KHOA KHOA HỌC cơ BẢN Tổ TOÁN LÊ VĂN LAI, NGUYỄN ĐÌNH TÙNG, Đỗ HOÀI vũ TOÁN CAO CẤP C1 (Lưu hành nội bộ) TRƯỜNG ĐẠI HOCC0NG NGHIỆP THÀNII PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC cơ BẢN Tổ TOÁN LÊ VĂN LAI, NGUYỄN.
KHOA KHOA HỌC BẢN - Tổ TOÁN LÊ VĂN LAI, NGUYỄN ĐÌNH TÙNG, Đỗ HỒI vũ TỐN CAO CẤP C1 (Lưu hành nội bộ) TRƯỜNG ĐẠI HOCC0NG NGHIỆP THÀNII PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC BẢN - Tổ TỐN LÊ VĂN LAI, NGUYỄN ĐÌNH TÙNG, ĐƠ HỒI vũ TỐN CAO CẤP C1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Lời nói đầu Được chấp thuận Trưởng khoa Khoa học Cơ Tập thể tổ Tốn, sách TỐN CAO CÂP C1 trở thành giáo trình thức từ năm học 2017 - 2018 Giáo trình biên soạn sát chương trình sinh viên trường đại học khối ngành kinh tế, quản trị kinh doanh Kiến thức trình bày chi tiết cách logic, dễ hiểu Trong sách có nhiều ví dụ liên quan dến kinh tế, quản trị kinh doanh lồng ghép vào kiến thức toán học cách nhẹ nhàng, hòa quyện vào Điều minh chứng cho thấy toán học ngành học khác khơng thể tách rời Giáo trình chia thành sáu chương: Chương 1: Giới hạn liên tục Chương 2: Đạo hàm vi phân Chương 3: Phép tính vi phân hàm hai biến Chương 4: Tích phân Chương 5: Chuỗi số Chương 6: Phương trình vi phân cấp Sau chương có phần tập trắc nghiệm tự luận trắc nghiệm khách quan Chúng xin gửi lời chân thành cảm ơn q thầy, tổ Tốn Khoa Khoa học Cơ - Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh đóng góp nhiều ý kiến q báu Giáo trình phản biện lần đầu tiếp tục cập nhật Đặc biệt, xin cảm ơn q thầy, tham gia phản biện giáo trình: Huỳnh Hữu Dinh, Huỳnh Văn Hiếu, Nguyễn Đức Phương, Bùi Thị Thu Phương, Mai Thị Thu Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2017 Nhóm tác giả Mục lục Lời nói đầu Mục lục GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1 1.2 1.3 1.4 Cơ số thực 1.1.1 Các tập số thường gặp 1.1.2 Tập thực mở rộng 11 Hàm số 12 1.2.1 Khái niệm hàm số 12 1.2.2 Một số tính chất đặc biệt hàm số 13 1.2.3 Hàm số ngược 16 1.2.4 Hàm số hợp 17 1.2.5 Hàm số sơ cấp 18 1.2.6 Hàm số sơ cấp 23 25 1.3.1 Dãy hội tụ 27 1.3.2 Dãy đơn điệu 30 1.3.3 Dãy 31 Dãy số Giới hạn hàm số 31 1.4.1 Khái niệm giới hạn hàm số 31 1.4.2 Các quy tắc tính giới hạn 33 1.4.3 Tính chất kẹp 35 1.4.4 Giới hạn hàm hợp 36 MỤC LỤC 1.5 1.6 1.7 1.8 1.4.5 Giới hạn phía 36 1.4.6 Mở rộng khái niệm giới hạn 38 1.4.7 Hai giới hạn quan trọng 42 Tính liện-tục hàm số 43 1.5.1 Định nghĩa tính chất 43 1.5.2 Liên tục phía Phân loại điểm gián đoạn 45 1.5.3 Hàm liên tục đoạn 46 Tính liên tục hàm số sơ cấp 47 1.6.1 Hàm lũy thừa thức 47 1.6.2 Hàm mũ hàm logarit 48 1.6.3 Hàm lượng giác, lượng giác ngược 49 Vô bé, vô lớn giới hạn 50 1.7.1 Hàm tương đương 50 1.7.2 \VÔ bứXVCB) ■ 52 1.7.3 /(x) với X D f(c) gọi giá trị lớn f, dược ký hiệu maxxGj) f (x) • Nếu f(c) < f(x) với X G D f, ký hiệu mĩnveữ/(x) gọi la