Chương 6 CHUỖI HÀM 6 1 DÃY HÀM 232 6 2 CHUỖI HÀM 234 6 3 CHUỖI LŨY THỪA 238 6 4 BÀI TẬP 245 6 1 DÃY HÀM 6 1 1 DỊnh nghĩa Giả sử 1, f2, ■ ,fn, là một dãy các hàm số xác định trên tập X c R, ký hiệu ỉà.
Chương CHUỖI HÀM 6.1 6.2 6.3 6.4 DÃY HÀM CHUỖI HÀM CHUỖI LŨY THỪA BÀI TẬP 6.1 DÃY HÀM 6.1.1 DỊnh nghĩa 232 234 238 245 Giả sử /1, f2, ■ ,fn, dãy hàm số xác định tập X c R, ký hiệu ỉà (/„)- Điểm X() e X gọi điểm hội tụ cùa dãy hàm ầy dãy số (/n(xo)) hội tụ 'rập hợp điểm hội tụ (/„) dược gọi miền hội tụ 6.1.2 Hội tụ diêm, hội tụ DỊnh nghĩa 6.1 Giả sử dãy hàm (/„) có miền hội tụ X Với X e C X dặt/(x) — lim„ >.J.oo/„ (x), ta thu hàm f : D —> R Khi ấy, ta nói dãy hàm (/„) hội tụ điểm f D f dược gọi hàm giới hạn (diểm) cùa dãy hàm (/„) Ví dụ 6.1 Xét dãy hàm (/„) với /„(x) hàm giới hạn diểm {fn} Giải Ta xét trường hợp: • Nếu IXI < lim„ > I wx" — x” Tìm miền hội tụ dãy hàm 6.1 DÁY HĂM 233 • Nếu I x| > lim„ > ( oo xtt khơng tồn hữu hạn • Nếu X — limn >4 00 xft • Neu X — x" khơng tồn limN > ( 1; 1| trơn dó dãy hàm hội Vậy miền hội tụ dãy hàm dã cho ( tụ diểm hàm f xác dịnh sau í 0, = í, < X < neu X ~ Định nghĩa 6.2 Dãy hàm (/„) gọi hội tụ dều trân tập D vồ hàm f Ve > 0, lì/ĩo e N,Vn > no, |/„(x) -/(x)| < c,\/x c- D Ví dụ 6.2 Dãy hàm (fn) với fn(x) x” hội tụ dều tói (0; 2) với c > 0, tồn «0 €= N cho 2^7 < e Do dó, J/„(x) - 0| — |x|" < ~ < e,Vn > no,Vx e ^0; I) 6.1.3 Tính chất dãy hàm hội tụ đểu Định lý 6.1 Giả sử dãi/ hàm (fn) liên tục Ịa; b| Nếu dãy hàm [a; bỊ Zỉề hàm f hàm f liên tục [íz; £>] hội tụ Chứng minh Với X(),X G [fl; ft], ta có bất dẳng thức l/(>') -/(*0)1 tồn «0 c N cho í/(x) - A„(x)| < ị - /ơ-o)l < /H(l liên tục [(7; ft] nên tồn ổ > cho X()| < ỗ Vx c [ơ; ft], |x > l/n.^x) ■ /,,„(*(1)1 < 3’ Sny l/(x) - /(A-o)l < I + | + | = e, nghĩa ià, f liên tục X() d Định lý 6.2 Giả sử dãy hàm (/„) liên tục [«; b] Nếu dãy hàm (/„) hội tụ [«; b] hàm f /■ft lim / /-ft fn{x}dx — Ị f(x}dx ■ ỉa CHUỖI HÁM 234 Vì (/„) hội tụ [a; b] hàm f nên với c > 0, tồn H() cho |/,;(x) - /(x)| < 7——, Vx c [a; /7], Vỉĩ > U() b - a Suy / /„(x)4x- / Jíf Jíl /(x)rfx < í', Vu > Hơ- DỊnh lý 6.3 Giả sử dãy hàm (fn) có dạo hàm liên tục Ịrt;bỊ Nếu hội tụ [a; í>] hàm g (f„) hội tụ [íĩ; b] Z’ề f f có đạo hàm {a;b} fix') - g(x),\/x G (ữ; b), nghĩa là, hội tụ dầu (í7; b) f' Chứng minh Với X c (íj; /?), áp dụng dinh lý 6.2 cho dãy hàm (fn) hội tụ dều ịơ;XI hàm g, ta có / lim / /’ỉ.