Chương 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2 1 DẠO HÀM VÀ VI PHÂN CAP 1 70 2 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CAP CAO 85 2 3 CẤC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 89 2 4 QUY TẮC UHÔPITAl 93 2 5 CÓNG THỨC TAYLOR 100 2 6 BÀI TẬP 107 2 1.
Chương ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2.1 2.1 2.2 2.3 DẠO HÀM VÀ VI PHÂN CAP ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CAP CAO CẤC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNGBÌNH 70 85 89 2.4 2.5 2.6 QUY TẮC UHÔPITAl CÓNG THỨC TAYLOR BÀI TẬP 93 100 107 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CAP 2.1.1 Dạo hàm ■ Dạo hàm hàm số diem Dinh nghĩa 2.1 Cho hàm số f xác định Ta nói f có đạo hàm X() € (a; b) tỷ số z x") có giới hạn hữu hạn X > X() Khi dó, giá trị giới hạn gọi đạo hàm f Xo, dược ký hiệu /'(xo), nghía /•'(xo) = lim x->x() X — X() (2.1) Chú thích 2.1 Nếu đặt Ax — X — X() Ax —» X —> Xo Khi đó, (2.1) trở thành /(x0 t Ax) - /(x0) - - —— >0 Ax lim Ax (2.2) 2.1 ĐẠO HĂM VĂ VI PHĂN CẤP ĩ 71 Nếu đặt h = Ax, (2.2) trở thành = Ví dụ 2.1 ta có h—>0 (2.3) n Hàm /(x) = c, có mien xác định R Lấy tùy ý Xo € R, lim /( x) - /( x°)- _ c-c _ —— = J.lim -— n() X ->X() X — X() X—>X() X — X() Vậy /'(x0) = Hàm số /(x) = X2, có miền xác định R Lấy tùv ý X() R, ta có ) * /( V2 - xj - /(.Vo) _ lim ——- — lim - = 2xX() X — Xo X->X() X — Xq Vậy /'(x0) = 2x0 Hàm số /(x) = sinx, có micn xác định R Lấy tùy ý Xo € R, ta có sin X — sin Xo |irn * )/( "/(xọ) = ,.lim X—>X() X — Xo X—>X() X - Xo 2cos (^-^9 sin X ->X() X — Xo = lim cos X—>X() — COSXoVậy /'(xo) = cos X() Hàm số /(x) = eỴ có miền xác định R Lấy tùy ý Xo € R, ta có X—>Xo /(x) lim X — /(xo) ex_ex0 ——- — lim -X() X—>X() X — Xq 0-^ ” *Ị = lim cx,) - — X ^X() — eXl’ Vậy/Z(xo) = ex° X X () 72 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN /(xo + Ax) fM ~Õ Hình 2.1: Ý nghĩa hình học đạo hàm ■ Ý nghĩa đạo hàm Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét đường cong (C) có phương trình y — f(x) Với hai điểm Mo(xo,/(xo)) M(xo + Ax,/(xo + Ax)) e (C) tỷ số /(X(|ì ^2—íi-liỉl hệ số góc đường thẳng MqM Khi Ax —> M tiến Mị) (C), vị trí giới hạn Mqỉ, có, cát tuyến MqM gọi tiếp tuyến Mo (c) (hình 2.1) Do đó, _ lim Ax—>0 + Ax) - /( o) * Ax cho ta hệ số góc tiếp tuyến Mị)t Trong