kỳ; • p 5, 4/7 - 11 5? ?i2 I- 3} »7! nên chuỗi phân kỳ • p — — 5, I un I — ộ- + 4n -F 5/ 12 + ) n 4n I- Y' - 5/ Z2 I ) > e 5, nên chuỗi phân kỳ Vậy, chuỗi cho hội tụ Ipl < 5. 4 BÀI TẬP TRẮC... kỳ 5. 2 CHUỖI SỐ DƯƠNG 211 Ví dụ 5. 12 Xét chuỗi điều hòa I oo n■ ,1 = 74 rt n !_ (5. 3) Ta có I rt 4- n I , '' ‘ 1 n -4 n n I n |,Vn c N (5. 4) Gọi Sft tổng riêng thứ n chuỗi (5. 3) Theo (5. 4)