Chương 3 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM HAI BIEN 3 1 Đạo hàm riêngTa ký hiệu R2 là tập hợp tất cả các cặp số thực (x;y), nghĩa làR2 = {(x;y) x,y € R} 3 1 1 Hàm hai biếnGiả sử một công ty, chỉ sản xuất hai loại.
Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM HAI BIEN 3.1 Đạo hàm riêng Ta ký hiệu R2 tập hợp tất cặp số thực (x;y), nghĩa R2 = {(x;y) : x,y € R} 3.1.1 Hàm hai biến Giả sử công ty, sản xuất hai loại sản phẩm, sản xuất X đơn vị sản phẩm loại thứ với lợi nhuận 4USD đơn vị y đơn vị sản phẩm loại thứ hai với lợi nhuận 6USD đơn vị Thế thì, tổng lợi nhuận hàm số theo hai biến X y, cho n(x,y) = 4x 4- 6y Hàm số biến cặp số (x; y) thành số thực 4x + 6y Tổng quát, ta có Định nghĩa 3.1 Hàm số f theo hai biến độc lập X y quy tắc lặm tương ứng cặp số thực có thứ tự (x;y) với số thực ký hiệu y(x; y) Hàm số ký hiệu z = /(x;y) • X y gọi hai biến độc lập • z gọi biến phụ thuộc • Tập hợp tất cặp số thực (x;y) cho /(x^y) số thực gọi miền xác định f • Gọi D miền xác định f Miền giá trị f /(D) = {z : z = /(x;y), (x;y) e D} 105 3.1 Đạo hàm riêng Chú ý 3.1 Trong vài trường hợp, A4 điểm có toạ độ (x; y) ta viết /(M) thay cho f{x;y} Khi cho hàm số z — f(x; y) cơng thức ta hiểu miền xác định hàm số tập hợp tất điểm (x; y) làm cho biểu thức f{x; y) có nghĩa Ví dụ 3.1 Xét hàm lợi nhuận I I(x;y) = 4x + 6i/ (USD) Tính n(2;3) Giải Ta có 11(2; 3) = 4.2 + 6.3 - 26 (USD) Kết có nghĩa cách sản xuất bán đơn vị sản phẩm loại thứ sản phẩm loại thứ hai, công ty thu lợi nhuận 26USD Ví dụ 3.2 Một công ty sản xuất nhỏ sản xuất hai loại sản phẩm Nếu chi phí cố định 500USD tuần chi phí biến đổi 70USD cho sản phẩm loại thứ nhất, 80USD cho sản phẩm loại thứ hai hàm chi phí hàng tuần tính C(Qi; Q2) = 500 + 70Q1 + 80Q2, vói Q1 Q2 số sản phẩm loại thứ số sản phẩm loại thứ hai sản xuất tuần Tính C(20; 10) Giải Ta có C(20; 10) - 500 + 70.20 + 80.10 = 2700 (USD) Kết có nghĩa là, tuần, pếu sản xuất 20 đơn vị sản phẩm loại thứ 10 đơn vị sản phẩm loại thứ hai cơng ty tốn chi phí 2700USD Ví dụ 3.3 Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm xác định hai hàm giá - cầu cho hai loại sản phẩm Pỵ = 210 - 4Q1 + Ỡ2, p2 = 300 + Q1 - 12Q2, đó, Pỵ p2 tương ứng giá sản phẩm loại thứ giá sản phẩm loại thứ hai, 0 + Ay) — f(a; b) Ay Ví dụ 3.