Chương 4 TÍCH PHÂN 4 1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 137 4 2 TÍCH PHÂN XÁC DỊNH 156 4 3 TÍCH PHÂN SUY RỌNG 165 4 4 ÚNG DỤNG TÍCH PHÂN 180 4 5 BÀÍTẬP 195 4 1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 4 1 1 Nguyên hàm Định nghĩa 4 1 Cho.
Chương TÍCH PHÂN 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TÍCH PHÂN XÁC DỊNH TÍCH PHÂN SUY RỌNG ÚNG DỤNG TÍCH PHÂN BÀÍTẬP 137 156 165 180 195 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 4.1.1 Nguyên hàm Định nghĩa 4.1 Cho hàm f(x) xác định (rt;b) Hàm /-'(x) xác định (fl; b) dược gọi nguyên hàm hàm fix') («; b) F'(x) — f(x),\fx G ịa;b) Chú ý 4.1 a — oo, b có thê I oo Ví dụ 4.1 sin X nguyên hàm cos X trôn ( oo; 4-oo), arcsin X nguyên hàm —= (- -1; 1) x/1 “ X2 Định lý 4.1 Nếu b'(x) nguyên hàm hàm f(x) (a; b) nguyên hàm f(x) (a; b) có dạng F(x) 4- c, với c ỉà hang số Chứng minh Sinh viên tự chứng minh, xem tập 138 4.1.2 TÍCH PHÁN Tích phân bất dinh Định nghĩa 4.2, Cho F(x) nguyên hàm hàm /Ỵx) (a;b) Tập hợp tất nguyên hàm /(x) trôn (ứ; b) dược gọi tích phân bất dịnh f(x) («; b), ký hiệu J’ f(x)dx Vậy I f{x)dx F(x) + c, với c số tùy ý Trong ký hiệu tích phân bất định, / dược gọi dấu lích phân, X biến ỉấy tích phân, fix') hàm lấy tích phân f(x)dx biểu thức dấu tích phân Ví dụ 4.2 Theo ví dụ 4.1, ta có Ị cos xdx = sin x + c ( —oo; +oo), /■ / —, ■ dx — arcsin X + c ( - 1; 1) Chú ý 4.2 Trong vài trường hợp, ta sử dụng khái niệm nguyên hàm [a; b] sau: F(x) dược gọi nguyên hàm hàm /(x) [n; b] F(x) nguyên hàm hàm f (x) (a; b) -/(a),F'(í>-) =/(6) ■ Tính chất Tích phân bất định có hai tính chất bản: Nếu /(x) có ngun hàm («; b) k số thực ị k.f(x)dx = k Ị f(x)dx Nếu /(x) g(x) có nguyên hàm (a; ỉ?) /ươ)= I f(x)dx+ / g(x)í/x 4.1 TÍCH PHẤN BẮT DINH 139 ■ Bảng tích phân bất định Từ bảng đạo hàm ta suy tích phân bất dịnh cư r „ xa+ì / xttdx = 4- C,oc £ -1; ,/ «4-1 I exdx - ex 4- C; — - Inlxl 4-C; X ax axdx — 7— C,0 < (7 -/■- 1; In a sin Xí/X • — cos X I C; y cos xdx sin X 4- C; I J / / / I „ /■ , / —C—dx — - cotx 4- C; / sin X /• _ / —-—~dx = arctan X 4- C; J 4- X2 /• / —-Z—dx — tan X 4- C; J cos2 X /• 10 / — í/x — arcsin X I c ./ ựl - X2 4.1.3 Phương pháp tính tích phân bất định ■ Phương pháp phân tích Phân tích hàm cần lấy tích phân thành tổng hàm biết nguyên hàm dùng tính chất thứ Ví dụ 4.3 Tính tích phân bất định sau: I ( ỵ/x I 1) (x — y/x 4- l)dx; /í' X4 dx; J X2 4- y tan" xdx, n G X, > Giải Ta