giá trị nhỏ Khi miền xác định hàm số f đoạn [a;b], Định lý 1.20 kết luận rằng: Nếu hàm số /(x) liên tục [a; b] /(x) đạt giá trị nhỏ lớn [a; b], nghĩa là, tồn X(), X1 đoạn [a; b] cho f(xo) < f(x) < f(xì)' vói X e [a;b] Cách tìm Xo X1 Nếu Xo G (rt;b) theo Định lý Fermat y'( o) * = 0; tưưng tự, X1 G («; b) /'(xi) = Vậy, hàm số f (x) đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ điểm nghi ngờ (n; b) a, b Nếu hàm số /(x) có đạo hàm cấp hai khoảng I (hữu hạn vơ hạn) ta có kết thường dùng sau: Định lý 2.16 Cho hàm số f(x) có đạo hàm đến cấp hai khoảng I c điểm nghi ngờ f(x) I ĩ Nếu /"{c) < thĩ f(c} giá trị lớn cùa f(x) Nếu fH(è) > f(c) giá trị nhỏ f(x} I Ví dụ 2.29 (Bài tốn cực đại hóa doanh thu, lợi nhuận) Một cơng ty cung cấp văn phịng phẩm bán Q bút lơng bảng năm với giá p (1000VND) cây, có hàm giá - cầu hàm tổng ch> phí P = 10 - 0,001Q C(Q) = 5000 + 2Q (1000VND) Hãy tìm Q để doanh thu đạt giá trị lớn Khi đó, tìm giá trị doanh thu, giá bút Hãy tìm mức sản lượng Q để lợi nhuận lớn nhất; đó, tính giá trị lợi nhuận giá p Giả sử cơng ty phải đóng thuế 2000VND bút mà cơng ty sân xuất Háy tìm mức sản lượng Q để lợi nhuận lớn nhất; đó, tínly giá trị lợi nhuận giá p 90 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÁN Giải Doanh thu hàng năm công ty R(Q) = 0 d p D(P + âP)-D(P) p „ D'(p) - — = d-D'(P) = p.-^ddrapAo Q' Q D(P) ■ Từ kết này, ta có Định nghĩa 2.12 Độ co giãn cầu loại hàng hóa mức giá p hàm số E theo p, xác định E(p) = -P^ỊPỊ { } D(P) ■ Ví dụ 2.31 Một cửa hàng cho thuê đĩa DVD thấy cầu thuê đĩa DVD cửa hàng cho Q = D(P) = 120 - 20P, đó, Q số đĩa DVD cho thuê ngày với giá p (USD) cho mỗỉ lần thuê Tìm: a) Lượng cầu p — b) Độ co giãn cầu theo p c) Độ co giãn cầu p = p = Giải thích ý nghĩa giá trị độ co giãn d) Giá trị p E(p) = e) Hàm tổng doanh thu theo gỉá R(p) f) Giá p mà tổng doanh thu đạt giá trị lớn Giải a) Q = D(2) = 80 b) Độ co giãn cầu theo p Theo định nghĩa Độ co giãn, ta có E(P) = k J ' D(JP) — -P-. —p ■ '120-20P —p’ 2.6 Độ co giãn cầu theo giá c) o 95 E(2) = ị Khi p — AP bé, ta có AP p Do đó, tăng nhẹ giá cho thuê đĩa, nghĩa >0, ~ — 2■ < 0, phần trăm lượng cầu thuê đĩa giảm xấp xỉ lần so với phần trăm tăng giá o E(4) = Khi p = AP bé, ta có p Do đó, tăng nhẹ giá cho thuê đĩa, nghĩa >0, « —2.^ < 0, phần trăm lượng cầu thuê đĩa giảm xấp xi lần so với phần trăm tăng giá d) Ta có E(p) = o e) O — p = »/> = Hàm tổng doanh thu K(P) = P.D(P) = P(120 - 20P) = 120P - 20P2 f) Do R'(P) = 120 - 40P nên R'(P) = p = Mà R"(p) — —40 < nên R"(3) < Vậy, hàm tổng doanh thu đạt giá trị lớn p = Lưu ý rằng, phần d) f) Ví dụ 2.31, giá trị p làm cho E(p) = giá trị p mà tổng doanh thu lớn trùng Định lý sau khẳng định điều luôn Định lý 2.17 Giả sử hàm cầu Q = D(p) có đạo hàm liên tục miền (0; 4-oo) Khi đó, hàm tổng doanh thu R(p) • tăng khoảng (a;b) E(P) < với p e (ô;b) ã gm trờn khong (c;d) nu E(p) > với p G (c;rf) 96 ĐẠO HÀM VÀ Vỉ PHÂN • đạt giá trị cực đại p mà E(p) — Thật vậy, R(p) = P.D(P) nên R'(P) = D(p) 4- P.D'(P) = Dịp) = D(P) [l-E(P)] Ap dụng kết quen thuộc sau ta có kết luận Định lý Định lý 2.18 Cho hàm f xác định c khả vi (a;b) c, khơng khả vỉ c ĩ Nếu f'(x) < (ữ’,c) ff(x) > (c; b) f đạt cực tiểu c Nếu f({x) > (a; c) f'(x) < (c; b) f đạt cực đại c Nếu ff(x) khơng đổi dấu (a; b) \ {c} f không đạt cực trị c 2.7 Bài tập Trắc nghiệm tự luận ■ Đạo hàm 2.1 Tính đạo hàm hàm số sau: tan X VX1 _ / x\ V = cos ( sin — ; y \ 3/ V = arcsin 1—r; |x| 5.y = 2^; y = 2>AI^7; y = 32'; y = (In x) * ; y = X2"; 10 y — Xx; 11 y = Xx ; -g -vX 12 y = (lnx)x Xlnx 2.2 Cho /(x) = |x — 1| 4- |x4- 1| Tính f'(Xq-), f (x0 ) Xo = ±1 2.3 Cho/(x) — Vsin2 X Tínhy'(0+),/'(0~) ■ Chí phí cận biên, doanh thu cận biên 2.4 Nhà sản xuất ước tính Q đơn vị sản phẩm sản xuất, tổng chi phí C(Q) = 0,1Q3 — 0,5Q2 4- 500Q 4- 200 đơn vị tiền tệ ‘ Dùng chi phí cận biên để ước tính chi phí sản xuất đơn vị sản phẩm thứ tư 97 2.7 Bài tập Tính chi phí thực tế để sản xuất đơn vị sản phẩm thứ tư 2.5 Q đơn vị sản phẩm sản xuất bán tháng doanh thu nhà sản xuất = 240Q — 0.05Q2 (đơn vị tính: USD) Hiện tại, nhà sản xuất sản xuất 80 đơn vị sản phẩm tháng có kế hoạch tăng sản lượng hàng tháng lên đơn vị Sử dụng doanh thu cận biên để ước tính doanh thu bổ sung tạo việc sản xuất bán đơn vị sản phẩm thứ 81 Tính doanh thu bổ sung thực tế tạo việc sản xuất bán đơn vị sản phẩm thứ 81 ■ Vỉ phân 2.6 Tính vi phần hàm số sau: ~ a X y = —4- arctan —; ? X a V — In X + V X2 + a ; V y = arccos T—T |x| 2.7 Cho/(x) = X3 — 2x4-1 Tính A/(l), đ/(l) 2.8 Cho y = Tại X() = a — b, tìm Ax để Ay(xo) = 2.9 Tìm a, b cho hàm số X < 0; X > khả vi X € R 2.10 Tìm a, b cho hàm số khả vỉ X e R 2.11 Dùng vi phân cấp tính gần giá trị sau: ẠĨ7; tan 46°; arctanO, 97; 1+ lim(ex4-e x— 2)cotx; X—>0' lim { —, ; X->0 \ X sin X xz ) ì _ lim (ĩ -=1 - X \) X->1+ \ In X In X / 2.7 Bài tập 99 2.18 Khử dạng vô định 1°°, oo°, 0° : lim (1 4-x)lnx; x-+0+ lim (x + 2x)ỉ; x^>±oo lim Xsinx; w0' / 7TX \ tan V lim (tan——) lim (cotx)^; x->0+ lim (arcsinx)tanx; x->0‘ lim (zr —2x)cosx ■ Cực trị kinh tế 2.19 Một doanh nghiệp sản xưất độc quyền loại sản phẩm có hàm cầu hàm tổng chi phí là: Q/J = 656 — ịp c = Q3 — 77Q2 + 1000Q 4- 100 Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận cao 2.20 Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm, theo đuổi mục đích lợi nhuận tối đa, có hàm cầu hàm tổng chi phí là: Qd = 2640 - p C(Q) - Q2 + 1000Q + 100 Nếu doanh nghiệp cho mức thuế định đơn vị sản phẩm t (giá trị t chưa biết) doanh nghiệp ấn định mức sản lượng để lợi nhuận lớn theo t? Tìm t để thuế thu từ doanh nghiệp lớn Nếu thị trường cần có tối thiểu 300 đơn vị sản phẩm doanh nghiệp mức thuế đơn vị sản phẩm tối đa bao nhiêu? Trắc