ố Cho z = f(x; y) — X3 — 2x2y 4- 3x2 4- 6y + Tính zx, Zy Giải z’x — 3x2 — 4xy 4- 6x, zfy - —2x2 4- Ví dụ 3.6 Cho z — f(x;y) — e%2+ỉ/2 Tính z'x,z'y Giải Áp dụng đạo hàm hàm hợp, ta có zx = ex2+í/2 (x2 4- y24 = ex2+y2 2x z'y = ex2+*2 (t2 4- y2Yv = ex2+^2 2y PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM HAI BỉẾN 108 Ví dụ 3.7 Cho/(x;y) = xl-,x > Ta có ;y) * Ấ( = Ví dụ 3.8 z — arctan X vàf'(x;y) = x^lnx Ta có Ví dụ 3.9 Cho/(x;y) = sin(xy) + arctan Ị Ta có fx = ycos(xy) - /' = xcos(xy) + Ví dụ 3.10 Cho hàm số í ' nẻu (* ;y) 7^ (0;0); = < * +y , [o, (x;y) = (0;0) Tính đạo hàm riêng cấp /(x;y) Giải Xét hai trường hợp: • Trường hợp 1: (x;y) (0;0 Ax Suy lim yĩ(0;Ay)-/;(ũ;0) Ay—»0 Ay /y(Ax;0) —/ý(0;0) lim — -—— ÁX-+0 Ax Jim Ay-J-O lim Ax ° = -1 = f" (0;0) y Ax — = = /£(0;0) Ax Vậy,/"(0;0) #/"(0;0) Ví dụ 3.13 Ví dụ 3.14 cho thấy hai đạo hàm hỗn hợp f”y fý'x khác Định lý sau cho ta điều kiện đủ để fXy = fỊỊx Định lý 3.1 Nếu f{x;y) có đạo hàm riêng đến cấp hai xác định liên tục hình trịn D ỉ-ỉ-(x;y~) = ỉ-ị-{x;y), v(x;y) G D dxởy 17 dyờxỵ 177 K f PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 112 Vi phân 3.2 3.2.1 Khái niệm vi phân Cho f{x; y) xác định hình trịn D có tâm điểm («; b} Nếu ấx, Ay đủ nhỏ (ứ + Ax; b + Ay) G D Khi đó, ta đặt Af(ír, ờ) = f(a + Ar; b + Ay) — f(a; b) Định nghĩa 3.4 Hàm /(x;y) gọi khả vi (ữ; b) Af{a; b) = A.Ax 4- B.Ay + a.Ax 4- /Ổ.Ay, (3-1) đó: • A B số, phụ thuộc (ô; b); ã a > v /5 > Ax, Ay —> Khi đó, biểu thức A.ầx 4- B.Ay gọi vi phân toàn phần /(x;y) (đ; b), ký hiệu đf(íT, b), df{a; b) — A.Ax + BAy Dùng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có |x.Ax 4-^.Ayl < ựx2 4- ỵ/ax2 4- Ay2 Suy Ix.Ax 4-B.Ayl rr~ -—; „ H ==- < \/ec2 4- ]ổ2 —> Ax, Ay —> ỵ/Ax2 + Ay2 v * Do đó, ơc.Ax 4- /3.Ay — 0( ỵ/Ax2 4- Ay2) Ax, Ay —> Vậy (3.6) viết dạng A/(a; b) = A.Ax 4- B.Ay 4- 0( Ựax2 4- Ay2) (3.2) Định lý sau cho ta điều kiện đủ để hàm y(x;y) khả vi điểm («;b) 3.3 Cực trị tự 113 Định lý 3.2 Nếu f(x’,ỳ) có đạo hàm riêng fx,fỷ xác định hình trịn mở tâm (a; b) liên tục (a;b) f{x-,y} kha vi (a; b) df(a;b) = f'(a;b).Ax + fý(a;b).Ay (3.3) Ví dụ 3.15 Hàm f(x;y) = x3y2 có f'x = 3x2y2 fỷ = 2x3y xác định liên tục điểm nên y(x;y) khả vi điểm Trong (3.8) cho f{x;y} — x,/(x;y) = y ta có Ax = dx, Ay = dy Như (3.8) trở thành df(ữ‘,b) = f'x(a-,b).dx + fý(a;b).dy (3.4) Ví dụ 3.16 Cho f{x;y} — x3y2 4- sin(xy) Ta có df(x'fỳ} = [3x2y2 + y cos(xy)]í/x + [2x3y 4- X cos(xy)]rfy 3.2.2 Vi phân cấp hai Định nghĩa 3.5 Vi phân df{x; y) hàm hai biến X, y Vi phân có J/(x; y) gọi vi phân cấp hai f(x; y) ký hiệu d2f(x; y} Vậy d2/(x;y) = d (df(x;y)) Bây ta giả sử x,y hai biến độc lập, nghĩa chúng không phụ thuộc vào biến khác Khi đó, dx dy số nên d2f(x''ỳì = d (df(x;y)) = d(f'xdx 4-fỷdy) = d(f'xdx) + d(f'ydỳ) = d(fx)dx + dự^dy = f'x2dx + /x/y] dx + [fý'xdx 