ụHt Ì1 iu Mà lirn / f'Mdl H > í 00 Jịị ■ Jin? (/''(*) -/»/('*)) ■ ii —> r ÍX) /(*) f(a) nên r x(t)dt = f(x) - f(a)•hỉ Vậy f có dạo hàm X e (ít; b) ff(x) Vx G (a; b) 6.2 □ CHUỖI HÀM 6.2.1 Các dinh nghĩa Định nghĩa 6.3 Cho dãy hàm tổng (m„(x)) xác định trân tập X c R Ta gọi I 00 n vời X E X, chuỗi hàm Định nghĩa 6.4 Xét chuỗi hàm (6.1) • Chuỗi hàm (6.1) dược gọi hội tụ X e X số hội tụ °°1 ư>ì(x') chuỗi • Tập hợp D gồm tất điểm X e X cho chuỗi (ộ.l) hội tự dược gọi miền hội tụ chuỗi (6.1) 6.2 Cĩỉưổỉ HĂM 235 • I ĩàm s (x) di từ D vào R, xác định -t_oo S(x) - )~7 H dược gọi tổng chuỗi hàm (6.1) I oo Ví dụ 6.3 Tìm miền hội tụ tổng chuỗi hàm 77 x” ■ n- I- oo Gỉải Theo ví dụ 5.3 miền hội tụ chuỗi hàm 77 x” ( lì 1; 1) có tổng I co Ví dụ 6.4 'lìm miền hội tụ chuỗi hàm „ Giải Ta có sin nx n2 + X2 n~ sin nx n2 X2' R, I cọ _ I cỵ s-n }ĨX mà chuỗi 7""* —hội tự/ suy chuỗi hàm 7”* —7 - - - _ hội tụ với ,61 »2 ■ ”2 < x2 thuộc R 6.2.2 X Chuỗi hàm hội tụ dều Hội tụ dều I oo Dinh nghĩa 6.5 Chuỗi hàm 77 Un(x) gọi hội tụ dều trôn tập D n dãy hàm (S„(x)), s,z(x) ■- 77 M*)/ k hội tụ dều D Chú thích 6.1 Từ định nghĩa 6.5 ta thấy chuỗi hàm X7J °0] íTi(x) hội tụ dều D chuỗi dư Rn(x) “ I uk(x} hội tụ dcu VC tron D _ ' (-1)” Ví du 6.5 Xét tính hội tụ củêì chi hàm , -ý-—— n,6-61 n A- X2 CĨỈLỈỎỊ HĂM 240 Dịnh nghĩa 6.7 số R > cho chuỗi (6.5) hội tụ với X, |x X()| < R phân kỳ với X, Ịa' X()| > R gọi bán kính hội tụ cùa chuỗi (6.5) Khoảng (xo — R, Xo I R) dược gọi khoảng hội tụ chuỗi (6.5) Tiếp theo, ta nói cách tìm bá II kính hội tụ Đùng tiêu chuẩn d'Alembert, ta có Dịnh lý 6.9 Xét chuỗi (6.4) Nếu \ữ» lim n > I I j IZỈ'I ì bán kính hội tụ chi (6.4) xác định sau: í °' < p R p I co; < p < I co; n ế u p -■■■ I I co, Chứng minh Xét chuối trị tuyệt dối (6.4), tức chuồi (6.6) |o„.v"| H Với X ta có Next p — -t-oo pịx| > l,Vx 0, chuồi (6.6) phân kỳ nên chuôi (6.4) phân kỳ X -/Ế o (theo thích 5.3) Vậy K Nếu p ■ p|x| () < 1, Vx G R Vậy chuối 6.6) hội tụ X c.R suy chuối (6.4) hội tụ X c R, R I ro Nốu o < p < ] oo (6.6) (6.4) hội tụ p[x| < tức ịx| < p kỳ p|xị > hay IXI > p suy (6.4) phân kỹ |x| > p ' Vậy R (6.6) phân p □ Ví dự 6.8 'lìm bán kính hội tụ chuỗi sau: a) £( II Giải i oo b) I eo Oil ■ n K , a) Chuôi dã cho CíS a„ H lim > I 00 kntll ■ , , I - It lim > I ro c) t eo f H () (• ■ 1)” - -—£6— ìa có n.3" (» I 1) 3» )J - -7 -—L- Suy ra, bán kính hội tụ R H , n.3H lim - -—■ — > I ro (/ỉ I ) 3H 1 6.3 CHLỈỖỈ ĩ.