có / (ỵ/x 4" l)(x \/x 4“ l)í/x = Ị (xựx 4- l)í/x — / (x? 4- l)í/x - ^x5 I X 4- c Ta có /'X4 /• / X I / „ - dx = / ( (x2 — 4—5——- ] dx — 77X3 — X 4- arctan X 4- c ./ X2 4- J \ X2 4- / TÍCH PHÂN 140 Dặt /„ — Ị tan” xdx Ta có /() — I dx ~ X + c r í J ỉ sin X ỉ-[ — I tan xdx = / dx J J cos X [ d(cosx) , _ - / • = - ỉn cos X T c J sin X Với n > 2, ỉ „ — I (tan” X + tan”-2 X — tan” ‘2 x) dx — Ị tan” X (tan2 x + 1) dx - y tan” xdx — I tan” 2xd(tanx) — /n-2 = - —— tan” ■1 X + c n —1 ■ Phương pháp đổi biến Phương pháp đổi biến dựa vào định lý sau DỊnh lý 4.2 Nếu y f(x)dx — F(x) + c I - Ỉ-W)l + c, với (Ị) (í) hàm khả vi Chứng minh Phương pháp dổi biến thường sử dụng hai dạng sau dây Dạng 1: Phương pháp đổỉ biến dấu tích phân, cần tính tích phân I f(x}dx Giả sử cớ thể tìm hàm u (Ị>(x~) khả vi hàm y(w) cho f(x)dx = g[(Ị){x)](p' (x)dx — ^(n)du 4.1 TÍCH PHẢN BẤT ĐỊNH 141 Khi đó, ta có (4.1) Nếu tính Ị g(u}du G(u) -f- c I f(x)dx — G[ự?(x)j T c Dạng 2: Phương pháp Giả sử ta đặt X - ự>(w) với (p{u) hàm khả vi có hàm ngược u — ự>-1 (x) Khi đó, Giả sử tìm I g(u)du — G(u) I- c Thế f f(x)dx — G[ự>-1(x)] -I- c Ví dụ 4.4 Tính Ị ự (2x + l)2ífx Giải Ta có f ự{2x I 1)^A- - J fâx | Dặt u — 2x 11 Thế du - 2dx, —■ — dx, 1/ 13? , ị / uĩdu = 4-C — ~(2x + 1)3 l-c Z ,/ □ IU Ví du 4.5 Tính —-^dx,a > Ư2 + a2 Giải Ta có / ■ Tc{x "-■ / X2 + a2 Dặt M — — Thế dx — adu, a /■ , / ——^dx / X2 + Ị' du a / uz — arctan u -I c — - arctan — c a a a 142 TÍCH PHẢN Ví dụ 4.6 lĩnh Ị \/1 — x2dx, —1 < X < Giải Dặt X =■ sin t, t < “ Thế dx ! \/1 x2dx — ! \/1 cos tdt, 4- cos 2t , r sin2 t cos tdt = ! cos2 tdt "12 — 2^ s^n * c 1 arcs’n X J x dl ~ X2 I c sin 2t sin / cos t — 2x\/l — X2 Ví dụ 4.7 Tính f —■ dx ./ ựx^+ĩ Giải Dặt X — tan t, - “ < t < -2- Thế dx —^di, 2 cos f ựtan2 ill cos2 / " dt cos t l'n ; In cos2 í ■ cos tdt cos2 t — sin2 t 4- -77~F; I- sin t 4- c = In yi -Man2 t tan t sin t \/ì I tan2 / \/l + tan2 t — tan t 1c — ỉn —V2 cỉ t *1 Chú ý 4.3 Trong Ví dụ 4.7, ta tính dược / ——— - A In -I- sin / ■ ' ■ J cos I — sin / Biến dổi tiếp tục ta thu dược /■ di (l ' rr.\ ỉ "1 \ — ỉn tan 77 4- “ c cost \2 4/ Tương tự, ta tính dược Ví dụ 4.8 Tính • ■ -dx,x < — V X > y/x^ĩ c 4.