4- /y2dy] dy = fx2dx2 4- f”ydxdy + f”xdxđy + f'ỷ2dy2 Nếu f" = f" thi ta có đ2f(xỉy) = fX2dx2 + 2f"ỉfdxdy + ffdy2 Ví dụ 3.17 Cho f{x; y) — X3 4- 2x2y 4- y2 Ta có fx — 3x2 4- 4xy, fý = 2x2 4- 2y /;2 = 6x + 4y,/" = 4x,f''x = 4X,/" = Do đó, vi phân cấp hai /(x;y) d2/(x;y) = (6x 4- 4y)í/x2 4- 8xdxdy 4- 2dy2 (3.5) 4.3 Tích phân suy rộng 159 ■ Các định lý so sánh Định lý 4.12 (Tiêu chuẩn so sánh 1) Cho hàm số f(x),g(x) : ĩ Xác định, khơng âm khả tích đoạn [a; b], với b > a, /(x) < g(x),Vx > a /•4-00 Nếu Ị Ja />4-00 f(x)đx hội tụ g(x)dx hội tụ Ị Ja Chứng minh Xem [1] cos2 X —~^dx + X2 Ví dụ 4.33 Khảo sát tính hội tụ tích Giải Do mà cosz X + X2 r + oo cos2jtix hội tụ -—-—~dx hội tụ nên / 1+ X2 • • Jo + X2 ’ Chú ý 4.5 Trong định lý 4.12, ta thay điều kiện /(x) < £(x), Vx > a điều kiện /(x) < g(x), Vx > M, với M lớn kết luận tính hội tụ / 00 f{x)dx Định lý 4.13 (Tiêu chuẩn so sánh 2) Cho hàm số /(x),g(x) xác định, khơng âm khả tích đoạn [a;b], với b > a Nếu lim X—>4-00 /■4-00 Ị Ja = K, Q < K < -1-00, r+oQ s(x)^x Ị f(x)dx hội tụ phần kỳ Ja Chứng minh Xem [1] Ví dụ 4.34 Khảo sát tính hội tụ tích phân / r /1 Giải Khi X —> +00, ta có Xy/1 + X2 /»4-00 mà / X2 r+ dx hội tụ nên / , hội tụ X2 * * /1 xựl + X2 dx dx xựl -I- X2 TÍCH PHẤN 160 Ví dụ 4.35 Khảo sát tính hội tụ tích phân f r J\ x arctan^6?x V1 + X3 Giải Khi X —> -I-OO, ta có X arctan X ■ X — — arctanx—■ x/1 + X3 Vl + X3 _ *+/ °° mà / ■A 7Ĩ y/x 71 X Vx3 ~ ——7= — —— dx , _ /■+00 xarctanx , n - , —7= phân kỳ nên / —■ „ dx phân kỳ ựx H J1 V1 +x3 Định lý 4.14 (Hội tụ tuyệt đối) Cho hàm số f(x) xác định khả tích /-4-00 /•4-00 đoạn [a;b], với b > a Nếu Ị Ja |/(x)|dx hội tụ Ị Ja f(x)dx hội tụ 4-00 / f(x)dx hội tụ tuyệt đối Chứng minh Xem [1] □ /■4-00 Ví dụ 4.36 Khảo sát tính hội tụ tích phân J 1COSX Giai Do —5— I xz tuyệt đối cos xdx ~— ,, _ _ ' f+oodxt _ f+°° cosxdx t < —=■/ Vx > Ị —hội tụ nên / -5 hội tụ xz Jỵ x£ ' ' 71 X2 Ví dụ 4.37 Khảo sát tính hội tụ hai tích phân sau: _ f+^sinx / ——-dx; h X /■+oo|sinx| , / ' Ji X dx Giải Với b > ta có „z, rb sin X , rb ,, cos X I b fb cos X F(b) — Ị dx = / — d(— cosx) = —— ■+- / c đx J1 X X X 11 J1 X2 cos b fb cos X = cos — - F ~ dx b Ji X2 Suy s f+°° cos X J lun F(b) — + / —dx < H“OO b->4-oo Ji X2 ỵ ———dx hội tụ X ■ /•4-00 cif-j Vậy / J1 4.3 Tích phân suy rộng 161 Vì I sin x| > sin2 ỉ'+°° Ta chứng tỏ J SŨI X, Vx > nên skgx ỊsinxỊ X X y X —-—dx phân kỳ Với b > 1, ta có fb sin2 X , rbl—cos2x, fb dx fb cos2xdx Fib) = / ——dx — Ị dx — / —- — / - — X X h X J\ X C°S-2* dx hội tụ, đó, Dễ thấy fb dx / — — lim r/ux 