Chương 3 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 3 1 KHẢO SÁT HÀM Y = F(X) 118 3 2 KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG THAM SỐ 125 3 3 KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG TRONG HỆ TỌA DỘ CƯC 128 3 4 BẨITẬP 133 3 1 KHẢO SÁT HÀM Y = (X) 3 1 1 Tính đơn điệ.
Chương ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 3.1 3.2 3.3 3.4 KHẢO SÁT HÀM Y =F(X) 118 KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG THAM SỐ 125 KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG TRONG HỆ TỌA DỘ CƯC 128 BẨITẬP 133 3.1 KHẢO SÁT HÀM Y = /-(X) 3.1.1 Tính đơn điệu hàm số Định nghĩa 3.1 Cho hàm số f xác định \a; b] • Hàm f gọi tăng [a; ờ] Vxi,X2 c [a;b],Xì < x2 ^>/(xi) < /(x2) • Hàm f gọi ỉà giảm [n; b] Vxlzx2 e [a;bị,Xf < x2 f(xỵ) > /(x2) • Hàm f dược gọi không giảm [a; b] Vxlzx2 € [a;b],Xị < x2 => /(Xi) < f(x2) • Hàm f gọi khơng tăng [a; í?] Vxlzx2 e [«;fe],X! < x2 f(xẦ) >/(x2) 3.7 KHÁO SÁT HÀM Y - Ỉ'(X) 119 ■ Diều kiện cần dủ dê hàm không giảm Định lý 3.1 Cho hàm f xác cỉịìihĩ ị«; bỊ có đạo hàm (a;b) ! ỉàm f không giảm [a; b\ khí f\x) > 0, Vx E (a;b) Chứng minh Cho f tà hãm khơng giảm Iíj; b] Khi dó, Vx c («;b),/'(x) lim f\.{x) = Av >0' /(-V i Ax) Ax /(x) Ngược lại, nến f'{x) > (), Va' (- (fl;b) với Xj,x2 t í'7;/’] A'1 < x2, dịnh lý Lagrange, ta có /(x2) /(X)) = /'(c) (-V2 Xj) >() Vậy / hàm không giảm H Diều kiện cần dỉi dê hàm tăng DỊnh lý 3.2 Cho hàm f xác tỉịnh [fl;b| khả vi (a;b) Hàm f lúng \íỉ; b\ t f'(x) > 0, ựx c (n; b} không tồn khoảng (a;/ì) c [íỉ;b| cho f'(x] — 0, Vx C (íx;ỊT) Chứng minh Cho f hàm tăng [í7; b] Khi dó, theo dinh lý 3.1, ta có f'(x) > 0, Vx G (fi;/>) Nếu tốn khoảng (ft;/?) c [ít;/’] cho /''(x) (),V.v G (x;/3) có A|,A'2 (ft;/?) G |u; b] X) < x2 mà f(x2}-f(xl) -ft(c)(x2 xj-o, với c V (a'i;x2) G (ft;/3) Điều vơ lý f tăng [fỉ; bị Ngược lại, giả sừ Vcà dược thỏa mãn Khi ấy, với moi X], x2 e [n;b],X| < x2, ta cần chứng minh f(x\) < /(x2) Áp dung dịnh lý Lagrange, ta có /(x2) -/(X|) f'(c)(x2 - Xị) > 0, với c (- (a'i;.V2) c” [íí; /’], nghĩa f(x\) < /(x2) Ăp dụng dính lý Lagrange cho hàm / đoạn |a'i; x], ị.r;x2J, ta thu dược /(X)) < f(x) < f(x2}yx c (Xj;x2) Do dó, A(a'2) f(xj) /(x) = /(A-ị), Vx c (xi;x2),suy ra/'(.v) Diều mâu vời diều kiện thứ Vậy /(A )) < /(x2) (),Vx ọ (X!;x2) □ Chú thích 3.1 Định lý 3.1 3.2 dược phát biểu tương tự cho hàm không tàng hàm giảm Ví dụ 3.1 Chứng minh với X > ta có < ln(x 4- 1) 120 ỨNG DỰNG DẠO HÀM [0;x], ta có Giải Với X > 0, xót hàm /(í) — ln(/ -1-1) - /Z(0 = Ị T J v t+1 77~'/ -ì = /, ■■■ n (f +1)2 (t -I- 1)2 > 0, Vt G (0;x) v ! Suy ra, /(0) < fix'), nghĩa là, < ln(x -| 1) - —Ị- Vậy với X > ta có A I 3.1.2 -L < ln(* -I !)