Ĩ TÍCH PHẢN BẤT ĐỊNH 143 —7—— 77 < t < f sin t 2 Giải Đặt X 1 I hế dx — — cos t sin2 t - cos í sin2 t an2 l cì t dt sin 11 , ,- cos t , I tan í| — dt sin t • Neu X < -1, ứng với sin t < 0, sin l dt = In tan ^7 ■I- c = In sin t H-cos/ sin i - ỉn I c - In t ’ c = In — In • Nếu X > 1, ứng với sin t > 0, dx ■ dt sin t — In — In tan In I c sin í Ị cos í sin / In + In ỉn c r2 t c Định lý 4.3 Cho hàm íí(x),p(x) khả vi v(x)u'(x} có nguyên hàm (a; b) Khi dó, hàm u(x)t/(x) có nguyên hàm (a; b) h(x)v(x) Ịw(x)v(x)]/ = - Ị v(x)uf [x}d, n(x)z/(x),V.Y c (a;b) (4.2) 144 TÍCH PHÁN suy m'(x)p(a') = [h(x)ĩ?(a-)]/ — u(x)v' (x),Wx c (í?;b) nên u'{x)v(x) có nguyên hàm (rt;b) ! u'(x)v(x)dx — Ị ([íz(x)»(x)]' — u(x)v'(x)) dx — n(x)v(x) — Ị u(x)v'(x)dx o Vì uf{x}dx — đu, v' (x)dx — dv nên (4.2) có the viết dạng = UI’ — (4.3) X In xdx Giải Áp tích phân phần, ta 3 / ,2 v3 3 3 arcsin xdx Ví dụ 4.10 Giải Ăp tích phân phần, ta dược X arcsin X — arcsỉn xdx — X arcsin X — X arcsin X + ■2 dx Ví dụ 4.11 Tín \n ' a > 0,n c IN * Giải Với n > 1, áp tích phân phần, ta dx X (x2 + a2)" ” (x2 l-rt2)” f 2nxdx J x' (x2 -I- a2ỵ'1 X /■ X2 L 2n / — AT dx (x2 + «2)” b J (x2 -I a2y * — x -1-9 í X1 + a2 á2 = (x2 |-fl2)" + 2n / {x2 -I fl2)" < x =dx ■2 4.1 TÍCH PHÁN BẤT ĐỊNH 145 — x ( ỉ dx / dx \ - (x2 + a2y + 2n Ụ (x2 + a2ỵ, ~a / (X2 + a2)n+l ) = (x2 _|_ a2y + 2nơ" — a ^ + 1)Thế Với rí = ta có 4.1.4 _ X 2n - r , _ /rr — n—”5"7—õ—'.—\ „ “I- -Z 75—/n,Vrỉ G IN 2na2(x2 4- a2)” 2na2 T f đx X h — ỉ -> — — arctan — 4- c J X2 4- a2 a a Tích phân hàm hữu tỷ ■ Hàm hữu tỷ Định nghĩa 4.3 Hàm hữu tỷ R(x) hàm có dạng R(x) “ QM' đó: P(x) đa thức bậc m Q(x) đa thức bậc n • Nếu m < n R(x) gọi phân thức thực • Nếu m > n R(x) gọi phân thức không thực Nếu R(x) phân thức khơng thực cách chia đa thức P(x) cho Q(x) ta jp(x) = Q(x).S(x) 4- D(x), với S(x), ơ(x) hai đa thức, bậc D(x) nhỏ bậc Q(x) Khi đó, dx = f s(x)dx + y l^dx f R(x)dx = [ (s(x) + Vì S(x) đa thức nên f S(x)dx dược tính dễ dàng Và vậy, việc tính f R^x^cìx đưa việc tính tích phân phân thức thực sự, 0^7} • ■ Tích phân phân thức thực Định lý 4.4 Mọi đa thức Q(x) bậc n phân tích thành tích nhị thức bậc tam thức bậc hai khơng có nghiệm thực, nghĩa Q(x) = «rt(x — a)K (x — b)p(x2 4- px 4- Í?)H (x2 4- rx 4- s)u, đó, a, ,b, p, CỊ, ,r,s 4-2(^í4“ 4“V) = n R; p2 — < 0, -, r2 — 4s < Ovàa+p-ị- 146 TÍCH PHÁN Đểdê định ý, tfì giả sử Q(x) a„(x - aỴ{x - b)^(x2 px q)fl (x2 Khi đó, phân thức thực D(x) ) phân tích cách dạng /lo A1 X—a Ak ■ Giải Gọi l độ dài cung cho Áp dụng cơng thức (4.30) ta có ỉ - Ị 2zr ị -Ị-lĩĩ Ị y [íỉ(l — cos t)]2 + (ữ sin t)2dt —• 2a I sin -Ị^ât 817 192 TÍCH PHÂN ■ Cung cho hệ tọa dô Descartes Cho hàm số y — /(x) có đạo hàm