1™ lim F{b) — lim b—>H-OO b—>4-00 b—>4'00 X ,/1 , , = lim In b — lim -4-00 — fb cos2xdx / —— f+oữ cos2xdx / /1 X /1 b->+Jl oo = rb cos2xdx / - 12— X = -4-00 X dx phân kỳ 4.3.2 Tích phân suy rộng loại hai ■ Các đinh nghĩa Định nghĩa 4.10 Cho hàm số /(x) xác định (a; b], khả tích đoạn [f; b], với t e (a; b], lim /(x) — ±oo Đặt X—>«+■ fb F(F) = / f(x)dx, a t < b Nếu £(t) có giới hạn hữu hạn Oi, t —> a+, ta nói (X tích phân suy rộng hàm số /(x) [a; b], ký hiệu Ị f(x}dx = a Ja rb Khi đó, ta nói / f(x}dx hội tụ Ngược lại, F(t) khơng có giới hạn hữu Ja hạn t —> a+, ta nói / f{x)dx phân kỳ Ja Như vậy, f(x}dx hội tụ phân kỳ ±oo ta có [ f(x")dx — lim [ f{x)dx Ja f^a+ 162 TÍCH PHẦN Ví dụ 4.38 Khảo sát tính hội tụ tích „1.^ í° dx phân /-,?&• = xác định (— 1; 0] lim Giải Hàm /(%) = Vì f(x} liên tục đoạn [t; 0], với t G ( —1;0], nên khả tích Ta có 4) dx _ |0 _ — arcsin x| ” = — arcsin t Jt Suy lim F(t) - '■° -1 dx — lim arcsin t 2’ _ n = 2' dx v2 tùy theo giá trị tham ví dụ 4.39 Khảo sát tính hội tụ tích phân J số thực ŨC Giải Nếu oc < tích phân cho tích phân xác định Ta xét trường hợp ŨC > Khi đó, hàm /(x) = -p- xác định, liên tục (0; 1] limx_).o y(jf) = 4-OO Vì f(x) liên tục đoạn [t; 1], với t G (0;l]z nên khả tích đó, ta có — In t, - Ạ-* — ữ 0L = ừt • a = 1, limt_>0+ F(t) — — lim/._>0+ In t — 4-00 nên Jo ~~ phân kỳ • ũí > 1, lim^Qt F(f) = lĩm^cp = +°° nên fl — phân kỳ • a < 1, lim/_>()+ F(0 = Vậy, í' dx / —- hội tụ ŨC < Jo xa Định nghĩa 4.11 Cho hàm số f (x) xác định [a; b), khả tích đoạn [a; t], với t € [a; b), limx J./, /(x) = ±oo Đặt F(t) = [ f(x)dx,a < t Ja b 163 4.3 Tích phân suy rộng Nếu F(t) có giới hạn hưu hạn t b ta nói Ị3 tích phân suy rộng hàm số f(x) [a; b]r ký hiệu f{x)dx = ộ Khi đó, ta nói Ja f(x)dx hội tụ Ngược lại, F(t) khơng có giới hạn hữu hạn t —> b~, ta nói fa f(x)dx phân kỳ Như vậy, fb f(x)dx hội tụ phân kỳ ±oo ta có yb rt Ị f(x)dx = lim / f(x)dx t—>b Ja ỉa dx Ví dụ 4.40 Khảo sát tính hội tụ tích phân / — r /() ựĩ X2 Giải Hàm/(x) = xác định [0;l) limx >1-/(x) — +oo Vì y(x) liên tục đoạn [0; í], với t G [0; 1), nên khả tích đó, ta có — arcsinx|z — — arcsint Suy , 7T lim F(f) = — lim arcsin t = — í4ỉ đx _ n ,„ 7’1 dx f1 Vậy, / — —- hội tụ / 2" Jữ \/l — X2 ' ’ J0 vT-x2 Định nghĩa 4.12 Cho hàm số f(x) xác định [«;c) (c; b], khả tích đoạn [a; f], [m;b], với t G [a;c), m C- (c; b], lim/(x) = ±oo Nếu fa f(x)dx fb f(x)dx hội tụ, ta nói fa f(x)dx hội tụ Ị-c Ị-b Ị f(x)dx — I f(x)dx + / f(x)dx Ja Ja Ví dụ 4.41 Khảo sát hội tụ tích phân / ■ K Jo Giải Xét hai tích phân: / H /0 dx == /