học, với chất điểm chuyên động trục x'Ox cho thời điểm Xo,/(xo) khoảng cách (dại số) OM Tại thời diểm Xo -+• Ax, chất điểm di chuyển đến vị trí M' OM' = /(xo + Ax) Trong khoảng thời gian Ax, chất điểm di chuyên quảng đường có độ dài (đại số) MM' = f(xo T Ax) — /(xo), ta gọi /(X+A^)-/( ») * vận tốc trung bình chất điểm khoảng thời gian từ Xo đến Xo + Ax Khi đó, giá trị Ax—>0 Ax cho ta vận tốc tức thời chất điểm thời điểm Xo- ■ Đạo hàm hàm số khoảng Định nghĩa 2.2 Cho hàm số f xác định (ữ;b) Ta nói f có đạo hàm khoảng («; b) có đạo hàm điểm X (n; b) 73 2.1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHẢN CÁP Khi đó, ta gọi hàm số f' : («; b} —> R, XI—> y = /'(x) đạo hàm hàm số f («; b) Ví dụ 2.2 Tiếp nối ví dụ 2.1, ta có: Hàm /(x) = c có đạo hàm /'(x) = R Hàm /(x) = X2 có đạo hàm /'(x) = 2x R Hàm /(x) — sinx có đạo hàm /'(x) = cosx R /(x) = *e có dạo hàm f{x) = ex R ■ Điều kiện cần đê có đạo hàm Định lý 2.1 Nếu f xác định (a; b) có đạo hàm X() € (a; b} f liên tục X() Chứng minh Đặt e(x — Xq) = — - - f'(xfí) Ta có e(x — Xo) -* X —> Xq X — Xq f(x) - /( o) * = /'( o)-( * x-* o) + (* - * o).c-(x - * o) -* 0/ □ X —> Xq Vậy f liên tục Xq Chiều ngược lại định lý không Chẳng hạn, hàm số /(x) = |x| liên tục X = mà /(0 + Ax)-/(0) = Ax To1 Ax 1^1 = 1, Ax->0‘ Ax /(0 + Ax) -/(0) _ |Ax| _ lim — -1 = lim A = -1 Ax-^>0Ax Ax->0- Ax nên /(x) khơng có đạo hàm X = ■ Các quỵ tắc tính dạo hàm Định lý 2.2 Nếu hai hàm số f, g xác định (a; b) có đạo hàm X (a; b) hàm số f + g,af(a e R) f.g có đạo hàm X 7- (/ + #)'( ) * = /'(^) y (afY(x) = xf'(xỴ 74 ĐAO HÀM VÁ VI PHÁN 3- (/-xO'W = */'( )x( x) + */( ))g'( Hơn nữa, g(x) / lân cận X hum số — có đạo hàm X ■ X, f í y w = zwMiW) 2U) x Chứng minh Do định lý 2.1 nên f ỵ hai hàm số liên tục X, Ax (/ + x)(* + Ax) — (/ g)(x) = /(x-4 Ax) -/(x) + g(xH-Ax) Ax Ax Ax -> f'(x) + g'(x), > ta có g(x) (a /')(x Ax) — (a/)(x) _ f(x 4- Ax) - /(x) Ax Ax -> Ocf\x), (/■X)(X4 Ax) - (/.g)(x) = /(x I Ax)g(x + Ax) - /(x)g(x) Ax Ax f(x + Ax) - /(x) = — - ~TT.—.?( * + Ax) +Ax s(x I Ax)-g(x) / Vậy dang thức dược chứng minh Ví dụ 2.3 Chứng minh = vxn □ v?