- Cực trị ■ Điều kiện cần cực trị Định lý 3.3 Cho f xác định trẽn D Nếu f có đạo hàm Xo c- D đạt cực trị Xo /'(xo) = ■ Diều kiện đủ thứ cực trị Định lý 3.4 Cho hàm f xác định c khả vi trẽn {a; b) c, có thê’không khả vi c T Nếu f'(x) < (a; c) f'(x) > (c; b) f đạt cực tiểu lại c Nếu f'[x) > (a; c) f'(x) < (c; b) f đạt cực đại c Nếu f'(x) không đổi dấu (a; b) \ {c} f khơng dạt cực trị c Chứng minh Ta chứng minh trường hợp thứ nhất, hai trường hựp cịn lại lập luận tương tự Với X G (í?;c), ta có/'(/) < 0, Vt e (x;c), dơ dó, theo dịnh lý 3.2, f giâm [x; c], suy ra, f(x) > f(c) Tương tự, với X E (c; b), ta có f(x) > /(c) Vậy f(x) > f(c), với X c (íj; b) \ {c}, nghĩa là, f dạt cực tiểu c □ ■ Diều kiện đủ thứ hai cực trị Định lý 3.5 Cho hàm f có đạo hàm đến cấp (a; b) Xo f'(xo) — Nếu /"(xo) < f đạt cực đại XQ Nếu /"(xo) > f đạt cực tiểu XoChứng minh Công thức Taylor cấp hai véri phần dư Pcano điểm Xo /(x) /(Xo) + ^^(x - xo) 1- ^^(x - xo)2 T 0((x - ^)2) Và dơ /z(xo) nên suy f (-^7 f (^o) •*•(}) L 2Ĩ f \x ~ \2 J 3.1 KHẢO SÁT HÀM Y f-(X) 121 -•> X —> *0 nên X gần X(( f(x) — /(*(}) dần với ["(xq), từ đó, Vì suy diều phâi chứng 3.1.3 □ Tính lồi, lõm điểm uốn ■ Khái niệm hàm lồi, hàm lõm Định nghĩa 3.2 Cho hàm f xác định liên tục trôn (a;b) Hàm f dưực gọi hàm lõm (a;b) VX],X2 f(tx-i + (1 (fl;b),Vt G [0;'l] ta có f)x2) < t/(xi) + (1 - /)/(x2) (3.1) Ý nghĩa hình học Xét phần dồ thị hàm f lồi trơn (rt;b) Với X1,X2 c- (íỉ;b), giả sử Xì < x2/hai diem A1 (Xi;/(X])), A2(x2;/(x2)) thuộc phần dồ thị xét Khi ấy, với X E (xi;x2), có i Ị0;l] cho X — tXì + (1 - t)x2 điểm M(x; f(x^ỵ nằm phần dồ thị giới hạn A ỉ Ai mà tẻì ký hiệu cung A|Â2; cịn điểm N(x, ;t/(xi) I (1_^ í)/(x2)) nằm đoạn thẳng AjA2 mà ta gọi dây trương cung AjA? Bất đẳng thức (3.1) cho thấy M nằm N Vậy, cung Aị/12 nằm A-ị A2 (Hình 3.1) rương tự, ta có Định nghĩa 3.3 Hàm f, xác dịnh liên tục (íỉ; ờ), gọi hàm lồi (rt;b) Vxi,x2 G («;&), Ví e [();!] ta có /(ÍX1 + (1 - f)x2) > 1/(X1) + (1 - f)/(x2) Nhận xét 3.1 Trên («; b), hàm f lồi (3.2) f lõm ■ Điều kiện cần đủ đê hàm lõm Định lý 3.6 Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp (a; b) Khi đó, hàm f lõm (a; ỉ?) f"(x} > 0, Vx G (a; b) ỨNG DỤNG ĐẠO l ỈÀM 122 Chứng minh Với X],X2 G (í?;/’),X; < x2, đặt X — ÌXị + (1 t)x2,0 < t < Khi ấy, ta có A' — x2 , A'1 — X - t— - — X| - x2 X] - x2 I l >o dó (3.1) f(x) < 2—ZL/-(y,) ( X| x2’ \| x2’ /(x)(X| -x2) < (x ■ X2)/(X|) I (x, - x)/(x2) (x - x2)[/(x) /(a'| )] < (X1 x)[f(x2) /(x)| f(D f(HÌ < /U) /(x2) A' ỉ S - A' -X] - „ x2 (3.3) Giả si’r (3.3) diíng Ta chứng minh f''{x) > {}, Vx c {a;bỴ Trong (3.3), cho X - > X| ta thu d ươc f'(xi) < cho X ~ (3.4) < /'(*2) (3.5) X[ - x2 > x2 (3.3) ta thu dược 3’2 X| Kết hợp (3.4) (3.5) ta sê có //(X|) < y'(x2) Vậy hàm f' khơng giảm (íì;b) nên, theo dinh lý 3.1, /‘"(x) > 0, Vx €- (ti;b) Ngược lại, già sử f"{x) > 0, Vx (a;b) Với X C (xỏx2), theo dinh lý Lagrange, ta có /(v) X /(V]) ■ ■' XI , /(x) y(x2) f (< 1) f (q) X A2 , vói A"1 < C| < X < C2 < x2 Vì f"(x) > 0, Vx (?