nghiệm khách quan ■ Đạo hàm cấp 2.21 Tính đạo hàm hàm f(x) — sinx ex(sinx — cosx) = sin X ỵ ex(—sinx 4-cosx) J J * J J sin X 2.22 Tính đạo hàm hàm /(x) = (1 +x)x,x > —1 y / c x —Hùr - ex(sin X 4- cos x) „-2 X sin ex cos X ĐẠO HÀM VÀ VI PHÁN 100 ■ Đạo hàm cấp cao 2.23 Tính đạo hàm cấp n hàm y — e 3x A yW = (-3)” e~3x B y(n> = (-3)"-1 e~3x c.y(n) = (—3)"+1e-3x D.yM = (-3)"e3x 2.24 Tính đạo hàm cấp n hàm /(%) = In |x + 2|.’ 2.25 Tính đạo hàm cấp n hàm f(x) = In |x2 — 3x + 2| Vi phân cap 2.26 Tính vi phân hàm y = (3x)x A dy — (3x)x(ln3x + l)dx B dy = (ln3x + l)dx c dy = (3x)x(ln3x + 3)dx D đy = (ln3x + 3)dx 2.27 Tính vi phân hàm y = arctan ( A dy = —————T—-dx x(9 4- ln2 x) c dy — —~—-dx x(9 + In2 x) 2.7 Bài tập 101 ■ Vỉ phân cấp 2.28 Tính vi phân cấp hàm y = ln(l + X2) X j2, _ 2x2 , D j2„, _ -j- 2x2 B dy = (l + * x?)^ A- d v = (l+x2)2^ «2,, 2x2 — 2 cđ y ~ (y + x2ydx J2,, + 2x2 D.dy- ~(1 + x2yđx í- 2.29 Tính vi phân cấp hàm y = arctan(x2) A- d V_ 2— 6x4 -2 A = (l + x^rf* D ^2,, _ 2-4-óx4 B- d y = ri 12 _ 6x4 ~ , c d y — ' „dr V (1 + X4)2 m — D m — ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 102 / V* 2.34 Tính giới hạn lim í ——- A B _ _ »• _ x _— +— 2.35 Tính giới 1han lim & ■ /4-2 X3 + A — B144 - T77 144 c 36 c c u~ ^32 + 2x - , — ' 2.36 T inh gĩớĩ han lim X—♦() ỳx + 16 - ' ỉ -ì 2.37 Tính giới hạn lim e, A B ? ■ X2 = + 5x - - X -2 2.38 Tính giới hạn lim (cos2x + x2)cot x ■ A x^>0' v B c 2.39 Tính giới hạn lim (cos X + sin2x)cot x A e B ỵ/ẽ c ỵ/ẽ ■ Cực trị kỉnh tế 2.40 Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm Biết hàm giá - cầu p = 12 — 0,4Q hàm tổng chi phí C(Q) — 4- 4Q + 0,6Q2 Biết doanh nghiệp theo đuổi mục đích lợi nhuận tối đa Khi bán đơn vị sản phẩm doanh thu doanh nghiệp đơn vị tiền tệ? A 31,5 B 31,4 c 31,3 D 31,2; 2.7 Bài tập 103 2.41 Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm Biết hàm giá - cầu p = 12 — 0,4(2 hàm tổng chi phí C(Q) = + 4(2 + 0,6Q2 Nếu doanh nghiệp phải đóng mức thuế đơn vị tiền tệ đơn vị sản phẩm lợi nhuậnttihiều doanh nghiệp đơn vị tiền tệ? A.4; c D 10 2.42 Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm Biết hàm giá - cầu p = 12 — 0,4(2 hàm tổng chi phí c ((2) = + 4(2 + 0,6Q2 Nếu doanh nghiệp phải đóng mức thuế đơn vị tiền tệ đơn vị sản phẩm bán 20 đơn vị sản phẩm, doanh thu doanh nghiệp đơn vị tiền tệ? A 214 B 215 c 216; D 217 ... BIEN 3 .1 3.2 3.3 3.4 3.5 10 4 Đạo hàm riêng 10 4 3 .1. 1 Hàm hai biến 10 4 3 .1. 2 Đạo hàm riêng cấp 10 7 3 .1. 3 Đạo hàm riêng cấp hai 11 0 Vi phân - 11 2 3.2 .1. .. 11 Hàm số 12 1. 2 .1 Khái niệm hàm số 12 1. 2.2 Một số tính chất đặc biệt hàm số 13 1. 2.3 Hàm số ngược 16 1. 2.4 Hàm số hợp 17 1. 2.5 Hàm số sơ cấp. .. 11 2 3.2 .1 Khái niệm vi phân 11 2 3.2.2 Vi phân cấp hai 11 3 Cực trị tự .11 4 3.3 .1 Khái niệm cực trị tự 11 4 3.3.2 Điều kiện cần cực trị 11 5 3.3.3 Điều