ỉ € N Giải Ta có x' — = l.x1-1 nên đẳng thức với n = Giả sử (x"Y = nxn * ,tacó (x"+1)' = (xn.xỴ = (xnỴx + xnx' — nxn~Ỵ X + x”.l = (n + l)x" 2.1 ĐẠO HÀM VÀ Vỉ PHĂN CAP ĩ 75 Ví dụ 2.4 Cho x = ịo, /{) Tính /'(x) Giải, 'lại X -Ạ 0, ta có /(x) — X1 sin I nên 1 fix') — 2x sin — — cos — X X Tại X = 0, ta có /(0 + h) - /(0) , n _ lim — -7 -— lim hsin -—() = / (0) h >0 h h->0 h Vậy, I 2x sin ị — cos ị, f Ịx) = < „ x x J ’ [0, X /- X = n Đạo hàm hàm số hợp DỊnh lý 2.3 Nếu f có đạo hàm X(), g xác định ỉăn cận cùa ỉ{xq) có đạo hàm 1/0 go f có đạo hàm Xq Khi đó, o) * (W)'( 1/0 — = g'(yt>Wo) = g'(/(W'(xo) Hơn nữa, giả thiết với Xo e (a; b) hàm số hợp go f có đạo hàm (a; bỴ Khi đó, =/(/( ) * )/'( Chứng minh Do f có dạo hàm tai Xo X có dạo hàm 1/0 nên ta có /(x) - /(x0) = f'(x0)(x - Xo) 4- (x - Xokl (>' - * o) g(ỵ) - Ấ’(yo) - g'(yo)(y - yo) + (y - yo)c2(y - yo) dó, lim 6'1(7/) = lim E2W = /1 >0 k >0 Bây giờ, với 1/ = /(x) /(xo) = 1/0 X —> Xo, ta có (s°/)(x) - U°/)(^o) = g’tyOf'txOtx - X(ị) + (x - x0)c(x - Xo), dó c(x - Xo) = £'(yo)t'i(x - Xo) +/(x0)c2(y - yo) + t'2(_>/ - yoki (x - x0) -> X —> Xo - Suy Hm X X() Định lý dược chứng minh xong .X -^"0 = g'Mf'M □ 76 ĐẠO HÀM VÀ Vỉ PHĂN t Ví dụ 2.5 Tìm đạo hàm hàm số h(x) — (1 - 3x)4 Giải Ta xem /(x) = — 3x g(y) = y4, ta có /'(x) = -3,#'(y) = 4y? Ap dung cơng thức dạo hàm hàm số hợp, ta = 4(1 - 3x)3.(—3) =* /(/( ) )•/'( ) * &'( ■ Đạo hàm hàm số ngược DỊnh lý 2.4 Cho f : D —> R hàm số — Nếu f có đạo hàm X f'(x) f~l : f(D) —> D có đạo hàm y - fix') /'(x) /'(/-‘(y)) Chứng minh Do f hàm số — nên có hàm sồ ngược f : f (Ị)) —> /) Vứi s = f '(1), X — f (y) € D ta có s Ỷ X t / y s —> X t -> 1/ nên Ẩ(y) f-y 1 zẨ£j.ư.ơ)rẽõ s—X t - -> y E3 Dạo hàm hàm số sơ cấp Định lý 2.5 Đạo hàm số hàm số sơ cấp cho bảng sau: /(x), miền có đạo hàm f(x) ex,x e R In X, X > ex X ftX®-1 X > 0, ft e R Í7X,O < a loga x,0 < a sin X, X E R COS X cos X, X E R — sin X tan X, X Ạ y + kn, A € z cosz X cotx, X Ạ kn,k E z 10 arcsin X, — < X < 11 arccosx, — < X < 12 arctan X, X € R 13 * arccotx, e R ax In a 1, X > X In a — + tan2 X ci1wr- — sin X VÌ-X2 I Vỉ X * 1+x2 1 XJ = -(1 +cot2x)7 v 2.1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHẢN CẮP 77 Chứng minh Xét hàm số /(x) = ex, theo ví dụ 2.1, /z(x) = eT Âp dụng định lý 2.4 với /-1(x) — Inx, ta có " (Inx)' — (/_,),(x) — r/7ĩ~:—X = lì „ = v ’ /'(Inx) elnT X Dùng công thi'rc 2, công thức 3, 4, đưực suy từ định lý 2.2, 2.3 dẳng thức xn = e“lnT,flr = ex ,nu log X — 7—- " In a Theo ví dụ 2.1, ta có (sinx)z = cosx Từ đó, cơng thức 7, 8, dược suy từ định lý 2.2, 2.3 với ý cos X = / zr\ sin( X + — , tan X = X 2/ sinx cosx — vã cot X = —:—- cosx sinx Xét /(x) = sinx ta có f'(x) — cosx V — -2- < X < -2-, suy ra, theo dinh lý 2.4, f~ĩ(x) = arcsinx có dạo hàm —1 < X < 1, (arcsinx) = _ _ , _ ■ - — cos(arcsinx) ■■■ ■ -==ỹVỉ - X * — _ sin2(arcsinx) Tương tự, ta có (arccosxj = - — - — siniarccos X) X/ , — -============== - ■ (arctanx) = ĩ cos^arctanx) x/1 — cos2(arccosx) ■, vl — X2 _ -——-—T~. - = -—■— + tan2(arctan x) , , 1 _ (arccotx) - - ; = — — - 757 - -—7 —— + cot2(arccot x) + X2 - — siré (arccotx) ọ■ + X2 □ s Đạo hàm phía Định nghĩa 2.3 Cho hàm số f xác định [xo;xo + ổ), ỏ > Ta nói f , X , í /ÍX() 4- Ax) - /(xo) _ , , có đạo hàm bên phải Xq nêu tỷ sô — có giới hạn Ax —» Khi đó, giá trị giới hạn gọi LỈạo hàm bên phải f Xq, ký hiệu /'(Xg ), nghĩa f\xi ) = J u lim txx-Vữ' /(-— Ax Tương tự, ta có đạo hàm bên trái f X(), ký hiệu /'(x0 ), /'(x0-) = lim J u AÌ- >0- /(Xo + M Ax (25) (2.4) DAO HÀM VÀ Ví PHAN 78 Ví dụ 2.6 Cho/(x) = |x| Tính /'(0 ),/'(()■ ■) Giải Ta có Jim /0 f(0 Ax = -1, = /'(0 ) —LI—Ax)-/(o) T2 LDJ- = lim T222 Ax Av -(}- Ax Đo dạo hàm X f đưực định nghĩa giói hạn hàm số theo biến Ax, nên ta có Định lý 2.6 Ham số f có đạo hàm X f có đạo hàm bêìĩ trái bên phải lại X nhan Chứng minh Sinh viên tự chứng minh, xcm tập Ví dụ 2.7 Cho hàm số Ị ax T b, /íx) = < „ [—2x2 4- 4x, X < X > lìm a, b để hàm số /~(x) có đạo hàm X = Giải Đầu tiên, hàm số f(x) có đạo hàm X = /(x) phéìi liên tục X = 1, nghĩa phải có /(1) _ f íỉ + b /(1) V lim >!-/( * ) * limv u /(x) ’ a T b = — Ticp theo, • f(x) - /í1) _ i;w íỉx + b- (a I b) _ , lim ; — lim - -T = a f (1 X ‘1 X - X “1 X — lim X >1 X— = lim X >11 2A~2 + 4A" (n -) = X - }, /(p), • /(x) có déio hàm X = /'(1 ) — /'(1 ), nghĩa a = Suy b = Vậy f (x) có đạo hàm X = a = b = 2.1 DẠO HĂM VÀ Vĩ PHẢN CẤP 79 B Đạo hàm vô Dinh nghĩa 2.4 Cho hàm số f xác định (í7; b) X G («; /’) Nếu Ax-40 Ax ta nói f có đạo hàm vơ X Hình 2.2: Ý nghĩa hình học cùa dạo hàm vơ cììng Vồ mặt hình học f có đạo hàm vơ X tiếp tuyến với đồ thị hàm số Ị/ = /(x) diểm có hồnh độ X song song với trục tung Tương tự, ta có khái niệm dạo hàm bên trái vô cùng, f(x + Ax) - /(x) _ lim — - ■ ■■■■0Ax đạo hàm bôn phải vô /(x + Ax) /(x) lim ; - = ±oo Ax >0< Ax Ví dụ 2.8 Cho/(x) = x Tính/'(0 * l ),/'(0 ■) Giải Do /(0 +Ax) -/(0) = (Ax)ĩ _ Ax (Ax)j nen suy lim Ax >0' f(0 + Ax) -/(0) r,,n(, = lim , = +oo - /'(0 ) Ax Ax—>0’ (Ax)^ lim Ax >0 /(0 +Ax)-/(0) _ _ — - ■•■■■■ — lim -—j- = — co = f (0 ) Ax Ar >0- (Ax)í 103 2.5 CÔNG THỨC TAYLOR /(x) = sin X, ta có * sin X, / cho với n, |/(n,1)(x)| < M,Vx e (a;b), |R"(x)l - (n+1)l|x~X|l|”HChú ý lim,! 4+eo y-y = (xem Ví dụ 1.13) Đo đó, ta tìm n dủ lớn dể |R„(x)| đủ nhỏ Ví dụ 2.36 Tính gần số e xác dến 0,001 Giải Trong cơng thức Maclaurin hàm số /(x) = e* lấy X = ta e _l + l + ± + ±4- + ± + — với < < Do đó, ta xem sai số eỡ e° (n 1)! = (n + 1)!’ Mà e° e (n 1)! < (n 1)! < (n 1)! nên dể xấp xỉ xác đến 0,001 ta cần tìm n cho (n + l)! < 0,001 2.5 CÔNG THỨC TAYLOR Nhận xét dãy Khi đó, ta có 4*1)! c~ 105 y giâm, nên ta cần lấy n — c < 0,001 T + 2! + — + — + — + — Lưu ý đe tính số cụ thể, xuất sai số phép chia sinh ra, dây ta quan tâm dến sai số phương pháp sinh Ví dụ 2.37 Lập cơng thức tính gần sinx |x| < — với độ xác đến 0,0001 Giải Công thức Maclaurin hàm số sinx với phần dư Lagrange: -.3 -.5 sinx = x-£ I £ + ••■+ (-!)"' I KJ,,, ,(x) dó, -i(x) = (-1)”'(2^7)Ị sinflx, với < < Để giải tốn, ta cần tìm m cho IR2zí> i(x)| < 0,0001, với X e [“4' • Do |ỵ|2w nên ta cần tìm ni cho / 7T \ < 0,0001 (2m)! - / ( ”Y"'\ Mà dãy I \| ) giảm nên ta lấy m = I R2m —i(x)| < 0,0001 Vậy cơng thức tính gần thỏa tốn X3 X5 sinx==x“3r4 5? Ví dụ 2.38 Tính sin 1° xác den 10 \ Với V E ( — y,- y), để công thức gần sin X X- X3 có sai số e < 10 X cần có giá trị bao nhiêu? 106 DẠO HÁM VÀ Vỉ PHÁN Giải Công thức Maclaurin hàm số sin X có phần dư Lagrange: ỵ2rn ỉ 0, e* — e~x — 2x = l^x3 4- 0(x3), X3 X — sin X = -",-4- 0(xJ) / -1V Do lim X >0 c X — sin X Ví du 2.40 Tính lim = lim -■ = lim X >0 *->0 11 I 0(x3) — X2 In 2,-3 ár = 4- - Giải Khi X —> ±oo, ta có X — X2 In > Vậy, lim V 2.6 >oo A' — X2 In BÀI TẶP TRẮC NGHIỆM Tự LUẬN H Dạo hàm 2.1 Tính đạo hàm hàm số sau: , y tanx I/ ~ J ; V 3/ ~ / XX I/ — cos sin — ; y = 108 ĐẠO HÁM VÀ VI PHÂN y — arcsin tẬ-; I/ = 2^; V = 2^/sin2x; 1* I/= 32'; * ; y=(lnx) y = X2/ 10 y = Xx; 11 y = xỵX; 12.1/= ( 2.2 Tính dạo hàm y'(x) hàm số cho theo tham số: ( X ( I/ — ln(l 4- f2) — t — arctan /; í X I y = 2~‘ = 22'; 2.3 Cho/(x) = |x — 1| 4- |x 4-1| Tính/'(xj ),/'(x0 ) Xo = ±1 2.4 Cho/(x) = Vsin2 X Tính /'(0’1 ),/'(0_) ■ Vi phân 2.5 Tính vi phân hàm số sau: u I/ = X , X 1- arctan —; a 1/ = In X V Xz I a ; I/ = arccos ì—T |x| 2.6 Cho/(x) = X3-2x4-1 Tinh A/(l),í7/(l) 2.7 Cho y = / Tại Xo = a — b, tìm Ax dể Ay(xo) = 7^ 2.8 lìm a, b cho hàm số X2 I 2x, ax + b, X < X > khả vi X e R 2.9 Tìm a, b cho hàm số r(x) = J 1ĨỊ; ị ax2 4- b, M ’ |x| < khả vi X G R 2.10 Dùng vi phân cấp tính gần giá trị sau: Ự17; tan 46°; arctanO, 97; ~ ý/0,983 2.6 BÀỈTẬP 109 Đ Các định lý giá trị trung bình 2.11 Chứng tỏ phương trình 16x2 — 64x + 31 — khơng thê có hai nghiệm phân biệt nằm khoảng (0; 1) 2.12 Cho/(x) = x(x I l)(x -(- 2)(x I 3) Chứng tỏ phương trình f'(x) = có ba nghiệm thực phân biệt 2.13 Chứng minh bất thức: I arctan X — arctani/l < |x — 1/1, Vx, I/ R; Iv/x - ựỹị < |lx ~-l/l'Vx'y G ——- < ln(x + 1) < X, Vx > X+ Bi Dạo hàm vi phân cấp cao 2.14 Tính dạo hàm cấp hai hàm số sau: 1.1/— arcsin X y — x^; X/T — X1 3- ?/ = - l)2- 2.15 Tính đạo hàm cấp hai hàm số cho phương trình tham số: l í X = — sin í); [ I/ = í?(l — cos t) í X = cos f; ‘ ( 1/ = cf sin f í X — ln(l + f2); I V “ f2- 2.16 Tính đạo hàm cấp cao hàm số sau cách dùng công thức Leibnitz: I/ = (x2 + 1) sin X, tính I/ = —, tính y^l0b ị/10); I/ = Ị/ — X2 cax, tính * 1-x2 tính yO') D Tính giới hạn bảng quy tắc L'Hopital 2.17 Khừ dạng vô dịnh g, £ : Qx - e x — 2x X — sin X 7T — arctan X lim —-——————; +->|OO In (1 -I- 1) lim X ‘0 „ Incos2x lim — X >0 sin X T X C2 lirọ • X >±oo X + CA „ ln(n?2 + + c ) lim — X—> + oo X In X lim -——— - ; - X >0' 1-1 21nsinx no ĐẠO HÀM VÀ VI PHAN 2.18 Khử dạng vô định O.oo, oo — oo : lim X12 In x; x->0' lim X(e* —1); X >co \ lim In X ln(x — 1); X ->1 lim (ex 1“ e~x —2) cotx; X >0 , ( 1 \ lim —: -—7 I ; X >ơ \xsin X X2 / „ ( X X lim —- —— X >11 \ In X In X / / /1 X lim I - - ——; X—>0 \ X cx — \ ) ? \ lim —5- — cot X ; X >0 \ x~ J 2.19 Khử dạng vô dinh 1°°, oon,00 : lim (1 4- x)lnx; X- >0' lim x>() lim (x4-2x)* ; X—>±oo lim Xsinx; X- >0' „ í 7ĨX\f;,n¥ lim (tan -N- ) X >1 \ I lim xi; X t-| OI lim (arcsin x)tanx; X »()• lim (cotx)1njr; X—>0' lim (7T —2x)cosx x->ỳ □ Công thức Taylor 2.20 Viết công thức Taylor cấp lớn 4, vưi phần dư Lagrange hàm số /(x) = X3 3x2 — 2x 4- Xo = 2.21 Viết công thức Maclaurin với phần dư Peano hàm số sau: /(x) — - , * đến cấp 4; Jv X2 4- 3x 4- H /(x) = tan X, đến cấp 5; f(x) = ln(4 