■ (ii;b) nên f' khơng giảm («;(’), dó f'Oi) < /z(í'2) v«ậy (3.3) dũng, nghĩa (3.1) dúng n Nhận xét 3.2 Do nhận xót 3.1, suy hàm f lồi trơn (đ;D) f'(x) < 0,Vx G (í?;b) ■ Diêm uốn Dịnh nghĩa 3.4 Diem A4(-Vo;/(*(})) phân cách cung lõm cung lồi dồ thị hàm f dược gọi la điểm Itốn dồ thị Từ định lý 3.6, tít có Định lý 3.7 Hàm f có đạo hàm đếtĩ cấp lân cận X'() Khi ấ\Ị, qua 3'0, f" itch dấu điểm (3'o;/(3-o)) điểm uốn 3.1.4 Dưừng tiệm cận Cho hàm f : D -> R, có đồ thị (C) Khoảng cách từ điểm M(x; f(x)) ẽ (C) đến gốc tọa dộ O(();0) \/x2 + [/(x)]2 Ta nói (C) có nhánh vơ cực córt (F R cho lim ỵ/X2 -IX >í\- V [/(t)]2 = I oo 3.1 KĨĨÂO SÁT HĂM Y - 7-(X) 123 Giả sử (C) có nhánh vơ cực Ta có Định nghĩa 3.5 Dường thẳng A dược gọi tiệm cận (C) khoảng cách từ điếm M G (C) den A tiến tới M di vô cực dọc theo dường cong Ta có số kết sau: Nốu lim/(x) — ±oo, lim /(x) — Leo, lim /(x) I oo, rt X' >« X—XI X Xì hữu hạn, X = a đường tiệm cận song song với trục tung, dược gọi tiệm cận dứng Nếu X lim fix') ~ a > I co X > co a, a hữu hạn, y a lim /(x) dường tiệm cận song song với trục hoành, gọi tiệm cận ngang Nếu lim f(x) 4:00 điều kiện cần dủ để dưừng thẳng A, có X >J oo phương trình y — ax + b, tiệm cận (C) X lim l/(x) > I co (ax 4- b)] — X lim Ị/(x) - (ax 4> co — Khi hệ số a, b xác dịnh sau: a— lim X—>J:CO X f b — lirp (fix) X ítxị (3-6) H co ■ Ngược lại, hai giới hạn (3.6) tồn tạj hữu hạn y (IX 4- b tiệm cận xiên (C) Chú ý 3.1 Nếu thay X —> ±oo X —> 4-00( oo) dường thẳng y — ax 4- b gọi tiệm cận xiên bên phải (bên trái) 124 L/X'G DUNG DAO IỈĂM Ví dụ 3.2 Tim đường tiệm cận đường cong 1/ — ^x(x - )2 Giải Hàm xác định với X nên dồ thị khơng có tiệm cận dứng Vì Jim I/ ±co nơn dồ thị khơng có tiệm cận ngang, có tiệm cận xiên.'ỉa có y \/x(x - l)2 lim — — lim ——— — - X—>J.CƠ X X > I oo X lim (i/ — x)' X-Hoov I \ x(x — l)7 - X lim x-ữcoự — 2x2 "t X í' " ’ X-’>Too (_ 1)2)2 ,f xsỵx(x._ 1)2 X2 3■ Vậy, dường cong có tiệm cận xiên hai bân V — X — Ví dụ 3.3 Khảo Séìt biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = ỵ/ÃỴx '1 )2 Giải 'ĩầ thực sau: Miền xác dịnh D — R Sự biến thiên cực trị Ta có ¥ {0 X X = V( A ) - x->14 X >0 I) lim X— L >1 ± X < ■> < X ■/- Do đó, X < đồ thị lõm; < X 7^ dồ thị lồi Vậy điểm 0(0; 0) điểm uốn đồ thị 3.2 KHÁO SÁT ĐƯỜNG CONG THAM số , Giới hạn tiệm cận Dơ thị có tiệm cận xiên ỵ 125 X — Bảng biến thiên đồ thị Mình 3.2 Hình 3.2: Dồ thị hàm I/ \/x(x - )2 KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG THAM số 3.2 3.2.1 Phương trình tham số đường cong Ta xét hệ < * ~ f’Y)' I ?