Chương 5 CHUỖI SỐ 5 1 Cơ bản về chuỗi số 174 5 2 Chuỗi số dương 179 5 3 Chuỗi có dấu bất kỳ 187 5 4 Bài tập 190 5 1 Cơ bản về chuỗi số 5 1 1 Các khái niệm về chuỗi số Cho dãy số thực (m„) Biểu thức 4.
Chương CHUỖI SỐ 5.1 5.2 5.3 5.4 5.1 Cơ chuỗi số Chuỗi số dương Chuỗi có dấu Bài tập 174 179 187 190 Cơ chuỗi số 5.1.1 Các khái niệm chuỗi số Cho dãy số thực (m„) Biểu thức 4-00 = y' un u-[ +1/2 + + (5.1) gọi chuỗi số • Các số Ui, 1/2, •, un, gọi số hạng chuỗi số; un gọi số hạng thứ n chuỗi số • Tổng n số hạng chuỗi số, Jt=l gọi tổng riêng thứ n 5.1 Cơ chuỗi số 175 • Nếu dãy số (S„) có giới hạn hữu hạn s s gọi tổng chuỗi (5.1) chuỗi (5.1) gọi chuỗi số hội tụ, ta viết too y~ì = $• n=l Nếu dãy (Sn) khơng có giới hạn hữu hạn ta nói chuỗi (5.1) phân kỳ • Phần dư (chuỗi dư) thứ n chuỗi (5.1) ký hiệu Rn, oo Rn — / Ví dụ 5.1 Từ day ( _ , tổng riêng thứ n là: 1,1 2*2 , ” - L2 Z3 + 3.4 , ———V- Chuỗi X - t°? ) ta thành lập chuỗi 7, có số hạng thứ n c > ' Uk‘ k—n + • + + 1) 1, * ■■■ H 1.1 ' n 4- Do lim sn — lim I - —— ) = n—>4-00 n—>4-00 y n 4" J Vậy chuỗi hội tụ tổng chuỗi 1, tức 4-00 y „=1 -1 m(m = 4- 1) ' 1X Ví dụ 5.2 Khảo sát hội tụ chuỗi số «=1 y In VI 4- n — )1 Giải Tổng riêng thứ n chuỗi Sn = In 4- — \ / 4- In f 4- \ 2/ 4- 4- In I 4- — X ,2,3 , n , n 4-1 — In — 4- ln — 4“ • • 4" In — 4” In -1 n — n = ln(n 4- 1) Do lim sn = lim ln(n4-l) = oo nên chuỗi phân kỳ n —> + oo H oo n CHUỖI SỐ 176 Ví dụ 5.3 Khảo sát hội tụ chuỗi I oo 4-00 • Nếu q = sn = n Do lim sn = 4-00 nên chuỗi (5.2) phân kỳ n—>4-00 • Nếu q 7^ q 7^ 0, ta có Sn = 4- q 4- q2 4- 4- qn 1, qSn = q 4- q2 4- 4- í?”-1 4- q" Suy (1 - q)S„ = l- qn hay C = I-4" Dễ thấy rằng, lim qn tồn hữu hạn —1 < q < Mà q 7^ nên lim„_^oo sn tồn — < q < Khi đó, lim qn = nên lim sn = n—>4-00 n ->4-00 — q Vậy chuỗi (5.2) hội tụ — < q < 1, 5.1.2 Điều kiện cần để chuỗi hội tụ Định lý 5.1 Nếu chuỗi (5.1) hội tụ lim Un = n —>4-00 5.1 Cơ chuỗi số 177 Chứng minh Chuỗi (5.1) hội tụ nên lim sn — s, ỉt—>4-00 với s hữu hạn Suy - s *-4 í oo n Ịvr Do lim U)Ị — »1—>4-00 n s — lim (S„ — sn-i) = s 4 oo □ + °° Ví dụ 5.4 Chuỗi số y n — phân kỳ 2» + p y lim Uft «4 4-00 n = lim——- = «^4 4-00 2h l # Chú ý 5.1 DỊnh lý (5.1) điều kiện cần, chưa phai điều kiện đủ để chuỗi (5.1) hội tụ 4-00 / \ Ví dụ 5.5 Chuỗi số y In ( + — ) có \ „=1 " / \ lim un = lim In n ) =0 «->4-00 >1 —>4-00 y nJ phân kỳ, theo Ví dụ 5.2 Ví dụ 5.6 Chuỗi số y ( — 1)” phân kỳ n=\ n lim un — lim ( — 1)" >4-00 «—>4-00 khơng tồn 5.1.3 Tính chất chuỗi hội tụ 4-00 4-00 Định lý 5.2 Nếu chuỗi y un hội tụ có tổng s chuỗi y c.un, c «=1 «=1 số, hội tụ có tổng c.s Chứng minh Gọi Sn,$H ’ tổng riêng thứ n chuỗi y 11„ chuỗi y c.un n=l M=1 Vi S,, lim„.44-00 Sn — s nên lim,í > = ỵ C.Un = c- y k-A k=l f oo 5«'' = c.s □ CHUỖỈ SỐ 178 Ví dụ 5.7 Do E' ~ = ĩ nên £+~ = -3 Ví dụ 5.8 Chính phủ định áp dụng chương trình giam thuế nhằm kích thích kinh tế Giả sử bạn giảm thuế 24 triệu đồng bạn chi tiêu 80% số tiền này, người nhận số tiền bạn chi tiêu dành 80% số tiền họ nhận để chi tiêu, q trình tiếp tục khơng có kết thúc Tổng số tiền chi tiêu trình tiếp tục nêu? Giải Đặt a = 24 (triệu đồng) q = 80% số tiền chi tiêu lần thứ n a.qn, với n = 1,2, Do đó, tổng số tiền chi tiêu E a-cì 77=1 V2? n-1 = (M-) 12 n a(ỉ - 4-00 71 > oo lim 71->4-00 4- lim sj,2' n —>4-00 Mà " lim sj,’) = 71 = 12 lt»'" lim_ sr>2) — 12 v" 7^1 nên suy ■ oo 4-00 4-00 71 — 71=1 H=1 12 («71 + Vn) = 12 “»+ 12 v»- Ví dụ 5.9 Do E.t“, ^H) = E,t~! (i)’"1 = ị nên "’1 un, EĨT 5.2 Chuỗi số dương 179 Định lý 5.4 Nếu chuỗi (5.1) hội tụ chuỗi dư uk hội tụ ngược lại, có chuỗi dư ưk hội tụ chuỗi (5.1) hội tụ Chứng minh, cố định n € N Gọi s'm tổng riêng thứ m chuỗi dư, ta có m ntm n = y < un+k = y uk y , Uk — Sn I m $nk=l k=ỉ k=ì Vì chuỗi (5.1) hội tụ nên lirụ Sm4-mi = s rri r + oo Do đó, ru lim s'm = s — sn Vậy chuỗi dư hội tụ Ngược lại, giả sử Uf; hội tụ Ta chứng tỏ (5.1) hội tụ Xét m > riQ Ta có = s„o + S/H —Ho’ Vì chuỗi dư hội tụ nên M|1V?OO4S"' «0 = s' € R Suy ni lim sm = sn„ + S', ->4-00 Vậy (5.1) hội tụ Hệ 5.1 Tính hội tụ chuỗi (5.1) không thay đổi ta thêm hay bỏ số hữu hạn số hạng Ví dụ 5.10 E,; °°1 TnTTHJ hội tụ E+=~oo h