4- X2), đến cấp 5; /(x) = e2x '* 2, đến cấp 3; arcsinx Ẳ , 4- f (x) = —===■=, đen cap 5; VĨ — X2 /(x) = v^s 4- X2 dến cấp 2.22 Viết công thức Maclaurin với phần dư Pcano /(x) = [ đen cấp 18 Suy /í17) (0) 2.23 Viết cơng thức Taylor cấp với phần dư Peano hàm số /(x) = P+L + tọi Xu = 413 Áp dụng công thức Taylor dẽ tính gần 2.24 Tính gần giá trị sau với sai số — 0,001: ỵ/29; cos41° 2.6 BÀI TAP 111 2.25 Nếu tính gần e0,5J công thức c’ — XL/’ V vcí' sai số e “ 0,001 phải lấy đen bậc mấy? 2.26 Đánh giéí sai số cơng thức xấp xi sau: À'3 I „ 2- sin x “ x - 6' w < °-5- , _ _ „ , ,1 ’• ca:2+ 2! +3! 4!; TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 2.27 Viết phương trình tiếp tuyến đường cong I/ = ln(x2 4- e) diêm có hồnh độ X = Ay = B I/ = D y = X - c I/ = X 4- E3 Dạo hàm cấp 2.28 Tính dạo hàm hàm f(x} = „ Ac £tí„\ / (* ) c sin X cx(sinX — cosx) sin X c*( sin X cosx) = - ~2~ sin X B = D sin X ) * /'( er cos X 2.29 Tính dạo hàm hàm f(x) = (14- x)x,x > — A.f(x) = (1 +x)x ln(l 4- x) 4* T—■— ỉ I X c./'(x) = (14-x) * In(lhx) /1./'(x) = ln(l x) 4- T-pA A- D./'(x)= ln(14-x) ^4- B Dạo hàm cấp cao 2.30 Tính đạo hàm cấp n hàm 1/ — e 3x A i/") = (-3)"e”3x c Ị/W = (-3)"ue 3x - (-3)"-1 e“3x D.t/") = (-3)”e3x 112 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÁN 2.32 Tính đạo hàm cấp n hàm /(x) = In Ịx2 - 3x 4' 2| (x-2)\ ì 1)! - 1)" 4' (x - 2)" J 1 ”-ỵ(n + l)Ị L(x-1)" (x-2)”J 1 _(x-l)" (x-2)\ n B c D X — 1)" - ■ Đạo hàm cửa hàm ẩn 2.33 Cho hàm số y — y(x) xác định phương trình X el/ I/ I — Tính y’ — /»./ = (x + ljer c y' - t B.y'-e.’ B y'(0) — c.y’(0)^.2 _ _ _ c y cosz y B ý{x) =-1 I- X cos2 y y cos2 y D y'(x) = cos2 y T X ycosz y y'(x) = - X cos2 y y cos2 y yf(x) = cos2 y — X 2.36 Cho hàm y —■ Ị/(x) xác định phương trình ev A y'(0)=0 D.y'(0)^3 hàm số y — y(x) XÍÌC định phương trình 2.35 Tính y'(x) = tany Xí/ A D y' - ữ cho phương trình 2.34 Tính i/{0) — ~ hàm số y — ' đx X -0 X3 4- In 1/ — X2 e-ự — A.y'(0)=0 e> B yr(SA=l c }/'(0) =3 X + xy Tính D 1/(0) - ■ Đạo hàm cấp theo tham số 2.37 Tính y' — trình tham số hàm hàm số y X y y(^) đtrợc cho phương cost, , _ z„ ,te(0;7r) sin t 113 2.6 BÀỈTẬP B.y = 2sin tcost A.y — sin t , /n\ ày 2.38 Tính y' ( ) = ~r~ y \3/ dx phương trình tham số D y — ~2x hàm hàm số y — y(x) dược cho í X y — = arctan l, B.y'( \/3) — 2x/3 A.y'(VV) = 4\/3 c ý 2x c y'(ự3) = 3x/3 D y'(x/3) - cùa hàm y — y(x~) cho phương trình tham số 2.39 Tính y' (x) = x — arctan t -1- /2 - "4^ / ru c D ni D nA B ựễ c yõ c' 36 Ù A m — m r- D D ' c' D D + oo .