ỦY THỪA „ 241 ,X„2Z' / , , b) Chuôi dã cho có a„ ■ — ( — 1)”—Ta có n! lim Kyi n >1«) |fl„| ^±121 H-xl-co Suy ra, bán kính hội tụ c)’ Chi dã cho có (ĩ,Ị |„ H lim > |ro 2» I I lim - lim — H > I ro n t I oo Ta có 4.H Ị)! I 11 rn ——Ị— )ì |rtn I 4” 1 J _ I'Ui I I I > I co Suy ra, bán kính hội tụ R lim —2— I ro Ỉ1L n -r Tương tự, dùng tiêu chuẩn Cauchy ta có Dịnh lý 6.10 Xét chuỗi (6.4) Nếu n lim > i eo ỵ/\a" I P' bán kính hội tụ chi (6.4) xác dịnh sau: 0, p 1, Teo, { ọ - -■ -l-oo; < p < H no; p ■ Ví dụ 6.9 'lìm bán kính hội tụ chuỗi sau: Suy ra, bán kính hội tụ R I oo CỈÍUỖI HĂM 242 >I -11 \\ rl , 7-——^ la CÓ 2n 13/ ÌT b) Chuỗi dã cho có an J ( ”2 - litn "2 11 lim \ -——— = lim -——- 1-00, n > 1-00 Ụ k 2n + / n ~> I co 2tĩ ■ n Suy ra, bán kính hội tụ R - li n + \\ H , ■s—s " la có 3h2 4- J c) Chuỗi đa cho có atỉ „( »11 V' J lim n > I oo lim Á / I -—5 ' _ I rr > + co Ụ \ 3í1z I / Suy ra, bán kính hội tụ R « 1 - lim -—5— n > I co 3nz I |-oo, Ví dụ 6.10 'Tìm bán kính hội tụ, từ đó, suy miền hội tụ chuỗi -ỉ co b) £(-1)" n Giải a) Chuỗi cho có (ĩ/r — H ™eo n I \” 3n I- ) n Ta có 11 H.3" |ữ„| ■■■ H VP™ (n I 1).3M)1 Ị 3’ Suy ra, bán kính hội tụ R ■ ■ 3, khoảng hội tụ chuỗi ( - 1; 5) riếp theo, ta xét tính hội tụ chuỗi hai dầu mút khoảng hội tụ I co / lai X — — 1, chuỗi cho trở thành y —— n chuỗi phân kỳ *2? (- 1) n — lai X -■■■ 5, chuỗi dã cho trở thành -—77-7 H.3” rt chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz Vậy miền hội tụ chuỗi cho (— 1;5| „ ( M I \ 2,J b) Chuỗi da cho có (ỉn V 3Ỉ1 \ 2J / / lim ĩĩ > t < , la CÓ \ ỉĩ Ji n I \ lim { ———— >1 00 Ụ \ 3í? 12/ lim H > I < n I 3n -I Tĩ- I 00 ,7—'0 II H n 6.3 CHU Ồ ỉ LŨY THÙA 243 Suy ra, bán kính hội tụ R 3, khoảng hội tụ chuôi ( 2;4) Tiếp theo, ta xét tính hội tụ chuỗi hai dầu mút khoảng hội tụ 2, chuỗi dã cho trở thành 5-1 ( — Tại X - _ /3?ỉ t \ " 1)2" ( T-——~ ) V3” +-27 chuôi phân kỳ I 4, chuỗi cho trỏ thành Y7 ( phân kỳ — Tại X /3)7 I 3\" 1)" I 77———, chuỗi '3''12/ k J \3n 2J Vậy miền hội tụ chuỗi cho ( 6.3.3 Y’ 3/7 12/ 2;4) Tính chất chuỗi lũy thừa DỊnh lý 6.11 Chuỗi ỉủy thừa (6.4) hội tụ đoạn [íí;bỊ chứa miền hội tụ Chứng minh Giả sử (6.4) có bán kính hội tụ R > (} Ta chí cần chứng minh (6.4) hội ti.ỉ dền doạn [ —-'y;t| G ( R;R) Thật vậy, |đ„V'| < |nfl'r"j,Vx c [ nên, theo tiêu chuẩn hội tụ dều Weierstrass, (6.4) hội tụ dều [ □ Dinh lý 6.12 Tcảĩg chuỗi lũy thừa (6.4) liên tục trén miền hội tụ cửa Chứng minh Ăp dụng dinh lý 6.11 dịnh lý 6.5 n Dịnh lý 6.13 Ta dạo hàm số hạng chuỗi ỉũy thừa (6.4) Chuồi thu dược ỉà chuỗi ỉũy thừa có bán kính hội tụ với chuỗi (6.4) Chứng minh Bạo hàm số hạng ciìa (6.4) ta thu dược X2,J ^1 na„x" * Dề thấy chuồi có bán kính hội tụ bang R Tiếp theo ta áp dụng dinh ]ý 6.11 dinh ìý 6.7 □ Ví dụ 6.11 Chứng minh với -1 < X < 1, ta có I — V n.xn (1 *)2 ' CỈỈUỎI HÀM 244 Giài Theo Ví dụ 6.3, với Do Định lý 6.13, với < X < 1, ta có < X < 1, ta có r/.vVl dx \ x) BỊnh lý 6.14 7(7 lích phân bất dịnh lừng số hạng cùn chuỗi lũy ilỉìín (6.4) íroỉig khoảng hội tụ Chuồi Ihu chuỗi ỉũy thím có hán kính hội tụ với chuỗi (6.4) Chứng minh Tích số hạng (6.4) ta thu duực l- có bán kính hội tụ R Tiếp then la áp dụng dịnh !ý 6.1 ] dinh lý 6.7 Ví dụ 6.12 Chứng minh với < X < 1, ta có ! oo E( arc tan X >1 Giải Ta có (arctanx)' 1■ I ’ r>,' < A' < với 1 I A'2 Áp dựngT Oịnh lý 6.14, với với (I I oo n < X < 1, tíi arc tan A' Chọn A‘ 0, ta dược c arctanO - thấy chuối n 6.4 BÀ í TÁP 6.4 245 BĂI TẬP TRẮC NGHIỆM Tự LUẬN 6.1 Tim miền hội tụ chuỗi hàm sau: 6.2 Tim miền hội tụ chi lũy thừéì sau: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ■ Tìm bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa I re n 6.3 Tim bán kính hội tụ R cúa chi lííy thừa yy 077~i—'■ H A R - ỉỉ R = I c R /k R I D R - I oo ị re 6.4 'lìm bán kính hội tụ R chuỗi lũy thừa ' A R - 11 n c R n! " ■-(% 11 o R I oo I 6.5 lìm bán kính hội tụ R chuỗi lũy thừa yy ——j—(„v II A R c K - * 2)" 3)” I oo CÍ-ỈUỖỈ HẰM 246 ■ Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa I °° 6.6 'lìm miền hội tụ chuỗi luy thừa y*' A [■ 1;3] B ( —1;3| c ( 6.7 'lìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa ị-2? B ( 1;5] 1)" D 1-2; 4) 2; 4) n\ QH n~ĩ A | -1;5] n 07TT-t(x |"'Í (x 2)" t C ( D {2} 1;5) °ọ cyi ì—(x “ - 3)" 6.8 'lìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa Ỵ7 fl ' B (0; 6] A |0; 6] c (0;6) D R co / Vỉ 6.9 'lìm mien hội tụ chuỗi lũy thừa y~*ự -—-—(x - 1)" H B (0;2] A |-1;3| c (0;2) /3 [ co / -1 VI 6.10 Tìm mien hội tụ chuôi lũy thừa > „ ■ (x n t B ( 1;3Ị /1 [-1; 3] 1)" D |0;2ị c (0;2) + co / v> 6.11 Tìm miên hội tụ chuôi lũy thừa ) - ■——(> H ’ A |2; 8] B (3; 7] A [2; 8] B (4; 6] B (3; 7] t co / \ rt 6.14 Xét chuỗi r ——(x „51 (« + !)!'■ 5)" D [4; 6) (x 5)tt c (2; 8) D |2;8Ị 1)”- Mệnh đề sau đúng? B Chuỗi hội tụ X A Chuỗi hội tụ với X c Chuỗi hội tụ X - D |3; 7| c (2; 8) 6.13 lìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa y~' — — ) ■ V 3« ) A 13;7J 5)\ c (2; 8) f eo -Ị 6.12 lìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa y’ — (x H.lníC 1;3) D Chuỗi có bán kính hội tụ /\ 6.4 BÀ Ị TẬP 247 ■ Chuỗi lũy thừa với phát biu -I co (ãã-!)"