liên tục [í7; b], cung Ỉ dồ thị 1/ f(x),x e [n;b] Trong trường hợp ta chuyển phương trình cung AR dạng tham số X — i,y — f(ì},a < t < b, áp dụng cơng thức (4.30), ta thu dược (4.31) Ví dụ 4.64 lĩnh dộ dài cung ỉ/ = 2'0 — x — Giải Gọi l độ dài cung Áp dụng cơng thức (4.31) ta có ỉ — I ỵ/1 1- x2dx — I A'\/l + X2 4- ln(A' T xj1 -ỉ - Ã'2) = |-(\/2 I In \/2) ■ Cung cho hệ tọa dộ cực Xét cung AB cho hệ tọa độ cực r — r((p),a </■ co 00 sin 2x , —-—— dx X () I X2 e x dx ■ ứng dụng tích phân 4.16 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỏi dường: X2, X I y 1/ I/ - X3, y — X, y "I dx y — X2 - 5, y — — X2 2x y — e" x sin X,y ■- 0,x = X = 7T 199 4.5 BÁ ĩ TÁP r2 — á1 cos 2(p X - Í7COS3/, ' y a sin /, r — a(l + coscp) r - a,a > „ IX a(t sin/), < I y = ữ(l “ cos /),0 < í < 2zr, n < f < 27T { y -= 4.17 Tính thổ tích vật thể trịn xoay tạo quay ctíc hình phang giới hạn dường quanh trục tương ứng: y Ịf — X sin X, XJ — 0,0 < X < 7T, Oy; X sin X, < X < 7T, Ox; I X' — a cos3 t, < _ [1/ í?sin3/,0 < t < 2n, Ox; 4.1/ = e x \Jsin X, < X < 7Ĩ, Ox y ■-■■ ■ x2,y — 4, trục X — 2; < fx-n(/-sinf) 0 xln2rt X ■ A X G R B c X < — < X < ĩ D X > /• t-oo ự}n‘V X - dx hội tụ 4.46 Tích phân Ị — / / /■1 XA / — . dx hội tụ Jo V (x2 + 1) sin X B ~ < X < A X G R c X < -1 _ D X : c X < ỉ /-1 a + SÌn T.7, ua; u Lk; bkí 4.48 Tích phân ỉ — / ——7=—dx hội tụ chí 7o Xỵ/x B - ị < X < A X t /•2 4.49 Tích phân ỉ — / — /0 x2rY t x)(3 ■■ x) /■1 D X - .A - -fỈY hội tụ B - < X < A X G R c X < ■ ■ c rt < D X > _4 YíV 4.50 Tích phân / —— -dx hội tụ 7o ựx(x+ 1)(2 - x) ■ • A X 4.51 phân A X G R B.x < D Oi tùy ý (xA' I - 1) sỉnx , bk,— - —dx phân kỹ vã chi ìn(ĩịx) r B < X < c < Oi < D a > TÍCH PHĂN 204 ■ ứng dụng tích phân 4.52 'lỉnh dộ dài cung có phương trình tham số í x —- a COS’3 f, í y — a sin t, B Ĩĩ í e 7T1 ~ 0; 77 ,a > L 2J D c ... l)(x2 4- X 4- 1) X + X2 + X — Dx I E X2 I X 1' Quy đồng mẫu ta — Ax(x — l)(x2 4" X 4- 1) 4- B(x — l)(x2 4- X 4- 1) 4- Cx2(x2 4- X 4- 1) 4- (Dx 4- E)x2(x — 1), Vx {0; 1}, hay = (X 4- c + D)x4 I-... x/X2 4- 2x, tan (4- (n t In tan I -7- — 7- I 4 2/ „ I c 2) ■ X I I- /x2 4- 2x nên Ỉ — x/X2 4- 2x — In X 4- /X2 4- 2x 4- c — x/x2 + 2x -■ In (x l)2 - (x2 4- 2x) X 4- 1 — ựX2 4- 2x — x/X2 2x 4- ... cos2 2f)dt ~ Ị dt 4- 7 í cos2tdt 4- 7 [ cos22tí?t 4J 2J / 1 /• = t + -7 sin 2t 4- 7- /( 14- cos 4f)dt 4 / 1 = + sin2f + -7- sin4f 4- c, O 32 với t = arctan X, 2tanf 2x sin2t = õ/ 4- tan2 t + x2