-I v^-6+2 2.52 Tính giới han lim - X——-— ■ X > X3 t- B- -L 144 A - 777 144 ' 36 D _ ì™ Urr> 0 yx -1-16-2 CM 4LC (N t c _r ;í A * > rj im 2.54 E - A !ì- -1 2.55 Tính giới hạn lim ^cos 2x X ) A í) B c , / ,-2\ c°t2 -v 2.56 Tính giới hạn lim (cosx T sin X) X >0 A e B ựẽ c D ĐẠO HÀM VÀ Vỉ PHÁN 116 ■ Công thức Taylor, Maclaurin 2.57 Viết công thức Maclaurin cấp với phần dư Peano cho hàm I/ — e2v A e2v + 2x + + O(r’) B e2* = 2x + ^- + c e2> - I -I- 2x + Íí- + + 0(x3) D e2r -■ X I- íì- + +- 0(r’) -I- 0(x3) 2.58 Viết còng thức Maclaurin cấp vói phần dư Peano cho hàm t/ — 2X jA , ~ x2 , x3ln32 — + X In 4~ "2“ In -I” ——— 4- 0(x' ) r, „ , _ X2 In X3 In -.3 B = + X ln2 - 4- — -I- 0(x3) n X2ln4 , X3ln8 c — X In Y~- - - F 0(x3) D 2X = X In — ln2 4- 4- 0(x3) 2.59 Cho hàm số V - arctan X Viết công thức Maclaurin cấp với phần dư Peano cho Ị/ A arctanx = X — X3 X5 4- — 4- 0(x5) c arctanx — X 4- 4- 0(x5) 4- „ X3 X5 B arctanx — —X 4- 0(x5) D arctan X — X - —F ~ 4- 0(x5) 2.60 Cho hàm số y = X2 ex Viết công thức Maclaurin cấp với phần dư Peano cho 1/ A X2 ex X2 + X3 4- 42 c X2 e* = X2 4- X3 4- ~ 4- 4- l)(x5) B X2 ex — X3 4- 3» 4- 0(x5) + ặp -1- 0(x5) cS ■ D X2 ex ~ X3 + ~ + — 0(x5) 2.61 Cho hàm số y = (x2 4- 1) C'v Viết công thức Maclaurin cấp với phần dư Peano cho y A y + X 4- |x2 + ^x3 4- ỉ|x4 + (2 4- X5 + 0(x5) B y = 4- X + |x2 4- ^x3 4- ^|x4 4- ( 4) X5 + 0(x5) 24 \5! 3! / 2.6 BÀỈ TẬP 117 — _ ,^2.^3, 13 c y = + X + |x2 + |x3 4- ^x4 + z o z J'l -t 2,70 15 D y — 4- X + “■x2 + -X3 + + 24 (1 \ 5,zx/5\ I I ị- ) X5 + 0(x5) \ 3! ■! / / 1 \ s 70/ 5\ I F7 777 ) X5 -I- 0(x5) \5! 31 /J \ 2.62 Cho hàm số y ~ e2x 4-xcos3x Viết công thức Maclaurin cấp với phần dư Peano cho y A y — ỵ + 3x 4- 2x2 - ^x3 4- |x4 + 0(x4) B y — — 3x 4- 2x2 — — X3 4- |x4 + 0(x4) c y = 3x + 2x2 — -^x3 4- 77 X4 0(x4) D y — + 3x — 2x2 — X3 4- |x4 4- 0(x4) 2.63 Viết công thức Maclaurin cấp vứi phần dư Peano cho y — In A 1/ — —X — ^x2 + ^x3 — ^x4 + 0(x4) B y = X - ^x2 4- ^-x3 — 7X4 4- 0(x4) y c 1/ - -X 4- ^x2 - |x3 4- ^x4 4- 0(x4) D y = - X - ix2+ |x3 - |x4 + 0(x4) o T" 2.64 Cho hàm số y — sin3x -1- cos4x Tính yíl3\o) Z y