(ô 4- 2)2x" vi hai 6.15 Cho chuỗi s — h dề: H- (a) s hội tụ tuyệt đối -1 < X < (b) s phân kỳ |x| > Khẳng dịnh sau dây dúng? A (a) dúng, (b) dúng B (a) dúng, (b) sai c (a) sai, (b) D (a) sai, (b) sai y-H I 6.16 Cho chuỗi s : - - — với phát biểu: ,7^1 n (a) s hộì tụ tuyệt dối - < X < (b) s bán hội tụ X - — Chọn khẳng định A (a), (b) dều dúng B (a) dúng, (b) sai c (a) sai, (b) dúng D (a), (b) dều sai I oo XH 6.17 Cho chuỗi s — với phát biểu: I tỉ —1 n (a) s hội tự tuyệt đối — < X < (b) s bán hội tụ X - Chọn khẳng dịnh dúng A (a), (b) dều B (a) dúng, (b) sai c (a) sai, (b) dúng D (a), (b) dều sai x" -~ĩ với phát biêu: _ 6.18 Cho chuôi s M- (a) s hội tụ tuyệt dối —1 < X < Cỉ ỉ UỎỈ ỉ ỉ ÁM 248 (b) s phân kỳ X < Chọn khẳng định dúng A (a), (b) /< (a) đúng, (b) sai c (a) sai, (b) D (a), (b) sai l eo 6.19 Cho chuỗi s : — xn vói phát biêu: p Hl "2 < X < (a) s hội tụ tuyệt dối (b) s phân kỳ V > Chọn khẳng dịnh dúng nhóit A (a), (b) dúng B (a) đúng, (b) sai C (a) sai, (b) /? (a), (b) dều sai I eo 6.20 Cho chuỗi s : x>> y* - —■ với phát biếu: ,fh (n I I) 3" h (a) s bán hội tụ X (b) s phân kỳ với Ix| > Chọn khẳng dịnh A (a), (b) dúng B (a) đúng, (b) sai c (a) sai, (b) /? (a), (b) dều sai _ 6.21 Cho chuôi s : I °° 2ỉi I ~x2” với phát biểu: (a) s hội tụ tuyệt dối |x| < (b) s phân kỳ ịxj > Chọn khẳng dịnh dúng A (a), (b) dúng /> (a) đúng, (b) sai C (a) sai, (b) D (a), (b) sai 6.4 BÀ ỉ TẬP 249 I _ V' 6.22 Cho chuồi s : — 77 2'1 """ •'A' ỈỊ (a) s hội tụ tuyệt dối 1)" với c^c phát biểu: < Y < (b) s phân kỳ X < - hay X > Chọn khẳng dịnh A (a), (b) B (a) đúng, (b) sai c (a) sai, (b) dúng ỈJ (a), (b) dều sai HƯƠNG DAN - DAP AN CHƯƠNG ■ Trắc nghiệm tự luận I 1-1 |l ^;2 £;3 5; 1; 1; 5; ị; 0; 1;10 1; e; e; 6, e ■■ì I 1.3 11 2; %; 1; - ị; 11 - ị; 12 -^7;[ 1.2 }l e15; e b -J- 1.4 fix) liên tục R; /”(.r) liên tục R; f(x) iên tục R \ {0}; f(x} liên tục R 1.5 b - í ; ? ■■ ị' b - ó ■ Trắc nghiệm khách quan 1.6 lỉ 1.7 1.8 c c 1.9 /2 1.10 B 1.11 ID 1.12 c 1.13 A 1.14 /J 1.5 A 1.16 A 1A7 13 1.18 A 1.19 c 1.20 B 1.21 D 1.22 A 1.23 A 1.24 ỈỈ 1.25 13 1.26 D 1.27 Ỉ3 1.28 A 1.29 A 1.30 A 1.31 A 1.32 A 1.33 A 1.34 A 1.35 A 1.36 D 1.37 D 1.38 D 1.39 A 1.40 iJ 1.41 /9 1.42 r> 1.43 A CHƯƠNG ■ Trắc nghiệm tự luận 2.1 3.Y t/ sin 2.Y / 4277Z? Tí y 3.x V V' cos-' Y ■ -Ảĩ-TỈ y' -ỊịI- cơs 217?T 19X-1 In 2; y' = -ị sin (2sin ; 1/ 2v^ẸỊsin.2v Ịn ỵ/.rsin ự.v / ì/ (Inx)" -1 1/ = â'2,2x Ỉn21nx) ; 10 \Ịr r.r\-v (± I tn(x I I)inx) 12 ị/ _ 1^21 (in(inx) -t xh - }/' = 231 ' y' = I 2.3 I /'(1 ) ■ 2; /'(!