/ - ự-ơ) (3.7) với t c [ít; p] Khi t thay đổi [a; Ị3], diem ự>(/)) vẽ nên dường cong (C) mặt phẳng tọa độ Hệ (3.7) dược gọi phương trình tham số dường cong (C) Y2 Ví dụ 3.4 Ellipse 1,-2 I ~ — có phương trình tham số I/ osin/, /c[0;27r) L 126 ỨNG DỤNG DẠO ỈỈĂM Ví dụ 3.5 Xét diêm M nằm dường tròn bán kính a > lăn khơng trượt dường thímg Tim quỹ dạo M Giả ỉ Giả sử đường tròn lăn trục Ox, theo hướng dương, vị trí ban dầu M trùng với gốc G 'lại vị trí cúa dường trịn, điểm tiồp xúc dường trịn Ox N M có tọa dộ hình vẽ Vì lăn khơng trượt nên dộ dài cung MN băng ON Gọi / tâm dường tròn, dặt i — NỈM Tọa dộ M dược xác dinh sau: OF - ON - FN -.-MN -MG - at - fl sin /, FM ■ ■ NG - ỈN — ỈG a a cost r X ị 1/ Vậy quỹ dạo M có phương trình tham số ( X — a(t sin l), [ y — a( — cos t) Quỹ dạo M dược gọi cycloide Khi dường tròn lăn dúng vịng phần quỹ đạo M dược gọi nhịp cycloidc 3.2.2 Khảo sát dường cong tham số Tương tự khảo sát dường cong cho dạng y /(*), ta có thổ khảo sát dường cong cho dạng tham số theo trình tự sau dây: Bước 1: lìm miền xác dịnh, diểm gián doạn hai hàm r' — (p — V (p r tan V — — cot3(p r' Bảng biến thiên: Bước 3: Chuyên đường cong VC dạng tham số: X — ữcos3ípcos (p,y -= «cos3(psin ọ? Vì < |x|, |y| < a với (p G R nên đường cong tiệm cận Bước 4: Vẽ đồ thị(xcm hình 3.7) 3.4 BÀỈ TÁP 133 Hình 3.7 3.4 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Tự LUẬN 3.1 Tìm khoảng tăng giảm hàm sau y — x(l ■+ ựx); y — In X 3.2 lìm a, b để hàm số 1/ = a In X + bx2 4- X đạt cực trị Khi đó, chứng minh 1/ đạt cực tiểu X1 cực dại X2 Xị 1/ — X* — 1, X2 = 3.3 lìm khoảng lồi, lõm điểm uốn đường cong sau: y — ln(l + X2); y — e*; y = c 3.4 lìm tiệm cận đường cong sau: y = —2 X X2 y — ——X-—- + 2x; _ , / , y — X In I e + — 3.5 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số sau: y — x(x — l)2; y = Xe À ỨNG DỤNG ĐẠO HÁM 134 3.6 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số sau: 3.7 Khảo sát vẽ dồ thị hàm số tọa độ cực: r ~ a sin Itp; r = a(l + cos ạ?); r — 4- sin cp TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ■ Các khoảng tăng, giâm 3.8 Cho hàm số I/ = ln(l 4- X2) Khẳng định sau dây dúng? /1 y tăng ( — oo; 0), giảm (0; 4-00) B y giảm (-co;0), tàng (0; I 00) c 1/ tăng miền xác định D y giảm miền xác định 3.9 Cho hàm số I/ — Y2 I Khẳng định sau dúng? A 1/ tăng ( —00; 1), ( — 1; 1), giảm trcn (1; 4~oo) B 1/giéìm (— 00; — 1), (1; 4-00), tăng ( 1;1) c y giảm khoảng xác định D y tăng trẽn khoảng xác định 3.10 Cho hàm số y — X In X - X Khẳng định sau dây dúng? A y tăng (0; 1), giảm trôn (1; 4-00) B y giảm (0; 1), tăng (1; 4-00) c 1/ giảm miền xác dịnh D 1/ tăng trôn miền Xóíc định 3.11 Cho hàm số I/ = — —- Khẳng định sau dây dúng? Vx'1 — 2x A I/ tăng ( —00; 0), giảm (2; 4“00) 3.4 BÀ ỉ TẬP B y giảm ( 135 00; 0), tăng (2; I 00) c I/ giảm trân khoảng xác dinh D I/ tăng khoảng xác định 3.12 Cho hàm số Ị/ = arctan X A y tăng trôn ( ln(l + X2) Khẳng định sau dây dúng? 00; 1), giảm (|; +00) B \Ị giảm ( — 00; ị), vả tăng (|; -|-oo) c I/ giảm miền xác định D ỉ/ tăng miền xác dịnh ■ Cực trị địa phương 3.13 Cho hàm số y = 3x — sin2 X Khẳng định sau đúng? B I/ dạt cực tiêu X — -Ỵ A y khơng có cực trị 7T D I/ dạt cực tiểu X - c y đạt cực dại X •- — 3.14 Cho hàm sốy = arctan X — ln(l + X2) Khẳng định sau dúng? A y dạt cực đại X = — - B y đạt cực tiểu X c y dạt cực dại X - - - D y đạt cực tiểu X 3.15 Cho hàm số y — xe'1’’1 x Khẳng định sau dúng? A y đạt cực dại X — I đạt cực tiểu X — B y đạt cực tiểu X — —ị dạt cực dại X - c t/ đạt cực dại X • I X = Đ y dạt cực tiểu X — ị X — 1 ỨNG DỰNG ĐẠO HĂM 136 ■ Giá trị lớn nhất, nhỏ 3.16 Tìm giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số 1/ - X In X [1; e] B M — e, m = D M - e, m -3 A M =0, m — - e c M = 1,m = 3.17 Tìm giá trị lớn M giá trị nhơ m hàm số y = e6 * 41 T [0;3] A M = e8, m = B M — e6,m — c M — e8, m = e6 D M = c8, m - e2 3.18 Tìm giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y —■ vl — X2 A M — l,m — B M l,m — D ỆM, m - e2 c M — 1, ím 3.19 Tim giá trị lớn M giá trị nhỏ m cùa y - ln(x2 — ốx 4- 8) [- 2; 0] A M — In 6, nt = ln2 c M — ln8, ni — ln6 B M = ln24, m — ln8 D M — ln8, m — ■ Tính lồi, lõm dồ thị 3.20 Cho hàm số y = X In X — X Khẳng định sau dày đúng? A Đồ thị y lồi (0; 1), lõm (1; 4-co) B Đồ thị y lõm (0; 1), lồi (1; 4-oo) c Đồ thị y lõm miền xác định D Đồ thị y lồi miền xác định 3.21 c ÌO hàm số y — X ex - e* Khẳng định sau dúng? A Đồ thị y lồi ( — oo; 1), lõm ( - 1; + oo) B Đồ thị y lõm (— oo; —1), lồi ( — 1; 4-oo) c Đồ thị y lồi (—oo; 1), lỏm (1; +oo) D Đồ thị y lõm ( —oo; 1), lồi (1; oo) ... (3. 3) Giả si’r (3. 3) diíng Ta chứng minh f''{x) > {}, Vx c {a;bỴ Trong (3. 3), cho X - > X| ta thu d ươc f'(xi) < cho X ~ (3. 4) < /'(*2) (3. 5) X[ - x2 > x2 (3. 3) ta thu dược 3? ??2 X| Kết hợp (3. 4)... M 3. 3 .3 Dường cong hệ tọa độ cực mở rộng Xét dẳng thức F(r; (?) - (3. 10) r - f(V) (3. 11) ’lập hợp điểm M(r; (?) thỏa (3. 10) (3. 11), có, tạo nên dường cong mặt phẳng với hệ tọa độ cực Ta gọi (3. 10)... tiệm cận Bước 4: Vẽ đồ thị(xcm hình 3. 7) 3. 4 BÀỈ TÁP 133 Hình 3. 7 3. 4 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Tự LUẬN 3. 1 Tìm khoảng tăng giảm hàm sau y — x(l ■+ ựx); y — In X 3. 2 lìm a, b để hàm số 1/ = a In X