-) - 0; /'( [T4~] /'(o’) - l; /'(0 ) - ’-1 ỊT?] rfy d\f = a — b ■ Ị 2.6 I A/(l) = A? I- 3A*2 I Ax,rf/(1) 2.9 a -ị vàb = I 10 I ôã y' 32' In 3.2r ỉn 2; xr(lnx -)■ 1); 11 t/ [ãTỊ 1- y' " ị; 1 ) tAt);2 3.2" '1 I (- C y, 11 / °- -*), „ - • [ZU r ư" > V 2-">> eo; 12ìmg Quy tắc ƯHơpital, 77,, —> +00; I-I.ni ý (j 2; a,Ị > c; tăng e, dán dến 3l(); Phân kỳ, 77,, ~ ; í lội tụ, (ĩ), ; I lội tụ, 77,, Hội tụ, (In ~ 4.7"' Pluìn kỹ, (ìn > ; Phân ký, ít",, > ựn' 4, 77 -■> 2; I lội tụ, 77,, ~ ’ ; Phân kỳ, a,Ị > \ II > 2; 10 lội lụ, (ỉn ,;' ' > >’ ’ Z' ” ự,,' ' " ~ 2.H11 lội tụ, a,Ị ~ kỳ, -".J.1- > I 00; Phân kỳ, -'71- I lội tụ, ỰÕT fl - 7t4t) ỰÕ7, — > ặ; 5.5 suy arctan V > nén 12 I lội tụ, (In < > 5.4 1 lội tụ, 447 t eo; I lội tụ, .7 D 6.8 Z9 6.9 B 6.10 /7 6.15 A 6.16 A 6.17 B 6.18 B 6.19 B 6.20 B 6.21 A 6.22 A 6.11 B 6.12 6.13 c 6.14 A Tài liêu tham khảo [1] Dồ Công Khanh, Nguyễn Minh Hằng, Ngơ Thu Lương, Giải tích hàm biến, Nhà xuất bàn Dại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh (2002) [2] Dỗ Cõng Khanh, Nguyễn Minh Hằng, Ngô Thu Lương, Chuồi phương trinh vi phân, Nhà xuất bàn Dại học quốc gia Thành phố I lồ Chí Minh (2002) [3] Nguyễn Dinh Trí (chủ biên), Phép tính giài tích biến số, Nhà xuất giáo dục (2002) [4) Dinh Ngọc Thanh, Dặng Dức Trọng, Nguyễn Cơng Tâm, Nguyễn Dinh Phư, Giúi tích hàm biền, Dại học quốc gia Thành phố I {ồ Chí Minh (2002) [5] Nguyễn Phú vinh, Giáo trình Tốn CHO cắp, Trường dại học cơng nghiệp Thành phố Ho Chí Minh (2004) {6] Ngơ Thành Phong, Giáo trình giản yếu Giải tích tốn học, Trường dại học Khoa học lự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh (2001) [7] Jon Rogawski, Calculus early transcendent"Is, w H Freeman and Company (2008) [8] James Stewart, Calculus early transcendentals, Cengage Learning (20'1 2) [9] Joel Hass, Maurice D Weir, George B Thomas, Jr., University calculus early transccndentals, Addison - Wesley (2007) si ... 12 { - } ■ Trắc nghiệm khách quan 6. 3 c 6. 4 A 6. 5 D 6. 6 c f>.7 D 6. 8 Z9 6. 9 B 6. 10 /7 6. 15 A 6. 16 A 6. 17 B 6. 18 B 6. 19 B 6. 20 B 6. 21 A 6. 22 A 6. 11 B 6. 12 6. 13 c 6. 14 A Tài liêu tham khảo [1] Dồ... A 2.40 Ti 2.41 A 1A1 li 2.43 A 2.44 A 2.45 A 2. 46 A 2.47 IỈ 2.48 A 2.49 A 2.50 A 2.51 A 2.52 A 2.53 2.54 /? 2.55 A 2. 56 ÌÌ 2.57 A 2.58 A 2.59 A 2 .60 A 2 .61 A 2 .62 A 2 .63 A 2 .64 c (22 CHƯƠNG ■... kỳ nên chuôi (6. 4) phân kỳ X -/Ế o (theo thích 5.3) Vậy K Nếu p ■ p|x| () < 1, Vx G R Vậy chuối 6. 6) hội tụ X c.R suy chuối (6. 4) hội tụ X c R, R I ro Nốu o < p < ] oo (6. 6) (6. 4) hội tụ p[x|